Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach trình bày về hàm tử Ext trong phạm trù môđun; không gian định chuẩn và không gian Banach; phạm trù các không gian Banach; hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Xuân XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh Xuân XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
-1- LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học cũng như tìm tòi các tài liệu nghiên cứu. Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn.
-2- MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ...............................................................................................................................................2 MỞ ĐẦU .................................................................................................................................................3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..........................................................................................4 §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN .................................................................4 §2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH ................................... 12 §3. PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH .................................................................. 16 CHƯƠNG 2: HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH ...... 24 §1. PHÂN LỚP CÁC DÃY KHỚP NGẮN .............................................................................. 24 §2 TÍCH DÃY KHỚP NGẮN VỚI CÁC CẤU XẠ ................................................................. 28 §3 CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C,A) ..................................................................... 48 §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH. ............................................................................................................................................................56 KẾT LUẬN .......................................................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................................. 62
-3- MỞ ĐẦU Trong cuốn Homology, bằng việc tính toán cụ thể trên các phần tử, Saunders MacLane đã xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù môđun. Bây giờ nếu ta thay phạm trù môđun bởi phạm trù các không gian Banach thì liệu rằng ta có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay không? Với ý tưởng này, chúng tôi đã cố gắng phân tích, đánh giá con đường chứng minh của MacLane dưới góc độ của phạm trù và tìm cách chứng minh các kết quả đó trong phạm trù các không gian Banach và đó cũng là mục đích chính của cuốn luận văn này. Bố cục luận văn chia làm ba chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát con đường xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù môđun qua đó lấy làm cơ sở cho việc xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach. Xây dựng phạm trù các không gian Banach và trình bày một số kết quả liên quan tới cấu trúc của không gian Banach cùng với các ánh xạ tuyến tính trên đó. ♦ Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian Banach Dựa trên cơ sở phép tính Berơ, vốn đã được trình bày trong lý thuyết môđun. Chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả được xem là tương tự như trong lý thuyết môđun, dẫu vậy, việc chứng minh có phần phức tạp hơn về những đặc trưng riêng của phạm trù đang xét.
