Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach trình bày về đại số Banach giao hoán và phép biến đổi Gelfand trên nó; hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vài ứng dụng của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến trong đại số Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Huỳnh Minh Toàn VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN TRONG ĐẠI SỐ BANACH Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CÁM ƠN Tôi xin được gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho lớp Toán giải tích khóa K21. Xin được cảm ơn quý thầy trong Hội đồng khoa học đã đọc và cho những ý kiến xác đáng. Cám ơn phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Văn Đông, người thầy tận tụy đã hết lòng hướng dẫn, tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi hoàn thành luận văn này. Phong cách làm việc khoa học, lòng nhiệt huyết yêu nghề của thầy sẽ là hành trang vốn quý cho chúng tôi, những người đã và đang theo nghề giáo.
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cám ơn Mục lục MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................................................... 3 1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến .............................................................................................. 3 1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm ........................................................................ 8 Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ .... 11 2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand ................................................ 11 2.2. Đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử ....................................... 27 Chương 3. HÀM CHỈNH HÌNH TRONG ĐẠI SỐ BANACH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG .. 35 3.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến tác động trên không gian các phép biến đổi Gelfand ........ 35 3.2. Định lý hàm ẩn trong đại số Banach .............................................................................. 40 3.3. Vài kết quả về biên Shilov ............................................................................................. 46 KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................... 55
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Một trong các đối tượng chính của lý thuyết các đại số Banach giao hoán là việc nghiên cứu xem khi nào có thể biểu diễn một đại số bởi một đại số các hàm liên tục trên một không gian compact. Sự biểu diễn này tạo điều kiện cho việc ứng dụng các kết quả của lý thuyết hàm vào lý thuyết đại số Banach. Việc nghiên cứu các ứng dụng của giải tích phức vào lý thuyết đại số Banach được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như Weiner, Lévy, Shilov, Rossi, Arens, Caderon, Hormander… Tôi chọn đề tài nhằm tìm hiểu sâu hơn về giải tích phức và một số ứng dụng của nó trong đại số Banach. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức và xem xét một số ứng dụng của nó trong đại số Banach. Cụ thể luận văn trình bày lại các kết quả sau + Mô tả các biểu diễn của đại số giao hoán qua các hàm liên tục theo biểu diễn Gelfand. + Chứng minh các hàm chỉnh hình nhiều biến phức tác động lên không gian các biến đổi Gelfand. Đồng thời áp dụng kết quả này để chứng minh định lý hàm ẩn đối với một đại số Banach. + Chứng minh rằng biên Shilov có thể được xác định bởi các điều kiện địa phương. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các đại số Banach, các phép biến đổi Gelfand, biên Shilov, định lý hàm ẩn, hàm chỉnh hình nhiều biến phức.
2 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Luận văn là một tài liệu tham khảo để tìm hiểu sâu thêm về hàm chỉnh hình nhiều biến và ứng dụng của nó trong đại số Banach. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand Chương 3. Hàm chỉnh hình trong đại số Banach và một số ứng dụng
3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức liên quan đến giải tích phức nhiều biến, tôpô, giải tích hàm được sử dụng cho các chương sau. 1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.1.1 Hàm nhiều biến phức trên một tập D ⊂  n là một ánh xạ f từ D vào mặt phẳng phức  , giá trị của hàm f tại điểm z ∈ D được kí hiệu là f ( z ) . Định nghĩa 1.1.2 Hàm l :  n →  gọi là  − tuyến tính (tương ứng  − tuyến tính) nếu i) l ( z + z ') = l ( z ) + l ( z '), ∀z, z ' ∈ n ii) l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n (tương ứng ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ) . Hàm  − tuyến tính l :  n →  là  − tuyến tính nếu l (iz ) = il ( z ), ∀z ∈ n Trong trường hợp l (λ= z ) λl ( z ), ∀λ ∈ , ∀z ∈  n ta nói l là  − phản tuyến tính Chẳng hạn hàm z → z j là  − tuyến tính, hàm z → z j là  − phản tuyến tính Mọi hàm  − tuyến tính l :  n →  được viết duy nhất dưới dạng l= ( z ) l '( z ) + l ''( z ) l ( z ) − il (iz ) l ( z ) + il (iz ) với l '( z ) = = , l ''( z ) , l ' là  − tuyến tính, l '' là  − phản 2 2 tuyến tính. Định nghĩa 1.1.3 Hàm f : Ω →  , với Ω là tập mở trong  n , được gọi là  2n − khả vi (tương ứng  n − khả vi) tại z ∈Ω nếu tồn tại một ánh xạ  − tuyến tính l :  n →  (tương ứng  − tuyến tính) sao cho ϕ ( h) f ( z + h)= f ( z ) + l (h) + ϕ (h) với → 0 khi h → 0 . h Hàm l nếu tồn tại thì duy nhất và được gọi là  2n − đạo hàm (tương ứng n − đạo hàm) của f tại z ký hiệu f '( z ) .
