Luận án Tiến sĩ Toán học: Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:295

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án Tiến sĩ Toán học "Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế" trình bày tổng quan kết quả của một số nghiên cứu về các loại kiến thức hỗ trợ cho giải quyết vấn đề toán học; Khảo sát khả năng sử dụng kiến thức khái niệm, kiến thức quy trình và kết hợp ba loại kiến thức về nội dung phương trình trong giải quyết vấn đề của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Kết hợp kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình trong giải quyết các vấn đề thực tế

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ MINH PHƯƠNG KẾT HỢP KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRONG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ LUẬN ÁN TIẾN SĨ LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Huế, 2022
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ THỊ MINH PHƯƠNG KẾT HỢP KIẾN THỨC QUY TRÌNH VÀ KIẾN THỨC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRONG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 9140111 LUẬN ÁN TIẾN SĨ LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. TRẦN VUI 2. TS. NGUYỄN THỊ TÂN AN Huế, 2022
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các số liệu và kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công bố bởi bất kỳ tác giả nào hay ở bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác. Tác giả Hồ Thị Minh Phương i
LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô giáo thuộc Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế, Khoa Toán và Thống kê Trường Đại học Quy Nhơn, Khoa Sư phạm Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS.TS. Trần Vui. Thầy đã gợi ý và tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả thực hiện các hướng nghiên cứu của luận án. Thầy đã tạo cho tác giả một môi trường và dạy cho tác giả một phong cách làm việc khoa học nghiêm túc, độc lập. Sự nghiêm túc và cần mẫn trong nghiên cứu khoa học của Thầy là tấm gương và là động lực để tác giả noi theo. Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Cô hướng dẫn, TS. Nguyễn Thị Tân An. Cô đã luôn ở bên hỗ trợ tác giả, đề nghị các ý tưởng và giúp tác giả chỉnh sửa luận án được hoàn thiện hơn. Tinh thần làm việc khoa học, nghiêm túc của Cô là tấm gương để tác giả học hỏi. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự hợp tác và giúp đỡ nhiệt tình từ phía Ban Giám hiệu, Tổ Toán, giáo viên và học sinh các trường THPT: Trường THPT Nguyễn Diêu, Trường THPT Hùng Vương (tỉnh Bình Định); Trường THPT Kon Tum, Trường THPT Lê Lợi (tỉnh Kon Tum); Trường THPT Phan Bội Châu (tỉnh Khánh Hòa); Trường THPT Phan Đình Phùng (tỉnh Phú Yên) trong trong thời gian tác giả tổ chức khảo sát và thực nghiệm dạy học phục vụ nghiên cứu đề tài luận án. Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Cô Hà Thị Ngọc Diệp và Thầy Nguyễn Xuân Toàn (Trường THPT Nguyễn Diêu), Thầy Hà Minh Yên (Trường THPT Hùng Vương), Thầy Lê Quang Việt (Trường THPT Phan Đình Phùng), Cô Nguyễn Thị Hồng Ánh và Thầy Trương Văn Vạn (Trường THPT Kon Tum), Cô Nguyễn Thị Thu Hà (Trường THPT Lê Lợi), Thầy Phan Thanh Tường (Trường THPT Phan Bội Châu) đã nhiệt tình cộng tác với tác giả trong thời gian thực nghiệm đề tài luận án. Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu. Huế, ngày tháng năm 2022 Tác giả Hồ Thị Minh Phương ii
CHỮ VIẾT TẮT BGDĐT: Bộ Giáo dục và Đào tạo CK: Conceptual knowledge (Kiến thức khái niệm) GDPT: Giáo dục phổ thông GQVĐ Giải quyết vấn đề GV: Giáo viên HS: Học sinh KTKN: Kiến thức khái niệm KTQT: Kiến thức quy trình NCTM: National Council of Teachers of Mathematics (Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ) NRC: National Research Council (Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ) OECD: The Organisation for Economic Co-operation and Development (Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế) PISA: Programme for International Student Assessment (Chương trình đánh giá học sinh quốc tế) PK: Procedural knowledge (Kiến thức quy trình) PT: Phương trình PTB1: Phương trình bậc nhất PTB2: Phương trình bậc hai Q: Question (Câu hỏi) SGK: Sách giáo khoa THPT: Trung học phổ thông iii
DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 1 (Chương 3, Đại số 10 cơ bản) ...................................................................................................... 28 Bảng 2.2. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 2 (Chương 3, Đại số 10 cơ bản) ...................................................................................................... 29 Bảng 2.3. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 3 (Chương 3, Đại số 10 cơ bản) ...................................................................................................... 29 Bảng 2.4. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 1 (Chương 3, Đại số 10 nâng cao) .................................................................................................. 31 Bảng 2.5. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 2 (Chương 3, Đại số 10 nâng cao) .................................................................................................. 32 Bảng 2.6. Các loại và số lượng bài tập đánh giá kiến thức trong Bài 3 (Chương 3, Đại số 10 nâng cao) .................................................................................................. 33 Bảng 2.7. Nội dung các kiểu kiến thức trong phân loại kiến thức PCK .................. 43 Bảng 2.8. Phân loại kiến thức PCK đối với phương trình một ẩn ........................... 44 Bảng 2.9. Phân loại kiến thức PCK đối với phương trình bậc nhất ......................... 45 Bảng 2.10. Các nhiệm vụ mẫu minh họa cho các kiểu kiến thức của phân loại kiến thức PCK đối với phương trình bậc nhất .................................................................. 46 Bảng 2.11. Phân loại kiến thức PCK đối với phương trình bậc hai ......................... 49 Bảng 2.12. Các nhiệm vụ mẫu minh họa cho các kiểu kiến thức của phân loại kiến thức PCK đối với phương trình bậc hai.................................................................... 50 Bảng 2.13. Thang đo năng lực thiết lập các tình huống bằng phương pháp toán học .. 55 Bảng 2.14. Thang đo năng lực vận dụng khái niệm, dữ kiện, quy trình và suy luận toán học .55 Bảng 2.15. Thang đo năng lực giải thích, áp dụng và đánh giá các kết quả toán học thu được56 Bảng 2.16. Thang đo thiết lập các tình huống bằng phương pháp toán học ............ 57 Bảng 2.17. Thang đo năng lực vận dụng khái niệm, dữ kiện, quy trình và suy luận toán học .................................................................................................... 58 Bảng 2.18. Thang đo năng lực giải thích, áp dụng và đánh giá các kết quả toán học thu được ..................................................................................................... 59 Bảng 3.1. Kế hoạch thực nghiệm trong giai đoạn 3 của nghiên cứu ....................... 71 iv
Bảng 3.2. Điểm trung bình tuyển sinh môn Toán của HS lớp 10 ở giai đoạn 2 và 3.... 73 Bảng 3.3. Nội dung và sự phân bố các kiểu kiến thức PCK trong phiếu khảo sát số 2 75 Bảng 3.4. Nội dung và sự phân bố các kiểu kiến thức PCK trong bài kiểm tra đầu vào ...................................................................................................... 76 Bảng 3.5. Nội dung và sự phân bố các kiểu kiến thức PCK trong phiếu kiểm tra hiểu khái niệm phương trình .................................................................................... 77 Bảng 3.6. Nội dung và sự phân bố các kiểu kiến thức PCK trong bài kiểm tra đầu ra.... 77 Bảng 3.7. So sánh nội dung các câu hỏi trong bài kiểm tra pretest và posttest ....... 78 Bảng 4.1. Ma trận các nhiệm vụ cùng với sự phân bố các kiểu kiến thức của phân loại kiến thức PCK trong bảng hỏi ........................................................................... 86 Bảng 4.2. Điểm trung bình của mỗi nhiệm vụ và các kiểu kiến thức trong bảng hỏi ... 86 Bảng 4.3. Phương pháp Kolmogorov-Smirnov kiểm tra tính chuẩn của phân phối tổng điểm.......................................................................................................... 88 Bảng 4.4. Hệ số Cronbach alpha của thang đo ........................................................ 89 Bảng 4.5. Hệ số Cronbach alpha của thang đo kiến thức khái niệm ....................... 90 Bảng 4.6. Hệ số Cronbach alpha của thang đo kiến thức quy trình ......................... 90 Bảng 4.7. Thống kê mô tả điểm số của HS đối với các biến quan sát KTKN và KTQT .......................................................................................................... 91 Bảng 4.8. Thống kê mô tả điểm số của HS đối với các biến quan sát khả năng kết hợp KTKN và KTQT về PTB1 trong GQVĐ .......................................................... 91 Bảng 4.9. Bảng tần số điểm số của từng nhiệm vụ .................................................. 92 Bảng 4.10. Bảng thống kê trung bình của dữ liệu khảo sát ..................................... 95 Bảng 4.11. Bảng thống kê trung bình của các thành tố của năng lực GQVĐ ......... 96 Bảng 4.12. Sự phân bố các kiểu kiến thức CK1, CK2, PCK của phân loại kiến thức PCK trong bài kiểm tra pretest và điểm trung bình của mỗi nhiệm vụ .................... 98 Bảng 4.13. Các tiêu chí đánh giá mức độ hiểu khái niệm phương trình của HS ... 110 Bảng 4.14. Tần số và tỉ lệ phần trăm tổng điểm của HS tham gia thực nghiệm ... 111 Bảng 4.15. Sự phân bố các kiểu kiến thức CK1, CK2, PCK của phân loại PCK trong bài kiểm tra posttest và điểm trung bình của mỗi nhiệm vụ ......................... 113 v