-4- CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MÔĐUN Giả sử A và C là các môđun trái trên vành R. Ta gọi một mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn các R-môđun trái và các R-đồng cấu: =E ( χ ,σ ) : 0 → A  χ σ → B  →C → 0 Tập hợp các mở rộng của A nhờ C ta sẽ kí hiệu là £(C,A). Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm tử Ext qua ba giai đoạn chính: phân lớp tập £(C,A) thành Ext(C,A) → trang bị cho Ext(C,A) phép toán hai ngôi để Ext(C,A) trở thành nhóm Aben (nhóm giao hoán) → xây dựng hàm tử Ext. Đầu tiên ta thực hiện sự phân lớp tập £(C,A). Định nghĩa 1.1.1 χ σ Trong tập £(C,A) cho hai mở rộng E : 0 → A  → B  → C → 0 và χ' σ' E ' : 0 → A '  → B '  →C ' → 0 . Cấu xạ toàn đẳng giữa E và E ' (nếu có) là bộ ba các đồng cấu môđun =T (1A , β ,1C ) : E → E ' làm cho biểu đồ sau là giao hoán: χ σ E : 0 → A  → B  →C → 0 ↓ 1A ↓β ↓ 1C χ' σ' E ' : 0 → A ' → B ' → C ' → 0 Khi đó ta nói E toàn đẳng với E ' và kí hiệu là E ≡ E ' . Nhận xét 1 : Nhờ bổ đề 5 ngắn ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ toàn đẳng trên £(C,A) là quan hệ tương đương. Do đó nó thực hiện sự phân lớp tập £(C,A). Ta gọi tập thương của £(C,A) theo quan hệ toàn đẳng này là Ext(C,A). Đó chính là tập các lớp toàn đẳng các lớp mở rộng của A nhờ C. Lớp chứa mở rộng E ta kí
-5- hiệu là E hoặc đơn giản là E nếu không sợ nhầm lẫn. Tiếp theo ta sẽ trang bị cho Ext(C,A) một phép toán cộng để nó trở thành nhóm giao hoán. Để làm điều này trước tiên ta cần đưa ra các định nghĩa về tích bên trái và tích bên phải của một mở rộng với một đồng cấu. Định nghĩa 1.1.2 χ σ Cho E : 0 → A  → B  → C → 0 là một mở rộng của A nhờ C và đồng cấu γ : C ' → C . Mở rộng E ' : 0 → A  χ' σ' → B '  → C ' → 0 được gọi là tích bên phải của mở rộng E và đồng cấu γ nếu tồn tại= cấu xạ Tγ (1A , β , γ ) : E → E ' . Tức là ta có biểu đồ sau giao hoán : χ' σ' E ' : 0 → A  → B '  →C ' → 0 ↓ 1A ↓β ↓γ χ σ E : 0 → A  → B  →C → 0 Khi đó ta kí hiệu E ' = Eγ . Mệnh đề 1.1.3 χ Cho mở rộng E : 0 → A  σ → B  → C → 0 và đồng cấu γ : C ' → C . Khi đó luôn luôn tồn tại duy nhất (chính xác tới một toàn đẳng) mở rộng χ' E ' : 0 → A '  σ' → B '  → C ' → 0 thỏa E ' = Eγ . Chứng minh : Để chứng minh sự tồn tại của E ' ta cần tìm môđun B ' và các đồng cấu χ ' : A → B ',σ ' : B ' → C ', β ' : B ' → B sao cho biểu đồ χ' σ' E ' : 0 → A  → B '  →C ' → 0 ↓β ↓γ (1) là giao hoán và dòng trên là khớp. χ σ E : 0 → A  → B  →C → 0 = Ta lấy B ' là tập con của B ⊕ C ' được xác định: B ' {= ( b, c ' ) σ ( b ) γ ( c ')} Ta chọn β , σ ' là các phép chiếu từ môđun B ' xuống các môđun thành phần B β ( b, c ') b= và C ' tương ứng, tức là:= , σ ' ( b, c ' ) c ' .