4 Nếu f là  2n − khả vi tại a thì ánh xạ l thỏa điều kiện của định nghĩa trên được kí hiệu là d a f và được gọi là vi phân của f tại a . Đặc biệt, nếu f là  2n − khả vi tại a thì da f = ∂ a f + ∂ a f trong đó ∂ a f là một ánh xạ  − tuyến tính và ∂ a f là một ánh xạ  − phản tuyến tính n ∂f ∂f Ta lại có =da f ∑ ( ∂x (a)dx + ∂y i =1 i (a )dyi ) i i Bằng cách viết zj = x j + iy j , z j = x j − iy j , j = 1,..., n dz j = dx j + idy j , d z j = dx j − idy j , j = 1,..., n dz j + d z j dz j − d z j Suy ra =dx j = , dy j 2 2i n  ∂f  dz + d z j  ∂f  dz − d z j  Khi đó = da f ∑  ∂x (a)  j  +  (a)  j    j =1  j  2  ∂y j  2i   1  ∂f ∂f n  1 n  ∂f ∂f  ∑ 2 ∂x ( a ) − i ∂y j =( a )  dz j + ∑  2 j 1  ∂x j ( a ) + i ∂y j ( a ) d z j =j 1 =  j   n ∂f ∂f = ∑ ∂z j =1 (a )dz j + ∂z j (a)d z j j n ∂f ∂f 1  ∂f ∂f  với ∂a f = ∑ (a )dz j = ,  −i  j =1 ∂z j ∂z j 2  ∂x j ∂y j  n ∂f ∂f 1  ∂f ∂f  ∂a f = ∑ (a)d z j = ,  +i  j =1 ∂ z j ∂ z j 2  ∂x j ∂y j  Do tính duy nhất của sự phân tích ánh xạ d a f = ∂ a f + ∂ a f nên ∂ a f , ∂ a f là suy nhất. Tổng quát nếu f là  2n − khả vi trên Ω thì df = ∂f + ∂ f với n ∂f n ∂f ∑ ∂a f = j =1 ∂z j ∑ dz j và ∂ a f = j =1 ∂ z j dzj .
5 Vậy hàm f là  n − khả vi tại z 0 ∈  n nếu và chỉ nếu f là  2n − khả vi tại z 0 và nó ∂f thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ( z 0 ) = 0, ∀j = 1,..., n , nghĩa là khi và chỉ ∂z j khi df ( z 0 ) = ∂f ( z 0 ) . Định nghĩa 1.1.14 i) Hàm f : Ω →  , Ω là mở trong  n gọi là chỉnh hình tại z nếu f là  n − khả vi trong một lân cận của z . ii) Ánh xạ f : Ω →  m , Ω là mở trong  n gọi là chỉnh hình tại z nếu f j chỉnh hình tại z , ∀j =1,..., n , ở đây f = ( f1 ,..., f m ) . ∂f iii) Nếu f chỉnh hình tại z ta nói là đạo hàm riêng của f theo biến ∂z j zj . Định lý 1.1.5 Cho Ω là tập mở trong  n . Một ánh xạ  2n − khả vi f : Ω →  là chỉnh hình trên Ω khi và khi nó thỏa mãn điều kiện Cauchy – Riemann ∂f = 0, ∀j = 1,..., n ∂z j Ký hiệu H (Ω) là tập hợp tất cà các hàm chỉnh hình trên Ω . Định nghĩa 1.1.6 Cho Ω là một tập mở trong  n với n ≥ 2 . Một hàm f : Ω →  được gọi là chỉnh hình theo từng biến nếu nó chỉnh hình với mỗi biến khi các biến còn lại cố định. Điều này có nghĩa là với mọi z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , zοj +1..., znο hàm g : V →  là hàm zj  g( z j ) chỉnh hình, với = V {z j ∈  : ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο ) ∈ Ω} g ( z j ) = f ( z1ο , z2ο ,..., zοj −1 , z j , zοj +1..., znο )
