Luận văn tiến sĩ toán học: Phân lớp đối đồng điều các Ann - hàm tử và các Ann - phạm trù bện

Chia sẻ: Nguyễn Thị Bích Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:114

Thêm vào BST

Báo xấu

104
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

khái niệm phạm trù monoidal hay tensor phạm trù được đề xuất bởi S.mac lane, j.benabou vào năm 1963. Mỗi phạm trù monoidal là một tựa vị nhóm, trong đó tập nền C được thay thế bởi một phạm trù và phép toán nhân m:CxC -C được thay thế bởi một hàm tử

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn tiến sĩ toán học: Phân lớp đối đồng điều các Ann - hàm tử và các Ann - phạm trù bện

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HÀ N I −−−−−−−−− Đ NG ĐÌNH HANH PHÂN L P Đ I Đ NG ĐI U CÁC ANN-HÀM T VÀ CÁC ANN-PH M TRÙ B N Chuyên ngành: Đ i s và Lý thuy t s Mã s : 62. 46. 05. 01 LU N ÁN TI N SĨ TOÁN H C Hà N i - 2011
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HÀ N I −−−−−−−−− Đ NG ĐÌNH HANH PHÂN L P Đ I Đ NG ĐI U CÁC ANN-HÀM T VÀ CÁC ANN-PH M TRÙ B N Chuyên ngành: Đ i s và Lý thuy t s Mã s : 62. 46. 05. 01 LU N ÁN TI N SĨ TOÁN H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS. TS. NGUY N TI N QUANG Hà N i - 2011
L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a tôi đư c vi t chung v i các đ ng tác gi . K t qu vi t chung v i các tác gi khác đã đư c s nh t trí c a các đ ng tác gi khi đưa vào lu n án. Các s li u, các k t qu đư c trình bày trong trong lu n án là trung th c và chưa t ng đư c ai công b trong b t kỳ công trình nào khác. Tác gi Đ ng Đình Hanh
L I C M ƠN Lu n án đư c hoàn thành dư i s hư ng d n c a PGS. TS. Nguy n Ti n Quang. Th y đã d n d t tác gi làm quen v i nghiên c u khoa h c t khi tác gi đang là sinh viên. Ngoài nh ng ch d n v m t khoa h c, s đ ng viên và lòng tin tư ng c a Th y dành cho tác gi luôn là đ ng l c l n giúp tác gi t tin và say mê trong nghiên c u. Qua đây tác gi xin bày t s bi t ơn sâu s c và lòng quý m n đ i v i Th y. Tác gi xin chân thành c m ơn các th y cô và các b n đ ng nghi p trong B môn Đ i s và Lý thuy t s , các th y cô và các b n đ ng nghi p trong khoa Toán -Tin đã t o m t môi trư ng công tác và nghiên c u thu n l i giúp tác gi hoàn thành lu n án này. Tác gi xin c m ơn Ths. Nguy n Thu Th y v nh ng s giúp đ chân thành. Tác gi xin chân thành c m ơn Ban Giám hi u Trư ng Đ i h c Sư ph m Hà N i, Phòng Sau đ i h c và BCN khoa Toán - Tin đã t o nh ng đi u ki n thu n l i trong quá trình tác gi h c t p, công tác và hoàn thành lu n án này. Tác gi xin chân thành c m ơn GS. TS. Nguy n Qu c Th ng, GS. TS. Lê Văn Thuy t, PGS. TS. Lê Th Thanh Nhàn và hai th y/cô ph n bi n đ c l p v nh ng góp ý b ích đ lu n án đư c hoàn thi n hơn. Cu i cùng, tác gi xin đư c bày t lòng bi t ơn đ n ông bà, b m , anh ch em hai bên n i ngo i, cùng v . Gia đình là ngu n đ ng viên và đ ng l c to l n đ i v i tác gi . Tác gi
1 M cl c M đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B ng ký hi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 B ng thu t ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Sơ đ liên h gi a các chương, m c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 M T S KI N TH C CHU N B 15 1.1 Ph m trù monoidal b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 ⊗-ph m trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Ph m trù monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.3 Hàm t monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.4 Mũi tên hàm t monoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.5 Ph m trù monoidal b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Gr-ph m trù và P ic-ph m trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3 Ann-ph m trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Đ nh nghĩa và ví d v Ann-ph m trù . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Đ nh nghĩa Ann-hàm t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.3 Ann-ph m trù thu g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Đ i đ ng đi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.1 Nhóm đ i đ ng đi u Mac Lane c a các vành . . . . . . . . 32 1.4.2 Nhóm đ i đ ng đi u Hochschild c a các đ i s . . . . . . . 35 2 M T S K T QU V ANN-PH M TRÙ VÀ ANN- HÀM T 37 2.1 Phân l p đ i đ ng đi u c a các Ann-hàm t . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Tiêu chu n tương đương c a m t Ann-hàm t . . . . . . . 37 2.1.2 Ann–hàm t ki u (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.3 Ann-hàm t và các nhóm đ i đ ng đi u chi u th p c a vành theo nghĩa Mac Lane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 2.1.4 Ann-hàm t và đ i đ ng đi u Hochschild . . . . . . . . . . 45 2.1.5 ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Đ i ng u c a Ann-ph m trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3 M i liên h gi a Ann-ph m trù và vành ph m trù . . . . . . . . . 66 3 ANN-PH M TRÙ B N 72 3.1 Đ nh nghĩa và ví d v Ann-ph m trù b n . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Tính ph thu c trong h tiên đ c a Ann-ph m trù b n . . . . . . 76 3.3 M i liên h v i ph m trù có tính phân ph i c a M. L. Laplaza . . 79 3.4 M i liên h v i ph m trù t a vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4 PHÂN L P Đ I Đ NG ĐI U CÁC ANN-PH M TRÙ B N 86 4.1 Ann-hàm t b n và phép chuy n c u trúc. Ann-ph m trù b n thu g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Phân l p các Ann-hàm t b n ki u (p, q) . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Các đ nh lý phân l p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 DANH M C CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN Đ N LU N ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 TÀI LI U THAM KH O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 CH M C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3 M Đ U I. Lý do ch n đ tài Khái ni m ph m trù monoidal hay tensor ph m trù đư c đ xu t b i S. Mac Lane [29], J. Bénabou [51] vào năm 1963. M i ph m trù monoidal là m t t a v nhóm, trong đó t p n n C đư c thay th b i m t ph m trù và phép toán nhân m : C × C → C đư c thay th b i m t hàm t . Trong [29], S. Mac Lane đã đưa ra đi u ki n đ cho tính kh p c a các ràng bu c t nhiên c a m t ph m trù monoidal; và đi u ki n đ cho tính kh p c a l p ph m trù monoidal đ i x ng, t c là m t ph m trù monoidal có thêm ràng bu c giao hoán. Bài toán kh p cho l p ph m trù monoidal thư ng đư c suy ra t m t k t qu m nh hơn: m i ph m trù monoidal đ u tương đương v i m t ph m trù monoidal ch t ch , t c là m t ph m trù monoidal có các ràng bu c đ u là nh ng phép đ ng nh t. K t qu này đã đư c ch ng minh b i m t vài tác gi như N. D. Thu n [50], C. Kassel [23], P. Schauenburg [48]. Vi c xem xét các m i liên h ph thu c c a m t s tiên đ trong h tiên đ c a m t ph m trù monoidal đ i x ng đã đư c G. M. Kelly trình bày trong [26]. Sau này, S. Kasangian và F. Rossi đã xem xét thêm m t s m i liên h v tính đ i x ng trong m t ph m