-6- Đồng cấu χ được xác định: χ ' ( a ) = ( χ ( a ) ,0 ) . Với cách xây dựng như trên ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (1) là giao hoán và dòng trên là khớp. Hơn nữa, sự tồn tại của E ' là duy nhất chính xác tới một toàn đẳng, nghĩa là nếu tồn tại E " = Eγ thì E " ≡ E . Nhận xét 2: Với cách xây dựng B ' và các cấu xạ σ ' : B ' → C ', β : B ' → B như σ' B '  →C ' trên thì biểu đồ ↓ β (2) ↓ γ chính là một níu nếu xét theo cấp độ phạm trù. σ B  →C Chứng minh: Theo cách xây dựng β , σ ' thì hiển nhiên biểu đồ (2) là giao hoán. Giả sử f : X → C ' và g : X → B là cặp đồng cấu thỏa γ f = σ g . Khi đó ∀x ∈ X ta có γ f ( x ) = σ g ( x ) . Suy ra ( g ( x ) , f ( x ) ) ∈ B ' . Do đó ta xây dựng cấu xạ h : X → B ' như sau: x  h ( x ) = ( g ( x ) , f ( x ) ) ( x) β ( g ( x), f = Ta có: β h= ( x ) ) g ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= βh g . ( x ) σ '( g ( x ) , f = σ ' h= ( x ) ) f ( x ) , ( ∀x ∈ X ) hay= σ 'h f . β h = g Ta cần chứng minh h là đồng cấu duy nhất thỏa  . σ ' h = f β h = g  β h1 ( x ) = g ( x )  Gọi h1 : X → B ' là đồng cấu thỏa  1 . Ta có  , ∀x ∈ X mà σ ' h1 = f  σ ' h1 ( x ) = f ( x ) ' nên h1 ( x ) β , σ ' là hai cấu xạ chiếu từ B ' lên B và C = ( g ( x ) , f ( x ) ) , ∀x ∈ X . Suy ra h1 = h . σ' B '  →C ' Vậy biểu đồ ↓ β ↓ γ là một níu. σ B  →C Tương tự với cách xây dựng trong mệnh đề 1.1.3, ta có kết quả sau:
-7- Mệnh đề 1.1.4 C' Trong phạm trù môđun mọi biểu đồ ↓ đều có thể nâng lên thành níu. B→C Mệnh đề 1.1.5 = Cấu xạ T (1A , β , γ ) : Eγ → E có tính chất phổ dụng. Tức là mọi cấu xạ =T1 (α 1 , β1 , γ 1 ) : E1 → E với γ 1 = γ đều phân tích được một cách duy nhất qua T ( 1 ) α , β ',1 ( ) T = 1, β ,γ dưới dạng: E1  → Eγ 1  →E . Định nghĩa 1.1.6 Cho mở rộng E : 0 → A  χ σ → B  → C → 0 và đồng cấu α : A → A ' . Mở rộng χ' σ' E ' : 0 → A ' → B ' → C → 0 được gọi là tích bên trái của mở rộng E và đồng cấu α nếu tồn tại= cấu xạ Tα (α , β ,1C ) : E → E ' . Tức là ta có biểu đồ sau giao hoán: χ σ E : 0 → A  → B  →C → 0 ↓α ↓β ↓ 1C χ' σ' E ' : 0 → A  → B '  →C → 0 Khi đó ta kí hiệu E ' = α E . Mệnh đề 1.1.7 Cho mở rộng E : 0 → A  χ σ → B  → C → 0 và đồng cấu α : A → A ' . Khi đó luôn luôn tồn tại duy nhất (chính xác tới một toàn đẳng) mở rộng χ' E ' : 0 → A '  σ' → B '  → C → 0 thỏa E ' = α E . Chứng minh : Để chứng minh sự tồn tại của mở rộng E ' ta cần tìm môđun B ' và các đồng cấu χ ' : A ' → B ', σ ' : B ' → C , β : B → B ' sao cho biểu đồ χ σ E : 0 → A  → B  →C → 0 ↓α ↓β (3) là giao hoán và dòng dưới là khớp. χ' σ' E ' : 0 → A '  → B '  →C → 0
-8- { } Gọi N = ( −α ( a ) , χ ( a ) ) a ∈ A ⊂ A '⊕ B . Lấy B=' A '⊕ B N . Ta xây dựng các đồng cấu β , χ ', σ ' như sau: β (= b) ( 0, b ) + N , ∀b ∈ B χ ' ( a=') ( a ',0 ) + N , ∀a ' ∈ A ' σ ' ( ( a ', b ) + N =) σ ( b ) , ∀ ( ( a ', b ) + N ) ∈ B ' Với cách xây dựng như trên, ta dễ dàng kiểm tra biểu đồ (2) là giao hoán và dòng dưới là khớp. Hơn nữa sự tồn tại của E ' là duy nhất (chính xác tới một toàn đẳng). Nhận xét 3: Với cách xây dựng B ' , các cấu xạ β và χ ' như trên thì biểu đồ χ A  →B ↓α ↓ β (4) là một buông nếu xét theo cấp độ phạm trù. χ' A '  →B' Chứng minh: Giả sử f : B → D và g : A ' → D là cặp đồng cấu thỏa f χ = gα . Lấy ( a '1 , b1 ) = +N ( a '2 , b2 ) + N ∈ B ' . Khi đó ( a '2 − a '1 , b2 − b1 ) ∈ N , tức tồn tại phần  −α ( a ) a '2 − a '1 =  a '1 =a '2 + α ( a ) tử a ∈ A thỏa  ⇔ . Khi đó ta có: b2 − b1 = χ ( a )  b1 = b2 + χ ( a )  g ( a '1 ) + f ( b1 ) = g ( a '2 + α ( a ) ) + f ( b2 − χ ( a ) ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) + gα ( a ) − f χ ( a ) = g ( a '2 ) + f ( b2 ) Vì vậy ta xây dựng đồng cấu h : B → D như sau: ( a ', b ) + N  h ( ( a ', b ) + = N) g ( a ') + f ( b ) , ∀a ' ∈ A ', ∀b ∈ B Khi đó: ') h ( ( a ',0 ) + N hχ ' ( a= = ) g ( a ') + f (= 0 ) g ( a ') , ∀a ' ∈ A hay h= χ' g b ) h ( ( 0, b ) + N hβ (= = ) g ( 0 ) + f (= b ) f ( b ) , ∀b ∈ B hay h= β f
-9- β h = f Ta cần chứng minh h là đồng cấu duy nhất thỏa  σ ' h = g h β = f Gọi h1 : B ' → D là cấu xạ thỏa  1 . h1χ ' = g Với mọi phần tử ( a ', b ) + N ∈ B ' , ta có : ) h1 ( ( 0, b ) + N ) + h1 ( ( a ',0 ) + N=) h1β ( b ) + h1χ ' ( a ) h1 ( ( a ', b ) + N= = f ( b ) + g ( a ') =h ( ( a ', b ) + N ) β h = f Điều này chứng tỏ h là duy nhất thỏa  . σ ' h = g χ A  →B Vậy biểu đồ ↓ α ↓ β là một buông. χ' A '  →B' Tương tự cách xây dựng mệnh đề 1.1.7 ta có kết quả sau : Mệnh đề 1.1.8 χ A  →B Trong phạm trù môđun mọi biểu đồ ↓ α đều có thể nâng lên thành A' buông. Mệnh đề 1.1.9 = Cấu xạ T(α , β ,1C ) : E → α E có tính chất phổ dụng. Tức là mọi cấu xạ =T1 (α1 , β1 , γ 1 ) : E → E1 (với α1 = α ) đều được phân tích một cách duy nhất qua T dưới dạng: E  (α , β ',1) 1 (1, β ,γ ) →α E → E1 (α = α1 ) . 1 Mệnh đề 1.1.10 Với mọi cặp đồng cấu α : A → A ' và γ ' : C ' → C và mọi mở rộng E thuộc £(C,A) ta luôn có (α E ) γ ≡ α ( Eγ ) .
- 10 - Mệnh đề 1.1.11 Cho E ∈£(C,A) và E ' ∈ £ ( C ', A ') . Khi đó mọi= cấu xạ T (α , β , γ ) : E → E ' đều cho ta toàn đẳng α E = E ' γ . Mệnh đề 1.1.12 Nếu E1 ∈£ ( C1 , A1 ) , E2 ∈ £ ( C2 , A2 ) và α1 : A1 → A '1 , α 2 : A2 → A '2 thì: (α 1 ⊕ α 2 )( E1 ⊕ E2 ) ≡ α1E1 ⊕ α 2 E2 . Mệnh đề 1.1.13 Nếu E1 ∈£ ( C1 , A1 ) , E2 ∈ £ ( C2 , A2 ) và γ 1 : C '1 → C1 , γ 2 : C '2 → C2 thì: : ( E1 ⊕ E2 )(γ 1 ⊕ γ 2 ) ≡ E1γ 1 ⊕ E2γ 2 . Mệnh đề 1.1.14 Cho E ∈£(C,A). Khi đó: i) ∆ A E ≡ ( E ⊕ E ) ∆ C ii) E∇C ≡ ∇ A ( E ⊕ E ) Định nghĩa 1.1.15 χ σ Ta nói mở rộng 0 → A  → B  → C → 0 là tự phân rã nếu nó toàn đẳng với mở rộng : 0 → A i1 → A ⊕ C → C → 0 . p2 Mệnh đề 1.1.16 Với bất kì mở rộng E = ( χ , σ ) , các kết hợp χ E và Eσ là tự phân rã. Bây giờ cho E1 , E2 , E1 ', E2 ' là các mở rộng của A nhờ C với E1 ≡ E1 ', E2 ≡ E2 ' . Ta dễ dàng kiểm tra được E1 ⊕ E2 ≡ E1 '⊕ E2 ' và do đó theo các kết quả về tích bên trái và bên phải của một mở rộng và một đồng cấu thì ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C ≡ ∇ A ( E1 '⊕ E2 ') ∆ C . Nhờ vậy mà tính hợp lý của phép cộng ta đưa ra dưới đây được bảo đảm : Định nghĩa 1.1.17 (phép cộng Berơ)
- 11 - Cho E1 , E2 ∈ Ext ( C , A ) . Tổng của E1 và E2 , kí hiệu E1 + E2 được cho bởi công ∇ A ( E1 ⊕ E2 ) ∆ C . thức : E1 + E2 = Mệnh đề 1.1.18 E1 + E2 ∈ Ext ( C , A ) , α : A → A ', γ : C ' → C . Khi đó : i ) α ( E1 + E2 ) = α E1 + α E2 ii ) ( E1 + E2 ) γ =E1γ + E2γ Theo cách trang bị phép cộng cho Ext ( C , A ) như trên thì Ext ( C , A ) trở thành một nhóm giao hoán với phần tử trung hòa là lớp các mở rộng tự phân rã E0 : 0 → A  i1 → A ⊕ C  p2 → C → 0 , phần tử đối của E ∈ Ext ( C , A ) là lớp mở rộng ( −1A ) E . Và từ mệnh