Lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bày một phương pháp để tính lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức. Bài viết có thể dùng làm tài liệu tham khảo nâng cao cho sinh viên, chuyên đề bồi dưỡng các đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết và định thức

LŨY THỪA CỦA MA TRẬN CẤP HAI THÔNG QUA VẾT VÀ ĐỊNH THỨC Lê Anh Xuân1, Phạm Thanh Dược1 và Trần Hoài Ngọc Nhân2 1 Trường Đại học Kỹ thuật - Công nghệ Cần Thơ, 2 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long. Email: laxuan@ctuet.edu.vn TÓM TẮT Thông tin chung: Ngày nhận bài: 21.01.2024 Có nhiều phương pháp để tính lũy thừa của ma trận vuông trong Ngày nhận bài sửa: 16.02.2024 từng trường hợp cụ thể; tuy nhiên, nói chung chưa có phương pháp Ngày duyệt đăng: 20.02.2024 giải bài toán tổng quát. Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bày Từ khóa: Định thức, lũy thừa một phương pháp để tính lũy thừa của ma trận cấp hai thông qua vết của ma trận, vết. và định thức. Đồng thời, nhóm tác giả đưa ra công thức tổng quát và các ví dụ minh họa trong từng trường hợp cụ thể. Cách tiếp cận của nhóm tác giả có thể áp dụng để tính lũy thừa của ma trận vuông cấp cao hơn trên trường là vành chia được trong một lớp rộng; phương pháp này cũng có thể áp dụng để tìm số hạng tổng quát của dãy số được cho bởi công thức truy hồi tuyến tính,... Bài viết có thể dùng làm tài liệu tham khảo nâng cao cho sinh viên, chuyên đề bồi dưỡng các đội tuyển tham dự kỳ thi Olympic toán học sinh viên toàn quốc. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ cấp cao hơn. Gần đây, Konvalina (2015) Tính lũy thừa của ma trận là một bài đưa ra công thức khai triển lũy thừa bậc n của ma trận thông qua các phần tử của nó. toán mở. Luân và cộng sự (2022) đã tổng Tuy nhiên, số hạng tử trong công thức khai hợp 7 phương pháp tính lũy thừa của ma triển của Konvalina và McLaughlin là tương trận, mỗi phương pháp đều có ưu nhược đối lớn, từ đó việc rút gọn công thức của họ điểm riêng. Riêng trong trường hợp ma trận là không dễ dàng. cấp hai, Williams (1992) đã đưa ra công thức tổng quát thông qua giá trị riêng của Trong bài viết này, nhóm tác giả trình bày ma trận và chứng minh tương đối ngắn gọn. phương pháp tính lũy thừa ma trận cấp hai Tiếp theo, McLaughlin (2004) đưa ra công thông qua vết và định thức, trên cơ sở ứng thức khai triển lũy thừa bậc n của ma trận dụng định lý Cayley-Hamilton. Cách tiếp cận thông qua định thức và vết của nó. của nhóm tác giả hoàn toàn khác với các tác McLaughlin dùng phương pháp quy nạp để giả trước đây. Đồng thời, nhóm tác giả đưa ra chứng minh nên giới hạn trong việc ứng công thức cụ thể trong từng trường hợp. Cuối dụng để dự đoán công thức đối với ma trận cùng, chúng tôi trình bày các ví dụ minh họa, TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 99