trù monoidal [24]. Ph m trù monoidal đư c "m n hóa" đ tr thành ph m trù v i c u trúc nhóm, khi b sung thêm khái ni m v t kh ngh ch (Xem M. L. Laplaza [28], N. Saavedra Rivano [54]). Bây gi , n u ph m trù n n là m t groupoid (nghĩa là m i mũi tên đ u đ ng c u) thì ta đư c khái ni m monoidal category group-like (xem A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall [16]), hay Gr-category (xem H. X. Sính [55]), hay o nhóm ph m trù [6, 7, 8, 17], ho c 2-nhóm [4, 12, 19] theo cách g i g n đây. Các Gr-ph m trù đã đư c phân l p b i nhóm đ i đ ng đi u nhóm H 3 (G, A) (xem [55]). Trong trư ng h p nhóm ph m trù có thêm ràng bu c giao hoán, chúng ta thu đư c khái ni m ph m trù Picard (Pic-ph m trù ) [55], hay nhóm ph m trù đ i x ng [5] ho c 2-nhóm đ i x ng [12, 19]. Tâm c a ph m trù monoidal đư c gi i thi u b i A. Joyal và R. Street, như là s khái quát hóa c a khái ni m tâm c a m t v nhóm. Tâm c a m t ph m trù monoidal cung c p m t c u trúc b n t nhiên và t m thư ng, đó là m t tensor ph m trù b n hay m t ph m trù monoidal b n và nói chung không đ i x ng. Sau đó, tâm c a ph m trù xu t hi n như m t công c đ nghiên c u nhóm ph m
4 trù [6] và nhóm ph m trù phân b c [17]. Trong [11], A. Davydov đã nghiên c u v tâm đ y c a m t đ i s trong ph m trù tâm c a m t ph m trù monoidal và đã thi t l p b t bi n Morita c a xây d ng này b ng cách m r ng nó đ n các ph m trù môđun. Tâm c a ph m trù monoidal cũng xu t hi n trong bài toán đ i ng u c a các ph m trù monoidal đư c đưa ra b i S. Majid [32, 33]. Trong [20], A. Joyal và R. Street đã phân l p các nhóm ph m trù b n b i ph m trù các hàm quadratic (d a trên m t k t qu c a S. Eilenberg và S. Mac 3 Lane v s bi u di n hàm quadratic b i nhóm đ i đ ng đi u aben Hab (G, A) [13, 14]). Trư c đó, trư ng h p nhóm ph m trù đ i x ng (hay ph m trù Picard) đã đư c phân l p b i H. X. Sính [55]. Tình hu ng t ng quát hơn đ i v i các nhóm ph m trù Picard đư c đưa ra b i A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall v i tên g i nhóm ph m trù phân b c [16] (sau o này, A. Cegarra và E. Khmaladze g i là ph m trù Picard phân b c [10]). Các đ nh lý phân l p đ ng luân cho các nhóm ph m trù phân b c, các nhóm ph m trù b n phân b c, và trư ng h p riêng c a nó, các ph m trù Picard phân b c đã đư c trình bày theo th t trong [17], [9], [10]. T m i ph m trù như v y xu t hi n m t 3-đ i chu trình theo m t nghĩa nào đó mà m i l p tương đ ng c a các ph m trù cùng lo i là tương ng v i m t l p đ i đ ng đi u chi u 3. Các l p ph m trù có hai c u trúc monoidal đã thu hút đư c s quan tâm c a nhi u tác gi . Năm 1972, M. L. Laplaza [27] đã nghiên c u v l p ph m trù có tính phân ph i. K t qu chính c a [27] là ch ng minh đ nh lý kh p cho l p ph m trù này. Sau đó, trong [16], A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall đã đưa ra khái o ni m ph m trù t a vành v i ch ý là đưa ra m t h tiên đ m i g n hơn c a M. L. Laplaza [27]. Hai khái ni m này là nh ng hình th c hóa c a ph m trù các môđun trên m t vành giao hoán. Năm 1994, M. Kapranov và V. Voevodsky [25] đã b đi nh ng đòi h i trong h tiên đ c a M. L. Laplaza có liên quan đ n ràng bu c giao hoán c a phép nhân và đưa ra tên g i ph m trù vành cho l p ph m trù này. H đã s d ng ph m trù c a các không gian vectơ trên m t trư ng K , cùng v i tích tenxơ và t ng tr c ti p đ đ nh nghĩa các 2-không gian vectơ trên K . Các ph m trù vành đã đư c s d ng như m t công c đ nghiên c u các phương trình Zamolodchikov [25]. Đ có đư c nh ng mô t v c u trúc, cũng như đ có th phân l p đ i đ ng đi u, N. T. Quang đã đưa ra khái ni m Ann-ph m trù [36], như m t ph m trù hóa khái ni m vành, v i nh ng đòi h i v tính kh ngh ch c a các v t và c a các mũi tên c a ph m trù n n, tương t như trư ng h p c a nhóm ph m trù (xem