đề 1.1.18 ta có kết quả sau : Mệnh đề 1.1.19 Cho các đồng cấu α : A → A ', γ : C ' → C . Khi đó các qui tắc : α* : Ext ( C , A ) → Ext ( C , A ') γ * : Ext ( C , A ) → Ext ( C ', A ) E  αE E  Eγ là các đồng cấu nhóm. Đến đây ta hoàn toàn có đủ công cụ để xây dựng các hàm tử một biến Ext ( −, A ) và Ext ( C , − ) trong phạm trù môđun : ♦ Cho C là môđun cố định, ta xây dựng hàm tử Ext ( C , − ) từ phạm trù môđun đến phạm trù các nhóm giao hoán bằng cách cho tương ứng :  Mỗi môđun A với một nhóm Ext ( C , A ) .  Mỗi đồng cấu α : A → A ' với một cấu xạ α * : Ext ( C , A ) → Ext ( C , A ') Khi đó hàm tử Ext ( C , − ) là hàm tử hiệp biến. ♦ Cho A là môđun cố định, ta xây dựng hàm tử Ext ( −, A ) từ phạm trù môđun đến phạm trù các nhóm giao hoán bằng cách cho tương ứng :
- 12 -  Mỗi môđun C với một nhóm Ext ( C , A ) .  Mỗi đồng cấu γ : C ' → C với một cấu xạ γ * : Ext ( C , A ) → Ext ( C ', A ) Khi đó hàm tử Ext ( −, A ) là hàm tử phản biến. §2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHÔNG GIAN BANACH Cho E là một K – không gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm x  x từ E vào R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ E , mọi λ ∈ R ( n1 ) x ≥ 0, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 ( n2 ) λ x =λ x ( n3 ) x+ y ≤ x + y Điều sau đây là hiển nhiên 1.2.1 Định lý Nếu x  x là một chuẩn trên E thì d ( x, y= ) x − y là một mêtric trên E. Mêtric này thỏa mãn d ( x + z , y + z ) = d ( x, y ) và d ( λ x, λ y ) = λ d ( x, y ) với mọi x, y , z ∈ E , λ ∈ K . Ta gọi không gian định chuẩn là không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó. Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn (mêtric nói trong định lý 1.2.1) 1.2.2 Định lý Cho E là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ ( x, y )  x + y từ E × E vào E và ( λ , x )  λ x từ K × E vào E là liên tục. Chứng minh Giả sử ( x, y ) và ( x0 , y0 ) ∈ E × E
- 13 - Ta có ( x, y ) − ( x0 , y0 ) = ( x − x0 ) − ( y − y0 ) ≤ x − x0 − y − y0 . Điều này cho ta tính liên tục của ánh xạ ( x, y )  x + y tại mọi điểm ( x0 , y0 ) . Với ( λ , x ) , ( λ0 , x0 ) ∈ K × E ta có λ x − λ0 x0 = λ ( x − x0 ) + ( λ − λ0 ) x0 + ( λ − λ0 )( x − x0 ) ≤ λ0 x − x0 + λ − λ0 x0 + λ − λ0 x − x0 Bất đẳng thức này cho ta tính liên tục của ánh xạ ( λ , x )  λ x tại điểm ( λ0 , x0 ) . 1.2.3 Định lý Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi a ∈ E ánh xạ x  a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K , λ ≠ 0 ánh xạ x  λ x là phép đồng phôi đều E lên E. Chứng minh Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh. Kết luận về tính liên tục hai chiều được suy ra từ các đẳng thức (a + x) − (a + y) = x− y λx − λ y = λ x − y . 1.2.4 Hệ quả Cho E là không gian định chuẩn. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương a) U là lân cận của điểm 0 ∈ E αU b)= {α x : x ∈ U } là lân cận của 0 với mọi α ∈ K ,α ≠ 0 c) a + U = {a + x : x ∈ U } là lân cận của a với mọi a ∈ E Ta gọi không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ ( với mêtric sinh bởi chuẩn). 1.2.5 Không gian con và không gian thương
