Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn gồm 2 chương: Chương 1 - Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ, mặt cầu. Chương 2 - Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không Kahler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K𝑨HLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K𝑨HLER Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Vân Anh i
M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan ......................................................................................................... i Mục lục ................................................................................................................ ii LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3 1.1. Không gian phức ........................................................................................... 3 1.2. Đa tạp phức ................................................................................................... 4 1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình ................................................................... 6 1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức ..................................................................... 7 1.6. Hàm đa điều hòa ............................................................................................ 7 1.7. Dòng .............................................................................................................. 8 1.8. Miền giả lồi ................................................................................................... 9 1.9. Mặt cầu .......................................................................................................... 9 Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER ................. 10 2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình ................................................. 10 2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình .............................. 10 2.1.2. Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f ........................................... 14 2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình ..................................... 29 2.2.1. Tổng quát của lí thuyết đa thế vị .............................................................. 29 2.2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs HUn1  r  vào một không gian phức lồi đĩa ........................................... 35 KẾT UẬN........................................................................................................ 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 57 ii
LỜI MỞ ĐẦU Giải tích phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là số phức. Trong đó, thác triển phân hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải tích phức. Những năm gần đây, thác triển phân hình là vấn đề nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con mở khác rỗng , ánh xạ f thác triển trên . Vậy, giá trị cực đại nào của ̂ sao cho f thác triển phân hình trên ̂ ? Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs. Nếu ̂ với mọi f lấy giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này. Với , tức là với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F. Hartogs. Nếu , tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minh bởi E. Levi. Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hai lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hình hay hàm phân hình. Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong hai chương của luận văn: Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới, phủ, mặt cầu. Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu vềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler. 1
Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em. Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học. Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Vân Anh 2
