Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler nêu lên những kiến thức cần chuẩn bị; dòng dương đóng và toán tử Monge Ampere trên đa tạp phức; phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Nhật Nguyên TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CAM ĐOAN Học viên xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng học viên. Luận văn được hoàn thành bởi cá nhân dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Các tài liệu tham khảo, các định lí, bổ đề và các kết quả trích dẫn, sử dụng trong luận văn đều được nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. TP. Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2014 Học viên thực hiện Lê Nhật Nguyên
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3 1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi .................................................................... 3 1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi ................................................................................. 7 1.3. Phép tính vi phân phức ........................................................................................ 9 1.4. Hàm đa điều hòa dưới ........................................................................................ 15 1.5. Đa tạp Stein ....................................................................................................... 17 1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler ......................................................................... 19 1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối .................. 20 1.8. Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt ....... 24 Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE TRÊN ĐA TẠP PHỨC ......................................................................... 27 2.1. Dòng dương đóng .............................................................................................. 27 2.2. Toán tử Monge-Ampere .................................................................................... 33 Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER ................................................................ 43 3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 44 3.2. Nguyên lý so sánh .............................................................................................. 47  3.3. Ước lượng L ................................................................................................... 49 3.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm ................................................................... 55 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 61
1 MỞ ĐẦU Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong  n . Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức: ( dd u ) n c = d µ , u = ϕ trên biên được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới. Phương trình Monge-Ampere cũng được nghiên cứu gắn với hình học các đa tạp Kahler. Ở đây nghiệm của phương trình sinh ra một mê tric Kahler với độ cong Ricci cho trước. Vào những năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere trên các đa tạp compact Kahler với dữ liệu trơn suy biến, chứng minh một phỏng đoán lừng danh của Calabi là đúng. Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục cùng với phương pháp đánh giá tiên nghiệm đối với đạo hàm của nghiệm. Theo cách tương tự phương trình cũng được nghiên cứu trên miền giả lồi ngặt bởi Caffarelli. Kohn, Nirenberg và Spruck. Khi đó ngoài việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, Aubin, G.Tian còn chỉ ra tính chính quy của nghiệm với các giả thiết phù hợp. Năm 1998, S.Kolodziej đã khái quát định lý của Yau với dữ liệu không trơn, suy biến. Đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của nghiệm của phương trình Monge-Ampere trên đa tạp Kahler compact với vế phải thuộc lớp Lp , p > 1 .
2 Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình Monge – Ampere phức trên đa tạp Kahler compact nên tôi chọn nội dung “Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge-Ampere phức trên đa tạp compact Kahler” làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định của các nghiệm của phương trình Monge-Ampere phức trên một đa tạp Kahler compact bằng cách áp dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị. Chương 2 trình bày về dòng dương đóng và toán tử Monge – Ampere trên đa tạp phức. Chương 3 trình bày về phương trình Monge- Ampere phức trên đa tạp compact Kahler. Phương pháp nghiên cứu luận văn chủ yếu là tổng hợp, so sánh, tham khảo các tài liệu, trình bày lại các kết quả. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên ngành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả
3 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi 1.1.1. Đa tạp khả vi Cho m   và k ∈  ∪ {∞} . Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm liên tục là C k . Một đa tạp khả vi m chiều thực thu ộc lớp C k là một không gian tôpô X Hausdorff, khả ly, nghĩa là có một cơ sở đếm được, được trang bị một atlas lớp C k với giá trị trong  m . Một atlas lớp C k m chiều trên X là họ A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn: i) U α là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈ A . ii) ϕα :U α → Vα là đồng phôi từ U α lên một tập mở Vα trong  m với mọi α ∈ A. iii)   AU   X . =iv) φβα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) là một vi phôi lớp C k với mọi α,β ∈ A. + (U α , ϕα ) được gọi là bản đồ địa phương. + U α được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó. + Các thành phần của ϕα ( x ) = ( x1α , x2α ,..., xnα ) được gọi là hệ tọa độ địa phương trên U α xác định bởi ϕα . +     1 được gọi là phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Ta có mối liên hệ xα = φαβ ( x β ) Nếu k = ∞ ta nói X là đa tạp trơn m chiều. Nếu Ω là tập con mở của X và s ∈  ∪ {∞} , 0 ≤ s ≤ k ta ký hiệu C s (,  ) là tập hợp các hàm thuộc lớp C s trên Ω , nghĩa là f  1 thuộc lớp C s trên ϕα (U α  Ω ) .