Bảng 4.16. So sánh tỉ lệ (%) đạt được của điểm trung bình từng kiểu kiến thức trong hai bài kiểm tra pretest và posttest ......................................................................... 122 Bảng 4.17. So sánh tỉ lệ (%) đạt được của điểm trung bình từng kiểu kiến thức của 17 nhiệm vụ trong bảng hỏi khảo sát và 11 nhiệm vụ trong bài kiểm tra posttest . 123 Bảng 4.18. Điểm trung bình các nhiệm vụ đánh giá năng lực GQVĐ của HS trong bài kiểm tra pretest ................................................................................................. 126 Bảng 4.19. Các tiêu chí đánh giá mức độ hiểu GQVĐ về phương trình của HS .. 132 Bảng 4.20. Thống kê mô tả mức độ đạt được của từng tiêu chí ............................ 133 Bảng 4.21. Tần số và tỉ lệ phần trăm tổng điểm của HS tham gia thực nghiệm ... 134 Bảng 4.22. Điểm trung bình của mỗi nhiệm vụ đánh giá năng lực GQVĐ của HS trong bài kiểm tra posttest ...................................................................................... 135 Bảng 4.23. So sánh tỉ lệ (%) đạt được của điểm trung bình từng kiểu kiến thức trong hai bài kiểm tra pretest và posttest ......................................................................... 136 Bảng 4.24. So sánh tỉ lệ (%) đạt được của điểm trung bình từng kiểu kiến thức của 17 nhiệm vụ trong bảng hỏi khảo sát và 11 nhiệm vụ trong bài kiểm tra posttest..136 vi
DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1. Quy trình giải quyết vấn đề thực tế của Blum & Leiss ........................... 14 Hình 2.1. Các kiểu kiến thức của phân loại kiến thức PCK .................................... 43 Hình 3.1. Ba giai đoạn thiết kế nghiên cứu ............................................................. 70 Hình 4.1. Biểu đồ so sánh tỉ lệ (%) đạt được của HS đối với từng nhiệm vụ qua hai bài kiểm tra ............................................................................................................. 122 Hình 4.2. Hình dạng của nền nhà để xe ................................................................. 131 Hình 4.3. So sánh tỉ lệ đạt được của HS đối với 8 nhiệm vụ trong bài kiểm tra pretest và posttest.................................................................................................... 135 vii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... ii CHỮ VIẾT TẮT ...................................................................................................... iii DANH MỤC BẢNG BIỂU ..................................................................................... iv DANH MỤC HÌNH ẢNH ...................................................................................... vii MỤC LỤC .............................................................................................................. viii MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 CHƯƠNG 1. ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ........................................................ 5 1.1. Ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề ........................................ 5 1.1.1. Kiến thức khái niệm ................................................................................... 6 1.1.2. Kiến thức quy trình .................................................................................... 7 1.1.3. Mối quan hệ giữa kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình .................. 8 1.1.4. Chất lượng và loại kiến thức .................................................................... 10 1.1.5. Kiến thức bối cảnh ................................................................................... 12 1.1.6. Kết nối ba loại kiến thức trong quá trình giải quyết vấn đề thực tế ........ 13 1.2. Năng lực toán học.................................................................................................... 16 1.2.1. Năng lực toán học và vai trò của ba loại kiến thức trong hình thành năng lực toán học của học sinh................................................................................... 16 1.2.2. Một số nghiên cứu liên quan đến năng lực toán học và mối quan hệ với ba loại kiến thức ..................................................................................................... 19 1.3. Thực trạng sử dụng ba loại kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến nội dung về phương trình ............................................................................................... 21 1.3.1. Vai trò của kiến thức về phương trình và thực trạng đánh giá ba loại kiến thức về phương trình trong chương trình Đại số 10 .......................................... 21 1.3.2. Những khó khăn của học sinh trong việc sử dụng ba loại kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến nội dung về phương trình .................... 22 1.4. Đặt vấn đề nghiên cứu ............................................................................................ 23 1.5. Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu ......................................................... 24 viii