các kết quả này dễ dàng kiểm tra bằng máy Từ đó, ta có thể dùng các công thức tổ hợp để tính cầm tay hoặc chứng minh bằng quy nạp. rút gọn từng phần tử của ma trận thu được. Ưu điểm của phương pháp này là trình bày 2.1. Phương pháp tính lũy thừa của ma từng bước để đi đến kết quả và đặc biệt là có trận cấp hai thể áp dụng để tính lũy thừa của ma trận cấp cao hơn trong một số trường hợp đặc biệt. Từ định lý Cayley-Hamilton (Prasolov, 2. NỘI DUNG 1994, tr. 80), suy ra mọi ma trận A vuông cấp Trong toàn bộ bài viết này, kí hiệu 2 thỏa mãn A2  tr  A   A  det  A   I . tr  A , det  A lần lượt là vết và định thức 2.1.1. Khi det  A  0 của ma trận A . Từ định lý Cayley-Hamilton (Prasolov, 1994, tr. 80), suy ra mọi ma trận A Từ A2  tr  A   A , dễ dàng chứng minh vuông cấp 2 thỏa mãn bằng quy nạp, với mọi n  2 thì A2  tr  A  A  det  A  I  0. Trong A n   tr  A   n 1  A. trường hợp det  A  0 hoặc tr  A  0 thì 2.1.2. Khi det  A  0, tr  A   0 bài toán trở nên đơn giản. Trường hợp det  A  0 và tr  A  0, bài toán quy về Từ A2   det  A   I , dễ dàng chứng việc tính lũy thừa cấp n của ma trận minh bằng quy nạp, với mọi n  2 thì  tr  A  det  A  M   . Chúng ta biểu  An   det  A  m  I khi n  2m,  1 0    n  A   det  A   A khi n  2 m  1, m diễn ma trận M  T  E , trong đó   tr  A   hay  det  A   2 T  , n n n2    tr  A   A    det  A   n 2   A 2 .  1    2   tr  A   2.1.3. Khi det  A  0, tr  A  0  0  2 Ta có E  .  tr  A    0  An  tr  A   An 1  det  A   An 2 , n  2.  2  Bởi vì ma trận E giao hoán với mọi ma Khi đó trận cấp hai khác nên có thể áp dụng công thức khai triển Newton cho M n  T  E  . n  An   tr  A  det  A    An 1   n 1    A     n 2  .      1 0  A  100 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024
Từ đó suy ra  An   tr  A   det  A    An1   n 1    A    n2       1 0  A   tr  A   det  A   tr  A  det  A   An 2      n 3    1 0  1 0  A  2 n 1  tr  A   det  A   An  2   tr  A  det  A   A    n 3      A     , n  3.  1 0     1 0  I  x y Đặt x  tr  A  , y  det  A . Ta cần tính M n 1 , n  3, với M   . 1 0 x  x  2 y  2 0 Đặt T   , E    . Lưu ý rằng E giao hoán với mọi ma trận cấp 2. 1 x 0 x      2  2 Ta viết lại M dưới dạng x  x  y   0  x y  2 2 M     T  E, 1 0  1 x   0 x      2  2 k k x  x k trong đó E    I      I , k  0. 2  2 i) Khi det  T   0 : Vì tr  T   0 nên T  0 , suy ra 2 x  n 1 n 1 2 y  x  x M n 1   T  E  n 1  Cn1 E n 1  Cnn12TE n 2    n 1  I  ( n  1)     I. 2 2 1 x     2 ii) Khi det  T   0 : Theo trường hợp 2.1.2 thì k  k  k  2  T    det T   k 2   T 2 . Suy ra n 1  T  E    Cnk1T k E n1k n 1 n 1 M k 0 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 101
n 1 k n 1 k   tr  A  k  k 2    C k n 1  det T   2     T 2 k 0  2  n 1 k  tr  A  k  k    n 1 2  k  2   C k n1 det T  2   T 2 k 0  2   tr  A   n 1 k   k  C k det  T    I n 1  2  k chaün    tr  A   n 1 k 1   k  C k det  T    T  det  T   2  n 1 k leû   n 1 n 1  tr  A    tr  A      det T      det T   2  2    I 2 n 1 n 1  tr  A    tr  A      det T      det T   1 2  2     T.  det T  2 Cuối cùng ta có An   M n1  A   M n 1  I . 11 12 iii) Khi det  T   0 : Tương tự như trường hợp ii), ta có n 1 k n 1 n 1 k   tr  A  k  k 2   M n 1  T  E  n 1  C T E k n 1 k n 1 k  C k n 1  det T     2   T 2 k 0 k 0  2  n 1 k  tr  A  k  k    n1 2  k 2    C k n 1 i det T  2   T 2 k 0  2   tr  A   n1 k i  k  C k det T  .  .I n 1  2  k chaü n    tr  A   n 1k 1 i  k  C k det  T  .  .T i det T   2  n 1 k leû   102 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024
