Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:92

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án đã xây dựng khái niệm mới, đó là khái niệm các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa độ, các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert; thiết lập và chứng minh một số tính chất về hàm biến đổi chính quy và hàm biến đổi chậm;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 9.46.01.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hiền
ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Văn Thành. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS.TS. Lê Văn Thành, người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn ThS. Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Võ Thị Hồng Vân về những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng, TS. Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Dương Xuân Giáp, PGS.TS. Phan Đức Thành, PGS.TS. Trần Xuân Sinh cùng các nhà khoa học và các đồng nghiệp trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh, các thành viên trong nhóm seminar do PGS.TS. Lê Văn Thành chủ trì về những góp ý, thảo luận bổ ích. Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn chân thành và sâu sắc về sự động viên, chia sẻ đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và công tác. Nguyễn Thị Thanh Hiền
iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10 1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm . . 11 1.2. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16 1.3. Hàm biến đổi chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 31 2.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Chương 3. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 56 3.1. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. Luật yếu số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận và kiến nghị 78 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81
1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ H Không gian Hilbert thực, khả ly B(H) σ - đại số Borel của H B Tập các chỉ số của hệ cơ sở trực chuẩn của H log x Logarit cơ số 2 của số thực dương x ln x Logarit tự nhiên của số thực dương x a+ max{a, 0}, trong đó a ∈ R a− max{−a, 0}, trong đó a ∈ R EX Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hoặc phần tử ngẫu nhiên X Var(X) Phương sai của biến ngẫu nhiên X Cov(X, Y ) Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A h.c.c. Hầu chắc chắn P Xn → X Xn hội tụ theo xác suất đến X L Xn →2 X Xn hội tụ theo trung bình cấp 2 đến X |A| Lực lượng của tập hợp A X (j) Tọa độ thứ j của phần tử ngẫu nhiên X h·, ·i Tích vô hướng trong H k.k Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trong H kXk Chuẩn của phần tử ngẫu nhiên X [x] Phần nguyên của số thực x d X=Y Các phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối lim inf An Giới hạn dưới của dãy các biến cố {An } lim sup An Giới hạn trên của dãy các biến cố {An } N (0, 1) Phân phối chuẩn tắc
2 N (µ, σ 2 ) Phân phối chuẩn với các tham số µ, σ 2 f (n) f (n) ∼ g(n) lim = 1, trong đó f (n) và g(n) là các hàm số dương n→∞ g(n) tr. i Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn tr. i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích dẫn RV Họ các hàm biến đổi chính quy SV Họ các hàm biến đổi chậm K Hằng số dương và có thể không giống nhau ở mỗi lần xuất hiện an = o(1) lim an = 0 n→∞ 2 Kết thúc chứng minh
3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ hầu chắc chắn hoặc hội tụ theo xác suất về kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đó. Tuy nhiên, nó vẫn luôn là vấn đề thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. 1.2. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu về lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau. Do đó, chúng ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biến ngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence),... Những thông tin về phân phối, các đặc trưng, dáng điệu,...của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc (khi số các biến ngẫu nhiên đủ lớn) có rất nhiều ứng dụng trong thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, toán tài chính, điều khiển tối ưu,...Tùy vào từng cấu trúc phụ thuộc khác nhau mà chúng ta cần có những kỹ thuật, công cụ khác nhau để giải quyết các bài toán với các cấu trúc phụ thuộc tương ứng. 1.3. Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những hướng tổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