CHƯƠNG 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU ....................................... 27 2.1. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về phương trình .............................. 27 2.2.1. Nội dung phương trình trong sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản .............. 27 2.2.2. Nội dung phương trình trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao .......... 30 2.2.3. Kiến thức khái niệm về phương trình ...................................................... 33 2.2.4. Kiến thức quy trình về phương trình ....................................................... 37 2.3. Phân loại các nhiệm vụ toán theo kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình ... 42 2.3.1. Các kiểu kiến thức của phân loại PCK .................................................... 42 2.3.2. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình một ẩn ............ 44 2.3.3. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình bậc nhất một ẩn ... 45 2.3.4. Phân loại kiến thức PCK đối với nội dung phương trình bậc hai một ẩn .. 49 2.4. Năng lực giải quyết vấn đề và thang đo năng lực giải quyết vấn đề.................... 52 2.4.1. Năng lực giải quyết vấn đề ...................................................................... 52 2.4.2. Thang đo các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề ............. 54 2.5. Dạy học thúc đẩy kiến thức khái niệm và năng lực giải quyết vấn đề của học sinh ..................................................................................................... 60 2.5.1. Dạy học theo bối cảnh ............................................................................. 60 2.5.2. Các giai đoạn dạy học theo bối cảnh để thúc đẩy kiến thức khái niệm của học sinh .............................................................................................................. 62 2.5.3. Kết hợp quá trình giải quyết vấn đề của PISA với các giai đoạn dạy học theo bối cảnh trong dạy học thúc đẩy năng lực giải quyết vấn đề của học sinh 64 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ................................................. 70 3.1. Thiết kế nghiên cứu ................................................................................................. 70 3.2. Đối tượng tham gia.................................................................................................. 72 3.3. Công cụ nghiên cứu ................................................................................................ 74 3.4. Thiết kế thực nghiệm dạy học ................................................................................ 80 3.4.1. Mục tiêu của thực nghiệm dạy học .......................................................... 80 3.4.2. Tiến trình thực nghiệm dạy học ............................................................... 81 3.5. Phân tích dữ liệu ...................................................................................................... 83 ix
CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ............................................................. 85 4.1. Khả năng sử dụng kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kết hợp ba loại kiến thức về nội dung phương trình trong giải quyết vấn đề của học sinh ................. 85 4.2. Khả năng giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh ................... 92 4.3. Tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy kiến thức khái niệm về nội dung phương trình của học sinh ............................................................................................................ 97 4.4. Tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy năng lực giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh ............................................................................................ 126 CHƯƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ...................................................... 140 5.1. Kết luận .................................................................................................................. 140 5.1.1. Khả năng sử dụng và kết hợp kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình với kiến thức bối cảnh về nội dung phương trình trong giải quyết vấn đề của học sinh140 5.1.2. Tiếp cận dạy học hiểu khái niệm và giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh ............................................................................................. 141 5.1.3. Hiệu quả của tiếp cận dạy học theo bối cảnh trong dạy học hiểu khái niệm phương trình của học sinh................................................................................ 143 5.1.4. Hiệu quả của tiếp cận dạy học theo bối cảnh trong dạy học giải quyết vấn đề về nội dung phương trình của học sinh ....................................................... 144 5.2. Tóm tắt kết quả nghiên cứu của luận án .............................................................. 145 5.3. Đóng góp của nghiên cứu ..................................................................................... 146 5.4. Kiến nghị................................................................................................................ 146 5.5. Giới hạn và hướng mở rộng của đề tài................................................................. 149 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 151 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN CÁC ĐỀ TÀI, DỰ ÁN ĐÃ THAM GIA ............................................................. 161 PHỤ LỤC x