6 Định lý 1.1.7 Hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P(a, r ) và chỉnh hình từng biến trên P(a, r ) thì nó được biểu diễn bởi tích phân bội Cauchy f (ζ )d ζ 1d ζ 2 ...d ζ n n  1  f ( z) =    2π i  ∫ (ζ Γ 1 − z1 )( ζ 2 − z 2 ) ... ( ζ n − z n ) , ∀z ∈ P(a, r ) . Định lý 1.1.8 Giả sử hàm f liên tục trên đa đĩa đóng P(a, r ) và chỉnh hình từng biến trên P(a, r ) thì tại mỗi z ∈ P(a, r ) tồn tại một khai triển lũy thừa dạng ∞ f(z )= ∑ cα ( z − a ) α α =0 f (ζ )d ζ n  1  với cα =    2π i  ∫ (ζ − a )α Γ +1 và sự hội tụ của chuỗi là sự hội tụ chuẩn tắc. Giả sử Ω ⊂  n và Ω ' ⊂  m là hai miền (mở và liên thông). Các biến trong Ω được viết z = ( z1 ,..., zn ) , các biến trong Ω ' được viết w = ( w1 ,..., wn ) . Một ánh xạ G : Ω → Ω ' được mô tả bởi m hàm =w1 g= 1 ( z1 ,..., z n ),..., wm g m ( z1 ,..., zn ) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ chỉnh hình nếu m hàm g1 ,..., g m là các hàm chỉnh hình trên Ω . Nếu f ( w) = f ( w1 ,..., wm ) là hàm nào đó xác định trên Ω ' thì hợp thành f ( G ( z ) ) khi đó là một hàm trên Ω . Định lý 1.1.9 Nếu f ( w) là hàm chỉnh hình theo từng biến trên Ω ' và G : Ω → Ω ' là một ánh xạ chỉnh hình thì hợp thành f ( G ( z ) ) là một hàm chỉnh hình. Định lý 1.1.10 (nguyên lý đồng nhất) Nếu f,g là các hàm chỉnh hình trong một miền D ⊂ n và f ( z ) − g ( z ) = 0, ∀z ∈ U , U mở khác rỗng, U ⊂ D , thì f (= z ) g ( z ), ∀z ∈ D
7 Định lí 1.1.11 (nguyên lý môđun cực đại) Nếu f chỉnh hình theo từng biến trên miền D ⊂  n và nếu có một điểm a ∈ D sao cho f ( z ) ≤ f (a) với mọi z trong một lân cận mở nào đó của a thì f= ( z ) f (a ), ∀z ∈ D Định lí 1.1.12 (định lý Liouville) Nếu f chỉnh hình và bị chặn trên  n thì f = const . Định lý 1.1.13 (định lý hàm ẩn) Cho f j ( w, z ), j = 1,..., m là các hàm chỉnh hình trong lân cận của ( w0 , z 0 ) trong  m ×  n với ( w, z ) = ( w1 ,..., wm , z1 ,..., zn ) . Giả sử rằng f j ( w0 , z= 0 ) 0,=j 1,..., m và det(∂f j / ∂wk ) mj ,k =1 ≠ 0 tại điểm ( w0 , z 0 ) . Khi đó hệ phương trình f j ( w,= z ) 0,=j 1,..., m xác định duy nhất một hàm chỉnh hình w( z ) trong lân cận của điểm z 0 thỏa mãn w( z 0 ) = w0 . Ta nhắc lại tập các a − điểm của một hàm chỉnh hình một biến phức trên một miền. Định lý 1.1.14 Cho G là một miền trong  , f : G →  là một hàm chỉnh hình khác hằng {z ∈ G : f ( z) = trên G . Khi đó, ∀a ∈  tập hợp f −1 (a) := a} mà ta gọi là các a − điểm của f , là tập rời rạc, đóng tương đối trong G . Đặc biêt, với K là tập compact, K ⊂ G thì mỗi tập f −1 (a) ∩ K , a ∈  là tập hữu hạn. Dẫn đến f −1 (a) là tập không quá đếm được. Định lý 1.1.15 Tập các không điểm của một hàm chỉnh hình khác hằng trong miền G là tập con rời rạc và đóng (tương đối) trong G . Các kiến thức trong phần này xem chứng minh chi tiết trong [4], [11].
