Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân" được nghiên cứu với mục tiêu là: Nghiên cứu phân bố giá trị của các đa thực vi phân; Tính duy nhất của các hàm phân hình trong trường hợp các đa thức vi phân chung một hàm nhỏ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề của lý thuyết Nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

sx rx vw urye rÅg gÆxq xqr s xew VIN TON HÅC xqx s r×Ìxq MËT SÈ VN CÕA LÞ THUYT NEVANLINNA V ÙNG DÖNG CHO A THÙC VI PHN Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 Âw vx x sx yx rÅg H NËI - 2022
vuªn ¡n 1÷ñ ho n th nh t¤iX i»n o¡n hå Ei»n r n l¥m uho hå v gæng ngh» i»t xm ªp thº h÷îng d¨n kho håX qF urF ¤ hà ro i en h£n i»n IX h£n i»n PX h£n i»n QX vuªn ¡n s³ 1÷ñ £o v» tr÷î rëi 1çng h§m luªn ¡n §p i»n håp t¤iX i»n o¡n hå E i»n r n l¥m uho hå v gæng ngh» i»t xm v o hçiFFFFFFFgiíFFFFFFng yFFFFFFth¡ngFFFFFFn«mFFFFF gâ thº t¼m hiºu v· luªn ¡n t¤iX E h÷ vi»n uè gi E h÷ vi»n i»n o¡n hå
Mð ¦u 0ành lþ ì £n õ 0¤i sè nâi r¬ng mët 1 thù ª n tr¶n tr÷íng sè phù C â 1óng n khæng 1iºmF o nhúng n«m uèi õ th¸ k' IV 1¦u th¸ k' IWD ¡ nh to¡n hå 1¢ ph¡t triºn nhúng k¸t qu£ 1¤t 1÷ñ v· sü ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù l¶n 1èi t÷ñng l ¡ h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phùF rong thíi gin n yD forel 1¢ th nh æng trong vi» k¸t hñp v £i ti¸n ¡ k¸t qu£ õ irdD oinr² v rdmrd ho ¡ h m nguy¶n v lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà t 1¦u h¼nh th nhF vþ thuy¸t n y nghi¶n ùu mªt 1ë õ ¡ 1iºm m t¤i 1â h m ph¥n h¼nh nhªn mët gi¡ trà ö thºF wët 1âng gâp nêi ªt õ lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà ho ¡ h m ph¥n h¼nh 1¢ 1÷ñ nh to¡n hå ng÷íi h¦n vn olf xevnlinn 1÷ rF u n yD ¡ k¸t qu£ 1â 1¢ gn li·n vîi t¶n tuêi õ æng v th÷íng 1÷ñ nh 1¸n vîi t¶n gåi vþ thuy¸t xevnlinnF ü r 1íi õ lþ thuy¸t n y 1÷ñ 1¡nh gi¡ l mët trong nhúng th nh tüu 1µp 1³ v s¥u s nh§t trong ng nh gi£i t½h phù v ng y ng â nhi·u ùng döng trong nhúng l¾nh vü kh¡ nhu õ to¡n håD h¯ng h¤n nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥nD lþ thuy¸t hå hu©n tD h¼nh hå phù v lþ thuy¸t sèDFFFF r£i qu g¦n mët tr«m n«mD h÷îng nghi¶n ùu 1¢ 1÷ñ ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v 1¢ hùng ki¸n sü 1âng gâp to lîn õ ¡ nh to¡n hå n÷î ngo i nh÷ qol9dergD ystrovskiiD ehlforsD himizuD hrsinD rymnD fergweilerD vngleyD uD ojtD mnoiDFFF v ¡ nh to¡n hå trong n÷î nh÷ vF F hi¶mD rF rF uho¡iD 0F 0F h¡iD F 0F ungD F F §nD F F rF enDFFFF uy nhi¶nD vîi t¦m qun trång trong gi£i t½h phùD h÷îng nghi¶n ùu n y v¨n 1ng ti¸p tö thu hót 1÷ñ sü qun t¥m õ ¡ nh to¡n håF wö ti¶u õ ¡ nh to¡n hå l 1÷ r ¡ §t 1¯ng thù giú h m 1¸mD h m x§p x¿ v h m 1° tr÷ng õ h m ph¥n h¼nhD thæng 1