MỞ ĐẦU Toán học là một ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển (Chương trình GDPT môn Toán, 2018). Theo Rittle-Johnson và Koedinger (2005) “kiến thức được tổ chức, có cấu trúc tốt cho phép chúng ta giải quyết các vấn đề mới và ghi nhớ nhiều thông tin hơn là thực hiện các sự kiện hoặc quy trình đã ghi nhớ”. Để kiến thức có cấu trúc tốt như vậy đòi hỏi học sinh (HS) phải tích hợp kiến thức khái niệm (KTKN) (conceptual knowledge) và kiến thức quy trình (KTQT) (procedural knowledge) với kiến thức bối cảnh (KTBC) của các em đối với một nội dung kiến thức cụ thể. Bắt đầu từ cuốn sách của J. Hiebert (1986), thuật ngữ kiến thức khái niệm (conceptual knowledge) và kiến thức quy trình (procedural knowledge) đã được sử dụng một cách rộng rãi trong việc dạy và học toán. KTKN và KTQT đại diện cho các thành phần thiết yếu của năng lực toán học (Hiebert & Lefevre, 1986; Rittle-Johnson & Alibali, 1999; Star, 2005; Baroody, Feil, & Johnson, 2007; Schneider & Stern, 2010; Schneider, Rittle-Johnson, & Star, 2011; Star & Stylianides, 2013; Rittle-Johnson & Schneider, 2015). HS học hiệu quả khi bản thân có thể liên hệ và kết nối các khái niệm và quy trình được học với các tình huống thực tế trong cuộc sống (Danquah, 2017). Theo Van de Walle (2019), “KTQT là kiến thức định hướng giải quyết nhiệm vụ, có thể hoặc không có thể kết nối với KTKN”. Hơn nữa, “một khi KTQT có kết nối mật thiết với KTKN thì các quy trình và các ký hiệu sẽ là những công cụ mạnh mẽ để xây dựng kiến thức mới”. Tuy nhiên, hiện tại ở Việt Nam có rất ít nghiên cứu về các khía cạnh quy trình và khái niệm của kiến thức, cũng như nghiên cứu về sự kết hợp của KTKN và KTQT với KTBC trong giải quyết vấn đề (GQVĐ) (Trần Vui, 2018). Do đó, nghiên cứu và khảo sát khả năng của HS trong việc sử dụng KTKN, KTQT, khả năng kết hợp KTKN và KTQT với KTBC để giải quyết các vấn đề liên quan đến một kiến thức toán học cụ thể là một việc làm cần thiết và có ý nghĩa. Trong xu hướng giáo dục toán hiện nay, bên cạnh Giáo dục STEM, Giáo dục toán thực (Realistic Mathematics Education-RME) đang rất được quan tâm trên thế giới và ở Việt Nam. Mục đích của RME là nhằm thay đổi và đổi mới các phương pháp dạy toán 1
trên toàn thế giới. Hai quan điểm chính của RME là “Toán học có quan hệ mật thiết với thực tế, và toán học là kết quả hoạt động của con người” (Freudenthal, 1973, 1991). Do vậy, học toán không chỉ là nghe, hiểu và tiếp nhận kiến thức có sẵn được truyền đạt một chiều từ giáo viên (GV), mà học toán là quá trình chuyển đổi từ những vấn đề thực tế, giải quyết vấn đề từ thực tế nhằm xây dựng những khái niệm, quy trình, thuật toán dưới sự hướng dẫn, gợi mở của GV. Cách thức xây dựng kiến thức toán xuất phát từ thực tế như trên được xem là một luận điểm đáng quan tâm trong RME, ở Việt Nam và các nước trên thế giới. Để nâng cao khả năng hiểu toán của HS và để HS thấy được sự gắn kết giữa toán học với thực tế, trong Giáo dục toán thực, bối cảnh thực tế thường xuyên được sử dụng. Nhờ đó, HS tự khám phá các khái niệm và một số kiến thức theo yêu cầu của GV theo cách nghĩ của riêng mình. Theo Javier Diez-Palomar (2006), môn Toán thường khó có sự gắn kết với cuộc sống hàng ngày của HS. Do đó, một tình huống có liên hệ với thực tế, một bài toán có nội dung thực tế sẽ tạo nên động lực trong học tập và sự yêu thích môn toán hơn cho HS. Một trong những khó khăn của HS khi giải quyết các vấn đề thực tế là việc hiểu đúng vấn đề đưa ra dưới dạng văn bản cũng như tìm nội dung toán học phù hợp với tình huống vấn đề. Trở ngại lớn nhất khi giải quyết các vấn đề thực tế là thiết lập một mô hình toán học phù hợp, điều này đòi hỏi HS phải có kiến thức về bối cảnh xuất hiện vấn đề thực tế cũng như sở hữu một mức độ sáng tạo nhất định (Cotič & Felda, 2011). Ở Việt Nam, một trong những mục tiêu chung của Chương trình GDPT môn Toán (2018) là “phát triển khả năng GQVĐ có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác”, “tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn…”. Chính vì thế, việc khảo sát và đề xuất các giải pháp phát triển khả năng của HS trong kết hợp KTKN và KTQT với KTBC để giải quyết các vấn đề thực tế là một trong những nội dung quan trọng, phù hợp với các quan điểm của RME và góp phần đạt được mục tiêu của Chương trình GDPT môn Toán (2018). Phương trình (PT) là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Kiến thức và kỹ năng về PT có mặt xuyên suốt từ bậc tiểu học đến đại học. Những kiến thức về PT là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề trong nội bộ toán học, trong liên môn khoa học và vận dụng vào đời sống. Do đó, khi viết Lời Giới thiệu cho bản dịch cuốn sách 17 phương trình thay đổi thế giới (do Phạm Văn Thiều – Nguyễn Gia Khánh dịch, 2015) của tác giả Ian Stewart (2012), GS. Ngô Bảo Châu cho rằng “…vẻ đẹp của toán 2