8 1.2. Một số kiến thức về tôpô – giải tích hàm Định nghĩa 1.2.1 Không gian tôpô X gọi là liên thông nếu X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở khác rỗng, rời nhau. Do phần bù của tập mở là tập đóng nên không gian X liên thông nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau đây i) X không biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập đóng, khác rỗng, rời nhau. ii) X không có tập con thực sự khác rỗng vừa mở vừa đóng. Định nghĩa 1.2.2 Không gian tôpô X gọi là hoàn toàn không liên thông (totally disconnected space) nếu với mọi x, y ∈ X thì tồn tại một phân hoạch A ∪ B sao cho x ∈ A, y ∈ B . Trong không gian hoàn toàn không liên thông, mỗi thành phần liên thông chỉ gồm có một điểm. Bổ đề 1.2.3 (bổ đề Borel – Lesbesgue) Nếu A là tập compact của không gian tôpô X thì mọi phủ mở của A đều có phủ con hữu hạn. Định lý 1.2.4 Cho X là không gian compact Hausdorff hoàn toàn không liên thông. Khi đó X có một cơ sở tôpô gồm những tập vừa mở vừa đóng. Bổ đề 1.2.5 (bổ đề Urysohn) Cho X là một không gian chuẩn tắc, A và B là hai tập con đóng rời nhau của X . Khi đó, tồn tại một hàm liên tục f : X → [ 0;1] sao cho f ( x) = 0, ∀x ∈ A và
9 f ( x) = 1, ∀x ∈ B . Định lý 1.2.6 Cho X là không gian compact, Y là không gian Hausdorff và f : X → Y là một song ánh liên tục. Khi đó f là phép đồng phôi. Định nghĩa 1.2.7 Cho { X α ,τ α }α∈I là một họ các không gian tôpô. Đặt X = ∏ α ∈I X α và π α : X → X α là phép chiếu hay ánh xạ tọa độ thứ α . Các không gian X α gọi là các không gian tọa độ. Ta gọi tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu π α liên tục. Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tikhonov. Định lý 1.2.8 (định lý Tikhonov) Không gian tích X = ∏ α ∈I X α compact nếu và chỉ nếu mọi không gian tọa độ X α là compact. Định nghĩa 1.2.9 Giả sử F là không gian con đóng của không gian định chuẩn E , kí hiệu E F ={ x + F : x ∈ E} , đây là tập thương của E với quan hệ tương đương xRy nếu ( x − y ) ∈ F . Trên E F ta xét chuẩn x + F = inf x − y , thì E F cùng với chuẩn này y∈F gọi là không gian thương của không gian định chuẩn E theo không gian con đóng F. Định lý 1.2.10 Nếu là E không gian Banach và F là không gian con đóng của E thì E F là không gian Banach. Định lý 1.2.11 (định lý ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f đi từ không gian Banach E vào không gian Banach F là ánh xạ mở, nghĩa là với mọi tập mở U ⊂ E , f (U ) là tập mở trong F .
10 Định lý 1.2.12 (định lý đồ thị đóng) Cho f là ánh xạ tuyến tính đi từ không gian Banach E vào không gian Banach F. Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của nó = Gf {( x; f ( x)) ∈ E × F : x ∈ E} là tập đóng trong E×F . Định lý 1.2.13 (định lý Stone – Weierstrass) Cho X là một không gian compact. Khi đó nếu đại số con A ⊂ C ( X ) chứa các hằng và phân biệt các điểm của X thì A trù mật trong C ( X ) . Định lý 1.2.14 (định lý Stone – Weierstrass dạng phức) Cho X là một không gian compact và A là một đại số con của C ( X ) thỏa mãn các tính chất i) Chứa các hằng và phân biệt các điểm của X . ii) f ∈ A thì f ∈ A . Khi đó, A trù mật trong C ( X ) . Các kiến thức phần này xem chứng minh chi tiết trong [1], [2], [7].
