Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi các nhà toán học Italia là Stampacchia và Hartman. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET XẤP XỈ NGHIỆM CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM INTHAVICHIT PADAPHET XẤP XỈ NGHIỆM CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lâm Thùy Dương THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với bất kỳ đề tài nào khác. Các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Padaphet Inthavichit i
LỜI CẢM ƠN Luận văn đã được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lâm Thùy Dương đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Giải tích đã cho em những ý kiến đóng góp quý báu và tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017 Tác giả Padaphet Inthavichit ii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Một số khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn . . . . . . . 21 2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Phương pháp lặp Krasnoselskij-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2. Phương pháp lặp trên tập điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iii
2.2. Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 iv
MỞ ĐẦU Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 bởi các nhà toán học Italia là Stampacchia và Hartman. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất kiểu đơn điệu, Cohen G. [8] đã nghiên cứu phương pháp bài toán phụ, B. Martinet [14] nghiên cứu phương pháp điểm gần kề,. . . Những phương pháp này cho được kết quả hội tụ trên cơ sở đưa ra các giả thiết khác nhau về tính đơn điệu. Lions J. L và Stampacchia G. [13] sử dụng phép chiếu PC : H → C đề xuất phương pháp điểm bất động để xấp xỉ nghiệm. Tuy nhiên, trong ứng dụng, toán tử chiếu PC làm cho việc tính toán các dãy lặp gặp nhiều khó khăn do tính phức tạp của tập con lồi đóng C. Do đó để tránh phải sử dụng phép chiếu Yamada I. [27] đã đề xuất phương pháp đường dốc nhất lai ghép (Hybrid Steepest Descent method), bằng cách thay phép chiếu PC bằng ánh xạ không giãn T : H → H , để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn. Các thuật toán do Yamada đề xuất khá hiệu quả và đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, rồi mở rộng cho một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn, như là Xu H. K, Kim T. H, Zeng L. C, Yao J. C , ... Bên cạnh đó, ta biết rằng bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu, nói chung, thuộc lớp bài toán đặt không chỉnh. Một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Phương pháp này được Tikhonov A. N. đề xuất vào năm 1963. Trên ý tưởng hiệu chỉnh đó, đã có nhiều hướng mở rộng cho lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu từ không gian Hilbert sang không gian Banach. 1
Trong nước có một số nhóm nghiên cứu phương pháp giải bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan như là: nhóm nghiên cứu thuộc Viện Công nghệ Thông tin của GS. TS. Nguyễn Bường [3], [4], nhóm nghiên cứu thuộc Viện Toán học của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, nhóm nghiên cứu thuộc Đại học Thái Nguyên của PGS. TS. Nguyễn Thị Thu Thủy [23]. Trong phạm vi luận văn này chúng tôi nghiên cứu một phương pháp để xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Phương pháp này được đề xuất bởi GS. TS. Nguyễn Bường và TS. Lâm Thùy Dương [3]. 2
Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 1.1. Không gian Hilbert 1.1.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực R. Một tích vô hướng trong X là một ánh xạ h·, ·i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: (i) hx, yi = hy, xi, ∀ x, y ∈ X; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀ x, y, z ∈ X; (iii) hλx, yi = λhx, yi, ∀ x, y ∈ X; λ ∈ R; (iv) hx, xi > 0, ∀ x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0. Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h·, ·i được gọi là không gian tiền Hilbert. Chuẩn của phần tử x ∈ X, kí hiệu kxk và được xác định: q kxk = hx, xi (1.1) Không gian tiền Hilbert đầy đủ với metric sinh bởi chuẩn xác định bởi (1.1) được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. Không gian n chiều Rn với tích vô hướng xác định bởi: n P hx, yi = ξk ηk , k=1 3