5 [6, 54, 55]). Nh ng đòi h i b sung này cũng không ph i quá đ c bi t, b i vì n u P là m t ph m trù Picard thì ph m trù End(P) các Pic-hàm t trên P là m t Ann-ph m trù (xem N. T. Quang [45]), đi u này đã đư c nh c l i trong [19]. M t khác, m i Ann-ph m trù m nh là m t ph m trù vành [35]. Năm 2008, N. T. Quang đã ch ng minh đư c r ng m i l p tương đ ng các Ann-ph m trù hoàn toàn đư c xác đ nh b i ba b t bi n: vành R, R−song môđun M và m t ph n t 3 thu c nhóm đ i đ ng đi u Mac Lane HM aL (R, M ) (xem [38]). Trư ng h p chính quy (ràng bu c đ i x ng th a mãn đi u ki n cX,X = id đ i v i m i v t X ) đã 3 đư c phân l p b i nhóm đ i đ ng đi u Shukla HSh (R, M ) (xem [2]). T các k t qu phân l p c a các Ann-ph m trù chính quy, Tr n Phương Dung đã gi i bài toán v s t n t i và phân l p các Ann-hàm t gi a các Ann-ph m trù chính quy [1]. M i Ann-ph m trù đư c xem như m t one-object c a Gpd-categories trong lu n án c a M. Dupont [12], hay như m t one-point enrichments of SPC c a V. Schmitt [49]. Năm 2006, M. Jibladze và T. Pirashvili [22] đã đưa ra khái ni m vành ph m trù v i nh ng s s a đ i t h tiên đ c a m t Ann-ph m trù. Tuy nhiên, m i liên h gi a hai h tiên đ c a Ann-ph m trù và vành ph m trù như th nào? Hai l p này có trùng nhau không, l p này ch a l p kia hay chúng ch giao nhau m t ph n? M t vành ph m trù còn đư c g i là m t 2-vành theo cách g i trong [12, 19]. Năm 2010, các tác gi F. Huang, S. H. Chen, W. Chen và Z. J. Zheng đã đ nh nghĩa các 2-môđun trên các 2-vành và đưa ra s bi u di n c a các 2-vành [19]. Bên c nh nh ng k t qu đã có v Ann-ph m trù, chúng tôi th y r ng v n còn có nh ng v n đ liên quan t i Ann-ph m trù c n đư c nghiên c u như: bài toán t n t i và phân l p các Ann-hàm t gi a các Ann-ph m trù trong trư ng h p t ng quát, m i liên h gi a Ann-ph m trù và vành ph m trù, tính b n trong l p Ann-ph m trù,... Vì v y, chúng tôi vi t lu n án v i tiêu đ : "Phân l p đ i đ ng đi u các Ann-hàm t và các Ann-ph m trù b n" đ gi i quy t nh ng v n đ nêu trên. II. M c đích nghiên c u M c đích nghiên c u c a lu n án bao g m: s d ng đ i đ ng đi u vành c a Mac Lane đ nghiên c u các Ann-hàm t , xây d ng Ann-ph m trù c m sinh b i m t Ann-hàm t và xem xét m i liên h gi a hai h tiên đ c a Ann-ph m trù và vành ph m trù; đưa ra đ nh nghĩa Ann-ph m trù b n và m t trư ng h p
6 riêng c a nó là Ann-ph m trù đ i x ng, đưa ra các ví d , xem xét m i liên h gi a Ann-ph m trù đ i x ng v i các ph m trù có tính phân ph i và ph m trù t a vành, xây d ng ph m trù thu g n cho l p Ann-ph m trù b n và ti n hành phân l p các Ann-ph m trù b n. III. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u Đ i tư ng nghiên c u c a lu n án bao g m: Ann-ph m trù, Ann-hàm t và tính b n (và m t trư ng h p riêng c a nó là tính giao hoán) trong l p Ann-ph m trù. Ph m vi nghiên c u c a lu n án là nh ng bài toán thư ng g p c a lý thuy t ph m trù v i c u trúc, đó là bài toán phân l p, xây d ng các ví d c th , nghiên c u các tính ch t, các m i liên h ph thu c c a các tiên đ và m i liên h gi a nh ng l p ph m trù có c u trúc tương t nhau. IV. Phương pháp nghiên c u Ngoài nh ng phương pháp nghiên c u lý thuy t truy n th ng, trong lu n án này chúng tôi s d ng