4 trong các không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert,... Khi nghiên cứu về luật số lớn và các định lý giới hạn, đã có rất nhiều tác giả thu được những kết quả tốt như: Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận,... 1.4. Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hình hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu,... Bài toán đánh giá bình phương tối thiểu của mô hình hồi quy bội ngẫu nhiên được khởi xướng trong bài báo năm 1978 bởi các tác giả Lai, Robbins và Wei [31]. Kể từ đó đến nay, mô hình này được kế thừa và tiếp tục phát triển trong các mô hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn như Breton, Musiela xét cho quá trình nửa martingale [8] và gần đây là công trình của Arie Preminger và Giuseppe Storti xét cho quá trình nhiễu có xác suất đuôi rất lớn [2]. Bài toán mô hình hồi quy phi tham số cũng được đưa về tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert”. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau: - Nghiên cứu các bất đẳng thức và các tính chất liên quan đối với tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
5 Hilbert; - Thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên và tổng không ngẫu nhiên của các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Tìm các ví dụ và phản ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết; - Nghiên cứu và đề xuất các điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội tụ đầy đủ. 4. Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu chủ yếu của luận án là tính phụ thuộc trong lý thuyết xác suất, sự hội tụ của tổng các biến ngẫu nhiên. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phân tích các kết quả đã đạt được, từ đó phát triển các kỹ thuật, kết quả đó vào những mô hình có các cấu trúc tương tự, hoặc các mô hình tổng quát hơn; - Tổ chức seminar khoa học, tổ chức các buổi trao đổi trong nhóm nghiên cứu với các nhà khoa học trong và ngoài nước để thảo luận làm nảy sinh các ý tưởng, kĩ thuật mới. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên
6 cứu về luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tính độc lập của các biến ngẫu nhiên là một tính chất rất mạnh. Đa số các hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong cuộc sống thường phụ thuộc với nhau theo một kiểu nào đó như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc theo khối, phụ thuộc âm hoặc phụ thuộc dương, liên kết hoặc liên kết âm,... Các kiểu phụ thuộc như phụ thuộc martingale, m-phụ thuộc, phụ thuộc Markov,... đã được nghiên cứu đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert, không gian Banach từ rất lâu, bởi nhiều nhà toán học như Hoffmann-Jørgensen và Pisier [24], Ledoux và Talagrand [32], Pisier [48],... Khái niệm phụ thuộc âm đôi một (pairwise negative dependence), phụ thuộc âm (negative dependence) và khái niệm liên kết âm (negative associa- tion) của các biến ngẫu nhiên đã được nghiên cứu từ những năm 1966, 1981, 1983 tương ứng bởi Lehmann [33], Ebrahimi và Ghosh [17] và bởi Joag-Dev và Proschan [29]. Trong [29], Joag-Dev và Proschan đã chỉ ra rằng, nhiều phân phối quan trọng trong thống kê như phân phối đa thức, phân phối nhiều chiều siêu hình học, phân phối Dirichlet, phân phối chuẩn tương quan âm, mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại,... có tính chất liên kết âm. Joag-Dev và Proschan [29] cũng chứng minh được nhiều tính chất quan trọng của các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Từ đó đến nay, khái niệm liên kết âm được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê toán học. Các ứng dụng của sự phụ thuộc âm và liên kết âm trong vật lý,
7 toán học, cũng như các hướng phát triển của nó đã được nghiên cứu và đề xuất bởi Pemantle [45], Borcea, Br¨andén và Liggett [10],... Năm 2000, Shao [51] đã chứng minh được rằng, các bất đẳng thức quan trọng đối với các biến ngẫu nhiên độc lập như bất đẳng thức Rosenthal, bất đẳng thức Kolmogorov,... vẫn còn đúng với các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Có nhiều định lý giới hạn được thiết lập cho dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Khái niệm liên kết đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Burton, Dabrowski và Dehling [11] vào năm 1986. Trong công trình đó, Burton, Dabrowski và Dehling đã nghiên cứu về định lý giới hạn trung tâm và sự xấp xỉ mạnh. Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert được nghiên cứu bởi Ko, Kim và Han [30] cho trường hợp không cùng phân phối và bởi Thành [59] cho trường hợp cùng phân phối. Miao [38] đã chứng minh được bất đẳng thức Hajek-Renyi cho các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert. Sau đó, Huấn, Quảng và Thuận [26] đã giới thiệu khái niệm các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, nhận giá trị trong không gian Hilbert và nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ đối với loại phụ thuộc này. Gần đây nhất, Huấn [27] đã hoàn thiện và bổ sung các kết quả trong [26]. Tổng có trọng số và mô hình hồi quy phi tham số trong trường hợp nhiễu phụ thuộc cũng được nghiên cứu bởi Thành và Yin [60]. Tuy nhiên, các định lý giới hạn khác như luật yếu số lớn, sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số,... của các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert vẫn chưa được quan tâm nghiên cứu. Đặc biệt, mặc dù khái niệm liên kết âm của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert đã được giới thiệu và nghiên cứu từ năm 2009, nhưng sự mở rộng tương tự cho khái niệm phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một vẫn chưa được đề cập. Đây là các vấn đề mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong luận án này. 7.2. Cấu trúc của luận án