qu ¡ §t 1¯ng thù 1â â thº xem x²t sü ph¥n è gi¡ trà õ ¡ h m ph¥n h¼nh v t¼m ¡ ùng döng õ ¡ k¸t qu£ 1âF f i to¡n qun trång trong lþ thuy¸t n y l nghi¶n ùu mèi qun h» giú ¡ khæng 1iºmD ü 1iºm õ mët h m v 1¤o h m õ h m 1âF x«m IWPPD âly 1¢ hùng m¼nh r¬ng n¸u h m ph¥n h¼nh f â ½t nh§t hi ü 1iºm th¼ vîi méi sè nguy¶n d÷ìng k 1õ lînD 1¤o h m §p k õ h m ph¥n h¼nh 1â â ½t nh§t mët khæng 1iºmF vi¶n qun tîi k¸t qu£ 1âD qol9derg 1¢ 1°t r gi£ thuy¸t suX gho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v k ≥ 2 l mët sè nguy¶nF uhi 1âD t â 1 N (r, f ) ≤ N r, + o(T (r, f )), f (k) khi r → ∞ ngo i mët tªp â 1ë 1o húu h¤nD trong 1â T (r, f ) l h m 1° tr÷ng xevnlinnD N (r, f ) l h m 1¸m ¡ ü 1iºm khæng t½nh ëi õ f v N r, f 1 l h m 1¸m ¡ khæng 1iºm õ 1¤o h m §p (k) k õ h m f t½nh £ ëiF qi£ thuy¸t õ qol9derg h¿ 1óng vîi ¡ 1¤o h m â §p ½t nh§t l hiD hóng t x²t v½ dö 1ìn gi£n l h m f (z) = tan z D khi 1â h m f â væ sè ü 1iºm trong khi 1¤o h m §p mët f khæng â khæng 1iºmF x«m IWVTD prnk v eissenorn 1¢ hùng minh gi£ thuy¸t qol9derg ¬ng ph÷ìng ph¡p ronskin 1èi vîi tr÷íng hñp h m ph¥n h¼nh f h¿ â ¡ ü 1iºm 1ìnF u 1âD vngley 1¢ hùng minh r¬ng n¸u f l mët h m ph¥n h¼nh §p húu h¤n thä m¢n 1i·u ki»n 1¤o h m §p hi f â húu h¤n khæng 1iºm th¼ f â húu h¤n ü 1iºmF x«m PHIQD ¬ng vi» x¥y düng h m x§p x¿ hi»u h¿nh v 1÷ r ¡ h°n ho h m x§p x¿ 1âD mnoi 1¢ t¤o r mët ÷î 1ët ph¡ trong lþ thuy¸t xevnlinn vîi hùng minh ho n to n gi£ thuy¸t qol9derg v thªm h½ k¸t qu£ õ æng 1÷ r án m¤nh hìn gi£ thuy¸t n 1¦uF i» hùng minh gi£ thuy¸t qol9derg â þ ngh¾ 2
r§t lîn trong lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ tràD nâ 1¢ gióp ho ¡ nh to¡n hå v÷ñt qu nhi·u khâ kh«n trong vi» gi£i quy¸t ¡ i to¡n qun trång õ lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ trà õ ¡ h m ph¥n h¼nhF qi£ sû f l mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C v a ∈ C. u½ hi»u 1 1 m r, f −a N r, f −a δ(a, f ) = lim inf = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) r→∞ T (r, f ) l sè khuy¸t Nevanlinna õ h m f v 1 N r, f −a Θ(a, f ) = 1 − lim sup r→∞ T (r, f ) l ph¥n nh¡nh to n ph¦n õ f. ø ¡ 1ành ngh¾ tr¶nD hóng t d¹ d ng thu 1÷ñ ¡ h°n suX 0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1. w°t kh¡D 0ành lþ ì £n thù hi õ xevnlinn ho hóng t th§y têng t§t £ ¡ sè khuy¸t õ mët h m ph¥n h¼nh luæn à h°n tr¶n ði 2 v 1¥y l à h°n tèt nh§t 1èi vîi h m ph¥n h¼nh khi x²t trong tr÷íng hñp têng qu¡tF uy nhi¶nD 1èi vîi mët sè lîp h m hµp hìnD h°n tr¶n n y â thº 1÷ñ gi£m xuèngF hªt vªyD vîi hó þ r¬ng t§t £ ¡ ü 1iºm õ 1¤o h m §p k õ h m ph¥n h¼nh f 1·u â ëi ½t nh§t l k + 1, rymn 1¢ h¿ r r¬ngD vîi måi k ∈ N, 1 Θ(a, f (k) ) ≤ 1 + . k+1 a∈C x«m IWUID wues 1¢ hùng minh d§u ¬ng trong §t 1¯ng thù tr¶n x£y r khi f l mët nghi»m õ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti vîi ¡ h» sè h¬ngF 0i·u 1â hùng tä §t 1¯ng thù tr¶n õ rymn l tèt nh§tF uhi thy ph¥n nh¡nh to n ph¦n Θ(a, f (k) ) ði sè khuy¸t δ(a, f (k) ) trong §t 1¯ng thù tr¶n th¼ h°n tr¶n thu 1÷ñ â thº l 3
mët sè nhä hìn thü süF gö thºD wues 1¢ hùng minh r¬ng (k) k 2 + 5k + 4 1 δ(a, f )≤ 2
nhi¶nD h°n n y â thº 1÷ñ l m tèt hìnD 1¥y l mët trong nhúng mö ti¶u õ luªn v«n n yF nâi r¬ng mët gi¡ trà a ∈ C l mët gi¡ trà Picard õ h m ph¥n h¼nh f n¸u f − a khæng â khæng 1iºmF 0ành lþ ird h¿ r r¬ng mët h m ph¥n h¼nh kh¡ h¬ng h¿ â thº â nhi·u nh§t hi gi¡ trà ird húu h¤nF x«m IWSWD rymn 1¢ hùng minh r¬ng 1¤o h m §p k (k ≥ 1) õ mët h m ph¥n h¼nh §t ký â thº â nhi·u nh§t mët gi¡ trà ird húu h¤nF 0èi vîi tr÷íng hñp h m nguy¶nD k¸t qu£ õ willoux h¿ r r¬ng n¸u mët h m nguy¶n si¶u vi»t â mët gi¡ trà ird húu h¤n th¼ ¡ 1¤o h m õ nâ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡ khæng væ sè l¦nF u¸t qu£ n y su 1â 1÷ñ mð rëng ho h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t ði rymnF wët 1iºm h¤n h¸ trong ¡ k¸t qu£ tr¶n 1â l y¶u ¦u h m ph¥n h¼nh â gi¡ trà ird húu h¤nF wët ¥u häi tü nhi¶n 1÷ñ 1°t r l li»u gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i õ gi¡ trà ird â thº ä 1i hy khæng n¸u t xem x²t mët lîp h m ph¥n h¼nh n o 1âc vi¶n qun 1¸n v§n 1· n yD rymn 1¢ hùng minh r¬ngX Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v n ≥ 3 l mët sè nguy¶n. Khi â, f nf nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. Æng gi£ thuy¸t r¬ng k¸t qu£ n y 1óng vîi måi n ≥ 1. x«m IWUWD wues 1¢ 1÷ r hùng minh ho tr÷íng hñp n = 2. 0¸n n«m IWWSD fergweiler v iremenko v ghen v png 1¢ 1÷ r hùng minh ho tr÷íng hñp n = 1F hy ho vi» h¿ x²t i to¡n ho 1ìn thù vi ph¥nD rymn 1¢ 1÷ r ¥u häiX N¸u f l h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v a = 0 th¼ ϕ = f − af n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n? Æng 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ng kh¯ng 1ành 1â 1óng khi n ≥ 5 v ông 1÷ r ¡ ph£n v½ dö 1º h¿ r r¬ng kh¯ng 1ành tr¶n khæng 1óng khi n = 1 v n = 2. uy nhi¶nD wues 1¢ 1÷ r ¡ ph£n v½ dö 1º h¿ r r¬ng kh¯ng 1ành 1â khæng 1óng vîi n = 3, 4 5
¬ng vi» x²t h m f l nghi»m kh¡ h¬ng §t ký õ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti w = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vîi η = e2πi/3 ) ho tr÷íng hñp n = 3 v ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n iti w = 2(w2 + 1) ho tr÷íng hñp n = 4. x«m IWVPD h¤ringer 1¢ hùng minh r¬ng k¸t o qu£ tr¶n 1÷ñ thä m¢n n¸u thy ϕ = f − af n ði ϕ = f (k) − af n khi n ≥ k + 4. wö ti¶u ti¸p theo 1÷ñ hóng tæi nghi¶n ùu trong luªn ¡n n y 1â l X em x²t ph¥n è gi¡ trà õ 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìnF hæng th÷íng vîi méi k¸t qu£ tr¶n trong lþ thuy¸t ph¥n è gi¡ tràD hóng t hy vång â mët k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü x¡ 1ành duy nh§t õ ¡ h mF x«m IWWTD png v ru 1¢ xem x²t sü x¡ 1ành duy nh§t õ ¡ h m nguy¶n f thæng qu £nh ng÷ñ õ 1 thù vi ph¥n f f n . u 1âD k¸t qu£ n y 1÷ñ ng v ru mð rëng ho tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nhF f i to¡n ho 1 thù vi ph¥n §p mët f f n (f − 1) 1÷ñ hùng minh ði png v rong khi f l h m nguy¶n v ði vin v i khi f l h m ph¥n h¼nhF x«m PHIQD foussf v ¡ 1çng nghi»p 1¢ x²t i to¡n ho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn ¬ng vi» 1÷ r ¡ 1i·u ki»n th½h hñp v· sè ëi õ ¡ khæng 1iºm õ 1¤o h m õ 1 thù Q(z) so ho vîi hi h m ph¥n h¼nh f v g D n¸u (Q(f )) v (Q(g)) hung mët h m nhä α t½nh £ ëi th¼ f = g. f¶n ¤nh 1â mët sè t¡ gi£ kh¡ h¯ng h¤n nh÷X fhoosnurmth v hyvnlD ngD u òng 1çng nghi»pDFFF 1¢ x²t ho tr÷íng hñp 1 thù vi ph¥n §p o hìnF ghó þ r¬ng ¡ k¸t qu£ tr¶n 1·u x²t 1 thù vi ph¥n â d¤ng [f n P (f )](k) v k¸t luªn r¬ng n¸u f v g l ¡ h m ph¥n h¼nh thä m¢n [f n P (f )](k) − α v [g n P (g)](k) − α hung khæng 1iºmD vîi α l h m nhä v n l sè nguy¶n d÷ìng 1õ lînD th¼ f = g. uy nhi¶nD hóng tæi nhªn th§y â mët sè h¤n h¸ li¶n qun 1¸n ¡ k¸t qu£ n yF gö thºD ¡ t¡ gi£ h¿ x²t ¡ 1 thù â ½t nh§t mët khæng 1iºm §p 1õ o v ¡ h m nhä α ph£i â húu h¤n 6