tri t đ phương pháp bi u đ c a lý thuy t ph m trù đ ch ng minh các bi u đ giao hoán, thay cho các bi n đ i đ ng th c tr u tư ng. V. Nh ng đóng góp m i c a lu n án Lu n án đã đóng góp m t s k t qu m i v Ann-ph m trù. K t qu chính đ u tiên là s d ng các nhóm đ i đ ng đi u vành c a Mac Lane đ ti n hành gi i bài toán t n t i và phân l p các Ann-hàm t (Đ nh lý 2.1.8, Đ nh lý 2.1.9). K t qu chính th hai c a lu n án là xây d ng Ann-ph m trù đ i ng u c a m t Ann-hàm t (Đ nh lý 2.2.10). Đây là m t phép d ng m i ngoài phép d ng Ann-ph m trù c a m t đ ng c u chính quy trong bài toán m r ng vành. K t qu ti p theo c a lu n án là Đ nh lý 2.3.3. Đ nh lý đã ch ra r ng các Ann-ph m trù là ch a trong các vành ph m trù. Ngư c l i, m i vành ph m trù khi b sung thêm m t tiên đ v s tương thích v i các ràng bu c đơn v s tr thành m t Ann-ph m trù (Đ nh lý 2.3.4). Nh ng đóng góp ti p theo c a lu n án có liên quan đ n tính b n trong l p Ann-ph m trù. Đ nh lý 3.1.6 ch ra: Tâm c a m t Ann-ph m trù là m t Ann- ph m trù b n và nói chung không đ i x ng, đây là m t k t qu ti p n i các k t qu v tâm c a m t ph m trù monoidal đã đư c đưa ra trong [21]. Trên cơ s xem xét m i liên h gi a Ann-ph m trù đ i x ng v i các ph m trù có tính phân
7 ph i và ph m trù t a vành, lu n án đã ch ra s tương đương c a hai h tiên đ : ph m trù có tính phân ph i và ph m trù t a vành (M nh đ 3.13), m t kh ng đ nh đư c A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall đưa ra nhưng không có ch ng minh [16]. o Trong chương 4 c a lu n án, trư c h t chúng tôi ch ng minh s tương đ ng c a m i Ann-ph m trù b n v i m t Ann-ph m trù b n ki u (R, M ) (M nh đ 4.1.6, M nh đ 4.1.7). T đây, k t h p v i các k t qu v s t n t i và phân l p các Ann-hàm t b n (Đ nh lý 4.2.6), chúng tôi đưa ra và ch ng minh các đ nh lý phân l p cho các Ann-ph m trù b n (Đ nh lý 4.3.1, Đ nh lý 4.3.2). Nh ng k t qu này cùng ki u v i nh ng k t qu v s phân l p các nhóm ph m trù b n phân b c, và m t trư ng h p riêng c a nó là ph m trù Picard phân b c, đã đư c A. Cegarra và E. Khmaladze đưa ra năm 2007 ([9, 10]). VI. Ý nghĩa khoa h c và th c ti n c a lu n án Bên c nh nh ng công trình nghiên c u v nh ng l p ph m trù có hai c u trúc monoidal đã đư c đưa ra b i M. L. Laplaza, A. Fr¨hlich và C. T. C. Wall, N. o T. Quang, M. M. Kapranov và V. A. Voevodsky, M. Jibladze và T. Pirashvili, V. Schmitt, M. Dupont, ... lu n án đã làm phong phú thêm nh ng k t qu cho l p ph m trù này. Đ ng th i, lu n án đã nghiên c u v tính b n trong l p Ann- ph m trù, đi u này trư c đây ch th c hi n cho l p ph m trù có m t c u trúc monoidal. Các k t qu mà lu n án đ t đư c b sung thêm các k t qu đã có v vi c chuy n các k t qu c a lý thuy t đ i s thu n túy lên lý thuy t ph m trù, góp ph n phát tri n lý thuy t ph m trù nói riêng cũng như s phát tri n chung c a Toán h c hi n đ i. VII. B c c c a lu n án Ngoài các ph n l i cam đoan, l i c m ơn, m t s ký hi u dùng trong lu n án, m đ u, k t lu n, các công trình có liên quan đ n lu n án, m c l c, tài li u tham kh o và b n danh m c các t khóa, lu n án g m b n chương sau. Chương 1: M t s ki n th c chu n b . Trình bày v m t s ki n th c và m t s k t qu có liên quan đ n lu n án, bao g m: Ph m trù monoidal b n, ph m trù monoidal đ i x ng, Gr-ph m trù, P ic-ph m trù, Ann-ph m trù. Ph n cu i c a chương 1 trình bày v hai l p đ i đ ng đi u: đ i đ ng đi u vành c a Mac Lane và đ i đ ng đi u đ i s c a Hochschild, đ s d ng cho nh ng k t qu phân l p chương 2 và chương 4.