8 Ngoài các phần một số kí hiệu thường dùng trong luận án; mở đầu; kết luận chung và kiến nghị; danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương. Chương 1 được dành để giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo của luận án. Mục 1.1 trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của biến ngẫu nhiên liên kết âm. Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày khái niệm phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert và một số kiến thức liên quan. Đặc biệt trong mục này, chúng tôi đưa ra khái niệm các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm theo tọa độ và các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh một số kết quả về bất đẳng thức cực đại đối với phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ và phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ. Cuối chương, ở Mục 1.3, chúng tôi trình bày khái niệm về hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng. Trong mục này, chúng tôi đã thiết lập và chứng minh các bổ đề cần thiết dùng để chứng minh các kết quả nghiên cứu của các chương sau. Các kết quả chính của Chương 1 là Định lý 1.2.10, Định lý 1.2.11, Định lý 1.2.12, Bổ đề 1.3.6, Bổ đề 1.3.9 và Mệnh đề 1.3.10. Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Trong Mục 2.1, chúng tôi trình bày các kết quả về luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Chúng tôi cũng đưa ra được một ví dụ chứng tỏ rằng, dãy {Xn , n ≥ 1} thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1.1 nên luật mạnh số lớn (2.1.3) thỏa mãn. Tuy nhiên, nó không thỏa mãn điều kiện trong Định lý 1A của Móricz và Taylor [43] nên chúng
9 ta không thể áp dụng định lý này để nhận được sự hội tụ đầy đủ tương ứng. Trong Mục 2.2, chúng tôi trình bày các kết quả về luật yếu số lớn của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert và đưa ra hai ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.1. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.4. Chương 3 được dành để trình bày các kết quả nghiên cứu về các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày về sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số và luật mạnh số lớn của dãy phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Một số kết quả của phần này n P nghiên cứu về tổng có trọng số dạng ani Xi , trong đó {ani , n ≥ 1, i ≥ 1} i=1 là mảng các hằng số, {Xi , i ≥ 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Dạng tổng có trọng số này có ứng dụng trong một số mô hình thống kê như mô hình hồi quy phi tham số, mô hình ước lượng bình phương tối thiểu,... Cuối cùng, Mục 3.2 trình bày các kết quả nghiên cứu về luật yếu số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert. Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.6 và Định lý 3.2.1. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại: Hội nghị toàn quốc lần thứ 5 “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng và giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015); Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ 2 (Đại học Đà Lạt, 09-11/12/2017); Hội thảo khoa học “Nghiên cứu và dạy học toán đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay” (Đại học Vinh, 19/09/2019); Seminar của Bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh (từ năm 2015 đến năm 2019). Phần lớn các kết quả này đã được công bố trên các tạp chí Statistics and Probability Letters, Applications of Mathematics và Journal of Theoretical Probability.
10 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm về phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một, liên kết âm của các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) và một số tính chất của dãy các biến ngẫu nhiên thỏa mãn các cấu trúc phụ thuộc này để làm công cụ nghiên cứu cho các chương sau. Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm liên kết âm theo tọa độ, phụ thuộc âm theo tọa độ và phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ của các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert. Trong chương này, chúng tôi đã chứng minh được một số bất đẳng thức cực đại cho dãy các phần tử ngẫu nhiên như: bất đẳng thức Hájek - Rényi, bất đẳng thức Rademacher - Menshov,... Các bất đẳng thức này đóng vai trò “chìa khóa” trong việc thiết lập luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ và một số định lý giới hạn khác cho dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert. Phương pháp chứng minh các bất đẳng thức này dựa vào đẳng thức Parseval trong không gian Hilbert và các bất đẳng thức đã có đối với các biến ngẫu nhiên liên kết âm (hoặc phụ thuộc âm đôi một) nhận giá trị thực. Cuối chương, chúng tôi trình bày các khái niệm về hàm biến đổi chính quy, hàm biến đổi chậm và các tính chất của chúng. Các khái niệm và tính chất trong chương này chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [1], [4], [17], [23], [26], [29] và [33].