11 Chương 2. ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI GELFAND TRÊN NÓ Trong chương này ta đưa ra và chỉ xét các vấn đề cơ bản nhất của đại số Banach giao hoán có đơn vị (gọi gọn là đại số Banach) và phép biến đổi Gelfand trên nó. Mở đầu Chương 2 là mục 2.1 giới thiệu về đại số Banach và tập hợp các dạng tuyến tính nhân trên nó (định lý 2.1.5). Phần tiếp theo của mục này trình bày về tập các biến đổi Gelfand của đại số Banach và mô tả mối liên hệ tập các biến đổi Gelfand với đại số đó (định lý 2.1.7). Các định lý 2.1.16, 2.1.17 mô tả mối liên hệ giữa các iđêan cực đại của một đại số Banach và tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên đại số Banach tương ứng. Mục 2.2 giới thiệu về đại số Banach hữu hạn sinh và phổ nối của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach. Định lý 2.2.3 mô tả mối liên hệ giữa phổ nối và các biến đổi Gelfand của hữu hạn phần tử thuộc một đại số Banach. Phần cuối của mục này chỉ ra sự đồng phôi giữa không gian các iđêan cực đại của một đại số Banach hữu hạn sinh với phổ nối của các phần tử sinh. 2.1. Đại số Banach giao hoán và các phép biến đổi Gelfand Định nghĩa 2.1.1 Một đại số B trên trường số phức là một không gian vectơ trên  cùng với một phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau: ∀λ ∈ , ∀f , g , h ∈ B i) f ( gh) = ( fg )h . ii) f ( g + h) = fg + fh, ( f + g )h = fh + gh . λ f ) g f= iii) (= (λ g ) λ ( fg ) . Nếu phép nhân là giao hoán thì B được gọi là đại số phức giao hoán. Định nghĩa 2.1.2 Một đại số B trên trường số phức được gọi là đại số Banach nếu trên B được trang bị một chuẩn . sao cho ( B, . ) là không gian Banach và fg ≤ f g , ∀f , g ∈ B .
12 Phần tử e ∈ B thỏa fe = ef = f , ∀f ∈ B, e = 1 được gọi là phần tử đơn vị của B Phần tử f ∈ B được gọi là khả nghịch trong B nếu tồn tại phần tử g ∈ B = e , phần tử g được ký hiệu là g := f −1 . Ta kiểm tra được phần tử khả thỏa gf= fg nghịch và phần tử đơn vị là duy nhất. Các ví dụ 1) Không gian các số phức  với các phép nhân là phép nhân các số phức theo nghĩa thông thường là một đại số Banach giao hoán có đơn vị là 1. 2) Cho X là không gian tôpô compact, ký hiệu C ( X ) là tập các ánh xạ liên tục trên X nhận giá trị phức, trên C ( X ) xét chuẩn = f f ∞ max f ( x) , với = x∈X f ∈ C ( X ) , khi đó ( C ( X ) , . ∞ ) là một đại số Banach giao hoán có đơn vị là hàm hằng f ( x) ≡ 1 . 3) Cho E là không gian Banach, ký hiệu B( E ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục đi từ E vào E . Theo kết quả giải tích hàm ta có B( E ) là không gian chuẩn f sup f ( x) , f ∈ B( E ) . Trên B( E ) ta trang bị phép nhân là Banach với = x =1 phép hợp thành các toán tử. Khi đó B( E ) là đại số Banach với phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất, tuy nhiên đại số Banach này không giao hoán. Trong luận văn này ta chỉ nghiên cứu đại số Banach giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 2.1.3 i) Không gian vectơ con đóng A ⊂ B , A chứa đơn vị, đóng kín với phép toán nhân được gọi là đại số Banach con của B . ii) Một không gian vectơ con I của B gọi là một iđêan của B nếu BI ⊂ B , nghĩa là gf ∈ B, ∀g ∈ B, ∀f ∈ I . iii) Iđêan I của B gọi là iđêan thực sự nếu I ≠ B . Một iđêan thực sự J của đại số Banach B được gọi là iđêan cực đại nếu với mội iđêan I chứa J thì I =B.
