Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị Kahler và lớp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày lại nội dung bài báo của Tamás Darvas về việc xây dựng tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị gắn kết với các tính chất của lớp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tia trắc địa yếu trong không gian các thế vị Kahler và lớp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh -2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Như TIA TRẮC ĐỊA YẾU TRONG KHÔNG GIAN CÁC THẾ VỊ K𝑨̈HLER VÀ LỚP 𝜺(𝑿, 𝝎) Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh -2019
LÍI CAM OAN Håc vi¶n xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng håc vi¶n. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh bði c¡ nh¥n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. C¡c t i li»u tham kh£o, c¡c ành lþ, bê · v c¡c k¸t qu£ tr½ch d¨n, sû döng trong luªn v«n ·u ÷ñc n¶u ¦y õ nguçn gèc cö thº, rã r ng. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷
LÍI CM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS. Nguy¹n V«n æng. Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Th¦y, ng÷íi ¢ tªn t¼nh v ëng vi¶n tæi r§t nhi·u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Hëi çng ch§m luªn v«n ¢ d nh thíi gian åc, ch¿nh sûa v âng gâp þ ki¸n gióp luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin c¡m ìn t§t c£ c¡c th¦y, cæ ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y, truy·n ¤t ki¸n thùc v gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Tæi xin c¡m ìn ¸n Quþ th¦y cæ trong Pháng Sau ¤i håc cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th nh phè Hç Ch½ Minh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y. Xin c¡m ìn c¡c anh chà, c¡c b¤n håc vi¶n ng nh to¡n ¢ ëng vi¶n gióp ï tæi v câ nhi·u þ ki¸n âng gâp trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Do tr¼nh ë v thíi gian câ h¤n cõa b£n th¥n n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi sai sât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o v gâp þ tø quþ th¦y cæ, c¡c anh chà v c¡c b¤n. Xin ch¥n th nh c¡m ìn. Th nh phè Hç Ch½ Minh, ng y 27 th¡ng 09 n«m 2019 Håc vi¶n thüc hi»n Nguy¹n Thà Tuy¸t Nh÷
Möc löc Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 a t¤p Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 C¡c d¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a t¤p kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 ¤o h m ngo i v t½ch ngo i cõa dáng tr¶n a t¤p kh£ vi . 11 1.2 Ph²p t½nh vi ph¥n phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 D¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Dáng tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 H m a i·u háa d÷îi tr¶n a t¤p phùc . . . . . . . . . . . 17 1.3 ¨hler a t¤p Hecmit v a t¤p Ka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 H m ω− a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Trc àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Ka¨hler 21 2.1 Tia trc àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 C¡ch x¥y düng d÷îi trc àa y¸u cõa Berndtsson . . . . . . . . . . 24 2.3 Phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Chu©n tc hâa trc àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Tia trc àa y¸u v lîp n«ng l÷ñng ε(X, ω) 34