4 Nếu Ω không là tập con mở của X thì C s (,  ) là tập hợp các hàm có mở rộng thuộc lớp C s trên một lân cận nào đó của Ω , + Một vec-tơ tiếp xúc ξ tại điểm a ∈ X được định nghĩa là một toán tử vi phân tác động lên các hàm, có dạng: m f f  . f    j (a) với f  C1 (,  ) j 1 x j trong hệ tọa độ địa phương bất kỳ ( x1 ,.., xm ) trên tập mở Ω chứa a. Khi đó ta viết m ∂  ∂  ξ = ∑ξ j . Với mọi a ∈ Ω bộ   là cơ sở của không gian tiếp xúc của không j =1 ∂x j  ∂x j 1≤ j ≤ m gian X tại a, ký hiệu là TX ,a Vi phân của hàm f tại a là dạng tuyến tính trên không gian TX ,a được định nghĩa bởi: m ∂f df a (ξ = ) ξ . f= ∑ξ j =1 j ∂x j (a ) , ∀ξ ∈ TX ,a m ∂f Đặc biệt dx j (ξ ) = ξ j nên ta có thể viết df = ∑ dx j . Như vậy (dx1 ,.., dxm ) là cơ j =1 ∂x j  ∂  sở đối ngẫu của   trong không gian đối tiếp xúc TX* ,a . Các hợp TX   TX , x và  ∂x j 1≤ j ≤ m x X TX*   TX* , x được gọi là phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của X. x X Ta nói ξ là một trường vec-tơ thuộc lớp C s trên Ω nếu nó là một ánh xạ m ∂ x   ( x)  TX , x sao cho ξ ( x) = ∑ ξ j ( x) có các hệ số thuộc lớp C s . j =1 ∂x j 1.1.2. Các dạng vi phân trên đa tạp khả vi Một dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt một p- dạng trên X là một ánh xạ trên X lấy giá trị u ( x) ∈ Λ pTX* , x . Trong một tập mở tọa độ Ω ⊂ X, một p-dạng vi phân có thể được viết là: u ( x) = ∑ uI ( x)dxI I =p
5 trong đó I = (i1 ,.., i p ) là một đa chỉ số với các thành phần là các số nguyên i1 < .. < i p và dxI =: dxi1 ∧ ... ∧ dxi p . Ký hiệu I là số các thành phần của I, đọc là độ dài của I. Với mọi số nguyên p = 0,1,..., m và s ∈  ∪ {∞} , s ≤ k , ta ký hiệu C s ( X , Λ pTX* ) là không gian các p-dạng vi phân thuộc lớp C s , nghĩa là với các hệ số uI thuộc lớp C s . Các phép toán trên dạng vi phân cũng được định nghĩa một cách tự nhiên. Tích ngoài. Nếu u ( x) = ∑ uI ( x)dxI là một p-dạng vi phân và v( x) = ∑ vJ ( x)dxJ là một I =p J =q q-dạng vi phân, tích ngoài của u và v là một dạng p+q được xác định bởi: u  v( x)   I  p , J q uI ( x)vJ ( x)dxI  dxJ Đạo hàm ngoài. Đạo hàm ngoài của một p- dạng vi phân thuộc lớp C s là toán tử vi phân: d : C s ( X ,  pTX* )  C s1 ( X ,  p1TX* ) được xác định trong hệ tọa độ địa phương bởi: uI du   I  p ,1k m xk dxk  dxI (1.1) Thuận lợi của công thức (1.1) là nó không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ. Hai tính chất cơ bản của đạo hàm ngoài là: d (u ∧ v)= du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv d2 = 0 Một dạng u được gọi là đóng nếu du = 0 và được gọi là khớp nếu có thể viết u = dv với v là một dạng nào đó. Kéo ngược. Nếu F : X → X ' là một ánh xạ khả vi từ đa tạp X đến đa tạp X’, dim X ' = m ' và nếu v( y ) = ∑ vJ ( y )dy J là một p dạng vi phân trên X’, thì kéo ngược  F * v là một p- dạng vi phân trên X nhận được bằng cách thay y = F ( x) vào v, nghĩa là: = F * v( x) ∑ v ( F ( x))dF I i1 ∧ .. ∧ dFi p