- 14 - ♦ Không gian con : Giả sử E là không gian Banach và F là không gian vectơ con của E. Khi đó hiển nhiên F cũng là không gian định chuẩn với chuẩn của chuẩn trên E. Nếu F là không gian con đóng thì F cũng là không gian Banach. ♦ Không gian thương : Giả sử E là không gian Banach và F là không gian con đóng của E. Xét không gian thương E/F. Trên E/F ta xác định một chuẩn như sau : Giả sử ξ ∈ E F và x là phần tử thuộc lớp ξ tức là nếu ξ = x thì ξ =x + F ={ x + y y ∈ F } Do F là một tập đóng trong E nên ξ= x + F là một tập đóng trong E. = Trong F đặt ξ inf x , x ∈ ξ . Khi đó ξ là một chuẩn. Thật vậy ta kiểm tra ba tiên đề : 1) Vì x ≥ 0 với mọi x ∈ E nên với mọi x ∈ ξ thì x ≥ 0 do đó = ξ inf x ≥ 0 Giả sử ξ = 0 theo định nghĩa của inf thì tồn tại dãy { xn } ⊂ ξ mà xn → 0 do ξ là tập đóng nên 0 ∈ ξ . Vậy ξ là lớp chứa 0 tức là ξ = 0 ∈ E F Ngược lại nếu ξ là lớp 0 dễ dàng ta thấy rằng= : ξ inf = x 0 x∈ξ Tóm lại ξ = 0 khi và chỉ khi ξ = 0 . 2) Với r ∈ R và ξ ∈ E F ta có : =rξ = = inf rx inf inf x r ξ r x r= x∈ξ x∈ξ x∈ξ Hay rξ = r ξ 3) Cho ξ ,η ∈ E F lúc đó với mọi ε > 0 bao giờ cũng tồn tại x ∈ ξ , y ∈η sao cho : x ≤ ξ +ε, y ≤ η +ε . Ta có x + y ≤ ξ + η + 2ε (1)
- 15 - Mặt khác x + y ≤ M ( x + y ) kết hợp với (1) Suy ra x + y ≤ M ( ξ + η + 2ε ) ( 2) Do x + y ∈ ξ + η nên ξ + η ≤ x + y Kết hợp với (2) ta có : ξ + η ≤ M ( ξ + η + 2ε ) Do ε tùy ý, ta suy ra ξ + η ≤ M ( ξ + η ) = Vậy ξ inf x , x ∈ ξ là một chuẩn xác định trên E/F. Khi đó E/F cũng là không gian Banach. 1.2.6 Định lý Nếu E là không gian Banach và F là không gian con đóng của E thì E F là không gian Banach. Chứng minh : Sách Giải tích hàm, Đậu Thế Cấp, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam trang 39. 1.2.7 Định lý Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương : a) f là liên tục đều b) f là liên tục c) f liên tục tại điểm 0 ∈ E d) f bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho f ( x ) ≤ k x với mọi x ∈ E . Chứng minh : [5, tr. 29]. 1.2.8 Định lý Đẳng cấu đại số f : E → F là đẳng cấu nếu và chỉ nếu tồn tại các số dương a và b sao cho a x ≤ f ( x ) ≤ b x với mọi x ∈ E .
- 16 - Chứng minh : [5,tr. 29]. 1.2.9 Định lý Nếu f : E → F và g : F → G là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì gf là ánh xạ tuyến tính liên tục và gf ≤ g f Chứng minh : [5, tr 32]. Định lý 1.2.10 (Định lý ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục từ không gian Banach E lên một không gian Banach F là mở, tức là với mọi tập mở U ⊂ E , f (U ) là tập mở trong F. Chứng minh : [5, tr. 56]. §3. PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN BANACH Định nghĩa 1.3.1 Ta kiểm tra được lớp tất cả các không gian Banach và các ánh xạ tuyến tính liên tục thỏa mãn các tiên đề về phạm trù và ta gọi nó là phạm trù các không gian Banach. Trong đó, lớp các vật là các không gian Banach và các cấu xạ là các ánh xạ tuyến tính liên tục và luật hợp thành là phép lấy tích hai cấu xạ. Ta kí hiệu phạm trù các không gian Banach là 𝔅. Thật vậy: Gọi 𝔅 là lớp tất cả các không gian Banach. Với mọi A, B ∈ 𝔅 tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục (mà ta nói là các cấu xạ) từ A đến B là tập: Hom ( A = , B ) {ϕ : A → B} (với ϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục).