3.1 Lîp ε(X, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 C¡ch x¥y düng tia trc àa y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 ¨m . . . . . . . . . Tia trc àa y¸u cõa Ross v Witt-Nystro 41 3.2.2 Mët c¡ch x¥y düng c¡c tia trc àa y¸u cõa Tam¡s Darvas 45 3.3 Ph²p bi¸n êi Legendre ng÷ñc cõa mët tia trc àa y¸u v ε(X, ω) 49 K¸t luªn 53 T i li»u tham kh£o 54
DANH MÖC CC K HIU I To¡n tû çng nh§t Ck Khæng gian c¡c h m kh£ vi k l¦n vîi c¡c ¤o h m li¶n töc C s (Ω, R) Tªp hñp c¡c h m thuëc lîp Cs tr¶n ω TX,a Khæng gian ti¸p xóc cõa khæng gian X t¤i a ∗ TX,a Khæng gian èi ti¸p xóc ∗ TX , TX Ph¥n thî ti¸p xóc cõa X TX = ∪x∈X TX,x ∗ =∪ TX ∗ v x∈X TX,x |I| ë d i cõa I Vp ∗) C s (X, TX Khæng gian cõa p− d¤ng vi ph¥n thuëc lîp Cs u ∧ vv T½ch ngo i cõa u v v du ¤o h m ngo i cõa mët p− d¤ng thuëc lîp Cs suupu Gi¡ cõa u p HdR (M ) èi çng i·u Rham tr¶n M psL Nûa chu©n psL (u) = supx∈L max|I|=p,|α|≤s |Dα uI (x)| Vp εp (X) Khæng gian C ∞ (X, ∗) TX ÷ñc trang bà tæpæ x¡c ành bði nûa chu©n psL Dp (K) Khæng gian con cõa εp (X) vîi c¡c ph¦n tû câ gi¡ compact trong K Dp (X) Dp (X) := ∪K Dp (K) (Dp (X))0 èi ng¨u tæpæ cõa Dp (X) codimM èi chi·u cõa M O(Ω) Tªp hñp c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n Ω Vp,q (X) Tªp hñp c¡c d¤ng vi ph¥n kiºu (p, q) d, δ, δ C¡c to¡n tû vi ph¥n ngo i P SH(Ω) Tªp hñp c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n Ω Hua D¤ng Hess phùc cõa u Imz Ph¦n £o cõa z Rez Ph¦n thüc cõa z P SH(X, ω) Tªp hñp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi
uscu Ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa u Sα,β Sα,β = {s ∈ C : α < Res < β} C ∞ (X) Tªp hñp c¡c h m trìn tr¶n X H Khæng gian c¡c th¸ và trìn tr¶n X 5 ¤oh¤p hi»p bi¸n AM (.) Phi¸m h m Aubin Mabichi u(u0 , u1 ) o¤n trc àa y¸u nèi u0 v u1 ε(X, ω) Lîp n«ng l÷ñng Capω (.) Dung l÷ñng Monge-Ampere P (b0 ) P (b0 ) = sup{ψ ≤ b0 : ψ ∈ P SH(X, ω)}; P (b0 , b1 ) P (b0 , b1 ) = P (min{b0 , b1 }) = sup{ψ 0 ≤ min{b0 , b1 }|ψ 0 ∈ P SH(X, ω)}. P[ψ] (φ) Bao cõa φ èi vîi c¡c kiºu k¼ dà cõa ψP[ψ] (φ) = usc (limD→+∞ P (ψ + D, φ))
Mð ¦u Gi£ sû (X n , ω) ¨hler compact li¶n thæng l mët a t¤p Ka n chi·u. Lîp n«ng l÷ñng ε(X, ω) ÷ñc xem nh÷ l lîp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi P SH(X, ω) khæng nh§t thi¸t bà ch°n. ¥y công l lîp lîn nh§t c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi m tr¶n â to¡n tû Monge-Amp±re phùc x¡c ành tèt. Nâ ÷ñc sû döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh Monge-Amp±re to n cöc vîi dú li»u thæ. C¡c ph¦n tû v ∈ ε(X, ω) th÷íng khæng bà ch°n nh÷ng câ c¡c ký dà r§t nhµ. °c bi»t, theo [13] Corollary 1.8, t¤i b§t ký x∈X sè Lelong cõa v b¬ng khæng. Tuy nhi¶n, nh÷ ¢ nhªn x²t trong [11] t½nh ch§t n y khæng °c tr÷ng cho lîp ε(X, ω). Tam¡s Darvas trong b i b¡o [7] ¢ tr¼nh b y mët k¸t qu£ l§p ¦y lé hêng n y, ngh¾a l °c tr÷ng c¡c ph¦n tû cõa ε(X, ω) theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng. º thüc hi»n vi»c n y, t¡c gi£ b i b¡o ÷a ra mët c¡ch x¥y düng c¡c tia ¨hler gn k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa trc àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Ka lîp ε(X, ω). p döng sü x¥y düng n y, t¡c gi£ ¢ chùng minh mët °c tr÷ng cõa ε(X, ω) theo c¡c bao tr¶n. AM (max{−l, ψ}) K½ hi»u cψ = lim , trong â ψ ∈ P SH(X, ω) câ thº khæng l→+∞ l bà ch°n v AM (.) l n«ng l÷ñng Aubin-Mabuchi cõa mët h m ω -a i·u háa d÷îi. °c tr÷ng ¦u ti¶n cõa lîp ε(X, ω) ÷ñc chùng minh l ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v ch¿ n¸u cψ = 0. Bt ¦u tø mët o¤n trc àa d÷îi y¸u (α, β) 3 t 7→ ut ∈ P SH(X, ω) vi»c x¥y düng mët tia trc àa y¸u têng qu¡t tr¶n g°p trð ng¤i v¼ nâi chung giîi h¤n u∞ := lim ut khæng tçn t¤i. Khc phöc v§n · n y c¦n mët qu¡ tr¼nh chu©n t→+∞ tc hâa o¤n trc àa y¸u. Sü chu©n tc hâa n y thüc hi»n ÷ñc nhí v o mð rëng mët k¸t qu£ cõa Berndtsson [1] v· t½nh li¶n töc Lipschitz cõa o¤n trc àa 1
2 y¸u tòy þ. Vîi o¤n trc àa y¸u ÷ñc chu©n tc hâa u∞ := lim ut l h m ω -a t→+∞ i·u háa d÷îi v kh¡c −∞. Möc ti¶u ti¸p theo l x¥y düng tia trc àa y¸u ÷ñc chu©n tc hâa t → vt sao cho v0 = φ v v∞ = ψ vîi φ, ψ ∈ P SH(X, ω), ψ ≤ φ vîi φ bà ch°n v ψ câ thº khæng bà ch°n. º x¥y düng mët tia nh÷ th¸ b i b¡o giîi thi»u tªp hñp c¡c tia trc àa y¸u chu©n tc: R(φ, ψ) = {vt l mët tia y¸u chu©n tc hâa vîi vo = lim vt = φ(t) v v∞ = lim vt ≥ ψ(t)} t→0 t→∞ trong â giîi h¤n l theo tøng iºm. K½ hi»u (0, l) 3 t → ult ∈ P SH(X, ω) l o¤n trc àa y¸u duy nh§t nèi φ vîi max{φ − l, ψ}v ch½nhquy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa giîi h¤n c¡c o¤n n y l v(φ, ψ) = usc lim ul . B i b¡o chùng minh ÷ñc r¬ng tia v(φ, ψ) l bao d÷îi l→+∞ cõa c¡c ph¦n tû thuëc R(φ, ψ) v nâ l h¬ng n¸u v ch¿ n¸u ψ ∈ ε(X, ω). Cuèi còng, vîi ψ ∈ P SH(X, ω) v φ ∈ P SH(X, ω) ∩ L1 (X) ành ngh¾a P[ψ] (φ) l bao tr¶n cõa φ èi vîi kiºu ký dà cõa ψ . Düa v o c¡ch x¥y düng tia trc àa y¸u v t½nh cüc ¤i cõa ph²p bi¸n êi Legendre cõa tia trc àa y¸u, b i b¡o ¢ chùng minh kh¯ng ành °c tr÷ng c¡c ph¦n tû cõa ε(X, ω) theo t½nh nhµ cõa c¡c ký dà cõa chóng: ψ ∈ ε(X, ω) n¸u v ch¿ n¸u P[ψ] (φ) = φ vîi ψ ∈ P SH(X, ω) v φ ∈ P SH(X, ω)∩ C(X). Luªn v«n n y tr¼nh b y l¤i nëi dung b i b¡o cõa Tam¡s Darvas [7] v· vi»c x¥y düng tia trc àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và gn k¸t vîi c¡c t½nh ch§t cõa lîp ε(X, ω) v sû döng chóng º °c tr÷ng lîp n«ng l÷ñng n y theo c¡c bao tr¶n. Luªn v«n gçm 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1: Ph¦n chu©n bà, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· H¼nh håc phùc, Lþ thuy¸t a th¸ và câ li¶n quan phöc vö cho c¡c ch÷ìng ti¸p theo. ¨hler: Tr¼nh b y Ch÷ìng 2: Tia trc àa y¸u trong khæng gian c¡c th¸ và Ka ◦ ¨hler. Kh¡i ni»m trc àa trong khæng gian c¡c th¸ và Ka ◦ Ph÷ìng ph¡p cõa Berndtsson [2] x¥y düng c¡c o¤n trc dàa y¸u nèi hai iºm thuëc lîp c¡c h m ω -a i·u háa d÷îi bà ch°n àa ph÷ìng.
3 ◦ Kh¡i ni»m phi¸m h m n«ng l÷ñng Aubin-Mabichi, mèi li¶n h» giúa phi¸m h m n y v trc àa y¸u. ◦ Sü chu©n tc hâa tia trc àa y¸u. Ch÷ìng 3: Tia trc àa y¸u v lîp n«ng l÷ñng ε(X, ω). Ch÷ìng n y tr¼nh b y: ◦ Kh¡i ni»m lîp n«ng l÷ñng ε(X, ω). ◦ C¡ch x¥y düng c¡c tia trc àa y¸u. ◦ Sü °c tr÷ng lîp ε(X, ω) theo c¡c bao tr¶n.
