Một nghiên cứu về đọc hình vẽ biểu diễn đối tượng hình học trong không gian của học sinh lớp 11

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 32 (57) - Thaùng 9/2017<br /> <br /> <br /> <br /> Một nghiên cứu về đọc hình vẽ biểu diễn<br /> đối tượng hình học trong không gian của học sinh lớp 11<br /> <br /> A research on the reading of drawings of Geometric objects<br /> in space of class 11 students<br /> <br /> TS. Nguyễn Ái Quốc,<br /> Trường Đại học Sài Gòn<br /> <br /> Nguyen Ai Quoc, Ph.D.,<br /> Saigon University<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Bài báo này trình bày vấn đề hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian và các kết quả<br /> của một thực nghiệm trên việc đọc hình vẽ biểu diễn của B. Parzysz (1989). Từ các kết quả này, chúng<br /> tôi rút ra giả thuyết nghiên cứu về các diễn giải có thể mà học sinh có thể thực hiện khi đọc một hình vẽ<br /> biểu diễn và hình thành một số phỏng đoán trên các quy tắc diễn giải khác. Sau cùng tiến hành một thực<br /> nghiệm để hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu và các phỏng đoán này.<br /> Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, diễn giải, kiểu biểu diễn, quy tắc diễn giải.<br /> Abstract<br /> This paper presents the problematics of the drawing of the geometrical objects in space and the results<br /> of an experiment on the reading of the drawing by B. Parzysz (1989). Based on these results, we will<br /> develop a hypothesis on the possible interpretations that students can use when reading a drawing and<br /> we will speculate on other rules of interpretation. Finally, we carry out an experiment to validate this<br /> hypothesis and these conjectures.<br /> Keywords: drawing, interpretation, type of representation, rules of interpretation.<br /> <br /> <br /> 1. Đặt vấn đề hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình học<br /> Ngay từ lớp 8 bậc trung học cơ sở, học trong không gian được yêu cầu thông qua<br /> sinh bắt đầu tiếp cận hình học không gian phép chiếu song song:<br /> qua việc nghiên cứu một số khối đa diện “Để nghiên cứu hình học không gian,<br /> như hình lăng trụ đứng và hình chóp đều. người ta thường vẽ các hình không gian<br /> Việc nghiên cứu này chỉ thực hiện ở mức lên bảng, lên giấy. Ta gọi hình vẽ đó là<br /> độ mô tả và không nghiên cứu các quan hệ hình biểu diễn của một hình không gian.”<br /> song song và vuông góc của các đối tượng [5, tr. 45]<br /> cơ bản trong hình học không gian như Biểu diễn một đối tượng hình học bằng<br /> điểm, đường thẳng và mặt phẳng. hình vẽ biểu diễn thường dẫn đến mất một<br /> 1.1. Hình biểu diễn số thông tin bởi vì nhiều tính chất của đối<br /> Hình học không gian tiếp tục được tượng hình học có thể không được diễn<br /> nghiên cứu ở Hình học 11 và việc sử dụng dịch bằng một số mối quan hệ không gian<br /> <br /> 34<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> trên trang giấy tập trừ khi sử dụng các mã phức tạp hơn…”.<br /> vẽ hình và các quy ước biểu diễn. 1.3. Phép chiếu song song<br /> Tương tự, các tính chất không gian của Do đó, trong dạy học hình học không<br /> hình vẽ biểu diễn không thể luôn luôn thể gian, vấn đề hình vẽ biểu diễn được gắn<br /> hiện đầy đủ các tính chất hình học cần thiết liền với sự lựa chọn kiểu biểu diễn các đối<br /> cho bài toán và thậm chí trong một số tượng của hình học không gian:<br /> trường hợp có thể không thỏa đáng bởi vì “Thông thường muốn biểu diễn một<br /> hình vẽ biểu diễn chỉ là sự thuyết minh vật hình không gian nào đó, người ta chiếu<br /> chất của một đối tượng hình học. hình đó lên một mặt phẳng chiếu bằng<br /> 1.2. Miền hoạt động – miền diễn giải phép chiếu xuyên tâm hay phép chiếu song<br /> Hình vẽ biểu diễn có thể được xem song. Đặc biệt cũng có khi người ta dùng<br /> như mô hình của một đối tượng hình học. phép chiếu vuông góc (là phép chiếu song<br /> Chúng ta có thể gắn liền với mô hình này song đặc biệt)…Ở trường THPT, chương<br /> một miền hoạt động là tập hợp các tính trình chỉ hạn chế dùng hình biểu diễn qua<br /> chất hình học được biểu diễn bởi một số phép chiếu song song.” [5, tr. 76]<br /> tính chất không gian của hình vẽ biểu diễn Như vậy, trong Hình học 11 ở Việt<br /> và một miền diễn giải là tập hợp các tính Nam, kiểu biểu diễn được lựa chọn là phép<br /> chất không gian của hình vẽ biểu diễn chiếu song song. Trong các phép biểu diễn<br /> không thể diễn giải được liên quan đến các phẳng khác nhau của một đối tượng hình<br /> tính chất của đối tượng. học trong không gian, phép chiếu song<br /> Sự biểu diễn các đối tượng hình học song là phép chiếu cho phép bảo toàn<br /> không gian, của không gian 3 chiều, bởi nhiều nhất các tính chất hình học như song<br /> các hình vẽ biểu diễn trên một trang giấy song, trung điểm, tỉ số độ dài của các đoạn<br /> tập, không gian 2 chiều, được thực hiện bởi thẳng song song, mang lại cho đối tượng<br /> một hay nhiều phép chiếu. Thực tế, trong biểu diễn hình ảnh gần nhất với đối tượng<br /> trường hợp chỉ có một phép chiếu duy được biểu diễn. Hơn nữa, khi sử dụng kiểu<br /> nhất, chắc chắn có sự mất thông tin. Do đó biểu diễn phép chiếu song song, đòi hỏi<br /> cần phải sử dụng một số mã cho việc đọc một số quy tắc, quy ước và kiểu biểu diễn<br /> và viết các biểu diễn này, như Bkouche các đối tượng hình học không gian trên<br /> [1, tr.16] đã nhấn mạnh: trang giấy tập mà gọi chung là các mã để<br /> “Do đó một tình huống không gian giúp cho việc viết và đọc các hình biểu<br /> xuất hiện thông qua một biểu diễn biến đổi diễn. Vấn đề đặt ra là các quy ước biểu<br /> nó thành một hình phẳng, điều này đòi hỏi diễn này sẽ tác động như thế nào trên việc<br /> giải thích của một mã, mã viết và mã đọc một hình vẽ biểu diễn các đối tượng<br /> đọc… Trong các điều kiện này, sự hiểu hình học trong không gian của học sinh?<br /> biết tình huống không gian thông qua trung 2. Quy ước, quy tắc và kiểu biểu<br /> gian của biểu diễn mặt phẳng không còn diễn các đối tượng hình học trong Sách<br /> phụ thuộc vào tính rõ ràng như trường hợp Giáo Khoa Hình học lớp 11<br /> của hình học phẳng, người ta không còn có 2.1. Quy ước<br /> thể suy luận trên một hình khác với thực tế 2.1.1. Biểu diễn một mặt phẳng<br /> mà nó được cho là đại diện, do đó đòi hỏi Quy ước P: một mặt phẳng (P) được<br /> sự phát triển các phương pháp suy luận biểu diễn bằng một hình bình hành hay một<br /> <br /> 35<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một thuộc mặt phẳng bằng một điểm nằm bên<br /> góc của hình biểu diễn. (H.1 và H2) trong một hình bình hành và biểu diễn một<br /> 2.1.2. Biểu diễn điểm thuộc mặt phẳng điểm không thuộc một mặt phẳng bằng một<br /> Quy ước ĐP: biểu diễn một điểm điểm nằm bên ngoài hình bình hành. (H. 3)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 1 Hình 2 Hình 3<br /> <br /> <br /> 2.2. Kiểu biểu diễn hình bình hành. [4, tr. 60] (H. 4).<br /> Kiểu biễu diễn là một hình vẽ bằng tay Kiểu biểu diễn TPs: biểu diễn một<br /> nhằm mục đích minh họa một hay các mối đường thẳng song song một mặt phẳng<br /> quan hệ hình học giữa các đối tượng hình bằng một đoạn thẳng biểu diễn cho một<br /> học trong không gian. Nó không phải là đối đường thẳng d’ của mặt phẳng (P), nằm<br /> tượng của một quy ước, nhưng là một phần bên trong một hình bình hành, và một<br /> của truyền thống dạy học. đoạn thẳng biểu diễn cho đường thẳng d<br /> 2.2.1. Vị trí tương đối của đường song song với d’, nằm bên ngoài hình bình<br /> thẳng và mặt phẳng hành [4, tr. 61] (H. 5), hay bằng một đoạn<br /> Kiểu biểu diễn TP: biểu diễn một thẳng biểu diễn cho đường thẳng d song<br /> đường thẳng nằm trong một mặt phẳng song với một cạnh của hình bình hành.<br /> bằng một đoạn thẳng nằm bên trong một [4, tr.60] (H. 6).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 4 Hình 5 Hình 6<br /> <br /> Kiểu biểu diễn TPc: để biểu diễn một hành hay bên trong miền góc và biểu diễn<br /> đường thẳng cắt một mặt phẳng, người ta phần đường thẳng được giả thiết bị che khuất<br /> cho thấy giao điểm nằm bên trong hình bình bằng nét đứt đoạn. [4, tr. 60] (H. 7 và H. 8).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 7 Hình 8<br /> <br /> <br /> <br /> 36<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> 2.2.2. Vị trí tương đối của hai đường hành. [4, tr. 55] (H. 9)<br /> thẳng Kiểu biểu diễn TTs: hai đường thẳng<br /> Kiểu biểu diễn TTc: hai đường thẳng song song được biểu diễn bởi hai đoạn<br /> cắt nhau được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng thẳng song song cùng nằm trong một hình<br /> cắt nhau nằm bên trong một hình bình bình hành. [4, tr. 55] (H. 10).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 9 Hình 10<br /> <br /> Kiểu biểu diễn TTt: hai đường thẳng thẳng, trong đó đoạn thẳng thứ nhất biểu<br /> trùng nhau được biểu diễn bởi một đoạn diễn cho đường thẳng d nằm trong một<br /> thẳng nằm trong một hình bình hành. hình bình hành và đoạn thẳng thứ hai biểu<br /> [4, tr. 55] (H. 11) diễn cho đường thẳng d’ cắt mặt phẳng tại<br /> Kiểu biểu diễn TTch: hai đường thẳng một điểm không thuộc đường thẳng thứ<br /> chéo nhau được biểu diễn bởi hai đoạn nhất. [4, tr. 56] (H. 12).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 11 Hình 12<br /> <br /> 2.2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng [4, tr. 48] (H. 13).<br /> Kiểu biểu diễn PPc: để biểu diễn hai Kiểu biểu diễn PPs: hai mặt phẳng<br /> mặt phẳng cắt nhau, người ta cho thấy giao song song được biểu diễn bằng hai hình<br /> tuyến của chúng nằm trong hai hình bình bình hành có các cạnh song song từng đôi<br /> hành. Hơn nữa, giao tuyến này song song một. [4, tr. 64] (H. 14).