6 Nếu ta có ánh xạ thứ hai G : X ' → X '' và nếu w là dạng vi phân trên X’’ thì F *(G * w) nhận được bằng các thay= ( y ), y F ( x) do đó: thế z G= F *(G * w)  (G  f )* w Hơn nữa ta luôn có d ( F * v) = F *(dv) . Điều này dẫn đến kéo ngược F* là đóng nếu v đóng và là khớp nếu v khớp. Tích phân của các dạng vi phân. Một đa tạp X được gọi là được định hướng nếu và chỉ nếu tồn tại một atlas (Uα , ϕα ) sao cho các φαβ bảo tồn hướng, nghĩa là có định thức Jacobi dương. Giả sử X được định hướng.= Nếu u ( x) f ( x1 ,..., xm )dx1 ∧ .. ∧ dxm là một dạng liên tục với bậc cực đại m = dim X , với giá compact trong một tập mở tọa độ Ω , ta đặt:  =∫u ∫ f ( x1 ,..., xm )dx1 ∧ .. ∧ dxm X m Qua phép đổi biến, kết quả độc lập với việc chọn các tọa độ nên chúng ta chỉ xét các tọa độ tương ứng với định hướng đã cho. Khi u là một dạng tùy ý với giá compact, định nghĩa của ∫u X được mở rộng bằng phép phân hoạch đơn vị tương ứng với các tập mở tọa độ phủ suppu. Cho F : X → X ' là một vi phôi giữa các đa tạp có định hướng và v là dạng thể tích trên X’. Công thức đổi biến: ∫ F *v = ± ∫ v X X' phụ thuộc vào F có bảo toàn hướng hay không . Cho K là một tập con compact của X với biên khả vi liên tục từng khúc. Với giả thiết này chúng ta hiểu rằng với mỗi a ∈ ∂K có các tọa độ ( x1 , x2 ,..., xm ) trên một lân cận V của a , tâm a , sao cho: K ∩ V = { x ∈ V : x1 ≤ 0,..., xl ≤ 0} với chỉ số l nào đó l ≥ 1 . Khi đó ∂K ∩ V là một hợp của các siêu mặt trơn với các biên khả vi liên tục từng khúc: ∂K ∩= V U 1≤ j ≤l {x ∈V : x 1 x j 0,..., xl ≤ 0} ≤ 0,...,=
7 Tại các điểm thuộc ∂K mà x j = 0 thì ( x1 ,..., xj ,..., xm ) xác định các tọa độ trên ∂K Chúng ta lấy một định hướng của ∂K được cho bởi các tọa độ hoặc bởi tọa độ đối tùy thuộc và dấu (−1) j−1 . Mọi dạng u thuộc lớp C1 bậc m − 1 trên X ta có: ∫ u = ∫ du ∂K K (Công thức Stokes) 1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi Cho X là một đa tạp khả vi có định hướng lớp C ∞ , m = dim  X . Trước hết ta giới thiệu một tô-pô trên không gian các dạng vi phân C s ( X , Λ pTX * ) . Cho Ω ⊂ X là một tập mở tọa độ và u là một p − dạng trên X, được viết là u ( x) = ∑ uI ( x)dx trên Ω . Đối với mọi tập con compact L ⊂ Ω và mọi số nguyên s   ta xét nửa chuẩn: PLs (u ) = sup max Dα uI ( x) x∈L=I p, α ≤s α ∂ với α = (α1 ,..., α m ) chạy khắp  m và Dα = là một đạo hàm cấp ∂x1 ...∂xmα m α1 α = α1 + ... + α m . 