n 1 n 1  tr  A    tr  A     i det T     i det T   2  2    I 2 n 1 n 1  tr  A    tr  A     i det T     i det T    1   2   2  T. i det T  2 Cuối cùng ta có A  M n  n 1  11 A   M n 1  I . 12 2.2. Các ví dụ 1 1 1 0 Trong phần này nhóm tác giả trình bày các trong đó T  , E   , 1 1 0 1 ví dụ cụ thể minh họa cho các trường hợp ở det T   0, E k  I , k  0. tiểu mục 2.1.3. Các kết quả có thể dễ dàng n 1 kiểm tra bằng máy tính cầm tay hoặc chứng  T  E    C n 1T k E 2k n 1 n 1 k M minh bằng phương pháp quy nạp. k 0 1 0  1 1  (C T  C ) I  (n  1)T  I n 1 n1 Ví dụ 1: Cho A   n  . Tính A ,  0 1 1 1   1 0   ( n  1)     n  3.  1 1   0 1  Giải. n  1   n Ta có tr  A  2, det  A   1 ,  .  n  1 n  2   2 1 Vậy M   . Ta viết lại M dưới dạng 1 0  An   M n1  A   M n1  I 11 12  2 1 1 1  1 0   nA  ( n  1) I M      T  E,  1 0   1 1  0 1   1 1 1 0  1 n   n   ( n  1)   .  0 1 0 1  0 1  Ví dụ 2 (Dãy Fibonacci): Tìm số hạng tổng quát của dãy số được xác định bởi F 1  1, F  2   1 và F  n  1  F  n   F  n  1 với n  2. Giải. Ta có  F (n  1)  1 1   F (n)     .  F (n )   1 0   F (n  1)  Từ đó suy ra TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 103
n 1  F (n  1)   1 1   F (2)      .  F (n)   1 0   F (1)  1 1  Như vậy chúng ta cần tính M n1 với M   . 1 0  Ta viết lại M dưới dạng 1  1  1   0 1 1   2 2 M     T  E , 1 0   1 1   0 1      2  2 1  1  2 1  2 0 k 5 1  , det T    , tr  E   1 , E    I , k  0. k với T   , E   1 1 1 4 2     0    2  2 Suy ra n 1 n 1  tr  A   tr  A      det T     det  T   2  2 M n1     I 2 n 1 n 1  tr  A    tr  A     det  T     det T   1 2  2     T det T  2 n 1 n 1 n 1 n 1 1 5 1 5 1 5 1 5              2 2  2 2  I 1 2 2   2 2  T 2 5 2 2      1  5     n n n 1 n 1  1 1  5  1 5 2  1 5   5 2n 5  2n .         Suy ra F (n  1)   M n1  F (2)   M n 1  F (1) 11 12 104 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024
1  5   1  5  1  5    n n n 1 n 1 1 2  1 5   n   5 2 5 2n 1  5    n 1 n 1 1  1  5   n1 n 1  1 5  1 5        . 2n1 5 5  2   2     Vậy 1  1  5   1  5   n n F ( n)       , với mọi n  1. 5  2   2      1 1 Ví dụ 3: Cho A   n  . Tính A , n  3. 1 1  Giải.  2 2  Ta có tr  A  2, det  A  2 , M    . Ta viết lại M dưới dạng 1 0   2 2  1 2   1 0  M      T  E,  1 0   1 1   0 1  1 2  1 0  trong đó T   , E    , det T   1 , E  I , k  0. k  1 1   0 1 Suy ra n 1 n 1  tr  A    tr  A     i det T     i det T   2  2 M n1     I 2 n1 n 1  tr  A   tr  A     i det T     i det T   1 2  2     T i det  T  2 1  i   1  i   1 0  1 1  i   1  i  n 1 n 1 n 1 n 1  1 2        2 0 1 i 2 1 1  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 105