- 17 - ♦ Ta có ba đặc điểm sau đây không chỉ có trong phạm trù các môđun mà còn có ở nhiều các phạm trù thông dụng khác của toán học. Đó là: - Sự tồn tại của vật không (O). - Sự tồn tại tổng trực tiếp hai vật. - Sự tồn tại cấu trúc nhóm cộng aben cho mỗi cặp cấu xạ Hom(A,B) sao cho luật hợp thành các cấu xạ là cộng tính. Trong 𝔅 ta có :  Vật : là các không gian Banach  Cấu xạ : là các ánh xạ tuyến tính liên tục  Nếu ϕ : A → B và ψ : B → C là các ánh xạ tuyến tính liên tục thì luật hợp thành là phép nhân ánh xạ. Lúc đó ψ .ϕ : A → C là ánh xạ tuyến tính liên tục.  Trong phạm trù 𝔅 với mọi A ∈ 𝔅 thì cấu xạ đồng nhất là ánh xạ tuyến tính đồng nhất trên A : 1A : A → A (hiển nhiên 1A là liên tục) Ta kiểm tra ba tiêu chuẩn của phạm trù cộng tính trên phạm trù các không gian Banach : i) Hiển nhiên phạm trù các không gian Banach là phạm trù có vật không ii) Sự tồn tại tổng trực tiếp : Cho A1 , A2 là các không gian định chuẩn với các chuẩn xác định trên A1 , A2 lần lượt là . 1 , . 2 và đặt : A = A1 × A2 ={( a1 , a2 ) : a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 } . Trên A= A1 × A2 ta xác định phép toán cộng ( + ) giữa hai phần tử bất kỳ của A và phép nhân (.) một số thực r với một phần tử của A như sau : = Nếu a ( a1 , = a2 ) , b ( b1 , b2 ) ∈ A và r ∈ R thì : a + b= ( a1 , a2 ) + ( b1 , b2 ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) = ( a1 , a2 ) ra r= ( ra1 , ra2 )
- 18 - Dễ dàng kiểm tra được với hai phép toán trên biến tập hợp A= A1 × A2 thành một không gian Banach. Thật vậy : ▪ Trên A= A1 × A2 ta xác định một phiếm hàm . : A → R như sau : = Với mọi a ( a1 , a2 ) ∈ A đặt = a a1 1 + a2 2 . được xác định như trên đúng là một chuẩn trên A. Thật vậy : Ta kiểm tra . thỏa mãn ba tiên đề về chuẩn : = 1. Với mọi a ( a1 , a2 ) ∈ A ta có a = a1 1 + a2 2 ≥ 0 do a1 1 ≥ 0 và a2 2 ≥0  a1 1 = 0 a1 = 0 a = 0 ⇔ a1 1 + a2 =0 ⇔  ⇔ ⇔ a = ( a1 , a2 ) = 0  a2 2 = 0  a2 = 0 2 2. Với mọi r ∈ R= và a ( a1 , a2 ) ∈ A suy ra ra = ( ra1 , ra2 ) Ta có ra = ra1 1 + ra2 2 = r a1 1 + r a2 2 = r ( a1 1 + a2 2 ) =r a = 3. Với a a2 ) , b ( b1 , b2 ) ∈ A thì : a + b = ( a1 + b1 , a2 + b2 ) ( a1 , = Ta có : a + b = a1 + b1 1 + a2 + b2 2 ≤ a1 1 + b1 1 + a2 2 + b2 2 =( a1 1 + a2 2 )+( b 1 1 + b2 2 ) =a + b Vậy . được xác định như trên là một chuẩn trên A nên A là một không gian định chuẩn. ▪ Ta chứng minh A cũng là một không gian Banach : ( ) Lấy dãy {an } : an = a1n , a2n là một dãy Cauchy trong A. Khi đó tồn tại n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 thì (( a m 1 ) , a2m ) − ( a1n , a2n ) → 0 ⇒ ( a1m − a1n , a2m − a2n ) → 0 khi n, m → ∞