1.2.1. Định nghĩa a) Ta ký hiệu ε P ( X ) (tướng ứng s  P ( X ) ) là không gian C ∞ ( X , Λ PTX* ) (tướng ứng C s ( X , Λ PTX* ) ), được trang bị tô pô xác định bởi các nửa chuẩn PLs khi s, L, Ω thay đổi (tương ứng khi L, Ω thay đổi). b) Nếu K ⊂ X là một tập compact ta ký hiệu D P ( K ) là không gian con của ε P ( X ) với các phần tử u ∈ ε P ( X ) có giá compact trong K , cùng với tô pô cảm sinh ; D P ( X ) ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử với giá compact, nghĩa là D P ( X ) := U D P ( K ) K c) Các không gian của các C s − dạng s D P ( K ) và s D P ( X ) được định nghĩa tương tự. Vì các đa tạp được ta giả thiết là khả ly nên tô pô của ε P ( X ) được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn PLs và do đó ε P ( X ) (cũng như sε P ( X ) ) là một không gian Frechet. Tô pô của s D P ( K ) được sinh bởi mọi tập hữu hạn các nửa chuẩn PKjs sao cho các tập compact K j phủ K . Do đó s D P ( K ) là một không gian Banach. Tuy nhiên,
8 D P ( X ) không là một không gian Frechet, D P ( X ) trù mật trong ε P ( X ) . Không gian các dòng được định nghĩa như là đối ngẫu của các không gian trên, tương tự như định nghĩa thông thường về các phân bố. 1.2.2. Định nghĩa Không gian các dòng chiều p (hay bậc m − p ) trên X là không gian D p' ( X ) các dạng tuyến tính T trên D P ( X ) sao cho hạn chế của T lên mọi không gian D P ( K ) , K  X là ánh xạ liên tục. Bậc được chỉ ra bằng các chỉ số mũ do đó ta đặt : p ( X ) : ( D ( X )) ', trong đó ( D ( X )) ' là đối ngẫu tôpô của D ( X ) −p D ' m= ( X ) D= ' P P P m− p Không gian s D '= (X ) s D p' ( X ) : ( s D p ( X )) ' được định nghĩa tương tự và được = gọi là không gian dòng cấp s trên X. Ta đặt 〈T , u〉 là cặp giữa một dòng T và một dạng thử u ∈ D P ( X ) . Rõ ràng s D p' ( X ) được đồng nhất như là một không gian con các dòng T ∈ D p' ( X ) mà liên tục với các nửa chuẩn PKs trên D P ( K ) với mọi tập compact K nằm trong một mảnh tọa độ Ω . Giá của T, ký hiệu suppT , là tập con đóng nhỏ nhất A ⊂ X sao cho hạn chế của T lên D P ( X \ A) bằng 0. Đối ngẫu tô pô ε 'p ( X ) được đồng nhất với tập các dòng của D p' ( X ) với giá compact. 1.2.3. Đạo hàm ngoài và tích ngoài của dòng trên đa tạp khả vi Nhiều phép toán trên các dạng vi phân có thể được mở rộng cho các dòng bằng các lí luận đối ngẫu. Cho T ∈ s D ' q ( X ) =Dm − q ( X ) . Đạo hàm ngoài dT ∈s +1 D ' q +1 ( X ) = s ' Dm − q −1 ( X ) được s +1 ' định nghĩa bởi : (−1) q +1 T , du , u ∈ s +1D m − q −1 ( X ) dT , u = Tính liên tục của dạng tuyến tính dT trên s +1 D m − q −1 ( X ) được suy ra từ tính liên tục của ánh xạ d : s +1D m − q −1 ( K ) → s D m − q ( K ) . + Với T ∈ s D ' q ( X ) và g ∈ sε r ( X ) tích ngoài T ∧ g ∈ s D ' q + r ( X ) xác định bởi: T ∧ g , u = T , g ∧ u , u ∈ s D m−q −r ( X ) 1.2.4. Mệnh đề