 1  i  n  1  i n 1  i  n 1  1  i  n 1      2i i .       Vậy An   M n1  A   M n 1  I 11 12 1  i   1  i   1 1  1  i   1  i  n n n 1 n 1 1 0       2i 1 1  i 0 1   1  i 1  i  n 1  (1  i ) 1  i  n1 1  i   1  i  n n     2i 2i    1  i   1  i  n n  1  i 1  i   1  i 1  i  n 1 n 1     2i 2i   2 2    1  i 1  i   1  i 1  i  n 1 n 1 1  i   1  i  n n     2i 2i    2 2 n1  1  i   1  i   n 1  1  i   1  i  n n  1 i 1 i    2i 2i   1  i n2  1  i  n 2 1  i   1  i  n  n    i 2i  .  1  i   1  i  n n n 2  1  i   1  i   n 2    2i i  3. KẾT LUẬN thuộc vào det  A và tr A , i  1, n  1   i Bài viết trình bày phương pháp và đưa ra (trang web của wikipedia, (n.d)) . Như vậy, công thức tính lũy thừa của ma trận cấp hai phương pháp của chúng tôi hoàn toàn có thể bất kỳ thông qua vết và định thức. Phương áp dụng cho ma trận cấp cao hơn trên trường pháp này được nhóm tác giả trình bày chi tiết là vành chia được trong những trường hợp từng bước và không cần nhớ những công thức phức tạp. Mặt khác, từ định lý Caley-  i khuyết tr A , i  2, n  1. Hamilton suy ra, mỗi ma trận cấp n là Bài viết có thể dùng làm chuyên đề bồi nghiệm của một đa thức bậc n có hệ số phụ dưỡng các đội tuyển Olympic Đại số sinh viên 106 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024
toàn quốc và phương pháp tính lũy thừa của McLaughlin, J. (2004), “Combinatorial ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày trong identities deriving from the nth power of a chuỗi bài viết của nhóm tác giả. 2  2 matrix”, Integers 4, A19. Tài liệu tham khảo Prasolov, V. V. (1994), Problems and Konvalina, J. (2015), “A Combinatorial Theorems in Linear Algebra, Moscow, Formula for Powers of 2 2 Russia. Matrices”, Mathematics Magazine, 88:4, pp. Williams, K. S. (1992), “The n th Power 280-284 of a 2  2 Matrix”, Mathematics Magazine, Luân, N.T., Thùy, L.T.T., Nhân, T.N.H. 65:5, pp. 336. (2022), “Về các phương pháp tính lũy thừa “Cayley–Hamilton theorem” available at: của ma trận cấp 2”, Tạp chí khoa học Trường https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80 Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, Số %93Hamilton_theorem (accessed 30 January, chuyên đề tháng 10/2022, trang 184-189. 2024). POWER OF A 2 x 2 MATRIX BASED ON ITS TRACE AND DETERMINANT ABSTRACT Powers of a square matrix can be calculated in a variety of ways depending on the situation, but generally speaking, there is currently no way to solve the issue. This article explains how to compute powers of a 2  2 matrix using its determinant and trace. In addition, we offer generic formulas and case-specific examples in every instance. Our approach can be used to find a formula for the general term of a sequence that is given by a linear regression formula, etc. It can also be used to calculate powers of higher order square matrices on fields that are divisible rings in a wide class. The paper can serve as an advanced resource and a topic for training for university teams participating in the National Mathematics Olympiad for students. Keywords: Determinant, powers of matrices, trace. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẦN THƠ - SỐ 01 THÁNG 02/2024 107