<br /> với một số cạnh của hai hình bình hành.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 13 Hình 14<br /> <br /> 37<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> 2.3. Quy tắc thuyết nghiên cứu trên được kế thừa và<br /> Để vẽ hình biểu diễn của một đối phát triển từ một thực nghiệm trình bày<br /> tượng hình học trong không gian, người ta trong luận án của Parzysz (1989) trên việc<br /> dựa vào các quy tắc sau: đọc hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình<br /> - Hình biểu diễn của đường thẳng là học không gian của học sinh lớp Đệ Tam<br /> đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. và Đệ Nhị ở Pháp, tương đương lớp 10 và<br /> - Hình biểu diễn của hai đường thẳng 11 ở Việt Nam.<br /> song song là hai đường thẳng song song, Sự kế thừa thực nghiệm của Parzysz<br /> của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường đối với học sinh lớp 11 Việt Nam là hợp lý<br /> thẳng cắt nhau. vì phân tích Sách giáo khoa Pháp và Việt<br /> - Hình biểu diễn phải giữ nguyên Nam cho thấy có một sự tương tự về cách<br /> quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. tiếp cận các đối tượng hình học không gian<br /> - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho và các quan hệ song song ở cấp Trung học<br /> đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn phổ thông. Hơn nữa, các quy ước và các<br /> cho đường bị che khuất. [4, tr. 45] kiểu biểu diễn trong hai hệ thống dạy học<br /> Phân tích Sách giáo khoa Hình học 11 cũng tương tự nhau và trong chương trình<br /> cho thấy có một sự nhập nhằng giữa các Pháp phép biểu diễn phẳng các đối tượng<br /> quy ước và các quy tắc của phép chiếu hình học không gian cũng được thực hiện<br /> song song. Hơn nữa, chỉ có một số quy tắc bởi phép chiếu song song.<br /> và quy ước được phát biểu tường minh và 5. Thực nghiệm của Parzysz và các<br /> hầu hết sử dụng các quy ước và các kiểu phỏng đoán<br /> biểu diễn để minh họa các tính chất tương 5.1. Mục đích<br /> giao trong không gian và cụ thể hơn mở Trong luận án của mình, Parzysz đã<br /> rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn mô tả một thực nghiệm trên việc đọc hình<br /> như là mô hình của một đối tượng hình học vẽ biểu diễn các đối tượng trong không<br /> không gian. gian của học sinh trung học phổ thông để<br /> 4. Giả thuyết nghiên cứu biết học sinh diễn giải như thế nào về vị trí<br /> Xuất phát từ lợi ích của các quy ước tương đối của các đối tượng hình học gồm<br /> và kiểu biểu diễn được sử dụng trong dạy mặt phẳng, đường thẳng và điểm trong<br /> học hình học không gian là cho phép mở không gian trên một số hình vẽ biểu diễn<br /> rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn liên quan một số tình huống thông thường<br /> mà việc sử dụng chúng có thể bị ảnh của hình học không gian. Vì thế, chúng tôi<br /> hưởng. Chúng tôi hình thành giả thuyết đã rút ra các quy tắc diễn giải và hình thành<br /> nghiên cứu về sự tồn tại một số hệ quả trên các phỏng đoán liên quan các quy tắc diễn<br /> quan niệm của học sinh có thể dẫn đến phát giải khác mà chúng tôi muốn kiểm chứng.<br /> triển một số diễn giải bất hợp lý khi đọc Mặt khác, thực nghiệm của Parzysz<br /> các hình vẽ biểu diễn: chỉ làm rõ ảnh hưởng của các quy ước và<br /> Các quy ước biểu diễn của phép chiếu hình vẽ nguyên mẫu trên việc đọc hình vẽ<br /> song song trở thành các quy tắc diễn giải biểu diễn của học sinh mà không tính đến<br /> một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình biến dạy học “khối đa diện”, cụ thể hơn là<br /> học trong không gian của học sinh. các hình vẽ biểu diễn các khối đa diện<br /> Thực nghiệm nhằm hợp thức hóa giả thông thường. Chúng tôi nghĩ rằng đây là<br /> <br /> 38<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> một biến dạy học quan trọng đối với việc Diễn giải “bên trong – mặt phẳng”<br /> đọc hình vẽ biểu diễn trong không gian vì Một điểm được biểu diễn nằm bên<br /> học sinh trung học phổ thông tại Việt Nam trong hình bình hành được diễn giải là một<br /> bắt đầu nghiên cứu các khối đa diện ở lớp điểm thuộc mặt phẳng (P).<br /> 11 mà trong đó hình hộp là một đối tượng Diễn giải “bên ngoài – mặt phẳng”<br /> thường xuất hiện trong các bài toán liên Một điểm được biểu diễn bên ngoài<br /> quan khảo sát vị trí tương đối và quan hệ hình bình hành được diễn giải như một<br /> song song giữa các đối tượng hình học như điểm không thuộc mặt phẳng (P).<br /> điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Hơn nữa, học sinh có xu hướng mở<br /> 5.2. Kết quả rộng mặt phẳng, trong suy nghĩ của mình,<br /> 5.2.1. Sự phân hoạch không gian theo phương nằm ngang nhiều hơn so với<br /> Cho một hình bình hành biểu diễn một phương thẳng đứng (H. 15). Do đó, các<br /> mặt phẳng (P), một đoạn thẳng biểu diễn miền 1 và 2 có thể được xem là phần mặt<br /> một đường thẳng. phẳng hơn là hai miền 3 và 4.