13 Một trong những mục tiêu chính của chương này là nghiên cứu xem trong phạm vi nào có thể biểu diễn một đại số Banach bởi đại số của những hàm liên tục trên một không gian compact. Giả sử K là một không gian compact và C ( K ) là đại số các hàm liên tục nhận giá trị phức trên K . Giả sử rằng B ∋ f → Tf ∈ C ( K ) là một biểu diễn liên tục của B , nghĩa là T giao hoán với các phép toán đại số của B và sup Tf ≤ C f với C là hằng số nào K đó. Ta lại có T ( f n ) = (Tf ) n dẫn đến Tf = (Tf ) n = T ( f n ) ≤ C f n ≤ C f , do đó n n 1 1 1 n 1 n Tf ≤ C n f n ≤C n f . Suy ra sup Tf ≤ lim f n ≤ f (2.1.1) K n →∞ Định nghĩa 2.1.4 Một dạng tuyến tính m (a linear form) trên B gọi là dạng tuyến tính nhân (multiplicative linear functional) nếu nó liên tục, không đồng nhất không và m( fg ) = m( f )m( g ) , ∀f , g ∈ B . Ta ký hiệu M B là tập tất cả các dạng tuyến tính nhân trên B . Trên M B xét tôpô là tôpô yếu nhất làm cho các ánh xạ M B ∋ m → m( f ) ∈  liên tục với mọi f ∈B . Nhận xét i) Điều kiện m không đồng nhất không tương đương với m(e) = 1 . ii) m( f ) ≠ 0 nếu f là phần tử khả nghịch. Thật vậy, từ = (e) m( ff −1 ) 1 m= = m( f )m( f −1 ) . Suy ra m( f ) ≠ 0 . iii) Dạng tuyến tính nhân m là một phiếm hàm tuyến tính liên tục và có chuẩn m = 1. Thật vậy, nếu f ∈ B và f < 1 , với mọi λ ∈  mà λ ≥ 1 ta chứng minh m( f ) ≠ λ . Vì λ ≥ 1 nên λ −1 f < 1 do đó e − λ −1 f khả nghịch. Áp dụng ii) ta có
14 m(e − λ −1 f ) ≠ 0 hay m( f ) ≠ λ . Điều này có nghĩa là f ∈ B và f < 1 thì m( f ) < 1 . Áp dụng điều này, với mọi f ∈ B , ta có f m( f ) m( = ) < 1, ∀ λ > 1, ∀f ∈ B, f ≠ 0 . λ f λ f Suy ra m( f ) < λ f , ∀ λ > 1, ∀f ∈ B, f ≠ 0 . Do đó m liên tục và m ≤ 1 (chọn 1 λ = 1+ rồi cho n → +∞ ). Mặt khác, m e) 1 . Vậy m = 1 . = sup m( f ) ≥ m(= n x =1 iv) Tôpô được định nghĩa ở đây còn có tên gọi là tôpô Gelfand, một cơ sở lân cận của điểm m0 ∈ M B chính là giao hữu hạn của những lân cận dạng {m ∈ M B : m( f ) − m0 ( f ) < ε } , ở đây f ∈ B và ε > 0 , tức là một họ tập có dạng U (m, f1 ,..., f n , ε ) ={m ∈ M B : m( f i ) − m0 ( fi ) < ε , fi ∈ B, i =1,..., n, ε > 0, n ∈ N ∗ } . Định lý 2.1.5 M B là một không gian compact Hausdorff. Chứng minh Chứng minh tính chất tách Hausdorff. Giả sử m1 , m2 ∈ M B , m1 ≠ m2 , khi đó có f ∈ B sao cho m1 ( f ) ≠ m2 ( f ) . Xét hai tập sau:  m1 ( f ) − m2 ( f )  V1 = m ∈ M B : m( f ) − m1 ( f ) < ,  2   m1 ( f ) − m2 ( f )  V2 = m ∈ M B : m( f ) − m2 ( f ) < .  2  Ta có V1 ,V2 là các tập mở lần lượt chứa m1 , m2 nhưng V1 ∩ V2 = ∅. {z  : z ≤ f Chứng minh tính compact. Đặt D f =∈ }, D = ∏ Df . f ∈B Với m ∈ M B , với mọi f ∈ B thì m( f ) ≤ f (do 2.1.1) nên m( f ) ∈ D f . Trên D ta xét tôpô tích, với mỗi f ta có D f là tập compact, theo định lý Tychonoff ta có D là compact với tôpô tích. Tôpô tích trên D là tô pô yếu nhất làm cho các