8 Chương 2: M t s k t qu v Ann-ph m trù và Ann-hàm t . Chương này đư c vi t d a theo [42, 43, 45] và đư c trình bày trong ba m c. Toàn b chương này trình bày v hai l p ph m trù v i c u trúc vành, đó là Ann-ph m trù [2] và vành ph m trù [22]. M c 2.1 đưa ra m t tiêu chu n tương đương c a Ann-hàm t , t đó bài toán v s t n t i và phân l p các Ann-hàm t đã đư c gi i quy t nh các nhóm đ i đ ng đi u vành c a Mac Lane, và trong m t trư ng h p riêng, chúng tôi đã s d ng đ i đ ng đi u Hochschild đ phân l p các Ann-hàm t m nh. M c 2.2 trình bày v cách xây d ng đ i ng u B∗ c a m t c p (B, F ) trong A, trong đó F : B → A là m t Ann-hàm t . Trong trư ng h p F = idA , thì đ i ng u A∗ chính là tâm c a m t Ann-ph m trù đư c trình bày trong [44]. M c 2.3 trình bày v m i liên h gi a hai khái ni m Ann-ph m trù và vành ph m trù v i k t qu đ t đư c là: m i Ann-ph m trù đ u là m t vành ph m trù; ngư c l i, m i vành ph m trù khi b sung thêm m t tiên đ thì s tr thành m t Ann-ph m trù. Chương 3: Ann-ph m trù b n. Chương này đư c vi t d a theo [44], bao g m b n m c. M c 3.1 trình bày v khái ni m Ann-ph m trù b n, Ann-ph m trù đ i x ng và nh ng ví d v hai l p ph m trù này. Trong nh ng ví d đó, đáng lưu ý là ví d v tâm c a m t Ann-ph m trù, m t trư ng h p riêng c a phép xây d ng đ i ng u c a c p (A, idA ) đã đư c trình bày chương 2, v i k t qu đ t đư c là: tâm c a m t Ann-ph m trù là m t Ann-ph m trù b n và nói chung không đ i x ng. M c 3.2 xét tính không đ c l p c a m t s tiên đ có liên quan đ n ràng bu c phân ph i bên ph i trong h tiên đ c a m t Ann-ph m trù b n. Các m c 3.3 và 3.4 thi t l p các m i liên h gi a Ann-ph m trù đ i x ng v i các l p ph m trù có hai c u trúc monoidal đ i x ng đã bi t, đó là ph m trù có tính phân ph i c a M. L. Laplaza và ph m trù t a vành c a A. Fr¨hlich và o C. T. C. Wall. Nh xét các m i liên h này, m c 3.3 ch ra s ph thu c c a b n tiên đ trong h tiên đ c a ph m trù có tính phân ph i, đ ng th i suy ra đư c đ nh lý kh p cho l p Ann-ph m trù đ i x ng. M c 3.4 ch ng t r ng hai h tiên đ ph m trù có tính phân ph i và ph m trù t a vành là tương đương. Chương 4: Phân l p đ i đ ng đi u c a các Ann-ph m trù b n. Chương này đư c vi t d a theo [46] và đư c chia thành ba m c. Trong m c đ u tiên chúng tôi trình bày v m t s tính ch t c a Ann-hàm t b n và ch ng minh
9 đ nh lý chuy n c u trúc cho l p Ann-ph m trù b n, t đó chúng tôi ti n hành xây d ng Ann-ph m trù b n thu g n c a m t Ann-ph m trù b n b t kỳ. Trong m c 4.2, chúng tôi gi i quy t bài toán t n t i và phân l p các Ann-hàm t b n. K t qu chính c a chương này n m trong m c 4.3. D a trên các k t qu v Ann-ph m trù thu g n và s phân l p các Ann-hàm t b n, m c này trình bày các đ nh lý phân l p c a các Ann-ph m trù b n (Đ nh lý 4.3.1, Đ nh lý 4.3.2).