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 15<br /> <br /> Từ đó, chúng tôi dự đoán có một sự thẳng nằm trong mặt phẳng (P). (H. 16)<br /> phân hoạch liên quan đến hai miền 3 và 4 Trong phần này, chúng tôi không rút<br /> mà chúng tôi hình thành phỏng đoán 1: “ở ra được các quy tắc diễn giải mà chỉ xây<br /> trên / ở dưới” như sau: dựng một số phỏng đoán như sau:<br /> Một điểm thuộc miền 3 có thể được Phỏng đoán 2: “đường thẳng – song<br /> diễn giải nằm ở trên mặt phẳng và một song – mặt phẳng”<br /> điểm thuộc miền 4 có thể được diễn giải - Một đoạn thẳng song song với một<br /> nằm ở dưới mặt phẳng. đoạn thẳng được biểu diễn bên trong hình<br /> 5.2.2. Vị trí tương đối của đường bình hành sẽ được diễn giải là đường thẳng<br /> thẳng và mặt phẳng song song mặt phẳng (P). (H. 17)<br /> Diễn giải “đường thẳng - trong - mặt - Một đoạn thẳng song song với một<br /> phẳng” cạnh của hình bình hành được diễn giải là<br /> Một đoạn thẳng nằm bên trong hình đường thẳng song song mặt phẳng (P).<br /> bình hành sẽ được diễn giải như một đường (H. 18)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 39<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 16 Hình 17 Hình 18<br /> <br /> Phỏng đoán 3: “đường thẳng – bên mặt phẳng”<br /> ngoài – mặt phẳng” Nếu một đoạn thẳng biểu diễn cho<br /> Sự thiếu vắng của nét đứt đoạn trong một đường thẳng có một đầu mút nằm<br /> biểu diễn của một đường thẳng nằm ngoài bên trong hình bình hành và đầu mút kia<br /> hình bình hành có thể dẫn đến đường thẳng nằm bên ngoài hình bình hành thì đường<br /> không cắt mặt phẳng (P). (H. 19) thẳng này được xem cắt mặt phẳng<br /> Phỏng đoán 4: “đường thẳng – cắt – (P). (H. 20)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 19 Hình 20<br /> <br /> 5.2.3. Vị trí tương đối của hai đường điểm, là hai đường thẳng không song song<br /> thẳng và không cắt nhau. (H. 22)<br /> Diễn giải “đường thẳng – song song – Trong sách giáo khoa Hình học 11 của<br /> đường thẳng” VN, hai đường thẳng cắt nhau được biểu<br /> Nếu hai đường thẳng, biểu diễn cho diễn bởi hai đoạn thẳng cắt nhau cùng nằm<br /> hai đường thẳng, song song với nhau thì trong mặt phẳng với một giao điểm. Từ đó,<br /> hai đường thẳng đó song song nhau. chúng tôi hình thành phỏng đoán 5: “đường<br /> (H. 21) thẳng - cắt - đường thẳng” như sau:<br /> Các kết quả thực nghiệm của Parzysz Nếu hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai<br /> chứng tỏ rằng học sinh xem hai đường đường thẳng, nằm trong cùng một mặt<br /> thẳng có các biểu diễn là các đoạn thẳng phẳng cắt nhau tại một điểm thì hai đường<br /> cắt nhau, mà trong đó không chỉ ra giao thẳng này cắt nhau.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 21 Hình 22<br /> <br /> <br /> <br /> 40<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> 6. Thực nghiệm phố Hồ Chí Minh, ngay sau khi các em học<br /> 6.1. Mục đích xong chương II “Đường thẳng và mặt<br /> Thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả phẳng trong không gian. Quan hệ song<br /> thuyết nghiên cứu trong đó chỉ ra các diễn song” của môn Hình học. Thời gian làm<br /> giải của học sinh khi đọc hình vẽ biểu diễn bài của các em là 90 phút. Số học sinh<br /> các đối tượng hình học trong không gian có tham gia là 206. Thực nghiệm được tiến<br /> nguồn gốc từ các quy ước và các kiểu biểu hành vào tháng 12 năm 2016.<br /> diễn được sử dụng trong dạy học. Chúng tôi chọn thực nghiệm với lớp<br /> Giả thuyết đầu tiên của chúng tôi là các 11 vì hai lý do sau:<br /> quy ước biểu diễn các mối quan hệ tương - Vị trí tương đối giữa các đối tượng<br /> giao được trình bày tường minh trong sách hình học trong không gian như điểm,<br /> giáo khoa hay bởi giáo viên sẽ được sử đường thẳng, mặt phẳng đã được học.<br /> dụng trong việc đọc hình vẽ biểu diễn. - Phép chiếu song song và hình vẽ<br /> 6.2. Hình thức biểu diễn của các đối tượng hình học trong<br /> Chúng tôi đặt ra cho học sinh một bộ không gian như hình chóp, lăng trụ, hình<br /> câu hỏi trong đó các em phải trả lời các câu hộp, hình lập phương đã được học.<br /> hỏi về các mối quan hệ tương giao của các Bộ câu hỏi thực nghiệm bao gồm 11<br /> thành phần như điểm, đường thẳng và mặt bài tập: hai bài tập 1 và 2 liên quan đến<br /> phẳng xuất phát từ một hình vẽ biểu diễn. khảo sát vị trí tương đối của ba điểm; bảy<br /> Học sinh phải chọn một trong các câu trả bài tập 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 liên quan đến<br /> lời: “có”, “không” và “em không biết gì nghiên cứu vị trí tương đối của đường<br /> cả”. Mỗi câu trả lời phải được chứng minh thẳng và mặt phẳng, trong đó nhóm bài tập<br /> để cho phép diễn giải tốt nhất các câu trả số 6, 7, 8, 9 có đối tượng nghiên cứu là một<br /> lời của học sinh. hình hộp; hai bài tập liên quan đến nghiên<br /> Thực nghiệm được tiến hành ở các em cứu vị trí tương đối của hai đường thẳng.