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian phức 1.1.1. Định nghĩa không gian phức Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n , các điểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực  x1,...x2n  . Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách đặt zv  xv  ixnv (v  1,...n) . Ta thư ng kí hiệu xnv  yv nên zv  xv  iyv (v  1,.., n) . Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn) z   z1,...zn   zv  sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu . Đặc biệt, khi n = 1, ta có là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian là tích n mặt phẳng phức ⏟ . 1.1.2. Không gian phức chuẩn tắc Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức. Một giả chuẩn p trên E là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa mãn: (i) p( ) p( ) p( ) với mọi a, b E. (ii) p( ) | |p( ) với mọi , với mọi a E. Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (* p( ) + là một lân cận mở của ). Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi là một không gian giả chuẩn tắc Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian phức chuẩn tắc. Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắc nếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau: 3
(iii) p( ) nếu và chỉ nếu a = 0. 1.1.3. Không gian phức khả quy Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) được gọi là một không gian vành phức nếu: 1. X là một không gian tôpô; 2. 𝓗 là một bó -đại số địa phương trên X . Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức ( ) mà có những tính chất sau: 1. X là một không gian Hausdorff; 2. Với mọi điểm có một lân cận mở ( ) và một tập giải tích A sao cho ( | ) ( ( )). (A nằm trong một tập mở B n và ( ):=(𝒪/𝓘(A)|A, trong đó 𝓘(A) là một bó ideal của A). 1.2. Đa tạp phức 1.2.1. Định nghĩa đa tạp phức Định nghĩa 1.5: Cho M là không gian tôpô Hausdorff. V là một tập mở trong M và  : V  n là một ánh xạ. Khi đó: Cặp V ,   được gọi là một bản đồ địa phương của M, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i)  (V ) là tập mở trong n , ii)  : V   (V) là một đồng phôi. Định nghĩa 1.6: Họ   (Vi , i )iI của M được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) Vi iI là một phủ mở của M, 4
ii) Với mọi Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên M. Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của chúng là một atlas trên M. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên gọi là một cấu trúc khả vi phức trên M. M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. Ví dụ: Cho D n là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương  D, Id D . n Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong . Một tập con V của U là một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận U z và các hàm chỉnh hình f1,... ft trong U z sao cho: V U z  x U z : f1  x   0,..., ft  x   0  V  f1,... ft  1.2.2. Tập giải tích trên đa tạp phức Định nghĩa 1.8: Cho  là một đa tạp phức (một miền trong hoặc trong ). Một tập A  được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm a  có một lân cận U của a và các hàm chỉnh hình trên U sao cho: * ( ) ( ) + Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích (địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó. Nhận xét: n n + Mọi miền D là tập giải tích trong nhưng nó là tập con giải tích trong n chỉ khi D  n . 5
+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích của một lân cận của nó. Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập con giải tích sao cho: 1. ; 2. A i  A, i  1,2. Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy. Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tích A được gọi là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tích A A sao cho A  A và A A là khả quy. 1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở D n được gọi là chỉnh hình trên n nếu với mỗi điểm w  D có một lân cận mở U, w U D sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa  f  z   av1...vn  z1  w1  1 ... zn  w n  v vn hội tụ với mọi z U . v1...vn 0 Kí hiệu 𝒪( ) là tập tất cả các hàm chỉnh hình trên D. Định nghĩa 1.13: Một hàm phân hình trên X là một cặp  A, f  thỏa mãn các tính chất sau: 1) A là một tập con của X 2) F là một hàm chỉnh hình trên X-A 3) Với mọi điểm x0  A , có một lân cận U  x0  X và các hàm chỉnh hình g, h trên U sao cho: a. A U  x U | h  x   0 b. Các mầm g x0 , hx0 là nguyên tố cùng nhau c. f  x   g  x  / h  x  với mọi x U  A . 6