trong đó x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn và y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn , là một không gian Hilbert. ∞ 2 P 2 Ví dụ 1.2. Không gian l = x = (x1 , x2 , ...) : |xi | < ∞ tất cả các i=1 dãy số thực, với tích vô hướng xác định bởi: ∞ X hx, yi = xi yi , i=1 trong đó x = (x1 , x2 , ...), y = (y1 , y2 , ...) thuộc l2 , là một không gian Hilbert. 2 L Ví dụ 1.3. Không gian C[a,b] gồm tất cả các hàm liên tục trên [a, b] với các phép toán tuyến tính thông thường và với tích vô hướng: Z b hf, gi = f (x) · g(x)dx. a 2 L trong đó f, g ∈ C[a,b] , là không gian Hilbert. 1.1.2. Một số khái niệm liên quan • Cho C là một tập con khác rỗng của không gian định chuẩn X. (i) C được gọi là bị chặn, nếu ∃M > 0 sao cho kxk ≤ M, ∀x ∈ C. (1.2) (ii) C được gọi là lồi, nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1, ta có: λx + (1 − λ)y ∈ C. (1.3) (iii) C được gọi là compact, nếu mỗi dãy {xn } ⊂ C đều chứa dãy con {xnk } hội tụ tới một điểm thuộc C. Nhận xét 1.1. Mỗi tập con đóng, bị chặn C của một không gian Hilbert là compact yếu, tức là mỗi dãy bị chặn trong C có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu tới một phần tử của không gian này. 4
• Dãy {xn } gồm các phần tử xn ∈ X gọi là hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ X nếu kxn − xk → 0 khi n → ∞ Mệnh đề 1.1. Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ mạnh tới x ∈ X thì: (i) Mỗi dãy con {xnk } ⊂ {xn } cũng hội tụ tới x; (ii) Mỗi dãy {kxn − ξk} là bị chặn, với ξ ∈ X. • Dãy {xn } ⊂ X được gọi là đủ (hay Cauchy), nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 (ε) sao cho kxm − xn k < ε , với mọi m ≥ n0 (ε) và n ≥ n0 (ε). Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một phần tử x ∈ X thì không gian X được gọi là không gian đủ. Cho X và Y là hai không gian Hilbert. Khi viết A : X → Y có nghĩa A là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi viết A : X → 2Y nghĩa là A là ánh xạ đa trị từ X vào Y . • Cho X và Y là hai không gian Hilbert. Ánh xạ A : X → Y được gọi là: (i) liên tục tại x0 ∈ X , nếu với mỗi dãy {xn } ⊆ X sao cho khi xn → x0 thì A(xn ) → A(x0 ) . (ii) liên tục Lipschitz, nếu tồn tại L ≥ 0 sao cho: kA(x) − A(y)k ≤ L kx − yk , ∀x, y ∈ X. (1.4) (iii) bị chặn, nếu nó biến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập bị chặn trong Y . (iv) d-compact, nếu dãy {xn } bị chặn trong X sao cho dãy {A(xn )−xn } hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con {xnk } cũng hội tụ mạnh. Một ánh xạ xác định trên tập X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X. • Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là tuyến tính nếu 5
(i) ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ∀x, y ∈ X, (ii) ϕ(αx) = αϕ(x), ∀α ∈ R, x ∈ X. • Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là bị chặn, nếu tồn tại M > 0 sao cho: |ϕ(x)| ≤ M kxk, ∀ x ∈ X. (1.5) Giá trị M nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức (1.5) được gọi là chuẩn của ϕ và kí hiệu là kϕk. Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X được gọi là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X, kí hiệu là X ∗ . • Dãy {xn } ⊂ X gọi là hội tụ yếu tới x ∈ X (viết là xn * x) nếu hϕ, xn i → hϕ, xi với ϕ ∈ X ∗ . Mệnh đề 1.2. Nếu dãy {xn } ⊂ X hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {kxn k} là bị chặn. • Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là lồi, nếu: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y), ∀ x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] . (1.6) Nếu dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y, thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi chặt. Nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ : [0, +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho: ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ (kx − yk) (1.7) với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1], thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) được gọi là môđun lồi của ϕ. Nếu γ(t) = ct2 , với c là hằng số dương, thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh. • Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X, nếu với mỗi dãy {xn } ⊂ X sao cho xn → x0 ta có: ϕ(x0 ) ≤ lim inf ϕ(xn ). (1.8) n→∞ 6