<br /> học sinh lớp 11 của 6 lớp thuộc ba trường 6.3. Phân tích tiên nghiệm<br /> THPT Trần Khai Nguyên, THPT Trần Hữu Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối<br /> Trang và THPT Hùng Vương của Thành của ba điểm.<br /> <br /> Bài toán 1. Các điểm I, J, K có nằm trong Bài toán 2. Các điểm A, B, C có nằm trong<br /> cùng một mặt phẳng không? Chứng minh. cùng một mặt phẳng không? Chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 41<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> Trong hai bài toán này, chúng tôi trình biểu diễn cho nó. Các câu trả lời này thể<br /> bày ba điểm không thẳng hàng. Câu hỏi đặt hiện sự diễn giải phân hoạch không gian<br /> ra là liệu chúng có thuộc cùng một mặt phẳng « bên trong – mặt phẳng ». Chúng tôi ký<br /> hay không. Hai biến dạy học được chọn: hiệu nhóm các câu trả lời này là « Pg ».<br /> - Tính chất của đối tượng được nghiên Biến dạy học « khối đa diện» sẽ củng<br /> cứu: có khối đa diện hay không. cố các diễn giải thuận lợi cho câu trả lời<br /> - Có hay không nằm bên trong một đa thuộc nhóm « Pg ». Do đó, sẽ có nhiều câu<br /> giác. trả lời dạng « Pg » cho bài toán 1 hơn là<br /> Câu trả lời đúng là “có”. Trong trường bài toán 2.<br /> hợp này, việc chứng minh mong đợi là học Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối<br /> sinh sử dụng tính chất hình học cho sự xác của đường thẳng và mặt phẳng<br /> định một mặt phẳng bởi ba điểm không Ở đây chúng tôi phân biệt hai biến<br /> thẳng hàng. Chúng tôi ký hiệu tập hợp các dạy học cho việc chọn các bài tập: tính<br /> trả lời dạng này là « P ». chất của đối tượng nghiên cứu và các diễn<br /> Một số câu trả lời có thể biểu đạt rằng giải có thể vị trí tương đối của đường<br /> mặt phẳng được thu gọn thành một đa giác thẳng và mặt phẳng.<br /> <br /> Bài toán 3. Đường thẳng d Bài toán 4. Đường thẳng Bài toán 5. Đường thẳng d<br /> có cắt mặt phẳng (P) không? (AB) có cắt mặt phẳng (P) có song song với mặt phẳng<br /> Chứng minh. không? Chứng minh. (P) không? Chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trong bài toán 3, chúng tôi biểu diễn hình bình hành. Chúng tôi giả thuyết rằng<br /> đường thẳng d bởi một đoạn thẳng có một sẽ không có câu trả lời “không”.<br /> điểm mút nằm bên ngoài hình bình hành Trong bài toán 5, đoạn thẳng biểu diễn<br /> biểu diễn cho mặt phẳng (P), và đầu mút đường thẳng song song với một cạnh của<br /> thứ hai nằm bên trong hình bình hành. hình bình hành. Việc lựa chọn cạnh theo<br /> Chúng tôi giả thuyết rằng câu trả lời: “Có, phương nằm ngang để củng cố câu trả lời<br /> bởi vì một điểm của đường thẳng thuộc “có”.<br /> mặt phẳng” sẽ chiếm đa số. Câu trả lời này Thông qua các câu trả lời của học sinh,<br /> biểu lộ việc sử dụng quy tắc diễn giải chúng tôi kiểm tra phỏng đoán 2 liên quan<br /> “đường thẳng - cắt - mặt phẳng”. đến quy tắc diễn giải “đường thẳng - song<br /> Trong bài toán 4, đường thẳng không song - mặt phẳng”.<br /> được biểu diễn bằng một đoạn thẳng nhưng Chúng tôi thiết kế 4 bài tập số 6, 7, 8<br /> được xác định bởi hai điểm A và B được và 9 với việc biểu diễn một hình hộp và<br /> biểu diễn trên hình vẽ sao cho A “nằm phía một đoạn thẳng biểu diễn cho một đường<br /> trên” hình bình hành và B “nằm phía dưới” thẳng. Chúng tôi lựa chọn hình hộp vì học<br /> <br /> <br /> 42<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> sinh tiếp cận hình hộp từ cấp trung học cơ diện của các mặt song song và các cạnh<br /> sở và tiếp tục nghiên cứu hình hộp ở lớp 11 song song. Điều này cho phép chúng tôi<br /> và 12. Việc lựa chọn hình hộp để nghiên xem học sinh có ưu tiên cho các mặt phẳng<br /> cứu các bài toán tương giao với sự hiện thẳng đứng hay nằm ngang hay không.<br /> <br /> Bài toán 6. Đường thẳng d có song song với Bài toán 7. Đường thẳng d có nằm trong<br /> mặt phẳng (ABB’A’) không? Chứng minh. mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Bài toán 8. Đường thẳng d có nằm trong Bài 9. Đường thẳng d có nằm trong mặt<br /> mặt phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh. phẳng (BCC’B’) không? Chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trong phần này, chúng tôi chọn hai Sự phân hoạch miền không gian bởi<br /> biến dạy học: dạng câu hỏi và sự phân một hình hộp: mang khía cạnh văn hóa.<br /> hoạch miền không gian của một khối hộp. Chẳng hạn, trong hình 23, tùy theo mỗi<br /> Câu hỏi gồm hai dạng: nằm trong mặt người, đường thẳng d có thể được xem<br /> phẳng hay song song với một mặt phẳng. nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’), hay nằm<br /> Các mặt phẳng này được xác định bằng “phía trên” hình hộp.<br /> một mặt của hình hộp.