khæng 1iºm v ü 1iºmF ¼ vªyD mö ti¶u ti¸p theo õ hóng tæi l x²t i to¡n tr¶n ho ¡ iºu di¹n têng qu¡t hìn v ä qu 1i·u ki»n v· t½nh húu h¤n õ ¡ khæng 1iºm v ü 1iºm õ h m nhä α. 0çng thíiD hóng tæi ông 1÷ r ¡ k¸t qu£ trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi ph¥n hung mët h m nhä khæng t½nh ëiF vuªn ¡n 1÷ñ hi th nh h÷ìng òng vîi ph¦n mð 1¦uD k¸t luªn v t i li»u thm kh£oF gh÷ìng ID ngo i ph¦n 1¦u d nh ho vi» tr¼nh y mët sè kh¡i ni»m ì £n 1÷ñ dòng trong luªn ¡nD hóng tæi 1÷ r ¡ k¸t qu£ v· ¡ khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nh @0ành lþ IFPFIAF 0ành lþ n y 1÷ r mèi li¶n h» giú sè ü 1iºm õ mët h m ph¥n h¼nh v sè khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1âF xh÷ mët h» qu£ õ 0ành lþ IFPFI hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ õ mnoi trong tr÷íng hñp 1° i»t v mð rëng gi£ thuy¸t qol9dergF gh÷ìng P d nh ho vi» nghi¶n ùu ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥nF h¦n 1¦u õ h÷ìng 1÷ r qun h» sè khuy¸t ho 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh @0ành lþ PFIFIAF 0ành lþ n y l mët ùng döng trü ti¸p õ 0ành lþ IFPFI trong gh÷ìng I v 1çng thíi ông ho t mët d¤ng têng qu¡t hìn õ gi£ thuy¸t wues ho 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nhF h¦n uèi õ h÷ìng n y 1÷ñ d nh ho vi» nghi¶n ùu ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF rong ph¦n n yD ¡ 0ành lþ PFPFID PFPFS v PFPFU l ¡ mð rëng õ gi£ thuy¸t rymn ho ¡ 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìnF gh÷ìng Q tr¼nh y ¡ k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi ph¥n hung mët h m nhäF h¦n 1¦u õ h÷ìng 1÷ r ¡ 1° tr÷ng õ ¡ h m ph¥n h¼nh hung nhu mët h m nhä trong ¡ tr÷íng hñp t½nh £ ëi v 7
khæng t½nh ëi @0ành lþ QFIFPD 0ành lþ QFIFR v 0ành lþ QFIFSAF h¦n uèi õ h÷ìng 1÷ r ¡ ùng döng õ ¡ 1ành lþ ð ph¦n 1¦u ho vi» nghi¶n ùu t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ¡ 1 thù vi ph¥n hung nhu mët h m nhä 1÷ñ thº hi»n trong nëi dung õ ¡ 1ành lþX 0ành lþ QFPFI 1¸n 0ành lþ QFPFTD 0ành lþ QFPFV v 0ành lþ QFPFWF u¸t thó ph¦n n yD hóng tæi 1÷ r 1° tr÷ng nghi»m õ ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Q(f ) = Q(g) + c trong 1â Q(z) l 1 thù vîi h» sè tr¶n C, f, g l ¡ h m ph¥n h¼nh v c l mët h¬ng sè phùF 8
Ch÷ìng 1. Khæng iºm cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh rong h÷ìng n y ngo i vi» tr¼nh y mët sè ki¸n thù hu©n à ho ¡ nëi dung h½nhD hóng tæi tr¼nh y k¸t qu£ nghi¶n ùu v· khæng 1iºm õ ¡ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF îi þ t÷ðng sû döng ¡ ÷î l÷ñng thæng qu h m x§p x¿ hi»u h¿nhD hóng tæi 1÷ r mèi li¶n h» giú sè ü 1iºm õ h m ph¥n h¼nh v sè khæng 1iºm õ mët 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1âF rong tr÷íng hñp 1° i»tD k¸t qu£ õ hóng tæi thu 1÷ñ k¸t qu£ 1¢ i¸t õ mnoi v gi£ thuy¸t õ qold9ergF 1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà rong ph¦n n y hóng tæi tr¼nh y mët sè ki¸n thù ì £n trong lþ thuy¸t xevnlinn ê 1iºn v mët sè k¸t qu£ õ mnoi dòng ho vi» nghi¶n ùu ¡ nëi dung h½nhF 1.2 ×îc l÷ñng khæng iºm cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh gho k ≥ 1 l mët sè nguy¶n v Qi (z) l ¡ 1 thù ª qi , (i = 0, 1, . . . , k) trong C[z]. qi£ sû hi Qi (z) = ci (z − βij )qij j=1 hi vîi ci ∈ C∗ v j=1 qij = qi , vîi i = 0, 1, 2, . . . , k. 0°t Φ := Q0 (f )Q1 (f ) . . . Qk (f (k) ) 9
