Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 4

Chia sẻ: Le Duoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 4 để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện đề THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 - Đề 4

MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y  4 x  3x 2  2 5 (C). 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C  . b) Giả sử M M  C  có hoành độ a . Tìm a để tiếp tuyến của  C  tại cắt  C  tại 2 điểm phân biệt khác M . 1 Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình ta n x  c o t 2 x 2  s in x  c o s x   cot x  1 .  Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân 4  I  0 cos 2 x    1  s in 2 x  c o s  x   4   dx . Câu 4 (1,0 điểm). a) Cho số phức z z  i thỏa mãn z 1 . Tìm số phức  1  2i w   3  2z  z 2 . 4 b) Cho tập A   0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6  . Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thuộc lấy ra 1 số. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5. Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ d2 : x y  2  1 1  z1 O xyz . Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . A B C có đáy ABC 60 0 . Tính khoảng cách t điểm A , cho hai đường thẳng và hợp với d2 một góc là tam giác vuông cân tại  S A C  c ng vuông góc với mặt phẳng đáy  A B C  , cho góc d1 . Trong các số nói trên A BC  a 2 A 30 d1 : 0 x1 1  y  1 z1 . . ai mặt phẳng  S A B  và , mặt bên  S B C  tạo với đáy  A B C  một đến mặt phẳng  S B C  . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho tam giác nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác lần lượt là I  2 ; 2  và  5  K  ;3 2   ABC có đỉnh A  1; 5  . Tìm tọa độ các đỉnh . Tâm đường tròn B và C của tam giác. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực  y 2  xy  3 y  2 x  1   2 1 2  y  4 xy  3 y  3x  2 x   2 x,y,z thỏa mãn 0  x,y,z  1 x,y  R . . Chứng minh  x  x   y  y   z  z    x  yz   y  zx   z  xy  . 2 2 2 ..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1.a. - Tập xác đinh: D  R và 1 . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1 Sự biến thiên: - + Chiều biến thiên: 3 y '  2x  6x ; x  0 y' 0    x   . 3  3 ; 0   3 ;    , suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng   3 ; 0  và  3 ;    . y '  0 ,  x     ;  3   0 ; 3  , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng    ;  3  và  0 ; 3  . y '  0,x   + Cực trị: àm số đạt cực đại tại + Giới hạn: lim y    ; lim y    x   x   5 x  0 , yCD  . àm số đạt cực tiểu tại x   2 3 , yCT   2 . . + Bảng biến thiên   x y' 0   3 0 0  y 3 0   5   2 2 - Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm  + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm  5   0;  2   + Đồ thị hàm số nhận trục  5 ; 0 ,   1; 0  ,  1; 0  ,  5;0  . làm trục đối xứng. Oy + Đồ thị hàm số đi qua điểm  3  3  2;   , 2;   2   2   . Vẽ đồ thị: - Câu 1.b. Vì M  C  Tiếp tuyến tại Tiếp tuyến biệt 2 x M 2  2 5 2 là phương trình   a4 5 2 M  a;  3a   2 2  có hệ số góc của  C  tại d 4  3x nên  3 M  2a  6a y' 3  2a  6a a  . Tiếp tuyến tại M cắt  C  tại 2 điểm phân biệt khác x  a  a 4 2 2  '  a2  3a2  6  0  a  3       2 g a  6a  6  0   a  1    2  3a  g  x   x  2 ax  3 a  6  0 2 . 5 2  x  a x 2 2 có dạng M  3 y  2a  6a  x  a  a 4 2  3a  2 . khi phương trình sau có 3 nghiệm phân  2  2 ax  3 a  6  0 có 2 nghiệm phân biệt khác a có 3 nghiệm phân biệt, tức . . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 5 2 Trang 2 Kết luận:  a  3   a   1 . Nhận xét: Để tìm điểm M   C  để tiếp tuyến tại M cắt  C  tại hai điểm phân biệt khác nữa ta lập phương trình tiếp tuyến , cho giao với hàm số biện luận nghiệm. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số y  f  x  tại điểm A  x A ; y A   y là y  f '  x A   x  x A   y A . - Chọn tham số 4  a 5  2 M  a;  3a    C  2 2    . Suy ra tiếp tuyến tại M . - Lập phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số. - Do M   C  nên phương trình hoành độ giao điểm sẽ có chắc chắn x  a . - Để tiếp tuyến cắt hàm số tại 2 điểm phân biệt khác nữa    'a  0 x  a   g a  0     biệt  x 2  2 ax  3 a 2 6  0 có hai nghiệm thực phân . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 . Viết phương trình tiếp của hàm số biết tiếp tuyến tiếp xúc với hàm số tại 2 điểm phân biệt. Đáp số: y   2 . b. Cho hàm số y   2 x 3 3 M 1  x1 ; y1  , M 2  x 2 ; y 2 x  3y  1  0   m  1 x  thỏa . Đáp số: 2  3m  2  x  x 1 .x 2  0 5 . Tìm m để hàm số có hai điểm phân biệt 3 và tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc đường thẳng m  3; 1  m   1 . 3 Câu 2. Điều kiện  s in x c o s x  0  cot x  1 . 