học nằm ở các phương trình.” Trong cuốn sách của mình, Stewart nhận định rằng:“Các phương trình là máu huyết của toán học, khoa học và công nghệ. Không có chúng, thế giới của chúng ta sẽ không tồn tại dưới dạng hiện nay.” Trong hệ thống câu hỏi của Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (OECD, 2003, 2012, 2018), phương trình/hàm số bậc nhất và bậc hai là các kiến thức toán học được sử dụng để kiểm tra kỹ năng đại số của HS, được đưa vào trong các câu hỏi dưới dạng các vấn đề thực tế. Mặc dù PT là một chủ đề quan trọng trong chương trình đại số ở phổ thông trên toàn thế giới, nhưng dường như các nghiên cứu liên quan đến việc dạy học PT khá khan hiếm trong nghiên cứu giáo dục đại số (Vaiyavutjamai & Clements, 2006; Kieran, 2007). Khi giải quyết vấn đề liên quan đến PT, HS thường ghi nhớ các công thức, quy trình, thuật toán mà ít chú ý đến cấu trúc và ý nghĩa của khái niệm (Sönnerhed, 2009). Do đó, trong luận án chúng tôi tập trung nghiên cứu KTKN và KTQT đối với kiến thức về PT, tập trung vào nội dung PT trong chương trình Đại số 10 (cơ bản và nâng cao). Mục tiêu của luận án nhằm khảo sát KTKN, KTQT và khả năng kết hợp KTKN và KTQT với KTBC của HS trong giải quyết các vấn đề thực tế về nội dung PT; khảo sát năng lực GQVĐ về nội dung PT của HS. Trên cơ sở đó, luận án nghiên cứu thiết kế các tiếp cận dạy học nhằm thúc đẩy KTKN và năng lực GQVĐ về PT của HS. Để đạt được mục tiêu này, trong luận án chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu hỗn hợp, kết hợp phương pháp nghiên cứu định lượng và định tính (Creswell, 2012) để thiết kế nghiên cứu, thu thập và phân tích dữ liệu. Chúng tôi đề xuất một phân loại kiến thức dựa vào các khía cạnh quy trình và khái niệm của kiến thức, được chúng tôi gọi là phân loại kiến thức PCK, để thiết kế các đề kiểm tra và các bảng hỏi khảo sát KTKN, KTQT, cùng với khả năng kết hợp KTKN và KTQT với KTBC về nội dung PT trong giải quyết vấn đề của HS. Chúng tôi đề xuất các năng lực thành tố của năng lực GQVĐ của HS dựa vào quá trình GQVĐ của Khung PISA 2021 (OECD, 2018), và thiết kế các thang đo gồm các tiêu chí để đo các năng lực thành tố này của năng lực GQVĐ. Chúng tôi đề xuất các tiếp cận dạy học gồm các giai đoạn và các bước dạy học theo bối cảnh để thiết kế các tiết dạy học thực nghiệm trên đối tượng HS lớp 10 ở một số tỉnh khu vực Nam Trung Bộ và Tây Nguyên để nâng cao KTKN và năng lực GQVĐ về nội dung PT của HS. Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận án được bố cục thành 5 chương. Trong Chương 1 chúng tôi tổng quan kết quả của một số nghiên cứu về các loại kiến thức hỗ trợ cho giải quyết vấn đề toán học, gồm KTKN, KTQT và KTBC; đồng 3
thời, chúng tôi phân tích những khó khăn của HS khi kết hợp KTKN và KTQT với KTBC về nội dung PT trong giải quyết vấn đề thực tế, trên cơ sở đó chúng tôi xác định mục tiêu nghiên cứu và các câu hỏi nghiên cứu đặt ra trong luận án. Trong Chương 2 chúng tôi đề xuất khung lý thuyết tham chiếu cho luận án, trong đó chúng tôi phân tích nội dung PT trong chương trình Đại số 10 (cơ bản và nâng cao), thống kê tỉ lệ các bài tập đánh giá KTKN, KTQT, sự kết hợp của KTKN và KTQT với KTBC trong các bài học dạy học kiến thức về PT, trên cơ sở đó chúng tôi đề xuất KTKN và KTQT đối với nội dung PT. Chúng tôi đề xuất một phân loại kiến thức dựa trên các khía cạnh khái niệm và quy trình của kiến thức, được chúng tôi gọi là phân loại kiến thức PCK, nhằm đánh giá khả năng hiểu toán và khả năng kết hợp KTKN và KTQT với KTBC về nội dung PT để giải quyết vấn đề của HS. Dựa trên khung lý thuyết PISA 2021, chúng tôi đề xuất các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề (GQVĐ), cùng với các tiêu chí đánh giá từng năng lực thành tố này. Căn cứ vào mục tiêu, ý nghĩa, các nguyên tắc và các quan điểm của tiếp cận dạy học theo bối cảnh của nhiều nhà nghiên cứu giáo dục, chúng tôi đề xuất các tiếp cận dạy học theo bối cảnh nhằm thúc đẩy KTKN và năng lực GQVĐ về nội dung PT của HS. Trong Chương 3 chúng tôi trình bày phương pháp nghiên cứu nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đề ra trong luận án, trong đó chúng tôi phân tích thiết kế nghiên cứu, đối tượng tham gia, công cụ nghiên cứu, thiết kế thực nghiệm và phương pháp phân tích dữ liệu. Trong Chương 4 chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu của luận án, trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đưa ra trong luận án, gồm: (1) Khảo sát khả năng sử dụng KTKN, KTQT và kết hợp ba loại kiến thức về nội dung PT trong giải quyết vấn đề của học sinh; (2) Khảo sát năng lực GQVĐ về nội dung PT của HS; (3) Xây dựng một tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy KTKN về nội dung PT của HS; (4) Xây dựng một tiếp cận dạy học theo bối cảnh thúc đẩy năng lực GQVĐ về nội dung PT của HS. Cuối cùng, trong Chương 5, chúng tôi kết luận về các các kết quả nghiên cứu đạt được trong luận án, trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đưa ra trong luận án. Trên cơ sở đó chúng tôi đề xuất một số kiến nghị, giới hạn và một số hướng mở rộng của đề tài. 4
Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng quan kết quả của một số nghiên cứu về ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề, vai trò của kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh trong việc hình thành năng lực toán học của HS, vai trò của nội dung phương trình và tầm quan trọng của các vấn đề thực tế trong chương trình toán phổ thông, kết hợp với phân tích những khó khăn của HS khi sử dụng ba loại kiến thức giải quyết các vấn đề thực tế về nội dung phương trình để làm cơ sở đặt ra vấn đề nghiên cứu của luận án. 1.1. Ba loại kiến thức hỗ trợ cho quá trình giải quyết vấn đề Sự hỗ trợ của kỹ năng tính toán và hiểu biết khái niệm đối với quá trình giải quyết vấn đề là một trong những mối quan tâm từ rất sớm trong giáo dục toán và đến nay vẫn là một thách thức để hiểu được quá trình tư duy toán học của HS (Alcock và cộng sự, 2016). Skemp (1976) phân biệt hai loại kiến thức trong giải quyết vấn đề toán học, đó là kiến thức về công cụ và kiến thức về các mối quan hệ: kiến thức về công cụ là nắm các quy tắc, quy trình mà không gắn với ý nghĩa, trong khi kiến thức về các mối quan hệ đòi hỏi các kết nối khái niệm và giải thích lý do tại sao các quy tắc, quy trình hoạt động. Skemp đã thảo luận về những lợi thế nhất định của việc thúc đẩy một trong hai loại kiến thức này. Kiến thức về công cụ có thể có lợi trong thời gian ngắn và bối cảnh hạn chế, trong khi kiến thức về các mối quan hệ sẽ tốt hơn cho việc giải quyết vấn đề trong những bối cảnh rộng lớn hơn. Skemp xem kiến thức về công cụ và quan hệ là hai thái cực tách biệt với nhau. Sau đó, khi cuốn sách của Hiebert và Lefevre (1986) được xuất bản, các thuật ngữ "kiến thức khái niệm" và "kiến thức quy trình" đã được sử dụng rộng rãi để mô tả sự khác biệt giữa việc biết cách làm (quy trình) và biết tại sao làm như vậy (khái niệm) trong quá trình giải quyết vấn đề toán học. Rittle-Johnson và Koedinger (2005) bổ sung thêm kiến thức bối cảnh, và đề xuất kiến thức toán học để giải quyết vấn đề bao gồm ba loại kiến thức bổ sung cho nhau: kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm và kiến thức bối cảnh. Mặc dù KTKN và KTQT không phải lúc nào cũng có thể tách rời, nhưng việc phân biệt hai loại kiến thức này là rất hữu ích và cần thiết để hiểu rõ hơn về quá trình giải quyết vấn đề của người học. Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một cách chi tiết từng loại kiến thức và tầm quan trọng của từng loại kiến thức trong quá trình GQVĐ của HS. 5
1.1.1. Kiến thức khái niệm Theo Hiebert và Lefeve (1986), KTKN là kiến thức phong phú trong các mối quan hệ, có thể được xem như một mạng lưới kiến thức được kết nối với nhau. KTKN được đặc trưng bởi các liên kết và một đơn vị KTKN không thể là một mẫu thông tin cô lập. Còn theo từ điển Merriam- Webster (2012), một khái niệm là "một ý tưởng trừu tượng hoặc tổng quát được khái quát hóa từ các trường hợp cụ thể". Kiến thức về các khái niệm thường được gọi là kiến thức khái niệm (Byrnes & Wasik, 1991; Canobi, 2009; Rittle-Johnson & cộng sự, 2001). Kiến thức này thường không gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể, được thể hiện dưới dạng ẩn tàng hoặc tường minh, và do đó không nhất thiết phải diễn đạt bằng lời một cách rõ ràng (Goldin Meadow & cộng sự, 1993). Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC) cũng đưa ra một định nghĩa tương tự, kiến thức khái niệm là sự hiểu biết về các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Loại kiến thức này đôi khi còn được gọi là hiểu khái niệm. Ví dụ về một câu hỏi đánh giá KTKN: “Cho hai phương trình sau: 213 x  476  984 (1) và  213x  476 x  984x (2). Không giải phương trình, em có thể nhận xét gì về tập nghiệm của hai phương trình này? Giải thích.” Để giải quyết bài toán này, HS cần hiểu được khái niệm phương trình hệ quả để nhận ra phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1), do đó tập nghiệm của (2) sẽ chứa tập nghiệm của (1). Theo Crooks và Alibali (2014), KTKN bao gồm 2 loại:  Kiến thức về các nguyên tắc chung như định nghĩa, quy tắc, tính chất. Trong một số trường hợp, để hiểu nguyên tắc chung đòi hỏi phải có sự kết nối kiến thức. Ví dụ hiểu rằng dấu “=” biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng và cùng thuộc một phạm trù với dấu “>,