v q := q0 + q1 + · · · + qk . u¸t qu£ õ hóng tæi ph¡t iºu nh÷ suF ành lþ 1.2.1Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, k≥2 l mët sè nguy¶n v > 0 b§t ký. Cho A ⊂ C l mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc. Khi â, ta câ k 1 1 (ν − 1)qν N (r, f ) + q N1 r, ≤ N r, + T (r, f ), ν=0 f −a Φ a∈A vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (e, ∞) câ mªt ë logarit b¬ng khæng, trong â 1 1 1 N1 r, = N r, − N r, . f −a f −a f −a rong tr÷íng hñp Q0 (z) = Q1 (z) = · · · = Qk−1 (z) = 1 v Qk (z) = z, t thu 1÷ñ k¸t qu£ õ mnoi nh÷ mët tr÷íng hñp 1° i»t õ 1ành lþ tr¶nF H» qu£ 1.2.4 Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc, k ≥ 2 l mët sè nguy¶n v > 0. Cho A ⊂ C l mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc. Khi â, ta câ 1 1 (k − 1)N (r, f ) + N1 r, ≤ N r, (k) + T (r, f ), f −a f a∈A vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (e, ∞) vîi mªt ë logarit b¬ng khæng. H» qu£ 1.2.5 Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc, k ≥ 2 l mët sè nguy¶n. Khi â, ta câ 1 N (r, f ) ≤ N r, + o(T (r, f )), f (k) khi r → ∞ câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng. 10
1.3 K¸t luªn f¬ng vi» sû döng ¡ k¸t qu£ õ lþ thuy¸t xevnlinn ê 1iºn v mët sè k¸t qu£ õ mnoi 1º ÷î l÷ñng ¡ §t 1¯ng thùD trong h÷ìng n yD ngo i vi» tr¼nh y l¤i mët sè ki¸n thù ì £nD hóng tæi 1¢ 1÷ r mèi li¶n h» giú sè ü 1iºm õ mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phù C v sè khæng 1iºm õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1â @xem 0ành lþ IFPFIAF u¸t qu£ n y ho t mët têng qu¡t hâ õ gi£ thuy¸t qol9derg v 1çng thíi ông ho t mët æng ö 1ìn gi£n 1º hùng minh ¡ k¸t qu£ v· ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh trong h÷ìng ti¸p theo õ luªn ¡nF Ch÷ìng 2. Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh rong ph¦n giîi thi»u 1¢ nâi r¬ngD qi£ thuy¸t wues â li¶n qun trü ti¸p tîi gi£ thuy¸t qol9dergD méi ÷î ti¸n ë trong vi» hùng minh gi£ thuy¸t qol9derg 1·u d¨n tîi nhúng ÷î ti¸n mîi trong vi» gi£i quy¸t gi£ thuy¸t wuesF qi£ thuy¸t wues 1÷ r mèi qun h» sè khuy¸t õ 1¤o h m õ h m ph¥n h¼nh tr¶n C, tø 1â â thº th§y r¬ng 1¤o h m õ mët h m ph¥n h¼nh â thº ä 1i nhi·u nh§t mët gi¡ trà phù húu h¤nF g¥u häi tü nhi¶n 1°t r l li»u gi£ thuy¸t wues án 1óng khæng n¸u t thy 1¤o h m õ mët h m ph¥n h¼nh ði mët 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh 1âc §n 1· n y 1÷ñ 1°t r 1¦u ti¶n ði rymn qu vi» xem x²t ¡ 1 thù vi ph¥n d¤ng 1° i»tF u 1âD nâ 1¢ thu hót 1÷ñ sü qun t¥m õ nhi·u nh to¡n hå kh¡ vîi vi» gi£i quy¸t trån vµn i to¡n 1°t r ði rymn v nghi¶n ùu ¡ k¸t qu£ 1â ho ¡ 1 thù vi ph¥n têng 11