9 Cho ( x1 ,..., xm ) là hệ tọa độ trên một tập con mở Ω ⊂ X . Mọi dòng T ∈ s D ' q ( X ) bậc q có thể được viết dưới dạng duy nhất : T = ∑ TI dxI trên Ω I =q ở đây TI là các hàm phân bố cấp s trên Ω , được xem như là các dòng bậc 0. Dòng bậc 0 trên X có thể xem như một dạng vi phân với hệ số là độ đo. Để hợp nhất các ký hiệu liên quan đến các dạng và dòng, ta đặt: T= ,u ∫X T ∧u Khi T ∈ s DP' ( X ) = s D ' m − P ( X ) và u ∈ sε P ( X ) sao cho suppT ∩ suppu là tập compact. Tô pô yếu trên DP' ( X ) là tô pô được xác định bởi họ nửa chuẩn : T  T, f , f  D P ( X ) Tích ten xơ. Nếu S,T là các dòng trên các đa tạp X , X ' có duy nhất một dòng trên X × X ' , ký hiệu S ⊗ T và được định nghĩa tương tự như tích ten xơ các phân bố, sao cho với mọi u ∈ D  ( X ) và v ∈ D  ( X ') S ⊗ T , u ∧ v =− ( 1)deg T deg u S , u T , v Ta có thể kiểm tra được d ( S ⊗ T )= dS ⊗ T + (−1)deg s S ⊗ dT 1.3. Phép tính vi phân phức 1.3.1. Đa tạp phức Cho n   . Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một không gian tôpô Hausdorff cùng với một atlas phức A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn: i. U α là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈ A . ii.  : U    n là đồng phôi từ U α lên một tập mở trong  n với mọi α ∈ A . iii.   AU   X . iv. ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) chỉnh hình với mọi α , β ∈ A . + (U α , ϕα ) được gọi là bản đồ địa phương.
10 + U α được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó. + Các thành phần của ϕα ( z ) = ( z1α , z2α ,..., znα ) được gọi là hệ tọa độ địa phương trên U α xác định bởi ϕα . +   1 được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Nhận xét. Một đa tạp phức với chiều phức n là một đa tạp khả vi được trang bị atlas chỉnh hình với giá trị trong  n , các phép chuyển dịch là các ánh xạ chỉnh hình. Định nghĩa. Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m chiều ( m ≤ n ) nếu với mỗi ξ ∈ M , có một bản đồ địa phương (U , ϕ ) trên X sao cho ξ ∈ U và ϕ −1 { z = M U = ( ( z1 , z2 ,..., zn ) ∈ n : zm+1 = zm + 2 = ... = 0} . zn = ) Số n − m được gọi là đối chiều của M . Ký hiệu: co dim M= n − m . Định nghĩa a. Giả sử (U , α ) là một bản đồ địa phương với hệ tọa độ ( z1 , z2 ,..., zn ) và f là hàm giá trị phức xác định trên U . Khi đó ta có thể xem f như một hàm n biến phức ( z1 , z2 ,..., zn ) xác định bởi: ( z1 , z2 ,..., zn )  f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) . b. Cho tập mở Ω ⊂ X và số tự nhiên k ∈   {∞} . Hàm f :    được gọi là thuộc lớp C trên Ω nếu f  ϕα−1 ∈ C k (ϕα (U α  Ω ) ) với mọi α ∈ A mà U      . k Ký hiệu tập tất cả các hàm (phức) thuộc lớp C trên Ω là C k ( Ω,  ) . k Cho tập mở Ω ⊂ X , hàm f :    được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu với mỗi p∈Ω tồn tại một bản đồ địa phương (U ,ϕ ) với p ∈U sao cho f  ϕ −1 : ϕ (U  Ω ) →  là chỉnh hình. Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω ký hiệu là: O ( Ω ) . Nếu ( z1 , z2 ,..., zn ) là hệ tọa độ địa phương ứng với (U ,ϕ ) thì ( z1 , z2 ,..., zn )  f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) là hàm chỉnh hình theo nghĩa thông thường. Định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương.
