ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br />
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br />
<br />
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br />
<br />
SỰ HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN TRONG KHÔNG GIAN BANACH<br />
<br />
CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH<br />
MÃ SỐ : 1.01.01<br />
<br />
NGƢỜI THỰC HIỆN : TRẦN GIA TÙNG<br />
<br />
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br />
---------1997---------<br />
<br />
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐƢỢC HOÀN<br />
THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br />
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 1997<br />
****<br />
Thầy hƣớng dẫn:<br />
PTS. ĐẬU THẾ CẤP<br />
Khoa Khoa Học Cơ Bản<br />
Trƣờng Sĩ Quan Kỹ Thuật Vin-Hem-Pich<br />
Thầy phản biện 1:<br />
PTS . DƢƠNG LƢƠNG SƠN<br />
Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm<br />
Đại Học Quốc Gia TP.HCM<br />
Thầy phản biện 2:<br />
PTS . NGUYỄN THÀNH LONG<br />
Trƣờng Đại Học Đại Cƣơng<br />
Đại Học Quốc Gia TP.HCM<br />
Ngƣời thực hiện :<br />
TRẦN GIA TÙNG<br />
Khoa Thống Kê - Toán - Tin Học<br />
Trƣờng Đại Học Kinh Tế<br />
<br />
LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG<br />
CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƢỜNG<br />
ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH.<br />
<br />
LỜI CẢM ƠN<br />
* Chân thành cảm ơn thầy : PTS. ĐẬU THẾ CẤP đã hƣớng dẫn, giúp đỡ tôi trong<br />
việc nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.<br />
* Chân thành cám ơn quý thầy :<br />
PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PTS.NGUYỄN THÀNH LONG đã đọc và cho ý<br />
kiến phản biện luận văn.<br />
* Chân thành cảm ơn Thầy :<br />
GS.TS. NGUYỄN DUY TIẾN đã quan tâm, động viên và cung cấp các tài liệu có<br />
tính thời sự giúp cho việc thực hiện luận văn.<br />
* Chân thành cám ơn quý thầy:<br />
- PGS PTS. NGUYỄN TRỌNG KHÂM - TS. TRẦN VĂN TẤN - PTS. NGUYỄN<br />
BÍCH HUY - PGS TS. TRẪN HỮU BỔNG - PTS. DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PGS PTS.<br />
BÙI TƢỜNG TRÍ - PTS. TRẦN HUYÊN - PTS. TRỊNH CÔNG DIỆU. Đã tận tâm giảng<br />
dạy truyền đạt kiến thức cho tôi trong thời gian học Cao học.<br />
- Quý cán bộ và nhân viên phòng nghiên cứu Khoa Học đã giúp đỡ tạo điều kiện<br />
thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học Cao học cũng nhƣ thời gian hoàn thành luận văn<br />
này.<br />
Thành phố Hồ Chí Minh<br />
1997<br />
TRẦN GIA TÙNG<br />
<br />
LỜI NÓI ĐẦU<br />
Chuỗi số ra đời từ nhu cầu nghiên cứu về số, về hàm và các phép tính trên các hàm,<br />
đặc biệt là phép tính vi phân và tích phân. Sau này chuỗi đƣợc xét trên không gian vectơ tôpô<br />
tổng quát. Chuỗi đã và đang là một công cụ đắc lực để nghiên cứu các không gian và các toán<br />
tử.<br />
Có ý kiến cho rằng chuỗi là một dãy đặc biệt, chỉ nghiên cứu dãy là đủ. Tình hình<br />
không đơn giản nhƣ vậy. Hàng loạt các khái niệm quan trọng nãy sinh trên các chuỗi mà<br />
không có trên dãy. Các khái niệm này gắn liền với các không gian và các toán tử, làm rõ tầm<br />
quan trọng của chúng cũng nhƣ giải thích những bí ẩn của chúng.<br />
Vì các lý do trên, có thể nói lý thuyết chuỗi gắn liền với sự phát triển của toán học<br />
hiện đại. Các nhà toán học nổi tiếng nhƣ Leibnitz, Gauss. Riemann, Weierstrass, Cauchy,<br />
Grothendieck ... đều có những công trình quan trong về chuỗi.<br />
Trong tiểu luận này, chúng tôi đặt cho mình nhiệm vụ khảo sát các loại hội tụ và phân<br />
kỳ của chuỗi, mà đối tƣợng trung tâm là các chuỗi hội tụ không điều kiện và các vấn đề liên<br />
quan. Ở đây, các chuỗi đƣợc xét trong không gian Banach-loại không gian mà các thành tựu<br />
của chuỗi phong phú và quan trọng. Chúng tôi cũng khảo sát miền tổng của chuỗi và bƣớc<br />
đầu khảo sát một loại toán tử đặt biệt là toán tử khả tổng tuyệt đối.<br />
Tiểu luận này gồm có 4 chƣơng<br />
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị<br />
Trong chƣơng này chúng tôi tóm tắt một số kiến thức về chuỗi số, về không gian<br />
tôpô, không gian Banach, HilBert, không gian định chuẩn hữu hạn chiều, về các toán tử tuyến<br />
tính, không gian đối ngẫu.<br />
Chương 2: Các loại hội tụ của chuỗi trong không gian Banach<br />
Trong chƣơng này chúng tôi đề cập đến 4 loại hội tụ của chuỗi, đó là hội tụ tuyệt đối,<br />
hội tụ không điều kiện, hội tụ có điều kiện và hội tụ hoàn hảo và một loại phân kỳ, đó là phân<br />
kỳ hoàn hảo. Chúng tôi đã nêu các mối liên hệ giữa các loại hội tụ. Trong không gian Banach<br />
hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ không điều kiện: hội tụ không điều kiện và hội tụ hoàn hảo là<br />
tƣơng đƣơng Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiểu thì hội tụ tuyệt đối, hội tụ không<br />
điều kiện và hội tụ hoàn hảo tƣơng đƣơng với nhau. Chúng tôi đã đƣa ra ví dụ chứng tỏ trong<br />
một không gian vô hạn chiều có thể có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt<br />
đối.<br />
<br />