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi 1.1.1 a t¤p kh£ vi ành ngh¾a 1.1.1 (a t¤p kh£ vi) . Xem trong [8] Cho m∈N v k ∈ N ∪ {∞}. Ta kþ hi»u lîp c¡c h m kh£ vi k l¦n vîi c¡c ¤o h m li¶n töc l Ck. Mët a t¤p kh£ vi m chi·u thuëc lîp Ck l mët khæng gian topo X Haus- dorff, kh£ ly, ngh¾a l câ mët cì sð ¸m ÷ñc, ÷ñc trang bà mët atlas lîp Ck vîi gi¡ trà trong Rm . Mët atlas lîp Ck m chi·u tr¶n X l hå A = {(Uα , ϕα )} thäa m¢n: i) Uα l tªp con mð kh¡c réng cõa X vîi måi α ∈ A. ii) ϕα : Uα → Vα l çng phæi tø Uα l¶n tªp mð Vα trong Rm vîi måi α ∈ A. iii) ∪α∈A Uα = X . φβα = ϕβ ◦ ϕ−1 iv) α : ϕα Uα ∩ Uβ → ϕβ Uα ∩ Uβ . Khi â, ta câ + (Uα , ϕα ) ÷ñc gåi l b£n ç àa ph÷ìng. 4
5 + Uα ÷ñc gåi l mi·n tåa ë hay m£nh tåa ë cõa b£n ç àa ph÷ìng. + C¡c th nh ph¦n cõa ϕα (x) = (xα1 , xα2 , ..., xαn ) ÷ñc gåi l h» tåa ë àa ph÷ìng tr¶n Uα x¡c ành bði ϕα . + ϕαβ = ϕα ◦ ϕ−1 β ÷ñc gåi l ph²p bi¸n êi tåa ë (ph²p chuyºn dàch). Ta câ mèi li¶n h» xα = φαβ xβ . N¸u k=∞ ta nâi X l a t¤p trìn m chi·u. N¸u Ω l tªp con mð cõa X v s ∈ N ∪ {∞}, 0 ≤ s ≤ k k½ hi»u C s (Ω, R) l tªp hñp c¡c h m thuëc lîp C s tr¶n Ω, ngh¾a l f ◦ ϕ−1 s α thuëc lîp C tr¶n ϕα (Uα ∩ Ω). N¸u Ω khæng l tªp con mð cõa X th¼ C s (Ω, R) l tªp hñp c¡c h m câ mð rëng thuëc lîp Cs tr¶n mët l¥n cªn n o â cõa Ω. ành ngh¾a 1.1.2. Mët vecto ti¸p xóc ξ t¤i a∈X l mët to¡n tû vi ph¥n t¡c ëng l¶n c¡c h m, câ d¤ng m X ∂f f 7→ ξ.f = ξj (a) vîi f ∈ C 1 (Ω, R), ∂xj j=1 trong h» tåa ë àa ph÷ìng b§t k¼ (x1 , x2 , ..., xm ) tr¶n tªp mð Ω chùa a. Pm ∂ Khi â, ta vi¸t ξ= j=1 ξj ∂x . j Vîi måi a∈Ω bë ∂ ∂xj l cì sð cõa khæng gian ti¸p xóc cõa khæng 1≤j≤m gian X t¤i a, k½ hi»u l TX,a . ành ngh¾a 1.1.3. Vi ph¥n cõa h m f t¤i a l d¤ng tuy¸n t½nh tr¶n khæng gian TX,a ÷ñc ành ngh¾a bði: m X ∂f dfa (ξ) = ξ.f = ξj (a), ∀ξ ∈ TX,a . ∂xj j=1 Pm ∂f °c bi»t, dxj (ξ) = ξj n¶n ta câ thº vi¸t df = j=1 dxj . ∂xj Nh÷ vªy (dx1 , .., dxm ) l cì sð èi ng¨u cõa ∂ ∂xj trong khæng gian 1≤j≤m èi ti¸p xóc TX,a ∗ . C¡c hñp T = ∪ X ∗ x∈X TX,x v TX = ∗ ∪x∈X TX,x ÷ñc gåi l ph¥n thð ti¸p xóc cõa X .