11 1.3.2. Dạng vi phân trên đa tạp phức Cho X là một đa tạp phức n chiều. Xét V = Tx X là không gian tiếp xúc của X    tại x  X , ( z1 , z2 ,..., zn ) là các tọa độ trên V ,  ,...,  là một cơ sở trên V ,  z1 zn  ( dz1 ,..., dzn ) là cơ sở của đối ngẫu V * . Ta ký hiệu Λ p ,q ( X ) là tập tất cả các dạng vi phân kiểu ( p, q ) trên X , tức là các dạng u có biểu diễn: =u ∑ u I , J dz I ∧ dz−J (1.2) =I p= ,J q trong đó I = (= i , i ,..., i ) , J ( j , j ,..., j ) là các tập đa chỉ số độ dài 1 2 p 1 2 q p, q tương ứng (1 ≤ i 1 < i2 < ... < i p ≤ n,1 ≤ j1 < j2 < ... < jq ≤ n ) , và : dz I = dzi1 ∧ dzi2 ∧ ... ∧ dzi p , d z J = d z j1 ∧ d z j2 ∧ ... ∧ d z jq . Định nghĩa n a. Dạng vi phân kiểu (1,1) trên X có biểu diễn: = β i ∑ dz j ∧ d z j được gọi là j =1 dạng Kahler trên X . 1 n b. Dạng thể tích trên X có biểu diễn dVn = β . n! + Ta nói u thuộc lớp C nếu u I , J ∈ C s ( X ,  ) với mọi I , J ; u I , J được gọi là các s hệ số của u . Ký hiệu tập tất cả các dạng vi phân lớp C kiểu ( p, q ) trên X là C ps ,q ( X ) . s + Ta nói u là dạng vi phân bậc r trên X nếu trong hệ tọa độ địa phương m ( z1 , z2 ,..., zn ) bất kỳ, u được biểu diễn dưới dạng u = ∑ u j trong đó u j là các dạng vi j =1 phân kiểu ( p, q ) thỏa p + q =r. Tập tất cả các dạng vi phân bậc r trên X được ký hiệu Λ r ( X ) .
12 Các toán tử vi phân phức a. Nếu f ∈ C1 ( X ,  ) thì trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) ta có: ∂f ∂f n ∂f n n ∂f =df ∑ dzk + d zk , ∂f =∑ dzk , ∂f =∑ d zk . k =1 ∂zk ∂ zk k =1 ∂zk k =1 ∂ zk b. Nếu u ∈ C p∞,q ( X ) và trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) , u có biểu diễn (1.2) thì các toán tử vi phân ngoài: d : C p∞,q ( X ) → C p∞+1,q +1 ( X ) ∂ : C p∞,q ( X ) → C p∞+1,q ( X ) ∂ : C p∞,q ( X ) → C p∞,q +1 ( X ) xác định bởi: ∂u I , J =∂u ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂zk dzk ∧ dz I ∧ d z J ∂u I , J =∂u ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂ zk d zk ∧ dz I ∧ d z J du = ∂u + ∂u 2 Lưu ý. d 2 =∂ 2 =∂ =0, ∂∂ =−∂∂ . c. Đặt = dc 1 2π i ( ) ∂ − ∂ , khi đó: dd c= i π ∂∂ và nếu u ∈ C 2 ( X ,  ) thì trong hệ i n ∂ 2u tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., = zn ) ta có: dd cu ∑ dz ∧ d zk . π j ,k =1 ∂z j ∂ zk j Không gian các dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Họ tất cả các dạng vi phân kiểu ( p, q ) mà các hệ số thuộc C0∞ ( X ,  ) được ký hiệu là D ( p ,q ) ( X ) . Trong ta xét sự hội tụ: Nếu {ϕ j } ⊂ D( ) và ϕ j ∑ ϕ Ij, J dzI ∧ d z J (X= p ,q ) D( p ,q ) (X ) j ≥0 trong I ,J mỗi tập mở tọa độ Ω ⊂ X thì ϕ j  j →∞ →ϕ 0 khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa: i. Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕ Ij, J ⊂ K , ∀i, I , J .