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 23<br /> <br /> 43<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> Trong bài toán 6, chúng tôi cố gắng hay không. Chúng tôi đã thay đổi vị trí của<br /> xem biến “hình hộp” ảnh hưởng lên kiểu đoạn thẳng biểu diễn đường thẳng so với<br /> chứng minh đến mức nào. Chúng tôi giả hình hộp. Biến dạy học sự phân hoạch<br /> thuyết rằng câu trả lời chiếm đa số sẽ là miền không gian bằng một hình hộp.<br /> “Không, vì d không song song với một Chúng tôi giả thuyết rằng đối với bài tập số<br /> đường thẳng nào của mặt phẳng (BCC’B’). 7, phần lớn câu trả lời sẽ là “có” theo quy<br /> Đó chính là hệ quả của quy tắc diễn giải tắc diễn giải “đường thẳng – trong – mặt<br /> “đường thẳng – song song – mặt phẳng”. phẳng”, nhưng đối với bài tập 8 và 9 câu<br /> Trong ba bài toán 7, 8 và 9, câu hỏi là trả lời chiếm đa số sẽ là “không”.<br /> liệu rằng đường thẳng d có nằm trong mặt Bài toán nghiên cứu vị trí tương đối<br /> phẳng xác định bởi mặt trước của hình hộp của hai đường thẳng.<br /> <br /> Bài toán 10. Hai đường thẳng d và d’ Bài toán 11. Cho d là một đường thẳng nằm trong<br /> có cắt nhau không? Chứng minh. mặt phẳng (SAB) và d’ là đường thẳng nằm trong<br /> mặt phẳng (SCD). Hai đường thẳng d và d’ có cắt<br /> nhau không? Chứng minh.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Trong bài toán 10, chúng tôi muốn hình có thể thực hiện được trên hình vẽ.<br /> kiểm chứng phỏng đoán 5 liên quan đến Bằng cách kéo dài các đoạn thẳng biểu<br /> quy tắc diễn giải “đường thẳng – cắt – diễn của hai đường thẳng d và d’, học sinh<br /> đường thẳng”. Hai đường thẳng được biểu sẽ tìm thấy cùng một tình huống với bài<br /> diễn bởi hai đoạn thẳng cắt nhau. toán 10. Chúng tôi cũng quan tâm đến câu<br /> Trong bài toán 11, hai đường thẳng d trả lời “không” của các em học sinh trong<br /> và d’ được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng bài toán 10 bằng cách chứng minh rằng các<br /> nằm bên trong hai tam giác SAB và SCD đường thẳng không cắt nhau bởi không có<br /> của hình chóp S.ABCD. Không như những đánh dấu chấm giao nhau của chúng.<br /> bài toán khác, đối với bài toán chúng tôi chỉ 6.4. Thu thập dữ liệu<br /> ra một số mối quan hệ giữa các đối tượng Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm bộ<br /> hình học. Những dữ liệu này cho phép câu hỏi trên 206 học sinh lớp 11 của ba<br /> quyết định ở mức độ hình vẽ các đường trường THPT. Giáo viên không được trả<br /> thẳng có cắt nhau hay không. Đây là kiểu lời bất kỳ câu hỏi nào của học sinh liên<br /> tình huống mời học sinh giải các bài toán quan đến hình vẽ và không giải thích<br /> hình học trong không gian mà việc dựng nhiệm vụ trả lời câu hỏi của các em. Tên<br /> <br /> 44<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> họ học sinh ghi trong bài làm được mã hóa gì cả” bởi “KB”.<br /> bằng một số tự nhiên. Để thống kê các kết 6.5. Phân tích hậu nghiệm<br /> quả, chúng tôi mã hóa câu trả lời “Có” bởi 6.5.1. Bài toán nghiên cứu vị trí tương<br /> “C”, “Không” bởi “K” và “Em không biết đối của ba điểm<br /> <br /> Bảng 1: Chính là hai bài toán 1 và 2 có kết quả thực nghiệm<br /> được trình bày trong bảng 1<br /> <br /> Bài toán 1 2<br /> Kiểu trả lời C K KB C K KB<br /> Số lượng 116 20 70 138 36 32<br /> Phần trăm 56,3 9,7 34 67 17,5 15,5<br /> <br /> Kết quả thống kê cho thấy có sự gia 22 câu trả lời kiểu này (19,6%) trong bài<br /> tăng câu trả lời đúng giữa hai bài toán 1 và toán 2. Điều này khẳng định tầm quan<br /> 2. Hơn nửa số học sinh đã huy động tính trọng của biến dạy học “tính chất của đối<br /> chất “ba điểm không thẳng hàng xác định tượng” và cụ thể hơn, học sinh bị hạn chế<br /> một mặt phẳng” độc lập với tính chất của với các mặt phẳng được trình bày trong<br /> đối tượng nghiên cứu. trường hợp đối tượng được nghiên cứu là<br /> Tuy nhiên, số câu trả lời “P” trong bài một khối đa diện thường xuyên hơn trong<br /> tập 2 nhiều hơn trong bài tập 1. Hầu hết các trường hợp khác.<br /> các câu trả lời “P” trong bài toán 1 (100 6.5.2. Bài toán nghiên cứu vị trí tương<br /> câu) cùng kiểu với các câu trả lời trong bài đối của đường thẳng và mặt phẳng<br /> toán 2 (112 câu), trong đó có đến 34 câu Trường hợp đối tượng nghiên cứu<br /> trả lời kiểu “Pg” (34%) trong bài toán 1 và không phải là hình hộp<br /> <br /> Bảng 2: Chính là ba bài toán 3, 4 và 5 có kết quả thực nghiệm<br /> được trình bày trong bảng 2<br /> <br /> Bài toán 3 4 5<br /> Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB<br /> Số lượng 36 8 162 80 6 120 142 0 64<br /> Phần trăm 17,5 3,9 78,6 38,8 2,9 58,3 68,9 0 31,1<br /> <br /> Trong bài toán 3, mặc dù có gần 80% Tám học sinh đã trả lời “K” mà không<br /> câu trả lời kiểu “KB”, nhưng học sinh đã chứng minh câu trả lời bằng sự thiếu vắng<br /> sử dụng một số quy tắc ngầm ẩn của hình nét đứt đoạn.