Nếu xn ⊂ X hội tụ yếu tới x0 ∈ X và ϕ(x0 ) ≤ lim inf n→∞ ϕ(xn ) thì ϕ được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ X. • Phiếm hàm ϕ : X → R được gọi là khả vi theo hướng h tại một điểm x ∈ X nếu giới hạn ϕ(x + th) − ϕ(x) 0 lim = V (x, h) (1.9) n→∞ h tồn tại với mọi h ∈ X. Nếu giới hạn (1.9) tuyến tính liên tục theo h, tức là: 0 0 V (x; h) = ϕ (x).h, 0 thì ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x ∈ X và ϕ (x) gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x. 1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 1.2.1. Phát biểu bài toán Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng của H và F : C → H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.10) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.10) được gọi là tập nghiệm của bài toán và kí hiệu là V IP (F, C). Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán khác như là: bài toán quy hoạch lồi, bài toán bù phi tuyến và bài toán điểm bất động. • Bài toán quy hoạch lồi Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và f : C → R là một phiếm hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau: 7
Tìm x∗ ∈ C sao cho: f (x∗ ) = min {f (x)/x ∈ C} . (1.11) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán quy hoạch lồi và bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.3. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và f : C → R là một phiếm hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.11) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (1.10), với f 0 (x) = F (x). • Bài toán bù phi tuyến Trước khi phát biểu bài toán bù phi tuyến chúng ta cần nhắc lại một vài khái niệm sau: Một tập C của không gian Hilbert H được gọi là nón nếu, với mọi x ∈ C và hằng số λ > 0 ta có λx ∈ C . Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là một nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau: (i) λC ⊆ C; (ii) C + C ⊆ C. Cho C là một nón lồi trong không gian Hilbert H và H : C → H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bù phi tuyến của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x∗ i = 0, (1.12) trong đó F (x∗ ) ∈ C ∗ , với C ∗ là nón đối ngẫu của C được định nghĩa là: C ∗ = {x ∈ H : hx, yi ≥ 0, ∀y ∈ C} . Ta có mệnh đề sau: 8
Mệnh đề 1.4. (xem [11]) Nếu C là một nón lồi đóng trong không gian Hilbert H thì bài toán (1.12) tương đương với bài toán (1.10). • Bài toán điểm bất động Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: x∗ = T (x∗ ). (1.13) Trong trường hợp T : X → 2X là một ánh xạ đa trị thì bài toán điểm bất động được phát biểu: Tìm x∗ ∈ C sao cho: x∗ ∈ T (x∗ ). Tập hợp những điểm x∗ ∈ X thỏa mãn (1.13) được gọi là tập điểm bất động của T và ký hiệu là F ix(T ). Ví dụ 1.4. Cho X = R và T (x) = x2 + 5x + 4 Ta có T (−2) = −2. Do đó F ix(T ) = {2}. Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất đẳng thức biến phân cổ điển. Mệnh đề 1.5. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ liên tục. Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) := x − T (x), ∀x ∈ C thì bài toán điểm bất động (1.13) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10). 9
1.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.10) phụ thuộc vào ánh xạ F và miền ràng buộc C. Định lý sau cho ta biết điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (1.10) trong không gian Hilbert. Định lý 1.5. (xem [11]) Cho C là một tập lồi, compact của không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C. Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Giả sử rằng, C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert P H. Kí hiệu R = {u : kuk ≤ R} là hình cầu đóng tâm O ∈ H, bán kính P R. Khi đó, CR = C ∩ R là một tập lồi compact. Theo Định lý 1.5, ta có: xR ∈ CR : hF (xR ), x − xR i ≥ 0, ∀x ∈ CR . Định lý tiếp theo sau đây là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.10). Định lý 1.6. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C : hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. là tồn tại R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân xR ∈ CR : hF (xR ), x − xR i ≥ 0, ∀x ∈ CR thỏa mãn điều kiện kxR k < R. Hệ quả 1.7. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H và F : C → H là một ánh xạ liên tục trên C và thỏa mãn điều kiện: 10
hF (x) − F (x0 ), x − x0 i ∃x0 ∈ C : lim = +∞, ∀x ∈ C. kxk→∞ kx − x0 k Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Thông thường nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Ta giả sử rằng x0 và x00 là hai nghiệm khác nhau của bài toán (1.10). Khi đó ta có: x0 ∈ C : hF (x0 ), x − x0 i ≥ 0, ∀x ∈ C, và x00 ∈ C : hF (x00 ), x − x00 i ≥ 0, ∀x ∈ C. Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x00 thì hF (x0 ), x00 − x0 i ≥ 0 và trong bất đẳng thức thứ hai ta chọn x = x0 thì hF (x00 ), x0 − x00 i ≥ 0. Cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức trên, ta được: hF (x0 ) − F (x00 ), x0 − x00 i ≤ 0. Do đó điều kiện đủ để bài toán (1.10) có nghiệm duy nhất là: hF (x0 ) − F (x00 ), x0 − x00 i > 0, ∀x0 , x00 ∈ C, x0 6= x00 . (1.14) Điều kiện (1.14) kéo theo tính duy nhất cho nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.10). Điều kiện đó được gọi là điều kiện đơn điệu chặt. 11