13 ii. Dα (ϕ Ij, J ) → Dα (ϕ I0, J ) đều khi j → ∞ với mọi I , J và α ∈  2n + . Các phép toán trên dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó: a. Nếu ϕ là dạng kiểu ( p, q ) thì ϕ là dạng kiểu ( q, p ) , trong đó nếu =ϕ ∑ ϕ I , J dzI ∧ dz−J trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) thì =I p= ,J q =ϕ =I p= ∑ ,J q ϕ I , J d zI ∧ dz J . b. Nếu ϕ ,ψ là các dạng kiểu ( p, q ) thì ϕ + ψ , λϕ ( λ ∈  ) cũng là các dạng kiểu ( p, q ) . c. Nếu ϕ là dạng kiểu ( p, q ) , ψ là dạng kiểu ( p ', q ') thì ϕ ∧ ψ là dạng kiểu ( p + p ', q + q ') và ta có: + ϕ ∧ ψ =( −1) ψ ∧ϕ pqp ' q ' + d (ϕ ∧ ψ )= dϕ ∧ ψ + ( −1) p+q ϕ ∧ dψ Công thức Stokes đối với dạng vi phân phức. Giả sử K là tập con compact của X với biên trơn từng khúc và ϕ là dạng vi phân bậc n − 1 lớp C1 trên X . Khi đó: ∫ ∂K ϕ = ∫ dϕ . K Công thức tích phân từng phần đối với dạng vi phân phức. Giả sử Ω là tập mở bị chặn, compact tương đối trong X có biên trơn và f , g là các dạng thuộc lớp C 2 trên Ω kiểu ( p, p ) và ( q, q ) với p + q = n − 1 . Khi đó: ∫ ( f ∧ dd ) g − dd c f ∧ g= ∫ ( f ∧d g − dc f ∧ g). c c Ω ∂Ω 1.3.3. Dòng trên đa tạp phức Định nghĩa. Cho đa tạp phức n chiều X . Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D( p ,q ) ( X ) được gọi là một dòng song bậc ( n − p, n − q ) (hoặc song chiều ( p, q ) ) trên X . Tập tất cả các dòng song bậc ( n − p, n − q ) trên X được ký hiệu D '( p ,q ) ( X ) . Mỗi dòng T ∈ D '( p ,q ) ( X ) có thể viết được dưới dạng:
14 =T I= ∑ n− p , J = n−q TIJ dz I ∧ d z J , TIJ ∈ D ' ( X ) . Giá trị của T tại φ ∈ D( p ,q ) ( X ) được ký hiệu: T (φ ) hoặc ∫ T ∧ φ . Tôpô (yếu) trên D '( p ,q ) ( X ) : T j  w → T ⇔ ∫ T j ∧ φ → ∫ T ∧ φ ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) . Đạo hàm của dòng. ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) , ta có ∫ ∂T ∧ φ = ( −1) p + q +1 ∫ T ∧ ∂φ ∫ ∂T ∧ φ = ( −1) p + q +1 ∫ T ∧ ∂φ ∫ dT ∧ φ =( −1) p + q +1 ∫ T ∧ dφ Khi đó dT , ∂T , ∂T và dd T cũng là các dòng. c Dòng T được gọi là đóng nếu dT = 0 . Giá của dòng T , ký hiệu: suppT , là tập đóng nhỏ nhất A ⊂ X sao cho thu hẹp của T trên D ( X \ A ) là không. Ví dụ a. Cho dạng ψ ∈ D( p ,q ) ( X ) . Khi đó ta có thể xem ψ là dòng Tψ song bậc ( n − p, n − q ) xác định bởi công thức: T        ,   Dn p ,nq  X  X b. Cho Z là đa tạp con đóng p chiều của X . Khi đó dòng tích phân T = [ Z ] sinh bởi Z là dòng xác định bởi: [= Z ] (ϕ ) ∫ ϕ Z , ϕ ∈ D( p , p ) ( X ) Hơn nữa, nếu Z đóng thì [ Z ] là đóng. Tích ngoài. Cho T ∈ D '( p ,q ) ( X ) và ϕ ∈ D( p ',q ') ( X ) với p + p ' ≤ n, q + q ' ≤ n . Khi đó tích ngoài T ∧ ϕ ∈ D '( p + p ',q + q ') ( X ) xác định bởi: (T ∧ ϕ )(ψ =) T (ϕ ∧ ψ ) ∀ψ ∈ D( n − p − p ',n − q − q ') ( X ) .