<br /> vẽ biểu diễn: “Thiếu dấu nét đứt đoạn”, Trong 36 câu trả lời “C”, có 8 chứng<br /> “Cần kéo dài đoạn thẳng để xem”, “Cần minh đề cập đến quy tắc diễn giải “đường<br /> làm rõ giao điểm”. thẳng – cắt – mặt phẳng” và 14 sử dụng<br /> <br /> <br /> 45<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> một phần kết quả hình học: một đường thẳng AB không song song với bất kỳ cạnh<br /> thẳng hoặc song song hoặc cắt một mặt nào của hình bình hành (quy tắc diễn giải<br /> phẳng, trong đó chứng minh đường thẳng d “đường thẳng – song song – mặt phẳng”).<br /> không song mặt phẳng (P) bằng cách sử Các chứng minh “Vì A và B nằm hai<br /> dụng quy tắc diễn giải “đường thẳng – phía mặt phẳng (P)”, “Vì đường thẳng AB<br /> song song – mặt phẳng” (phỏng đoán 2) xuyên qua (P)” và “Nếu ta mở rộng mặt<br /> Trong bài toán 4, phần lớn các chứng phẳng (P) ra”… “thì đường thẳng cắt mặt<br /> minh cho câu trả lời kiểu “C” là: phẳng” là hệ quả của sự phân hoạch mặt<br /> “Có, vì A và B nằm hai phía của mặt phẳng “ở trên / ở dưới”.<br /> phẳng (P)”. Một số học sinh đã cho rằng “A Trong bài toán 5, câu trả lời “C” chiếm<br /> nằm phía trên (P) và B nằm bên dưới (P)”. đa số thuộc kiểu “Có, vì đường thẳng song<br /> Các chứng minh này là một phần quy tắc song với một đường thẳng của mặt phẳng”<br /> diễn giải “ở trên / ở dưới” (phỏng đoán 1). (chiếm 40%) hay “Có, vì đường thẳng d<br /> “Có, vì đường thẳng AB không song không cắt mặt phẳng (P)” (chiếm 15%).<br /> song với (P)”. Chúng tôi nghĩ rằng các học Trường hợp đối tượng nghiên cứu là<br /> sinh đưa ra các chứng minh này vì đường một hình hộp.<br /> <br /> Bảng 3: Chính là bốn bài toán 6, 7, 8 và 9 có kết quả được trình bày trong bảng 3<br /> <br /> Bài toán 6 7 8 9<br /> Kiểu trả lời C K KB C K KB C K KB C K KB<br /> Số lượng 2 134 70 46 10 150 24 32 150 20 16 170<br /> Phần trăm 0,9 65,1 34 22,3 4,9 72,8 11,7 15,5 72,8 9,7 7,8 82,5<br /> <br /> Trong bài toán 6, đa số câu trả lời không song song với mặt phẳng đó.<br /> trùng với mong đợi của chúng tôi, nghĩa là Trong ba bài toán 7, 8 và 9, mặc dù<br /> trả lời “K”. Trong số đó, có 50 học sinh đã câu trả lời kiểu “KB” chiếm tỉ lệ phần trăm<br /> chứng minh với luận chứng liên quan đến khá cao, nhưng chỉ có 30% của các câu trả<br /> sự hiển nhiên về mặt nhận thức: “Không, lời này là đúng. Một loại chứng minh khác<br /> nó cho thấy rõ”. cho câu trả lời “KB” (chiếmj 30%) dựa trên<br /> Có 64 học sinh đã chứng minh với luận thực tế là “đường thẳng d song song với<br /> chứng “Không, vì d không song song với mặt phẳng (ABCD) hay nằm trong mặt<br /> bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng” hay phẳng này”.<br /> “Không, vì đường thẳng d không song song Sự thiếu vắng của đánh dấu giao điểm<br /> với đường thẳng AC”. Các câu trả lời này là hay nét đứt đoạn cho phép học sinh<br /> hệ quả của quy tắc diễn giải “đường thẳng – (khoảng 10%) kết luận về sự giao nhau của<br /> song song – mặt phẳng”. Cụ thể hơn, các hai đườnh thẳng hay của một đường thẳng<br /> học sinh này đã sử dụng kết quả là nếu và một mặt phẳng.<br /> đường thẳng không song song với bất kỳ 6.5.3. Bài toán nghiên cứu vị trí tương<br /> đường thẳng nào của mặt phẳng thì nó đối của hai đường thẳng<br /> <br /> <br /> 46<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> Bảng 4: Các kết quả liên quan đến hai bài toán 10 và 11 được trình bày trong bảng 4<br /> <br /> Bài toán 10 11<br /> Kiểu trả lời C K KB C K KB<br /> Số lượng 40 136 30 134 18 54<br /> Phần trăm 19,4 66 14,6 65,1 8,7 26,2<br /> <br /> Câu trả lời chiếm đa số đối với bài toán chúng tôi làm rõ các quy tắc diễn giải.<br /> 10 là “K”và đối với bài toán 11 là “C”. Học sinh sử dụng theo cách liên hợp<br /> Trong câu trả lời “K” của bài toán 10, các quy tắc diễn giải cùng với các định lý<br /> có 31 học sinh chứng minh “vì chúng không của hình học trong không gian để chứng<br /> được chứa trong cùng một hình bình hành” minh cho các trả lời câu hỏi. Cần lưu ý<br /> và có 37 học sinh chứng minh “vì chúng rằng các định lý này không hề mâu thuẫn<br /> không có giao điểm chung trên hình vẽ”. với các quy tắc diễn giải vì các quy tắc<br /> Trong 18 câu trả lời “K” của bài toán diễn giải chỉ là minh họa của các định lý<br /> 11, chỉ có 6 học sinh đã chứng minh “d và đó. Chúng ta có thể suy ra rằng không tồn<br /> d’ không cắt nhau vì giao điểm của chúng tại các mâu thuẫn giữa kiến thức hình học<br /> lần lượt với giao tuyến của hai mặt phẳng và việc đọc hình vẽ biểu diễn. Điều này có<br /> (SAB) và (SCD) là hai điểm phân biệt”. thể củng cố việc sử dụng các quy tắc<br /> Các chứng minh khác cho câu trả lời diễn giải.<br /> “K” là “d và d’ không nằm trong cùng một Khái niệm đồng phẳng đóng một vai<br /> mặt phẳng” hay “các mặt phẳng không trò quan trọng trong các bài toán về sự<br /> cắt nhau”. tương giao của hai đường thẳng trong<br /> Các chứng minh cho câu trả lời “C” không gian như trong bài toán 10 và 11.