10 B NG KÝ HI U Ký hi u Nghĩa C, D ph m trù monoidal A, B Ann-ph m trù, Ann-ph m trù b n SA Ann-ph m trù (b n) thu g n c a A (R, M, h) Ann-ph m trù (R, M, h, β) Ann-ph m trù b n S Ann-ph m trù (b n) ki u (R, M, h) ((R, M, h, β)) R vành ph m trù (2-ph m trù) P ph m trù Picard (Pic-ph m trù) ZC tâm c a ph m trù C CA tâm c a Ann-ph m trù A Ob(C) t p các v t c a ph m trù C XY = X ⊗ Y tích tenxơ c a hai v t X và Y a+ ràng bu c k t h p c a phép c ng a ràng bu c k t h p c a phép nhân c+ ràng bu c giao hoán c a phép c ng c ràng bu c giao hoán (b n) c a phép nhân (0, g, d) ràng bu c đơn v c a phép c ng (1, l, r) ràng bu c đơn v c a phép nhân idX mũi tên đ ng nh t c a v t X L(R) ràng bu c phân ph i bên trái (ph i) ˆ (F, F , F ) hàm t monoidal idC hàm t đ ng nh t c a ph m trù C ˘ (F, F , F , F ∗ ) Ann-hàm t ˘ ˘ (H, H, H), (G, G, G) các Ann-hàm t (b n) chính t c u:F →F mũi tên hàm t Aut(F ) t p các t mũi tên c a F [X] l p tương đương c a X π0 (A) t p các l p v t c a ph m trù A π1 (A) = Aut(0) t p các t mũi tên c a v t 0 MA (PA ) vành các song tích (ngoài) c a vành A CA song tâm c a vành A
11 n ZM acL nhóm các n-đ i chu trình c a vành theo nghĩa Mac Lane n BM acL nhóm các n-đ i b c a vành theo nghĩa Mac Lane n HM acL nhóm đ i đ ng đi u th n c a vành theo nghĩa Mac Lane n ZHoch nhóm các n-đ i chu trình c a các Z-đ i s theo nghĩa Hochschild n BHoch nhóm các n-đ i b c a các Z-đ i s theo nghĩa Hochschild n HHoch nhóm đ i đ ng đi u th n c a các Z-đ i s theo nghĩa Hochschild
12 B NG THU T NG D ch Thu t ng ph m trù category ph m trù monoidal monoidal category ph m trù monoidal đ i x ng symmetric monoidal category tenxơ ph m trù b n braided tensor category nhóm ph m trù categorical group nhóm ph m trù đ i x ng symmetric cat-group nhóm ph m trù phân b c graded categorical group ph m trù Picard phân b c graded Picard category vành ph m trù categorical ring ph m trù vành ring category ph m trù t a vành ring-like category ph m trù có tính phân ph i distributivity category hàm t functor hàm t monoidal monoidal functor hàm t monoidal đ i x ng symmetric monoidal functor hàm t monoidal b n braided monoidal functor tương đương monoidal monoidal equivalence m r ng extension tương đ ng congruence 2-nhóm 2-group 2-nhóm đ i x ng symmetric 2-group 2-vành 2-ring phép bi n đ i t nhiên natural transformation phép bi n đ i monoidal t nhiên monoidal natural transformation ràng bu c constraint ràng bu c k t h p associativity constraint ràng bu c giao hoán commutativity constraint ràng bu c đơn v unit constraint ràng bu c phân ph i distributivity constraint c u trúc monoidal monoidal structure đ nh lý phân l p classification theorem
13 đ nh lý kh p coherence-theorem lý thuy t c n tr obstruction theory v t không zero object v t đơn v unit object v t chính quy regular object
14 SƠ Đ M I LIÊN H GI A CÁC CHƯƠNG, M C II.1 ' } c II.2 II.3 i T I.1 E I.2 E I.3 ' I.4 & & & & & & & & & & & & c&a& A a && E III.1 E III.2 E III.3 ' E III.4 c IV.1 E IV.2 E IV.3 ' T T