6 Ta nâi ξ l tr÷íng vecto thuëc lîp Cs tr¶n Ω n¸u nâ l mët ¡nh x¤ x 7→ Pm ∂ ξ(x) ∈ TX,x sao cho ξ(x) = j=1 ξj (x) ∂x câ c¡c h» sè thuëc lîp C s. j 1.1.2 a t¤p Riemann Cho M l mët a t¤p trìn sè chi·u n ành ngh¾a 1.1.4. Mët metric Riemann tr¶n M l mët tr÷íng tensor g èi xùng v x¡c ành d÷ìng t¤i måi iºm p ∈ M. Nh÷ vªy mët metric Riemann tr¶n M trang bà cho méi khæng gian ti¸p xóc Tp M mët d¤ng song tuy¸n t½nh èi xùng, x¡c ành d÷ìng gp : Tp M × Tp M → R. Hìn núa gp l trìn theo p, ngh¾a l vîi måi tr÷íng vecto trìn u, v h m M 3 p 7→ gp (u(p), v(p)) l trìn tr¶n M. C°p (M, g) khi â ÷ñc gåi l mët a t¤p Riemann. M»nh · 1.1.5. Tr¶n måi a t¤p trìn ta ·u câ thº x¥y düng mët metric Riemann. 1.1.3 C¡c d¤ng vi ph¥n tr¶n a t¤p kh£ vi ành ngh¾a 1.1.6. Mët d¤ng vi ph¥n bªc p, hay vi¸t tt l p-d¤ng tr¶n X l Vp ∗ . mët ¡nh x¤ u:X → TX,x Trong mët tªp mð tåa ë Ω ⊂ X, mët p-d¤ng vi ph¥n câ thº ÷ñc vi¸t l : X 0 u(x) = uI (x)dxI , |I|=p trong â I = (i1 , ..., ip ) l mët a ch¿ sè vîi c¡c th nh ph¦n l c¡c sè nguy¶n i1 < ... < ip v dxI := dxi1 ∧ ... ∧ dxip . K½ hi»u |I| l sè c¡c th nh ph¦n cõa I, åc l ë d i cõa I.
7 Tòy thuëc v o uI l c¡c h m bà ch°n, li¶n töc, kh£ vi lîp n o hay trìn m ta nâi u l d¤ng bà ch°n, li¶n töc, lîp C m§y hay trìn. Vîi méi sè nguy¶n p = 0, 1, ..., m v s ∈ N ∪ {∞}, s ≤ k , ta kþ hi»u C s (X, Vp ∗) TX l khæng gian c¡c p-d¤ng vi ph¥n thuëc lîp C s, ngh¾a l c¡c h» sè uI thuëc lîp C s. C¡c ph²p to¡n tr¶n d¤ng vi ph¥n công ÷ñc ành ngh¾a mët c¡ch tü nhi¶n. ành ngh¾a 1.1.7 (T½ch ngo i) . Gi£ sû u(x) = P uI (x)dxI l mët p-d¤ng vi |I|=p ph¥n v v(x) = P vJ (x)dxJ l mët q -d¤ng vi ph¥n, t½ch ngo i u∧v l mët |J|=q (p + q)-d¤ng ÷ñc cho bði cæng thùc X u ∧ v(x) = wL (x)dxL , L trong â wL dxL = 0 n¸u câ ik = jl vîi 1 ≤ k ≤ p; 1 ≤ l ≤ q v wL dxL = (−1)σ uI vJ dxl1 ∧ dxl2 ∧ ... ∧ dxlp+q , ð â 1 ≤ l1 < l2 < ... < lp+q ≤ n v σ l ho¡n và cõa d¢y i1 < ... < ip v j1 < ... < jq trong tªp {1, ..., n} º t¤o th nh mët d¢y t«ng 1 ≤ l1 < l2 < ... < lp+q ≤ n. ành ngh¾a 1.1.8. ¤o h m ngo i cõa mët p-d¤ng vi ph¥n thuëc lîp Cs l to¡n tû vi ph¥n: ∗ ∗ d : C s (X, ∧p TX ) → C s−1 (X, ∧p+1 TX ) ÷ñc x¡c ành trong h» tåa ë àa ph÷ìng bði: X ∂uI du = dxk ∧ dxI . ∂xk |I|=p,1≤k≤p Thuªn lñi cõa cæng thùc n y l nâ khæng phö thuëc v o vi»c chån c¡c tåa ë. Hai t½nh ch§t cì b£n cõa t½ch ngo i: ành lþ 1.1.9. d(u ∧ v) = du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv d(u + v) = du + dv. N¸u u ∈ C 2(X, V TX∗ ) th¼ d2(u) = d(du) = 0.