qu¡t hìnF rong ph¦n 1¦u õ h÷ìng n y hóng tæi ¡p döng 0ành lþ IFPFI 1º nghi¶n ùu qun h» sè khuy¸t õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF rong ph¦n ti¸p theo õ h÷ìngD hóng tæi nâi v· ph¥n è gi¡ trà õ mët sè d¤ng 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìn so vîi ¡ d¤ng 1 thù vi ph¥n 1¢ i¸t tr÷î 1¥yF 2.1 Quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh qi£ thuy¸t wues nâi r¬ngX x¸u f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phù C v k l mët sè nguy¶n d÷ìng th¼ δ(a, f (k) ) ≤ 1. a∈C x«m PHITD ting v rung 1¢ mð rëng ho ¡ 1ìn thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh â d¤ng f l (f (k) )n trong 1â l, n, k l ¡ sè nguy¶n lîn hìn 1. uy nhi¶nD h°n tr¶n thu 1÷ñ trong k¸t qu£ õ ¡ t¡ gi£ 1â h÷ ph£i l h°n tèt nh§t â thºF rong ph¦n n y hóng tæi s³ tr¼nh y k¸t qu£ v· qun h» sè khuy¸t õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh vîi h°n tr¶n tèi ÷uF xëi dung ö thº 1÷ñ thº hi»n qu 1ành lþ suF ành lþ 2.1.1. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh v k l mët sè nguy¶n d÷ìng. Vîi Φ ÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong ành lþ 1.2.1. Gi£ sû mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n (i) k ≥ 2 v tçn t¤i ν ∈ {2, ..., k} sao cho Qν (z) câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi ½t nh§t b¬ng 2. (ii) k ≥ 1 v Φ = Qk (f (k)). Khi â, ta câ δ(a, Φ) ≤ 1. a∈C 12
rong tr÷íng hñp 1° i»t khi x²t ¡ 1ìn thù vi ph¥n â d¤ng f l (f (k) )n , hóng tæi £i ti¸n k¸t qu£ õ ting v rung vîi h°n 1 tr¶n 1÷ñ gi£m tø 1 + nk+n+l xuèng 1. H» qu£ 2.1.3. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v k, l, n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn ho°c b¬ng 2. Khi â, ta câ δ(a, f l (f (k) )n ) ≤ 1. a∈C uhi k ≥ 1 v Qk (z) = z t thu 1÷ñ gi£ thuy¸t wues nh÷ mët tr÷íng hñp 1° i»t õ 0ành lþ PFIFIF H» qu£ 2.1.4. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v k ≥ 1 l mët sè nguy¶n d÷ìng. Khi â, ta câ δ(a, f (k) ) ≤ 1. a∈C 2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mët sè d¤ng a thùc vi ph¥n qi£ thuy¸t rymn nâi r¬ngX gho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v n ≥ 1 l mët sè nguy¶nF uhi 1âD f n f nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡ khæng væ sè l¦nF x«m IWSWD rymn 1¢ hùng minh gi£ thuy¸t ho tr÷íng hñp n ≥ 3. x«m IWUWD wues 1¢ 1÷ r hùng minh gi£ thuy¸t tr¶n ho tr÷íng hñp n = 2. 0¸n n«m IWWSD fergweiler v iremenko v ghen v png mët ¡h 1ë lªp 1¢ 1÷ r hùng minh ho tr÷íng hñp n = 1. u 1âD v§n 1· n y ti¸p tö 1÷ñ mð rëng ho ¡ 1¤o h m §p oF 13
rong ph¦n n yD hóng tæi mð rëng k¸t qu£ tr¶n ho mët sè d¤ng 1 thù vi ph¥n têng qu¡t hìnF u¸t qu£ õ hóng tæi nh÷ suF ành lþ 2.2.1. Cho k l mët sè nguy¶n d÷ìng v Q(z) l mët a thùc bªc q trong C[z]. Gi£ sû l l sè khæng iºm ph¥n bi»t cõa Q(z). Khi â, n¸u f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v q ≥ l + 1 th¼ [Q(f )](k) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. rong tr÷íng hñp 1° i»tD khi x²t k = 1 v Q(z) = z n+1 hóng t nhªn 1÷ñ qi£ thuy¸t rymn nh÷ suF H» qu£ 2.2.3. N¸u f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v n ≥ 1 l mët sè nguy¶n d÷ìng th¼ f nf nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. rong tr÷íng hñp têng qu¡t hìnD khi Q(z) = z n v k l mët sè nguy¶n d÷ìng §t kýD hóng t nhªn 1÷ñ k¸t qu£ su 1¥y vîi n ≥ 2 thy v¼ n > k nh÷ trong 0ành lþ P õ fergweiler v iremenkoF H» qu£ 2.2.4. N¸u f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 2 v k l c¡c sè nguy¶n d÷ìng th¼ (f n)(k) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. ành lþ 2.2.5. Cho P (z) v Q(z) l c¡c a thùc bªc p v q t÷ìng ùng, k ≥ 1 l mët sè nguy¶n d÷ìng. Gi£ sû l l sè khæng iºm ph¥n bi»t cõa Q(z). Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t. N¸u q ≥ (k + 1)p + l + 2 th¼ Q(f ) + P (f (k) ) câ væ sè khæng iºm. rong tr÷íng hñp 1° i»t khi x²t P (z) = z v Q(z) = −az n + b trong 1â a = 0, b l ¡ h¬ng sèD hóng t nhªn 1÷ñ k¸t qu£ õ rymn nh÷ mët tr÷íng hñp 1° i»t õ 0ành lþ PFPFS ð tr¶nF H» qu£ 2.2.6. N¸u f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 5 v a=0 th¼ φ = f (z) − af (z)n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n. ành lþ 2.2.7. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v k l 14
mët sè nguy¶n d÷ìng. Cho Φ = Q0 (f )Q1 (f ) . . . Qk (f (k) ) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong ành lþ 1.2.1. Gi£ sû mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n i) k ≥ 1 v Q0 câ khæng iºm bëi ½t nh§t 3 ho°c câ hai khæng iºm ph¥n bi»t bëi ½t nh§t 2. ii) k ≥ 2, Q0 câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi v tçn t¤i ν ∈ {2, ..., k} sao cho Qν (z) câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi. Khi â, Φ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. rong tr÷íng hñp 1° i»tD khi x²t ¡ 1ìn thù vi ph¥n â d¤ng f l (f (k) )n , hóng tæi thu l¤i k¸t qu£ õ ting v rung nh÷ suF H» qu£ 2.2.11. Cho f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v k, l, n l c¡c sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn ho°c b¬ng 2. Khi â, f l (f (k) )n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n. 2.3 K¸t luªn h¦n thù nh§t õ h÷ìng nghi¶n ùu v· qun h» sè khuy¸t õ 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nhF f¬ng vi» sû döng k¸t qu£ õ gh÷ìng ID hóng tæi 1¢ hùng minh 1÷ñ r¬ng têng t§t £ ¡ sè khuy¸t õ mët 1 thù vi ph¥n õ h m ph¥n h¼nh à h°n tr¶n ði gi¡ trà 1 @xem 0ành lþ PFIFIAF u¸t qu£ n y ho t mët têng qu¡t hâ õ qi£ thuy¸t wues m 1¢ 1÷ñ hùng minh ho n to n ði mnoiF h¦n thù hi õ h÷ìng nghi¶n ùu ph¥n è gi¡ trà õ ¡ 1 thù vi ph¥nF 0ành lþ PFPFI 1÷ r 1i·u ki»n v· ª õ 1 thù v sè nghi»m ph¥n i»t õ 1 thù 1â 1º kh¯ng 1ành r¬ng 1 thù vi 15
ph¥n â d¤ng [Q(f )](k) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡ khæng væ sè l¦nF 0ành lþ PFPFS 1÷ r 1i·u ki»n v· ª õ ¡ 1 thùD sè nghi»m ph¥n i»t õ ¡ 1 thù 1â v §p õ 1¤o h m 1º kh¯ng 1ành r¬ng 1 thù vi ph¥n â d¤ng P (f ) + Q(f (k) ) â væ sè khæng 1iºmF guèi òngD vîi ¡ 1i·u ki»n th½h hñp v· ª v sè khæng 1iºm ëi õ ¡ 1 thùD 0ành lþ PFPFU kh¯ng 1ành r¬ng 1 thù vi ph¥n â d¤ng Φ = Q0 (f )Q1 (f ) . . . Qk (f (k) ) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡ khæng væ sè l¦nF g¡ k¸t qu£ n y ho hóng t ¡ mð rëng õ ¡ gi£ thuy¸t 1÷ñ 1°t r ði rymn m 1¸n ny 1¢ 1÷ñ hùng minh ho n to n ho tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nhF Ch÷ìng 3. T½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä ÷ìng ùng vîi ¡ k¸t qu£ v· ph¥n è gi¡ trà õ h m ph¥n h¼nhD hóng t â thº thu 1÷ñ ¡ k¸t qu£ v· sü x¡ 1ành duy nh§t õ ¡ h m thæng qu £nh ng÷ñ õ ¡ h m 1âF rong h÷ìng n yD hóng tæi tr¼nh y ¡ k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh khi ¡ 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nh 1â hung mët h m ph¥n h¼nh nhäF Ð 1¥yD hóng tæi x²t ¡ 1 thù vi ph¥n ð d¤ng têng qu¡t hìn so vîi ¡ k¸t qu£ 1¢ i¸t tr÷î 1â v 1çng thíi ông khæng ¦n 1°t r ¡ h¤n h¸ th¶m v· ¡ h m ph¥n h¼nh nhäF h¦n 1¦u õ h÷ìng n yD hóng tæi nghi¶n ùu v§n 1· ¡ h m ph¥n h¼nh hung mët h m ph¥n h¼nh nhäF 0çng thíiD v§n 1· n y ông l h¼ khâ qun trång trong hùng minh ¡ k¸t qu£ 1÷ñ tr¼nh y ð ph¦n su õ h÷ìngF 16
