Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ không điều kiện trong không gian Banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> SỰ HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br /> <br /> CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH<br /> MÃ SỐ : 1.01.01<br /> <br /> NGƢỜI THỰC HIỆN : TRẦN GIA TÙNG<br /> <br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> ---------1997---------<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐƢỢC HOÀN<br /> THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 1997<br /> ****<br /> Thầy hƣớng dẫn:<br /> PTS. ĐẬU THẾ CẤP<br /> Khoa Khoa Học Cơ Bản<br /> Trƣờng Sĩ Quan Kỹ Thuật Vin-Hem-Pich<br /> Thầy phản biện 1:<br /> PTS . DƢƠNG LƢƠNG SƠN<br /> Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm<br /> Đại Học Quốc Gia TP.HCM<br /> Thầy phản biện 2:<br /> PTS . NGUYỄN THÀNH LONG<br /> Trƣờng Đại Học Đại Cƣơng<br /> Đại Học Quốc Gia TP.HCM<br /> Ngƣời thực hiện :<br /> TRẦN GIA TÙNG<br /> Khoa Thống Kê - Toán - Tin Học<br /> Trƣờng Đại Học Kinh Tế<br /> <br /> LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG<br /> CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƢỜNG<br /> ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> * Chân thành cảm ơn thầy : PTS. ĐẬU THẾ CẤP đã hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi trong<br /> việc nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.<br /> * Chân thành cám ơn quý thầy :<br /> PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PTS.NGUYỄN THÀNH LONG đã đọc và cho ý<br /> kiến phản biện luận văn.<br /> * Chân thành cảm ơn Thầy :<br /> GS.TS. NGUYỄN DUY TIẾN đã quan tâm, động viên và cung cấp các tài liệu có<br /> tính thời sự giúp cho việc thực hiện luận văn.<br /> * Chân thành cám ơn quý thầy:<br /> - PGS PTS. NGUYỄN TRỌNG KHÂM - TS. TRẦN VĂN TẤN - PTS. NGUYỄN<br /> BÍCH HUY - PGS TS. TRẪN HỮU BỔNG - PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PGS PTS.<br /> BÙI TƢỜNG TRÍ - PTS. TRẦN HUYÊN - PTS. TRỊNH CÔNG DIỆU. Đã tận tâm giảng<br /> dạy truyền đạt kiến thức cho tôi trong thời gian học Cao học.<br /> - Quý cán bộ và nhân viên phòng nghiên cứu Khoa Học đã giúp đỡ tạo điều kiện<br /> thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học Cao học cũng nhƣ thời gian hoàn thành luận văn<br /> này.<br /> Thành phố Hồ Chí Minh<br /> 1997<br /> TRẦN GIA TÙNG<br /> <br /> LỜI NÓI ĐẦU<br /> Chuỗi số ra đời từ nhu cầu nghiên cứu về số, về hàm và các phép tính trên các hàm,<br /> đặc biệt là phép tính vi phân và tích phân. Sau này chuỗi đƣợc xét trên không gian vectơ tôpô<br /> tổng quát. Chuỗi đã và đang là một công cụ đắc lực để nghiên cứu các không gian và các toán<br /> tử.<br /> Có ý kiến cho rằng chuỗi là một dãy đặc biệt, chỉ nghiên cứu dãy là đủ. Tình hình<br /> không đơn giản nhƣ vậy. Hàng loạt các khái niệm quan trọng nãy sinh trên các chuỗi mà<br /> không có trên dãy. Các khái niệm này gắn liền với các không gian và các toán tử, làm rõ tầm<br /> quan trọng của chúng cũng nhƣ giải thích những bí ẩn của chúng.<br /> Vì các lý do trên, có thể nói lý thuyết chuỗi gắn liền với sự phát triển của toán học<br /> hiện đại. Các nhà toán học nổi tiếng nhƣ Leibnitz, Gauss. Riemann, Weierstrass, Cauchy,<br /> Grothendieck ... đều có những công trình quan trong về chuỗi.<br /> Trong tiểu luận này, chúng tôi đặt cho mình nhiệm vụ khảo sát các loại hội tụ và phân<br /> kỳ của chuỗi, mà đối tƣợng trung tâm là các chuỗi hội tụ không điều kiện và các vấn đề liên<br /> quan. Ở đây, các chuỗi đƣợc xét trong không gian Banach-loại không gian mà các thành tựu<br /> của chuỗi phong phú và quan trọng. Chúng tôi cũng khảo sát miền tổng của chuỗi và bƣớc<br /> đầu khảo sát một loại toán tử đặt biệt là toán tử khả tổng tuyệt đối.<br /> Tiểu luận này gồm có 4 chƣơng<br /> Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị<br /> Trong chƣơng này chúng tôi tóm tắt một số kiến thức về chuỗi số, về không gian<br /> tôpô, không gian Banach, HilBert, không gian định chuẩn hữu hạn chiều, về các toán tử tuyến<br /> tính, không gian đối ngẫu.<br /> Chương 2: Các loại hội tụ của chuỗi trong không gian Banach<br /> Trong chƣơng này chúng tôi đề cập đến 4 loại hội tụ của chuỗi, đó là hội tụ tuyệt đối,<br /> hội tụ không điều kiện, hội tụ có điều kiện và hội tụ hoàn hảo và một loại phân kỳ, đó là phân<br /> kỳ hoàn hảo. Chúng tôi đã nêu các mối liên hệ giữa các loại hội tụ. Trong không gian Banach<br /> hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ không điều kiện: hội tụ không điều kiện và hội tụ hoàn hảo là<br /> tƣơng đƣơng Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiểu thì hội tụ tuyệt đối, hội tụ không<br /> điều kiện và hội tụ hoàn hảo tƣơng đƣơng với nhau. Chúng tôi đã đƣa ra ví dụ chứng tỏ trong<br /> một không gian vô hạn chiều có thể có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt<br /> đối.<br /> <br />