<br /> chủ yếu là: Đặc biệt đối với bài toán 11, hình vẽ có thể<br /> - “d và d’ cắt nhau vì chúng cùng chỉ là thông tin nếu chúng ta sử dụng các<br /> nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau” (49%). phương tiện kiểm soát khác dựa trên các<br /> - “Bằng cách kéo dài hai đường quy tắc của phép chiếu song song. Thực<br /> thẳng, ta thấy chúng cắt nhau” (7%). vậy, đây chính là bài toán duy nhất trong<br /> Các chứng minh cho câu trả lời thực nghiệm mà chúng ta có thể trả lời<br /> “KB” chủ yếu là: bằng hình vẽ biểu diễn bằng cách sử dụng<br /> - “bài toán cho thiếu dữ kiện” (38%). quy tắc “nếu giao điểm của d với  là giao<br /> - “Cần phải biết d và d’ có đồng tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)<br /> phẳng hay không?” (10%). trùng với giao điểm của d’ với  thì hai<br /> 6.6. Tổng hợp các kết quả thực nghiệm đường thẳng d và d’ cắt nhau”. Quy tắc này<br /> Phân tích cho thấy các chứng minh không được phát biểu tường minh trong<br /> dựa trên duy nhất sự hiển nhiên về mặt Sách giáo khoa, nhưng nó cần thiết phải<br /> nhận thức chiếm số lượng rất nhỏ. Hầu hết được chứng minh.<br /> các chứng minh đều sử dụng các tính chất 6.6.1. Phân hoạch không gian<br /> hình học. Quy tắc diễn giải “bên trong – mặt<br /> Ràng buộc “Chứng minh” cho phép phẳng” và “bên ngoài – mặt phẳng” đã<br /> <br /> 47<br /> M T NGHIÊN CỨU VỀ ĐỌC HÌNH VẼ BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN…<br /> <br /> <br /> được Parzysz kiểm chứng. Chúng ta cũng trong hai mặt phẳng cắt nhau, thì chúng<br /> lưu ý rằng quy tắc diễn giải “bên trong – cắt nhau.<br /> mặt phẳng” đã được học sinh huy động 7. Kết luận<br /> trong bài toán 1. Các quy ước biểu diễn được chấp nhận<br /> Trong bài toán 4, học sinh đã sử dụng trong giảng dạy có chức năng minh họa<br /> một số chứng minh cho thấy hai miền “ở một tình huống không gian và do đó mở<br /> trên” và “ở dưới” mặt phẳng. Điều này cho rộng miền hoạt động của hình vẽ biểu diễn.<br /> phép hợp thức hóa phỏng đoán 1 “ở trên / Các quy ước này đã trở thành các quy tắc<br /> ở dưới”. diễn giải ở học sinh trong việc đọc hình vẽ<br /> 6.6.2. Vị trí tương đối của đường biểu diễn. Điều này cho phép hợp thức hóa<br /> thẳng và mặt phẳng giả thuyết nghiên cứu về các quy ước:<br /> Quy tắc diễn giải “đường thẳng – Các quy ước biểu diễn của phép chiếu<br /> trong – mặt phẳng” đã được Parzysz kiểm song song trở thành các quy tắc diễn giải<br /> chứng. một hình vẽ biểu diễn các đối tượng hình<br /> Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song học trong không gian ở học sinh.<br /> song – mặt phẳng” đã được thực nghiệm Tồn tại một định lý hành động ở học<br /> chúng tôi kiểm chứng. Quy tắc này cho sinh liên quan đến sự cắt nhau của hai mặt<br /> phép chứng minh rằng một đường thẳng phẳng:<br /> song song với một mặt phẳng khi nó song Nếu hai đường thẳng lần lượt nằm trong<br /> song với một đoạn thẳng của mặt phẳng, và hai mặt phẳng cắt nhau thì chúng cắt nhau.<br /> cũng để chứng minh rằng một đường thẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> không song song với một mặt phẳng khi<br /> 1. Bkouche R., Soufflet M. (1983),<br /> trên hình vẽ nó không song song với bất kỳ Axiomatique, formalism, théorie, Bulletin<br /> một đoạn thẳng nào của mặt phẳng. Inter-Irem « Enseignement de la géometrie »<br /> Quy tắc diễn giải “đường thẳng – (23) 3 – 24.<br /> ngoài – mặt phẳng” đã được kiểm chứng 2. Parzysz B. (1989), Représentations planes et<br /> duy nhất trong trường hợp có khối đa diện. enseignement de la géometrie de l’espace au<br /> lycee, Contribution à l’étude de la relation<br /> 6.6.3. Vị trí tương đối của hai đường voir/savoir, Thèse. Paris: Université Paris-7.<br /> thẳng 3. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy<br /> Quy tắc diễn giải “đường thẳng – song Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành,<br /> song – đường thẳng” đã được Parzysz Nguyễn Hữu Thảo (2007), Toán 8, Tập Hai,<br /> kiểm chứng. Phân tích các chứng minh của Nxb Giáo dục.<br /> bài toán 10 làm lộ rõ việc sử dụng quy tắc 4. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc<br /> Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện<br /> diễn giải “đường thẳng – cắt – đường (2007), Hình học 11, Nxb Giáo dục.<br /> thẳng”. Riêng trong bài 11, việc phân tích 5. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc<br /> kết quả cho thấy sự tồn tại một định lý Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện<br /> hành động ở học sinh: (2007), Sách Giáo viên Hình học 11, Nxb<br /> Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa Giáo dục.<br /> <br /> <br /> Ngày nhận bài: 07/8/2017 Biên tập xong: 15/9/2017 Duyệt đăng: 20/9/2017<br /> <br /> <br /> <br /> 48<br />