3.1 C¡c h m ph¥n h¼nh chung mët h m nhä nh l¤iD ho f l mët h m ph¥n h¼nh kh¡ h¬ng tr¶n C. wët h m ph¥n h¼nh α 1÷ñ gåi l mët h m nhä so vîi f n¸u thä m¢n T (r, α) = o(T (r, f )) khi r → +∞ â thº trø r mët tªp â 1ë 1o húu h¤nF ành ngh¾a 3.1.1. ri h m ph¥n h¼nh f v g tr¶n C 1÷ñ gåi l hung mët h m α t½nh £ ëi n¸u f − α v g − α â hung ¡ khæng 1iºm vîi òng sè ëiF ri h m ph¥n h¼nh f v g tr¶n C 1÷ñ gåi l hung mët h m α khæng t½nh ëi n¸u f − α v g − α â hung ¡ khæng 1iºmF rong ph¦n n y hóng tæi 1÷ r 1° tr÷ng õ ¡ h m ph¥n h¼nh khi hóng hung mët h m nhäF 0° tr÷ng n y 1âng vi trá qun trång trong hùng minh i to¡n v· t½nh duy nh§t õ ¡ h m ph¥n h¼nh khi ¡ 1 thù vi ph¥n õ ¡ h m ph¥n h¼nh 1â hung mët h m ph¥n h¼nh nhäF r÷î h¸tD hóng tæi x²t ¡ 1° tr÷ng 1â trong tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nh hung mët h m nhä t½nh £ ëiF ành lþ 3.1.2. Gi£ sû f v g l c¡c h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v α l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c khæng nhä so vîi f v g. N¸u f v g chung α t½nh c£ bëi th¼ mët trong c¡c tr÷íng hñp sau l óng (i) T (r, f ) ≤ N2(r, f )+N2(r, g)+N2(r, f )+N2(r, g )+o(T (r, f ))+ 1 1 o(T (r, g)), v b§t ¯ng thùc t÷ìng tü óng vîi T (r, g); ho°c (ii) f ≡ g; ho°c (iii) f g ≡ α2. x¸u gi£ thi¸t th¶m r¬ng f v g hung ü 1iºm khæng t½nh ëi th¼ hóng t s³ nhªn 1÷ñ mët h°n tr¶n tèt hìn ho ¡ h m 1° 17
tr÷ng T (r, f ) v T (r, g) trong kh¯ng 1ành @iA õ 0ành lþ QFIFPF gö thº hóng tæi nhªn 1÷ñ 1° tr÷ng su 1¥yF ành lþ 3.1.4. Cho f v g l hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v α l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c khæng nhä so vîi f v g. N¸u f v g chung α t½nh c£ bëi v chung ∞ khæng t½nh bëi th¼ mët trong ba tr÷íng hñp sau thäa m¢n: (i) T (r, f ) ≤ N2(r, f )+N2(r, g )+3N (r, f )+o(T (r, f ))+o(T (r, g)), 1 1 b§t ¯ng thùc t÷ìng tü óng cho T (r, g); (ii) f ≡ g; (iii) f g ≡ α2. i¸p theoD hóng tæi s³ 1÷ r 1° tr÷ng õ ¡ h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nh 1â hung mët h m nhä khæng t½nh ëiF ành lþ 3.1.5. Cho f v g l hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v α l mët h m ph¥n h¼nh kh¡c khæng nhä so vîi f v g. N¸u f v g chung α khæng t½nh bëi th¼ mët trong ba tr÷íng hñp sau thäa m¢n (i) T (r, f ) ≤ N2(r, f ) + N2(r, g) + N2(r, f ) + N2(r, g ) + 2 N (r, f ) + 1 1 N (r, f ) + N (r, g) + N (r, g ) + o(T (r, f )) + o(T (r, g)), v b§t 1 1 ¯ng thùc t÷ìng tü công óng vîi T (r, g); (ii) f ≡ g; (iii) f g ≡ α2. Chó þ 3.1.6. uhi x²t v§n 1· ¡ h m ph¥n h¼nh hung mët h m nhäD ph÷ìng ph¡p quen thuë õ ¡ nh to¡n hå l quy i to¡n v· tr÷íng hñp ¡ h m ph¥n h¼nh hung gi¡ trà 1 ¬ng vi» sû döng kh¯ng 1ành suX x¸u ¡ h m ph¥n h¼nh F v G hung h m nhä α 18