8 Mët d¤ng u ÷ñc gåi l âng n¸u du = 0 v ÷ñc gåi l khîp n¸u câ thº vi¸t u = dv vîi v l mët d¤ng n o â. ành ngh¾a 1.1.10 (K²o ng÷ñc) . Cho F : X → X0 l mët ¡nh x¤ kh£ vi tø a X 0 , dimR X 0 = m0 P t¤p X ¸n a t¤p v v(y) = vJ (y)dyJ l mët d¤ng p d¤ng vi ph¥n tr¶n X 0. K²o ng÷ñc F ∗v l mët p d¤ng vi ph¥n tr¶n X nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch thay y = F (x) v o v, ngh¾a l : X F ∗ v(x) = vI (F (x))dFi1 ∧ ... ∧ dFip N¸u ta câ ¡nh x¤ thù hai G : X 0 → X 00 v w l d¤ng vi ph¥n tr¶n X 00 th¼ F ∗ (G∗ w) nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch thay th¸ z = G(y), y = F (x), do â F ∗ (G∗ w) = (G ◦ f )∗ w. Hìn núa, ta luæn câ d(F ∗ v) = F ∗ (dv). i·u n y d¨n ¸n k²o ng÷ñc F∗ l âng n¸u v âng v l khîp n¸u v khîp. Mët a t¤p X ÷ñc gåi l ành h÷îng n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i mët atlas (Uα, ϕα) sao cho φα β b£o to n h÷îng, ngh¾a l câ ành thùc Jacobi d÷ìng. ành ngh¾a 1.1.11 (T½ch ph¥n cõa c¡c d¤ng vi ph¥n) . Gi£ sû X ÷ñc ành h÷îng. N¸u u(x) = f (x1 , ..., xm )dx1 ∧ ... ∧ dxm l mët d¤ng li¶n töc vîi bªc cüc ¤i m = dimR X , vîi gi¡ compact trong mët tªp mð tåa ë Ω, ta °t: Z Z u= f (x1 , ..., xm )dx1 ∧ ... ∧ dxm . X Rm Qua ph²p êi bi¸n, k¸t qu£ ëc lªp vîi vi»c chån c¡c tåa ë n¶n chóng ta ch¿ x²t c¡c tåa ë t÷ìng ùng vîi ành h÷îng ¢ cho. Z Khi u l mët d¤ng tòy þ vîi gi¡ compact, ành ngh¾a cõa u ÷ñc mð X rëng b¬ng ph²p ph¥n ho¤ch ìn và t÷ìng ùng vîi c¡c tªp mð tåa ë phõ suppu. Cho F : X → X0 l mët vi phæi giúa c¡c a t¤p câ ành h÷îng v v l d¤ng thº t½ch tr¶n X 0. Cæng thùc bi¸n êi Z Z ∗ F x=± v X X0 phö thuëc v o F câ b£o to n ành h÷îng hay khæng.
9 Cho K l mët tªp con compact cõa X v vîi bi¶n kh£ vi li¶n töc tøng khóc, tùc l vîi méi a ∈ ∂K câ c¡c tåa ë (x1 , x2 , ..., xm ) tr¶n mët l¥n cªn V cõa a, t¥m a, sao cho: K ∩ V = {x ∈ V : X1 ≤ 0, ..., xl ≤ 0} vîi ch¿ sè l n o â l ≥ 1. Khi â ∂K ∩ V l mët tªp hñp c¡c si¶u m°t trìn vîi c¡c bi¶n kh£ vi li¶n töc tøng khóc: [ ∂K ∩ V = {x ∈ V : x1 ≤ 0, ..., xj = 0, ..., xl ≤ 0} . 1≤j≤l T¤i c¡c iºm thuëc ∂K m xj = 0 th¼ (x1 , ..., xbj , ..., xm ) x¡c ành c¡c tåa ë tr¶n ∂K , chóng ta l§y mët ành h÷îng cõa ∂K ÷ñc cho bði c¡c tåa ë ho°c bði tåa ë èi tòy thuëc v o d§u (−1)j−1 . Måi d¤ng u thuëc C 1, bªc m−1 tr¶n X, ta câ: Z Z u= du . (Cæng thùc Stokes) ∂K K Cho M l mët a t¤p trìn v gi£ sû p l mët sè nguy¶n khæng ¥m, l khæng gian c¡c p-d¤ng vi ph¥n. V¼ d : Ωp (M ) → Ωp+1 (M ) l tuy¸n t½nh, h¤t nh¥n v £nh cõa nâ l khæng gian con tuy¸n t½nh. Ta ành ngh¾a Z p (M ) = Ker(d : Ωp (M ) → Ωp+1 (M ) = c¡c p-d¤ng âng tr¶n M, B p (M ) = Im(d : Ωp−1 (M ) → Ωp (M ) = c¡c p-d¤ng khîp tr¶n M. Quy ÷îc: Ωp (M ) l khæng gian vectì khæng khi p n = dim M v½ dö B 0 (M ) = 0 v Z n (M ) = Ωn (M ). Do måi d¤ng khîp l âng n¶n B p (M ) ⊂ Z p (M ). ành ngh¾a 1.1.12 (èi çng ·u DeRham) . Ta ành ngh¾a nhâm èi çng i·u de Rham bªc p (ho°c nhâm èi çng i·u de Rham thù p) tr¶n M l khæng gian vectì th÷ìng p Z p (M ) HdR (M ) = . B p (M ) ¥y l mët khæng gian vectì thüc, v do â nâ l mët nhâm vîi ph²p cëng p vectì. Rã r ng r¬ng HdR (M ) = 0 vîi p dim M , v¼ Ωp (M ) = 0 trong p c¡c tr÷íng hñp â. Vîi 0 ≤ p ≤ n, HdR (M ) = 0 n¸u v ch¿ n¸u måi p-d¤ng âng tr¶n M l khîp.