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình s in x  cos x  c o s x s in 2 x s in x s in 2 x  c o s x c o s 2 x Với   2 s in x  x    2  s in x  c o s x  cos 2 x c o s x  s in x s in 2 x s in x 2 s in x  s in 2 x  cos x  3 x    k2 l  2 4 cos x     3 2  x   k2  4 Phương trình có nghiệm: c o s x s in 2 x  3  s in x  0  l   2 s in x  0   2 cos x   2  . .  k2; k  Z . 4 Nhận xét: Giải phương trình lượng giác bằng cách thay các công thức tổng của một cosin , công thức góc nhân đôi. Lưu ý kiểm tra điều kiện để loại nghiệm (nếu cần). Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Viết lại ta n x  c o t 2 x  s in x  cos x -Áp dụng công thức cos 2 x s in 2 x ; cot x  1  c o s x  s in x . s in x c o s a . c o s b  sin a . sin b  c o s  a  b  , sin 2 x  2 sin x c o s x -Giải phương trình dạng : s in x . x    k2  s in     k  Z  ; cos x  cos   x     k 2  x      k2 Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 . Trang 3 - Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:  s in 3 x  c o s 3 x  5  s in x   c o s 2 x  3  1  2 s in 2 x  a. Giải phương trinh c o s 2 x  3 c o t 2 x  s in 4 x b. Giải phương trình π Câu 3.  2 0  s in 2 2 x  c o s x  2 s in x c o s x π 4  k2 x     k; x  12   s in x  c o s x  . 7  k . 12 dx π d  s in x  c o s x  4  4 2  2 1.  s in x  c o s x  s in x  c o s x   s in x  c o s x  Nhận xét: Bài toán tính tích phân lượng giác vận dụng các công thức lượng giác cơ bản với phép đổi biến số. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:  2  π c o s x  s in x x   3 . Đáp số:  s in x  c o s x   c o s x  s in x  4 I  cot 2 x  cos 2 x  2 . Đáp số: 2 dx  2   2 0 0 0 -Xét biểu thức dưới dấu tích phân, sử dụng các công thức -Sử dụng đổi biến số u  sin x  c o s x  u '  c o s x  sin x   c o s 2 x   c o s x  s in x   c o s x  s in x   2   1  s in 2 x   s in x  c o s x    c o s  x     1 c o s x  s in x      4  2   nên I có dạng  u 'du u 2   1 C . . u Bài tập tương tự: e ln 5 a. Tính tích phân  I  b. Tính tích phân I  Khi đó z  i z  1 x dx   1  2i  dx . Đáp số: x . ln . Đáp số: 4 y x  x I  x  2 2x  2y  3  0      1 1  2 y  0 y  2  z  2 1 2 i  z  4  2i  2 Do đó w    1 i  1  yi  2z  z 2 4   3 4 7 .  1  2i 1  2 y    2 x  2 y  3  i  0 . 1 4 3 . z  x  yi  x , y  R  .  x   y  1 i  x  1  2  x  1 i  yi  2 y  Vậy I  1  ln 1 6 24 x có dạng z 1 x 2 e Câu 4.a. Gọi số phức  3 e e ln 2 e  x  15  2i . 6  4  i  4  2i  1  1  i . 4 Nhận xét: Tìm số phức w thông qua số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước ta tìm z rồi suy ra Nhắc lại kến thức và phương pháp: -Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau:  a  c a  bi  c  di    b  d w . . Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 4 - Đặt -T z  x  yi  x , y  R  w   3  2z  z 2 . Thay vào đẳng thức thay z  w z  i z 1  1  2i . Tìm được số phức z . . 4 Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 Đáp số: z  0 , z   2 , z  1  b. Tìm phần ảo của số phức  2z  0 3i . biết z .  z  2  i  1  2 2i  (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010). Đáp số: z  5  2 i . Câu 4.b. Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là a b c d e . Chọn a có 6 cách. Chọn 4 số còn lại có A cách, suy ra có 6 . A số. Trong các số trên, số chia hết cho 5 là:  Trường hợp 1: e  0 : chọn 4 số còn lại có A cách. 4 4 6 6 4 6  Trường hợp 2: e 5 : chọn 4 Vậy xác suất cần tìm P  có 5 cách chọn 3 số còn lại có a 3 A5 cách, suy ra có 4 3 A 6  5 .A 5 . 3 A 6  5 .A 5 4  0 ,306 . 6A6 Nhận xét: Bài toán tính xác suất với số chia hết cho 5. Ta chú ý dấu hiệu số chia hết cho 5 và áp dụng công thức tính xác suất. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là a b c d e . Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận c ng của nó là 0 hoặc 5. - Xét chữ số cuối c ng e  0 . - Xét chữ số cuối c ng e  5 . -Áp dụng công thức tính xác suất ta có PA  A   với    A  là số trường hợp thuận lợi cho biến cố A , là tất cả các trường hợp xảy ra. Bài tập tương tự: a. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho 15. Đáp số: 222 số. b. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Gọi A là tập hợp các số gồm 2 chữ số khác nhau lập được t các số đó. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử của A , tính xác suất để hai số lấy được đều là số chẵn.  Đáp số: 1 . 3 Câu 5. Giả sử mặt phẳng  P  có dạng: Ax  By  Cz  D  0 Suy ra mặt phẳng  P  có một vecto pháp tuyến là Trên đường thẳng d1 Do  P  qua nên M ,N lấy 2 điểm  2 3A  2B   1  Bz  A  B  0  s in 3 0 0  B 2 C 2  0 .  A ; B;C  . . . 1 . A  1 .B  1 .  2 A  B   2  4AB  2B 2 . 1   1  1 . 2  M  1; 0 ;  1  , N   1; 1; 0  2 3 5A P A  C  D  0 C  2 A  B     A  B  D  0 D  A  B Nên  P  : A x  B y   2 A Theo giả thiết, ta có n A 2  2 21A 2 2 A 2  B  2A  B 2  36 A B  10 B Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 2  0 2 . Trang 5