1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức C  trên một đa tạp (thực hoặc phức) M. Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một C  trư ng các tích trong Hermit của các thớ của E. Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM. g được gọi là một metric Hermit trên M. Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi là một đa tạp Hermit. 1.5. Phủ Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương trên X và f : A  Y là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục. Bộ ba ( A, f ,Y ) được gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Tồn tại một tập con giải tích  Y (có thể là rỗng) chiều
i) U là nửa liên tục trên trong D, tức là tập  z  D; u  z   s là tập mở với mỗi số thực s; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G  R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u  h trên G thì u  h trên G. Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau: Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ 2  u  z  re  dt với 1 là với mỗi điểm z  D , tồn tại r0  z   0 sao cho u  z   it 2 0 mọi r  r0  z  . Định nghĩa 1.18: Giả sử G là một tập con mở trong . Một hàm:  : G  [  ; ) được gọi là đa điều hòa dưới nếu: i)  là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với  trên mọi thành phần liên thông của G; ii) Với mỗi z0  G và a  n mà a  0 và với mỗi ánh xạ :  n ,  z   z0  az , hàm  trên mỗi thành phần liên thông của  1  G  (là các miền trong ) hoặc bằng  hoặc là điều hòa dưới. Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức. Hàm  : X  [  ; ) được gọi là hàm vét cạn nếu  1 [  , c] là compact với mọi c  R . 1.7. Dòng Định nghĩa 1.20: Mỗi phần tử thuộc không gian đối ngẫu D' mr  M  (hay còn kí hiệu Dr'  M  của không gian tuyến tính ( ) được gọi là một dòng r-chiều (hay còn gọi là bậc bằng m-r) 8
Định nghĩa 1.21: Cho  là các dòng trên một đa tạp phức, (  ) là không gian đối ngẫu của (  ), (  ), T p ,q xác định như sau:   Tp,q    T  p,q trong đó  p ,q là  p, q  - thành phần của dạng  . T  Tp,q . Khi đó các dòng Tp ,q được gọi là các dòng song chiều  p, q  . 1.8. Miền giả lồi Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M. D được gọi là giả lồi tại y D nếu có một lân cận U của y và một C 2 - hàm giá trị thực  xác định trên U sao cho: i) D  U   x U :   x   0 ii) Nếu t M Ty và d  t   0 thì H  y   t , t   0 . Nếu ii) là đúng với H  y   t , t   0 với mọi t  0 , D được gọi là giả lồi chặt tại y. D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi (chặt) tại mọi điểm y D . 1.9. Mặt cầu Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh  của hình cầu tiêu chuẩn qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của vào X sao cho  không tương ứng tới 0 trong X. 9
Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình 2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ lí thuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]). Tất cả các không gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và có thể đếm được tại vô cực. Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giả thiết là có giá liên thông. Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tích trong một không gian phức Y là tổng Z   j n j Z j , trong đó Z j  là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải tích (k chiều thuần túy) và n j là các số nguyên dương được gọi là các bội số của Z j . Đặt Z   j Z j là giá của Z. Đặt Ak  r ,1   k \  r  . k Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit. Cho một ánh xạ chỉnh hình f :   A  r ,1  X . Ta sẽ bắt đầu với không n k gian của các chu trình gắn với f . Cố định hằng số dương C và xét tập C f ,C của tất cả các k-chu trình giải tích Z trong Y :  nk  X sao cho: (a) Z    n  A  r ,1  X    f z   Az  r ,1  X  với z   n trong đó k k      f z là đồ thị của ánh xạ hạn chế f z : f | Ak  r ,1 . Ở đây Azk  r ,1 :  z  Ak  r ,1 z 10
.Điều này có nghĩa, trong trư ng hợp đặc biệt, với z này, ánh xạ f z thác triển phân hình từ Az  r ,1 trên  z :  z   . k k k (b) ( ) và giá | | của Z là liên thông. Ta đặt C f : C 0 C f ,C và chỉ ra rằng C f là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó. Cho Z là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phức chuẩn tắc, khả quy Y. Trong phần này, Y là  nk  X . Bằng một biểu đồ tọa độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là | | cùng với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của    k q sao cho (̅ ) | | . Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi V , j  . Ảnh j  Z  của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích cơ bản cùng với các bội. Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu:  k  U ,  q  B và gọi bộ bốn E  V , j,U , B  là thang tương thích với Z. Nếu pr : k  q  k là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế pr | j Z  : j  Z    k là phủ rẽ nhánh bậc d. Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng của Y (hoặc X trong trư ng hợp này). Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần   kí hiệu. Các phủ rẽ nhánh: pr |Z : Z   k   q   k xác định một cách tự nhiên một ánh xạ:  z :  k  Sym d   q  z   pr |Z  z 1 trong đó, Symd   q  là lũy thừa đối xứng thứ d của  q . Điều này cho phép ta biểu diễn một chu trình Z   k q với | | (̅ ) như đồ thị của một ánh xạ chỉnh hình d giá trị. 11
Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng ánh xạ chỉnh hình f được xác định trên  n  a   Ak  r1 , b  với a, b  1, r1  r . Bây gi , mỗi Z  C f có thể được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận tương thích V , j  . Phủ như vậy được gọi là một phủ tương thích. Kí hiệu hợp WZ   V . Lấy phủ V , j  đủ nhỏ, ta có thể giả thiết rằng: (a) Nếu , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao Z V1 V2 , một điểm x1 được cố định sao cho:  c1  hoặc tồn tại một lân cận đa trụ 1k  k của pr  j1  x1   sao cho biểu đồ V12  j11  1k   q  là thích ứng với Z và được chứa trong V1 , trong đó V12 được cho như phép nhúng j1 ,  c2  hoặc điều này được thực hiện cho V 2 thay vì V1 ; r 1  (b) Nếu y V với p  y     c   Ak  n ,1 , thì  2    n  c 1     A  r,1 . k p V      2  Ở đây, ta kí hiệu p :  nk  X   nk là phép chiếu tự nhiên. Trư ng hợp  c1  có thể được thực hiện khi chiều nhúng của V1 nhỏ hơn hoặc bằng chiều nhúng của V 2 , và  c2  trong trư ng hợp ngược lại (xem [3], pp. 91-92). Cho E= V , j ,U , B  là một thang trong không gian phức Y. Kí hiệu     HY U , symd  B  : HolY U , symd  B  là tập giải tích Banach của mọi tập con giải tích d-tầng trên U  B , chứa trong j Y  . Các tập con WZ cùng với   tôpô hội tụ đều trên HY U , sym  B  xác định một (metric) tôpô trên không d gian chu trình C f , và tương đương với tôpô của các dòng (xem [6], [9]). 12
Ta tham khảo [3] để định nghĩa sự đẳng hướng của tập hợp các phần tử   từ HY U , sym  B  đã được tham số hóa bởi tập giải tích Banach S. Không d   gian HY U , sym  B  có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tích d khác nhiều tính chất hơn. Không gian giải tích mới này sẽ được kí hiệu bằng    H Y U , sym d  B  . Tính chất chính của cấu trúc mới này là họ hằng đúng      H Y U , symd  B   U '  symd  B  là đẳng hướng trong HY U ', symd  B  với bất kì đa đĩa compact tương đối . Trên thực tế, các họ đẳng hướng Z s : s  S  được tham số hóa bởi các tập giải tích Banach theo định lí phép chiếu thay đổi của Barlet cố định. Định lý (Barlet): Nếu họ Z s : s  S   HY U , symd  B  là đẳng hướng thì với bất kì thang E1  V1 , j1 ,U1 , B1  trong U  B tương thích với Z s0 , tồn tại   một lân cận U s0 của s0 trong S sao cho Z s : s U s0 là đẳng hướng trong V1 . Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ: s  Z s  V1  HY U 1 , symd  B1   là giải tích, tức là có thể thác triển tới một lân cận của mọi s U s0 . Lân cận ở đây được hiểu theo nghĩa là một lân cận trong không gian phức Banach, trong đó S được xác định như một tập con giải tích. Định nghĩa2.2: Một họ Z của các chu trình giải tích trong một tập mở W Y , được tham số hóa bởi một không gian giải tích Banach S được gọi là giải tích trong một lân cận của s0  S nếu với mọi thang E tương thích với Z s0 thì tồn tại một lân cận U của s0 sao cho họ Z s : s U  là đẳng hướng. 13
2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f Cho f :   A  r ,1  X là ánh xạ. Lấy một chu trình Z  C f và một n k phủ hữu hạn V , j  thỏa mãn điều kiện (c) và (d). Đặt WZ  V . Ta cần chỉ ra rằng C f là một không gian giải tích có số chiều hữu hạn trong một lân cận của Z. Ta xét hai trư ng hợp của V : Trường hợp 1: Với V như trong (d): Nếu y V với  r 1    n  c 1 p  y     c   Ak    A  r,1 . n ,1 , thì p  V     k  2     2  Ta đặt: H : z  fz Az  r ,1  X  V k    HY U  , Symd  B   (1.2.1) Hợp được lấy với mọi z   n sao cho V tương thích với  f z . Trường hợp 2: Trong tất cả các trư ng hợp khác.    Ta đặt H : H Y  U  , Sym   B   . d   Tất cả H là những tập mở trong những tập con giải tích Banach phức và với V của trư ng hợp 1, H có số chiều n và trơn. Từ định lí Barlet- Mazet, ta có nếu h : A  S là đơn ánh chỉnh hình từ một tập giải tích hữu hạn chiều A vào một tập giải tích Banach S, thì h( A) cũng là một tập giải tích Banach hữu hạn chiều. Với mọi thành phần bất khả quy của V V Zl , cố định một điểm x l trên thành phần này (chỉ số dưới l biểu thị thành phần) và một đồ thị V   V  V l , l  x l tương thích với thành phần này như trong (c): Nếu V1  V2   , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao Z V1 V2 , một điểm x1 được cố định sao cho: 14
 c1  hoặc tồn tại một lân cận đa trụ 1k  k của pr  j1  x1   sao cho   đồ thị V12  j11 1k   q là thích ứng với Z và được chứa trong V1 , trong đó V12 được cho như phép nhúng j 1 .  c2  hoặc điều này được thực hiện cho V 2 thay vì V1 .     . Để thuận tiện hơn cho việc trình bày,  d l Đặt H l : H  k , Sym p từ đây ta sẽ đưa vào một thứ tự các phủ hữu hạn V  và viết V  1 . N Xét các tích hữu hạn   H và  l  H l . Trong tích thứ hai, ta chỉ lấy bội ba với    . Tích này là không gian giải tích Banach và theo định lí về phép chiếu thay đổi của Barlet, với mỗi cặp    , ta có hai ánh xạ chỉnh hình  : H  l  H l  và  : H   l  H l . Hai ánh xạ này xác định hai ánh xạ chỉnh hình ,  :   H    ,l H l . Hạch A của cặp này, tức là tập h  h  với   h     h  , chứa các chu trình giải tích trong lân cận WZ của Z. Hạch này là tập giải tích Banach, và hơn nữa, họ A là một họ giải tích trong WZ theo định nghĩa 1.1. Bổ đề 2.1: A là hạch của cặp ánh xạ chỉnh hình ,  . Khi đó, A có số chiều hữu hạn. Chứng minh: Lấy một phủ nhỏ hơn V' , j   của Z. V  V ' với V của   trư ng hợp 1 và V'  j1 1   p của trư ng hợp 2. Ta xác định H' như H khi thay V bằng V' và H ':  H' . Lặp lại phép dựng như trên, chúng ta xây dựng được một tập giải tích Banach A’. Ta có một ánh xạ chỉnh hình K : A  A ' xác định bởi ánh xạ hạn chế. Vi phân dK  K của ánh xạ này là một toán tử compact. 15
Ta sẽ chỉ ra rằng có ánh xạ ngược giải tích F : A '  A . Tính giải tích của F , chính xác hơn, nó sẽ được xác định trong một số lân cận của A ' trong H' . Với các thang E  V ,U , B , j  của trư ng hợp 2 ánh xạ   F : A '  HY  U  , Symk B  được xác định bởi tính đẳng hướng của họ A’   như trong [3]. Đặc biệt, F này thác triển giải tích tới một lân cận trong H ' ! của mỗi điểm của A’.   Với các thang E  V ,U  U' , B , j của trư ng hợp 1 xác định F như sau: Cho Y  Y  là một điểm trong H’. Vì H  H' nên ta có thể định nghĩa chính xác F Y  : Y như là một phần tử của H . Điều này trực tiếp xác định F trên toàn bộ H’. Tính giải tích là hiển nhiên. Đặt F :  F : A '  A . F được xác định và giải tích trong một lân cận của mỗi điểm của A’. Hơn nữa, id - dKdF là Fredholm. Vì A' h  H : id  K F  h   0 nên A’ là một tập con giải tích trong một i ' i  đa tạp phức hữu hạn chiều. Do đó, C f là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó. C f ,C là các tập con mở của C f . Chú ý rằng C1  C2 , tập hợp C f ,C1 là một tập con mở của C f ,C2 . Điều này kéo theo với mỗi thành phần bất khả quy KC của C f ,C có duy nhất một thành phần bất khả quy K của C f chứa KC và hơn thế nữa, KC là một tập con mở của K. Tổng quát, số chiều của các thành phần bất khả quy của C f không bị chặn và không gian C f là rất lớn. Kí hiệu G f là hợp của các thành phần bất khả quy của C f mà chứa ít nhất một chu trình bất khả quy hay nói cách khác, một chu trình có dạng  f z với z   n . 16