Star (2005) cho rằng KTKN không chỉ đơn thuần là kiến thức về các khái niệm mà còn bao gồm sự phong phú của các kết nối vốn có trong kiến thức đó. Định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa của Hiebert và LeFevre (1986), cho thấy đặc trưng rõ nhất của KTKN là sự kết nối các kiến thức với nhau cùng với sự hiểu biết sâu sắc các khái niệm và mối quan hệ của chúng trong mạng lưới kiến thức đó. Khi KTKN phát triển, các mạng lưới như vậy được liên tục sắp xếp và tổ chức lại. Trong luận án chúng tôi hiểu kiến thức khái niệm là loại kiến thức được định nghĩa bởi Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC), là “sự hiểu biết các khái niệm, phép toán và quan hệ toán học” (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). 1.1.2. Kiến thức quy trình Một quy trình là một chuỗi các bước hoặc hành động được thực hiện để hoàn thành một mục tiêu. Quy trình có thể là (1) thuật toán - một dãy các hành động được xác định trước sẽ dẫn đến câu trả lời chính xác khi được thực hiện đúng, hoặc (2) các hành động có thể được sắp xếp theo trình tự thích hợp để giải quyết một vấn đề nhất định (ví dụ: các bước giải phương trình). Kiến thức về quy trình thường được gọi là kiến thức quy trình (Canobi, 2009; Rittle-Johnson và cộng sự, 2001; Rittle-Johnson & Schneider, 2015). KTQT được phát triển thông qua việc thực hành giải quyết các vấn đề quen thuộc, và do đó gắn liền với các dạng vấn đề cụ thể. Hơn nữa, chính bản chất tuần tự rõ ràng của các quy trình khiến chúng khác biệt với các dạng kiến thức khác (Hiebert & Lefevre, 1986). Theo Hiebert và Lefevre (1986), KTQT gồm hai loại: “Một loại KTQT là sự quen thuộc với các ký hiệu và quy ước cú pháp của các cấu trúc trong hệ thống. Loại KTQT thứ hai bao gồm các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học, đó thường là chuỗi các mệnh lệnh để thao tác với các ký hiệu toán học”. Trong định nghĩa trên của Hiebert và Lefevre, các mối quan hệ có trong KTQT chủ yếu là tuần tự, một bước trong quy trình được kết nối với bước tiếp theo, do đó dễ dẫn đến việc cho rằng KTQT là hời hợt, không có các kết nối phong phú. Tuy nhiên, có nhiều loại quy trình khác nhau và chất lượng của các kết nối trong một quy trình cũng khác nhau (Anderson, 1982). Một số quy trình là các thuật toán, nhưng một số quy trình cũng có tính khám phá. Việc thực hiện các quy trình khám phá đòi hỏi người học phải biết lựa chọn và tích hợp nhiều kỹ năng, các lựa chọn khôn ngoan để có thể chỉ ra KTQT sâu sắc. Ví dụ, giải phương trình 4(4x  5  x)  7(4x  5  x)  24. Quy trình thuật toán: 7
−4(3𝑥 + 5) + 7(3𝑥 + 5) = 24 Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc −12𝑥 − 20 + 21𝑥 + 35 = 24 Khai triển 9𝑥 + 15 = 24 Rút gọn 9𝑥 = 24 − 15 Chuyển vế 𝑥=1 Rút gọn Quy trình khám phá: 3(4𝑥 + 5 − 𝑥) = 24 Sử dụng tính kết hợp 4𝑥 + 5 − 𝑥 = 8 Chia 2 vế của phương trình cho 1 số 3𝑥 + 5 = 8 Rút gọn vế trái 𝑥=1 Chuyển vế, chia 2 vế cho 1 số Trong luận án, chúng tôi hiểu kiến thức quy trình là loại kiến thức thứ hai được định nghĩa bởi Hiebert và Lefevre (1986), tức là loại kiến thức biểu thị sự vận dụng các quy tắc hoặc quy trình để giải quyết các vấn đề toán học. 1.1.3. Mối quan hệ giữa kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình Hiebert và Carpenter (1992) cho rằng cả KTKN và KTQT đều quan trọng và cần thiết cho HS trong tiếp thu và vận dụng kiến thức toán học để GQVĐ, nếu người học kết nối KTQT với một KTKN nào đó làm nền tảng cho nó, thì quy trình đó sẽ trở thành một phần của một mạng lưới lớn hơn, liên quan chặt chẽ đến KTKN. Đồng thời, KTKN góp phần hình thành năng lực toán học của HS thông qua các mối quan hệ của nó với KTQT. Hiện nay, nhiều nhà nghiên cứu đồng ý rằng cần chú trọng đến việc dạy học cả hai loại kiến thức, nhưng vẫn có nhiều tranh luận diễn ra giữa quan điểm dạy học một chiều và hai chiều (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015). Chẳng hạn như NCTM (2014) đã khẳng định quan điểm từ KTKN đến KTQT trong nguyên tắc dạy học “Sự hiểu biết về khái niệm (tức là sự hiểu biết và kết nối các khái niệm, phép toán và quan hệ) là nền tảng và cần thiết để phát triển sự thành thạo về quy trình (tức là, việc sử dụng có ý nghĩa và linh hoạt các thủ tục để giải quyết vấn đề)” (trang 7). Nguyên tắc này chỉ ra rằng HS cần được phát triển KTKN trước và KTQT không nên được phát triển trước khi phát triển KTKN. Ngược lại, Kilpatrick (2001) cho rằng KTKN và KTQT là hai yếu tố quan trọng như nhau và phụ thuộc lẫn nhau để phản ánh sự thành thạo toán học, chúng hỗ trợ và củng cố cho nhau, điều này thể hiện mối quan hệ hai chiều giữa hai loại kiến thức. KTKN có thể giúp xây dựng, lựa chọn và thực hiện các quy trình giải quyết vấn đề thích hợp. Đồng thời, thực hành KTQT có thể giúp HS phát triển và hiểu sâu hơn về các khái niệm, đặc biệt nếu các thực hành này được thiết kế để làm cho các khái niệm về các nguyên tắc bên 8