15 Chương 1 M TS KI N TH C CHU N B Ph m trù v i c u trúc đã thu hút đư c s quan tâm c a nhi u tác gi . S. Mac Lane đã đưa ra khái ni m ph m trù monoidal ([29], 1963), Hoàng Xuân Sính đã đưa ra khái ni m Gr-ph m trù ([55], 1975), A. Joyal và R. Street đã đưa ra khái ni m ph m trù monoidal b n ([21], 1991). Nh ng k t qu cơ b n v Ann-ph m trù đã đư c trình bày trong Lu n án Ti n sĩ c a Nguy n Ti n Quang ([2], 1988). Trong chương này, chúng tôi nh c l i nh ng khái ni m và k t qu ch y u, dùng làm cơ s cho các chương sau. Ph n cu i c a chương trình bày v các nhóm đ i đ ng đi u vành c a S. Mac Lane và đ i đ ng đi u đ i s c a Hochschild. Các nhóm đ i đ ng đi u này s đư c s d ng vào bài toán phân l p các Ann-hàm t . Trong toàn b lu n án này, đôi khi chúng ta vi t XY thay cho tích tenxơ X ⊗ Y c a hai v t. Các bi u đ đư c s d ng thư ng xuyên đ vi c theo dõi các các ch ng minh đư c thu n l i. 1.1 Ph m trù monoidal b n 1.1.1 ⊗-ph m trù Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho m t ph m trù C . M t hàm t ⊗ : C × C −→ C đư c g i là m t phép toán- hay m t lu t trên C . Khi đó ph m trù C v i phép toán ⊗ đư c g i là m t ⊗−ph m trù và thư ng đư c ký hi u (C, ⊗). Đ nh nghĩa 1.1.2. Cho C là m t ⊗-ph m trù, và A là m t v t c a C . Ta g i A là v t chính quy n u các hàm t F = − ⊗ A và G = A ⊗ − t C vào C là nh ng tương đương ph m trù. Đ nh nghĩa 1.1.3 (A-ph m trù). M t A-ph m trù C là m t ⊗-ph m trù C cùng v i m t đ ng c u t nhiên ∼ aX,Y,Z : A ⊗ (B ⊗ C) −→ (A ⊗ B) ⊗ C, A, B, C ∈ Ob(C),
16 th a mãn bi u đ giao hoán (còn g i là tiên đ ngũ giác) sau a A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D)) E (A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)) id ⊗a a c c A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D) ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D (1.1) rr B ¨ r ¨¨ a r ¨ a⊗id rr j ¨¨ (A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D v i m i v t A, B, C, D c a C . Đ ng c u t nhiên a còn đư c g i là m t ràng bu c k t h p. Trong trư ng h p A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C và aA,B,C = id thì a = id g i là ràng bu c k t h p ch t ch và C đư c g i là A-ph m trù ch t ch . 1.1.2 Ph m trù monoidal Đ nh nghĩa 1.1.4 (Ph m trù monoidal). M t ph m trù monoidal (hay m t AU-ph m trù ) C là m t A-ph m trù C cùng v i m t v t 1 ∈ Ob(C) và hai đ ng c u t nhiên lA : 1 ⊗ A → A; rA : A ⊗ 1 → A, th a mãn đi u ki n l1 = r1 và làm cho bi u đ sau giao hoán v i m i v t A, B c a C: aA,1,B A ⊗ (1 ⊗ B) E (A ⊗ 1) ⊗ B rr ¨¨ (1.2) id ⊗lB r j ¨ rA ⊗id % A⊗B B ba (1, l, r) đư c g i là m t ràng bu c đơn v . Ph m trù monoidal C đư c ký hi u là (C, ⊗, a, (1, l, r)). Đ đơn gi n ta có th ký hi u ph m trù monoidal C là (C, ⊗). Chú ý 1.1.5. 1) Ràng bu c đơn v đư c g i là ch t ch n u các đ ng c u l, r đ u là đ ng nh t. 2) M t ph m trù monoidal (C, ⊗, a, (1, l, r)) đư c g i là ph m trù monoidal ch t ch n u các ràng bu c a, l, r đ u là đ ng nh t.