11 1.1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm Năm 1966, Lehmann [33] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc âm như sau. Định nghĩa 1.1.1 ([33]). Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi x, y ∈ R ta có P(X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P(X ≤ x)P(Y ≤ y). (1.1.1) Nhận xét 1.1.2. i) Định nghĩa trên có thể phát biểu tương đương như sau: Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi x, y ∈ R ta có P(X > x, Y > y) ≤ P(X > x)P(Y > y). (1.1.2) ii) Trong (1.1.1) chúng ta có thể thay thế điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều kiện (X < x, Y < y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều kiện (X < x, Y ≤ y), hoặc điều kiện (X ≤ x, Y ≤ y) bởi điều kiện (X ≤ x, Y < y). iii) Điều kiện (1.1.1) tương đương với một trong các điều kiện sau: P(X ≥ x, Y ≥ y) ≤ P(X ≥ x)P(Y ≥ y), P(X ≤ x, Y ≥ y) ≥ P(X ≤ x)P(Y ≥ y), P(X ≥ x, Y ≤ y) ≥ P(X ≥ x)P(Y ≤ y). Định nghĩa 1.1.3 ([33]). Dãy các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu với mọi i 6= j ta có Xi và Xj phụ thuộc âm. Năm 1981, Ebrahimi và Ghosh [17] đã phát biểu khái niệm phụ thuộc âm cho n biến ngẫu nhiên như sau. Định nghĩa 1.1.4 ([17]). Họ các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } được gọi là i) phụ thuộc âm dưới, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có P(X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) ≤ P(X1 ≤ x1 ) . . . P(Xn ≤ xn ), (1.1.3)
12 ii) phụ thuộc âm trên, nếu với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R, ta có P(X1 > x1 , . . . , Xn > xn ) ≤ P(X1 > x1 ) . . . P(Xn > xn ), (1.1.4) iii) phụ thuộc âm, nếu thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện (1.1.3) và (1.1.4). Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {X1 , X2 , . . . , Xn } là phụ thuộc âm. Nhận xét 1.1.5. i) Với n > 2 thì điều kiện (1.1.3) và (1.1.4) là không tương đương. Ta có thể xét ví dụ sau đây. Giả sử X1 , X2 , X3 là các biến ngẫu nhiên nhận các giá trị (0,1,1), (1,0,1), 1 (1,1,0), (0,0,0) với xác suất tương ứng bằng . Khi đó, 4 1 P(X1 > 0, X2 > 0, X3 > 0) = 0 < = P(X1 > 0)P(X2 > 0)P(X3 > 0), 8 nhưng 1 1 P(X1 ≤ 0, X2 ≤ 0, X3 ≤ 0) = > = P(X1 ≤ 0)P(X2 ≤ 0)P(X3 ≤ 0). 4 8 Như vậy, chúng ta kiểm tra trực tiếp thấy rằng điều kiện (1.1.4) thỏa mãn nhưng điều kiện (1.1.3) không thỏa mãn. ii) Tính phụ thuộc âm của các biến ngẫu nhiên suy ra tính phụ thuộc âm đôi một và tính độc lập là một trường hợp riêng của tính phụ thuộc âm. Tuy nhiên, ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tồn tại các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập. |A| Xét không gian xác suất (Ω, F, P), với Ω = {1, 2, 3, 4} và P(A) = , 4 với mọi A ∈ F . Lấy B = {1, 2}, C = {2, 3, 4}. Khi đó, I(B), I(C) là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm nhưng không độc lập. Ebrahimi và Ghosh [17] đã đưa ra các tính chất về biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một như sau. Bổ đề 1.1.6 ([17]). Một tập hợp con của tập các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) là tập các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một).
13 Bổ đề 1.1.7 ([17]). Nếu {X1 , X2 , . . . , Xn } là họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một) và f1 , f2 , . . . , fn là các hàm cùng giảm hoặc cùng tăng thì {f1 (X1 ), f2 (X2 ), . . . , fn (Xn )} là họ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (tương ứng, phụ thuộc âm đôi một). Từ Bổ đề 1.1.7, ta dễ dàng thu được các hệ quả sau đây. Hệ quả 1.1.8. Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Khi đó: i) Nếu X và Y khả tích thì X − EX và Y − EY là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm; ii) X + và Y + là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm; iii) X − và Y − là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Hệ quả 1.1.9. Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a < b, c < d. Đặt X1 = aI(X < a) + X I(a ≤ X ≤ b) + bI(X > b), Y1 = cI(Y < c) + Y I(c ≤ Y ≤ d) + dI(Y > d). Khi đó, X1 và Y1 là hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Năm 2006, Li, Rosalsky và Volodin [34] đã thu được kết quả sau. Bổ đề 1.1.10 ([34]). Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, khả tích cấp 2 thì n X n X Var Xi ≤ Var(Xi ). i=1 i=1 Li, Rosalsky và Volodin [34] cũng đã chỉ ra rằng với một dãy hàm phân phối cho trước, luôn tồn tại một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một nhận nó là hàm phân phối. Định lý 1.1.11 ([34]). Giả sử {Fn , n ≥ 1} là một dãy các hàm phân phối cho trước. Khi đó, tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một {Xn , n ≥ 1} sao cho Fn là hàm phân phối của Xn với mọi n ≥ 1. Hơn
14 nữa, nếu {Fn , n ≥ 1} là dãy các hàm liên tục thì tồn tại dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một {Xn , n ≥ 1} sao cho {Xn , n ≥ k} không là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với mọi k ≥ 1. Năm 1981, Alam và Saxena [1] đã đưa ra một khái niệm phụ thuộc mạnh hơn tính phụ thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một, đó là khái niệm liên kết âm của các biến ngẫu nhiên. Định nghĩa 1.1.12 ([1]). Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} được gọi là liên kết âm nếu Cov f (Xi , i ∈ A), g(Xj , j ∈ B) ≤ 0, (1.1.5) với mọi cặp các tập con rời nhau A, B của tập {1, 2, . . . , n} và với mọi hàm không giảm theo tọa độ f : R|A| → R, g : R|B| → R sao cho Covarian ở công thức (1.1.5) tồn tại, trong đó |A| là kí hiệu lực lượng của tập A. Họ vô hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , i ≥ 1} được gọi là liên kết âm nếu với mọi n ≥ 1, họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên {Xi , 1 ≤ i ≤ n} là liên kết âm. Nhận xét 1.1.13. i) Rõ ràng (1.1.5) luôn đúng nếu họ các biến ngẫu nhiên {X1 , . . . , Xn } độc lập và khi đó dấu đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta có thể phát biểu rằng một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập là tập các biến ngẫu nhiên liên kết âm. ii) Có nhiều họ các biến ngẫu nhiên thỏa mãn tính liên kết âm, ví dụ như (X1 , . . . , Xn ) là vector ngẫu nhiên phân phối chuẩn n-chiều và tương quan âm thì {X1 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm. iii) Một tập hợp con của tập các biến ngẫu nhiên liên kết âm là tập các biến ngẫu nhiên liên kết âm. Năm 1983, Joag-Dev và Proschan [29] đã chỉ ra rằng, trong trường hợp n = 2, khái niệm phụ thuộc âm và liên kết âm là đồng nhất. Mệnh đề 1.1.14 ([29]). Hai biến ngẫu nhiên X1 , X2 là liên kết âm khi và chỉ khi chúng phụ thuộc âm.
15 Đồng thời, cũng trong tài liệu [29], Joag-Dev và Proschan đã đưa ra một số tính chất quan trọng về biến ngẫu nhiên liên kết âm như sau. Mệnh đề 1.1.15 ([29]). Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, A1 , A2 , . . . , Am là các tập con rời nhau của tập {1, 2, . . . , n} và {fi : R|Ai | → R, 1 ≤ i ≤ m} là dãy các hàm số không âm, không giảm theo từng tọa độ. Khi đó, ta có m ! m Y Y E fi (Xi , i ∈ Ai ) ≤ Efi (Xi , i ∈ Ai ). i=1 i=1 Từ Mệnh đề 1.1.15 ta suy ra hệ quả sau đây. Hệ quả 1.1.16. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn (n ≥ 2) là các biến ngẫu nhiên không âm, liên kết âm thì E (X1 X2 . . . Xn ) ≤ EX1 EX2 . . . EXn . Mệnh đề 1.1.17 ([29]). Giả sử {X1 , X2 , . . . , Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên liên kết âm, A1 , A2 là các tập con rời nhau của tập {1, 2, . . . , n} và với mọi x1 , x2 , . . . , xn ∈ R. Khi đó, ta có P(Xi ≤ xi , i = 1, n) ≤ P(Xi ≤ xi , i ∈ A1 )P(Xi ≤ xi , i ∈ A2 ) và P(Xi > xi , i = 1, n) ≤ P(Xi > xi , i ∈ A1 )P(Xi > xi , i ∈ A2 ). Nhận xét 1.1.18. Từ Mệnh đề 1.1.17 ta thấy rằng, nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên liên kết âm thì X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Chúng ta có thể tham khảo phản ví dụ trong [29]. Kết hợp Nhận xét 1.1.18 và Bổ đề 1.1.10, ta thu được hệ quả sau. Hệ quả 1.1.19. Nếu X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên liên kết âm, khả tích cấp 2 thì n X n X Var Xi ≤ Var(Xi ). i=1 i=1