15 phép chiếu p f tương ứng với mỗi phần tử của tập chỉ số B liên tục và mỗi phần tử của D là một ánh xạ (có thể không là dạng tuyến tính nhân) m sao cho m( f ) ∈ D f , thì p f (m) = m( f ) . Vì vậy mỗi phần tử m ∈ M B là một phần tử đặc biệt của D và ta có p f (m) = m( f ) . Do đó tôpô trên M B thừa hưởng từ tôpô tích trên D là trùng với tôpô Gelfand. Cho nên chỉ cần chứng minh M B là tập con đóng của D là xong.Thật vậy, với f , g ∈ B xét ánh xạ D f , g : D →  xác định như sau: D f , g (m)= m( f + g ) − m( f ) − m( g ) Theo định nghĩa tôpô tích thì rõ ràng là D f , g liên tục, dẫn đến D −f 1,g (0) đóng. Một cách tương tự, với f , g ∈ B , λ ∈  xét các ánh xạ D fg , D f ,λ , De : D →  D= fg ( m) m( fg ) − m( f )m( g ) D f= , λ ( m) m(λ f ) − λ m( f ) De = ( m ) m (e) − 1 Ta có D fg , D f ,λ , De đều liên tục. Ta lại có M B =  ( f , g )∈B× B D −f 1, g (0) ∩  ( f , g )∈B× B D −fg1 (0) ∩  λ ( f , )∈B× D −f 1,λ (0) ∩ De−1 (0) Suy ra M B là tập con đóng của D , mà D compact nên M B compact. Từ đó với tôpô Gelfand trên M B thì M B là compact Hausdorff . ■ Định nghĩa 2.1.6 ∧ ∧ i) Với f ∈ B , hàm liên tục f : M B →  xác định bởi m  f (m) := m( f ) được gọi là phép biến đổi Gelfand của f ∈ B . ∧ ii) Ánh xạ B → C (M B ) xác định bởi f  f được gọi là biểu diễn Gelfand (Gelfand representation of B ) của B .
16 Bây giờ ta xét một biểu diễn liên tục bất kỳ của B . B ∋ f → Tf ∈ C ( K ) , ở đây K là không gian compact. Bởi vì (= (e 2 ) Te nên hàm liên tục Te chỉ Te) 2 T= nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Đặt {k ∈ K : (Te ) (k ) = K0 = 0} , {k ∈ K : (Te ) (k ) = K1 = 1} , do tính liên tục của Te và compact của M B nên K 0 , K1 compact và rời nhau, Tf = 0 trên K 0 với mỗi f ∈ B . Do đó ta quan tâm đến sự hạn chế của Tf trên K1 . Với mỗi k ∈ K1 , ánh xạ B ∋ f → (Tf ) (k ) xác định một phần tử m ∈ M B , mà ta ký hiệu là ϕ (k ) . Do định nghĩa tôpô trên M B và tính liên tục của Tf với mỗi f ∈ B ∧ kéo theo sự liên tục của ϕ . Vì Tf = f  ϕ trên K1 , nên ta có sự mô tả đầy đủ mọi biểu diễn của B bởi các hàm liên tục theo các biểu diễn Gelfand. { } ∧ ∧ ∧ Đặt = B f : f ∈ B , khi đó B là đại số con của đại số Banach C ( M B ) , C ( M B ) là đại số các hàm nhận giá trị phức liên tục trên M B . Định lý 2.1.7 ∧ Đại số B chứa các hằng và tách các điểm của M B . Biểu diễn Gelfand ∧ ∧ ∧ ∧ f  f là một đồng cấu của B lên B thỏa mãn = f sup f (m) ≤ f . MB m∈M B Chứng minh ∧ ∧ Ta có e ∈ B nên e(m) = m(e) = 1, ∀m ∈ M B , suy ra ( λ e )(m) = m(λ e) = λ , ∀λ ∈  . ∧ ∧ Từ đó suy ra B chứa các hàm hằng ( λ e ) . ∧ Chứng minh B tách các điểm của M B . Thật vậy, với m1 , m2 ∈ M B mà ∧ ∧ ∧ ( f ) m2 ( f ), ∀f ∈ B , suy ra m1 = m2 . Do đó B tách các m1 ) f (m2 ), ∀f ∈ B ⇔ m1= f (= điểm của M B . ∧ ∧ Ta kiểm tra được biểu diễn Gelfand f  f là một đồng cấu của B lên B .