15 d (T ∧ ϕ )= dT ∧ ϕ + ( −1) 2 n− p −q Đạo hàm của tích ngoài. T ∧ dϕ ∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1) 2 n− p −q T ∧ ∂ϕ ∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1) 2 n− p −q T ∧ ∂ϕ Công thức Stokes đối với dòng. Cho K là tập con compact của X với biên trơn và T là dòng bậc 2n − 1 xác định trên một lân cận của K và T là C trên lân cận của ∂K . 1 Khi đó: ∫∂K T = ∫ dT . K 1.4. Hàm đa điều hòa dưới 1.4.1. Hàm đa điều hòa dưới trên  n Định nghĩa. Cho tập mở    n . Hàm u : Ω → [ −∞, ∞ ) được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếu: a) u là hàm nửa liên tục trên b) Với mọi đường thẳng phức L   n ta có u L điều hòa dưới trên L   Họ tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là PSH ( Ω ) . Một cách phát biểu tương đương tính chất b) là: Với mỗi a  ,    n sao cho   d (a, ) thì: 2 1 u (a)   2 0 u (a  ei  )d  . Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới: 1) Với mọi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới uk  PSH () , hàm giới hạn u  lim uk là hàm đa điều hòa dưới trên  .  1  t 2) Đặt h :    là hàm xác định bởi h t   e , t  0 . Khi đó h  C     .  0 , t  0 ( ) (∫ ( ) ) −1 ( x ) C.h 1 − x Định nghĩa χ= = h 1− x 2 2 trong đó C dx . B ( 0,1)
16 Ta có χ ∈ C ∞ (  m ) và supp χ = B ( 0,1) , ∫ χ ( x ) dx = 1 . 1 x Với ε > 0 , ta định nghĩa: χε ( x ) = χ   . Khi đó χε được gọi là nhân trơn. ε m ε  Khi đó: ∫ χε ( x ) dx = 1 và supp χε = B ( 0, ε ) . Nếu u , v ∈ L1 (  m ) thì tích chập u ∗ v của u và v được định nghĩa như sau: ( u ∗ v )( x ) = ∫ u ( x − y ) v ( y ) dy . m Dễ thấy u ∗ v = v ∗ u . Ngoài ra, tích chập u ∗ v cũng được định nghĩa tốt nếu u ∈ L1loc (  m ) và v ∈ L1 (  m ) , v có giá compact. Cho tập mở    . Nếu    m thì ta đặt: Ω= m ε { x ∈ Ω : d ( x, ∂Ω ) > ε } với ε > 0 nếu    m thì    m . Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới. Cho tập mở    và u ∈ PSH ( Ω ) n sao cho u   trên mọi thành phần liên thông của  . Nếu ε > 0 và Ωε ≠ ∅ thì : uε =u ∗ χε ∈ C ∞  PSH ( Ωε ) . Ngoài ra, uε đơn điệu giảm khi ε giảm và limuε ( x ) = u ( x ) với mỗi x ∈ Ω . ε →0 3) Cho u1 , u2 ,.., u p  PSH () và  :  p   là hàm lồi sao cho (t1 ,..., t p ) không giảm với mỗi t j . Khi đó (u1 ,..., u p ) là hàm đa điều hòa dưới trên  . Đặc biệt, { } u1 + u2 + .. + u p , max u1 , u2 ,.., u p , log(eu1 + ... + e p ) là hàm đa điều hòa dưới trên  . u 4) Cho {uα }α∈A ⊂ PSH ( Ω ) bị chặn trên đều địa phương và u = sup uα α ∈A Gọi u là chính quy hóa nửa liên tục trên của u . Khi đó u * ∈ PSH ( Ω ) và u = u * * hầu khắp nơi trên Ω . Ngoài ra, uε = u ∗ χε đơn điệu giảm khi ε giảm và limuε = u * ε →0 trên Ω . 5) Nếu u  C 2 (,  )  PSH (), u   trên mọi thành phần liên thông của  , thì với mọi    n :