10 1.1.4 Dáng tr¶n c¡c a t¤p kh£ vi Cho X l mët a t¤p kh£ vi câ ành h÷îng lîp C ∞ , m = dimR X . Tr÷îc h¸t Vp ∗ ). ta giîi thi»u mët topo tr¶n khæng gian c¡c vi ph¥n C s (X, TX P Cho Ω⊂X l mët tªp mð tåa ë v u l mët p-d¤ng tr¶n X : u(x) = uI (x)dx tr¶n Ω. èi vîi måi tªp con compact L⊂Ω v måi sè nguy¶n s ∈ N, ta x²t nûa chu©n: psL (u) = sup max |Dα uI (x)| x∈L |I|=p,|α|≤s ∂ |α| vîi α = (α1 , .., αm ) ch¤y khp Nm v Dα = l mët ¤o h m c§p ∂xα1 1 ...∂xαmm |α| = α1 + ... + αm . ành ngh¾a 1.1.13. Ta giîi thi»u mët sè khæng gian cõa p-d¤ng tr¶n a t¤p: Vp a) Ta k½ hi»u εp (X) (t÷ìng ùng s εp (X)) l khæng gian C ∞ (X, ∗) TX (t÷ìng ùng Vp ∗ )), C s (X, TX ÷ñc trang bà tæpæ x¡c ành bði c¡c nûa chu©n PLs khi L, Ω thay êi (t÷ìng ùng s, L, Ω thay êi). b) N¸u K ⊂ X l mët tªp compact, ta k½ hi»u Dp (K) l khæng gian con cõa εp (X) vîi c¡c ph¦n tû u ∈ εp (X) câ gi¡ compact trong K, còng vîi topo c£m sinh; Dp (X) k½ hi»u tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû vîi gi¡ compact, ngh¾a l Dp (X) := ∪K Dp (K). c) C¡c khæng gian cõa c¡c C s- d¤ng s D p (K) v s D p (X) ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü. V¼ c¡c a t¤p ÷ñc ta gi£ thi¸t l kh£ ly n¶n topo cõa εp (X) ÷ñc x¡c ành bði hå ¸m ÷ñc c¡c nûa chu©n PLs v do â εp (X) (công nh÷ s εp (X)) l mët khæng gian Frechet. Topo cõa s D p ÷ñc sinh bði måi tªp húu h¤n c¡c nûa chu©n s PK j sao cho c¡c tªp compact Kj phõ K. Do â s D p (K) l mët khæng gian Banach. Tuy nhi¶n, Dp (X) khæng l khæng gian Frechet, Dp (X) trò mªt trong εp (X). Khæng gian c¡c dáng ÷ñc ành ngh¾a nh÷ l èi ng¨u cõa c¡c khæng gian tr¶n, t÷ìng tü nh÷ ành ngh¾a thæng th÷íng v· c¡c ph¥n bè.