1.2.3. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân Trong mục trên chúng ta vừa trình bày sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển trong không gian Hilbert. Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số phương pháp để tìm nghiệm cho bài toán đó. Trước hết chúng ta nhắc lại một số khái niệm sau.(xem [1]) Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi đóng khác rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ từ C vào H. • Ánh xạ F được gọi là đơn điệu trên C nếu, với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ 0. (1.15) Nếu dấu "=" xảy ra khi x = y thì ánh xạ F được gọi là đơn điệu chặt. Nếu với mọi x, y ∈ C, ánh xạ F thỏa mãn: hF (y), x − yi ≥ 0 kéo theo hF (x), x − yi ≥ 0, thì ánh xạ F được gọi là giả đơn điệu trên C. • Ánh xạ F được gọi là a - đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số a > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ a kx − yk2 . (1.16) • Ánh xạ F được gọi là α - ngược đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số α > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: hF (x) − F (y), x − yi ≥ α kF (x) − F (y)k2 . (1.17) • Ánh xạ F được gọi là L - liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: kF (x) − F (y)k ≤ L kx − yk . (1.18) Nếu L < 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ co trên C. 12
Nếu L = 1 thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn trên C, tức là ánh xạ F thỏa mãn: kF (x) − F (y)k ≤ kx − yk , (1.19) với mọi x, y ∈ C. Như vậy, ánh xạ co và ánh xạ không giãn là các trường hợp riêng của ánh xạ liên tục Lipschitz, do đó là các ánh xạ liên tục. Và dễ dàng thấy rằng, nếu ánh xạ F là ngược đơn điệu mạnh thì ánh xạ F là một ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz. • Ánh xạ F được gọi là λ - giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ C, tồn tại một hằng số 0 ≤ λ < 1 sao cho k F (x) − F (y) k2 ≤k x − y k2 +λ k (I − F )(x) − (I − F )(y) k2 , (1.20) ở đây, I là ánh xạ đồng nhất trên H. Khi λ = 0 thì F là ánh xạ không giãn, tức là ánh xạ 0 - giả co chặt là ánh xạ không giãn. Như vậy, lớp các ánh xạ giả co chặt chứa lớp các ánh xạ không giãn và lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng của lớp ánh xạ co. Sau đây là một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) trong không gian Hilbert. • Phương pháp điểm bất động Với mỗi x ∈ H sẽ tồn tại duy nhất một điểm thuộc y ∈ C sao cho kx − yk ≤ kx − ηk (1.21) với mọi η ∈ C. Phần tử y thỏa mãn (1.21) được gọi là hình chiếu của x lên C và kí hiệu là y = PC (x). Chú ý rằng PC (x) = x, với mọi x ∈ C và ánh xạ PC : H → C được gọi là phép chiếu mêtric từ H vào C. Ta có bổ đề sau. 13
Bổ đề 1.1. (xem [11]) Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H. Với mỗi x ∈ H và y ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức hy − x, η − yi ≥ 0 ∀η ∈ C (1.22) khi và chỉ khi y = PC (x). Từ Bổ đề 1.1 suy ra hx − PC (x), PC (x) − ηi ≥ 0 ∀x ∈ H, η ∈ C và kx − ηk2 ≥ kx − PC (x)k2 + kη − PC (x)k2 ∀x ∈ H, η ∈ C. Bổ đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán (1.10) và bài toán điểm bất động. Bổ đề 1.2. (xem [13]) x∗ ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10) nếu và chỉ nếu thỏa mãn x∗ = PC (x∗ − λF (x∗ )) (1.23) ở đây λ > 0 là một hằng số. Từ Bổ đề 1.2 dễ dàng thấy rằng, sử dụng phép chiếu mêtric đã thiết lập được sự tương đương giữa bất đẳng thức biến phân cổ điển và bài toán điểm bất động. Dựa vào kết quả này, năm 1967 Lions J. L. và Stampacchia G. [13] đã đề xuất: "Phương pháp điểm bất động", để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.10). Với phương pháp này dãy lặp được xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn )), n = 0, 1, 2, · · · (1.24) Ở đây họ đã chứng minh được dãy lặp {xn } xác định bởi (1.24) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x∗ của bài toán (1.10). Năm 2011, Bnouhachem A. và các cộng sự (xem [2]) cũng đề xuất một phương pháp để tìm nghiệm cho bài toán (1.10). Họ xây dựng dãy lặp xác định như sau: x0 ∈ C, xn+1 = PC (xn − λF (xn+1 )), n = 0, 1, 2, · · · (1.25) 14