11 Khæng gian c¡c dáng chi·u p (hay bªc m − p) tr¶n X l khæng gian Dp0 (X) c¡c d¤ng tuy¸n t½nh T tr¶n Dp (X) sao cho h¤n ch¸ cõa T l¶n måi khæng gian Dp (K), KbX l ¡nh x¤ li¶n töc. Bªc ÷ñc ch¿ ra b¬ng c¡c ch¿ sè mô, do â ta °t: 0 D m−p (X) = Dp0 (X) := (Dp (X))0 , trong â, (Dp (X))0 l èi ng¨u topo cõa Dp (X). Khæng gian s D 0 m−p (X) = s Dp0 (X) := (s Dp (X))0 ÷ñc ành ngh¾a t÷ìng tü v ÷ñc gåi l khæng gian dáng c§p s tr¶n X . Ta °t hT, ui l c°p giúa mët dáng T v mët d¤ng thû u ∈ Dp (X). Rã r ng s D 0 (X) ÷ñc çng nh§t nh÷ mët khæng gian con c¡c dáng T ∈ Dp0 (X) m li¶n p töc vîi nûa chu©n s PK tr¶n Dp (K) vîi måi tªp compact K n¬m trong mët m£nh tåa dë Ω. Gi¡ cõa T, k½ hi»u l suppT , l tªp con âng nhä nh§t A⊂X sao cho h¤n ch¸ cõa T l¶n Dp (X\A) b¬ng 0. èi ng¨u topo ε0p (X) ÷ñc çng nh§t vîi tªp c¡c dáng cõa Dp0 (X) vîi gi¡ compact. 1.1.5 ¤o h m ngo i v t½ch ngo i cõa dáng tr¶n a t¤p kh£ vi Nhi·u ph²p to¡n tr¶n c¡c d¤ng bi ph¥n câ thº ÷ñc mð rëng cho c¡c dáng b¬ng c¡c lþ luªn èi ng¨u. ành ngh¾a 1.1.14. Cho 0 0 T ∈ s D q (X) = s Dm−q (X). 1. ¤o h m ngo i dT ∈ s+1D q+1(X) = s+1Dm−q−1 0 0 (X) ÷ñc ành ngh¾a bði hdT, ui = (−1)q+1 hT, dui , u ∈ s+1 Dm−q−1 (X). 2. Vîi 0 T ∈ s D q (X) v g ∈ s εr (X), t½ch ngo i T ∧ g ∈ sD q+r (X) x¡c ành bði: 0 hT ∧ g, ui = hT, g ∧ ui , u ∈ s Dm−q−r (X). M»nh · 1.1.15. Xem trong [8],Proposition (2.9). Cho (x1, ..., x2) l h» tåa ë tr¶n mët tªp con mð Ω ⊂ X . Måi dáng T ∈ sD0q (X)
12 bªc q câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng duy nh§t: TI dxI tr¶n Ω, X T = |I|=q ð ¥y, TI l c¡c h m ph¥n bè c§p s tr¶n Ω, ÷ñc xem nh÷ l c¡c dáng bªc 0. 1.2 Ph²p t½nh vi ph¥n phùc 1.2.1 a t¤p phùc ành ngh¾a 1.2.1. Cho n ∈ N, mët a t¤p phùc n chi·u (phùc) X l mët khæng gian topo Hausdorff còng vîi mët Alats phùc A = {(Uα , ϕα )}α∈A thäa m¢n: i) Uα l tªp mð kh¡c réng cõa X vîi måi α ∈ A. ii) ϕα : Uα → Cn l çng phæi tø Uα l¶n mët tªp mð trong Cn vîi måi α ∈ A. iii) ∪α∈A Uα = X . iv) ϕβ ◦ ϕ−1 α : ϕ(Uα ∩ Uβ ) → ϕβ (Uα ∩ Uβ ) ch¿nh h¼nh vîi måi α, β ∈ A. Khi â, + (Uα , ϕα ) ÷ñc gåi l b£n ç àa ph÷ìng. + Uα ÷ñc gåi l mi·n tåa ë hay m£nh tåa ë cõa b£n ç àa ph÷ìng â. + C¡c th nh ph¦n cõa ϕα (z) = (z1α , ..., znα ) ÷ñc gåi l h» tåa ë àa ph÷ìng tr¶n Uα x¡c ành bði ϕα . + ϕβ ◦ ϕ−1 α ÷ñc gåi l ph²p êi tåa ë (ph²p chuyºn dàch ). Nhªn x²t. Mët a t¤p phùc vîi chi·u phùc n l mët a t¤p kh£ vi ÷ñc trang bà atlas ch¿nh h¼nh vîi gi¡ trà trong Cn , c¡c ph²p chuyºn dàch l c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh.