intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Một số bài tập hình học không gian có lời giải

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
218
lượt xem 76
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số bài tập hình học không gian có lời giải', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài tập hình học không gian có lời giải

  1. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí M TS BÀI T P HÌNH H C KHÔNG GIAN (CÓ L I GI I CHI TI T) BÀI 1 Câu 1: Trong không gian Oxyz, vi t phương trình m t ph ng (P) ch a ñư ng th ng (d) : x − y − 2 = 0  sao cho giao tuy n c a m t ph ng (P) và m t c u (S) : 2x − z − 6 = 0 x 2 + y 2 + z 2 + 2x − 2y + 2z − 1 = 0 là ñư ng tròn có bán kính r = 1. Câu 2: Cho lăng tr ABC.A'B'C' có các m t bên ñ u là hình vuông c nh a. G i D, F l n lư t là trung ñi m các c nh BC, C'B'. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng A'B và B'C'. GI I Câu 1: M t ph ng (P) ch a (d) có d ng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0 ⇔ (P) : (m + 2n)x − my − nz − 2m − 6n = 0 ° M t c u (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2. ° (P) c t (S) theo m t ñư ng tròn giao ti p (C) có bán kính r = 1 ⇔ d(I; P) = R 2 − r 2 = 3 − m − 2n − m + n − 2m − 6n ⇔ −4m − 7n = 3. 2m 2 + 5n 2 + 4m.n =3 ⇔ 2 2 2 (m + 2n) + m + n ⇔ 5m + 22m.n + 17n 2 = 0 2 17 Cho n = 1 ⇒ 5m 2 + 22m + 17 = 0 ⇔ m = −1 hay m = − ° 5 (P ) : x + y − z − 4 = 0 V y, có 2 m t ph ng (P):  1 ° (P2 ) : 7x − 17y + 5z − 4 = 0 Câu 2: A/ C/ . Cách 1: B/ F ° Vì các m t bên c a lăng tr là các hình vuông ⇒ AB = BC = CA = A / B/ = B/ C/ = C/ A / = a H ⇒ các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác ñ u. ° Ta có: B/ C/ // BC ⇒ B/ C/ //(A / BC) C A ⇒ d(A / B; B/ C/ ) = d(B/ C/ ; (A / BC)) = d(F; (A / BC)) D BC ⊥ FD B ⇒ BC ⊥ (A / BC) ° Ta có:  / / / BC ⊥ A D (∆A BC caâ n taïi A ) D ng FH ⊥ A / D ° Vì BC ⊥ (A / BC) ⇒ BC ⊥ FH ⇒ H ⊥ (A / BC) ° Trang 1
  2. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 1 1 1 4 1 7 a 21 = 2 + 2 = 2 ⇒ FH = . ° ∆A/FD vuông có: = / 2+ 2 2 FH AF FD 3a a 3a 7 a 21 ° V y, d(A / B; B/ C/ ) = FH = 7 Cách 2: ° Vì các m t bên c a lăng tr là các hình vuông C/ ⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác ñ u c nh a. z A/ ° D ng h tr c Axyz, v i Ax, Ay, Az a B/ ñôi m t vuông góc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3  / B ; ; 0  , C − ; ; 0  , A (0; 0; a), 2 2  2 2  C a a 3  / a a 3  A / B ; ; a, C  − ; ; a y D 2 2 2 2   x // // / Ta có: B C // BC, B C // (A BC) B ° ⇒ d(B/ C/ ; A / B) = d(B/ C/ ; (A / BC)) = d(B/ ; (A / BC)) uuuu  a a 3 r  uuuu  a a 3 r  A/ B =  ; ; − a  , A/ C =  − ; ; − a ° 2 2 2 2   2 uuuu uuuu r r a 3 3 3  r 2r [A / B; A / C] =  0; a2 ; 2  = a  0; 1;  = a .n, v i n =  0; 1; °  2 2 2    r Phương trình mp (A/BC) qua A/ v i pháp vectơ n : ° 3 0(x − 0) + 1(y − 0) + (z − a) = 0 2 3 a3 ⇔ (A / BC) : y + z− =0 2 2 a3 3 a3 a3 .a − + 2 = 2 = a 21 . d(B/ (A / BC)) = 2 2 ° 7 3 7 1+ 4 2 a 21 V y, d(A / B; B/ C/ ) = . ° 7 BÀI 2 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và ñư ng th ng x −1 y + 2 z − 3 = = (∆) : 2 −1 2 1. Tìm ñi m M thu c (∆) ñ th tích t di n MABC b ng 3. 2. Tìm ñi m N thu c (∆) ñ th tích tam giác ABN nh nh t. Trang 2
  3. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí Câu 2: (1,0 ñi m) Cho hình chóp S.ABC ñáy ABC là tam giác ñ u c nh a. SA = SB = SC, kho ng cách t S ñ n m t ph ng (ABC) là h. Tính h theo a ñ hai m t ph ng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. GI I Câu 1: x = 1 + 2t  1. Phương trình tham s c a (D): y = −2 − t z = 3 + 2t  ° M ∈ (∆ ) ⇒ M(1 + 2t; − 2 − t; 3 + 2t) uuur uuu r ° AB = (2; 1; 2), AC = (−2; 2;1) uuu uuu rr r r ° [AB; AC] = (−3; − 6; 6) = −3(1; 2; − 2) = −3.n , v i n = (1; 2; − 2) r ° Phương trình mp (ABC) qua A v i pháp vectơ n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. 1 uuu uuu 1 9 rr (−3)2 + (−6)2 + 62 = . ° SABC = [AB; AC] = 2 2 2 ° ðư ng cao MH c a t di n MABC là kho ng t M ñ n (ABC): 1 + 2t + 2(−2 − t) − 2(3 + 2t) − 2 −4t − 11 MH = d(M(ABC)) = = 3 1+ 4 + 4 1 9 4t + 11 ° Th tích t di n MABC b ng 3 ⇔ V = . . =3 32 3 5 17 ⇔ 4t + 11 = 6 ⇔ t = − hay t = − . 4 4  3 3 1  15 9 11  ° V y, có 2 ñi m M c n tìm là: M  − ; − ;  hay M  − ; ;   2 4 2  2 4 2 2. N ∈ (∆ ) ⇒ N(1 + 2t; − 2 − t; 3 + 2t) 1 uuur uuu 1 2 32 r 32t 2 + 128t + 146 = (4t + 8)2 + 9 ≥ ° SABN = [NA; NB] = 2 2 2 2 32 S ⇒ max SABN = ⇔ 4t + 8 = 0 ⇔ t = −2. 2 ° V y, ñi m N c n tìm là N(-3; 0; 1). I Câu 2: Cách 1: ° G i O là tâm c a ∆ABC A C SA = SB = SC  ° Ta có:  O M OA = OB = OC (∆ABC ñeàu)  B ⇒ SO là tr c c a ñư ng tròn (ABC) ⇒ SO ⊥ (ABC) ° Mà : AO ⊥ BC; SO ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SOA) ⇒ BC ⊥ SA ° D ng BI ⊥ SA , suy ra: SA ⊥ (IBC) ⇒ SA ⊥ IC. Trang 3
  4. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí ⇒ BIC là góc ph ng nh di n (B, SA, C). a2 3h 2 + a2 3h 2 + a2 ∆SOA vuông có: SA 2 = SO2 + OA 2 = h 2 + ⇒ SA = ° = 3 3 3 ° G i M là trung ñi m BC Ta có: BM ⊥ (SOA), BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA (ñ nh lý 3 ñư ng vuông góc) ⇒ ∆MIA ∆SOA AM a3 3 3ah ⇒ MI = SO. = h. . = SA 2 2 2 2 3h 2 + a2 3h + a ∆SAB = ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân t i I. ° 1 (SAB) ⊥ (SAC) ⇔ ∆IBC vuông cân t i I ⇔ IM = BC ° 2 3ah 1 = a ⇔ 3h = 3h 2 + a2 ⇔ 2 3h 2 + a2 2 a6 ⇔ 9h 2 = 3h 2 + a2 ⇔ h= . 6 z a6 ° V y, h = . S 6 Cách 2: ° G i H là tâm c a ∆ABC và M là trung ñi m c a BC SA = SB = SC C ° Ta có:  A HA = HB = HC (∆ABC ñeàu) H M y ° z D ng h tr c t a ñ Axyz, v i Ax, Ay, Az B ñôi m t vuông góc A(0; 0; 0), a a 3   a a 3   a 3   a 3  B ; ; 0 , C − ; ; 0  , H  0; ; 0  , S  0; ; h . 2 2  2 2 2 3    uuu  a 3  uur  a a 3  uuu  a a 3  r r SA =  0; ; h  , SB =  ; ; − h  , SC =  − ; ; − h ° 3 2 6 2 6     uuu uur  ah 3 ah a2 3  a ar r [SA; SB] =  − ; ;−  = − (3h 3; − 3h; a 3) = − .n1 , ° 2 2 6 6 6  r v i n1 = (3h 3; − 3h; a 3) ah a2 3   ah 3 a ar uuu uuu rr [SA; SC] =  − ;− ;  = − (3h 3; 3h; − a 3) = − .n 2 , ° 2 2 6 6 6  r v i n 2 = (3h 3; 3h; − a 3) . uuu uur r r M t ph ng (SAB) có c p vectơ ch phương SA; SB nên có pháp vectơ n1 . ° uuu uuu rr r M t ph ng (SAC) có c p vectơ ch phương SA; SC nên có pháp vectơ n 2 . ° Trang 4
  5. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí rr (SAB) ⊥ (SAC) ⇔ cos(n1; n 2 ) = 0 ° ⇔ 3h 3.3h 3 − 3h.3h + a 3(−a 3) = 0 ⇔ 27h 2 − 9h 2 − 3a2 = 0 a6 ⇔ 18h 2 = 3a2 ⇔ h = . 6 a6 V y: h = . ° 6 BÀI 3 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng (d) và m t c u (S): 2x − 2y − z + 1 = 0 (S) :x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 (d) :  ; x + 2y − 2z − 4 = 0 Tìm m ñ (d) c t (S) t i hai ñi m M, N sao cho MN = 8. Câu 2: Cho t di n OABC có ñáy là ∆OBC vuông t i O, OB = a, OC = a 3, (a > 0) và ñư ng cao OA = a 3 . G i M là trung ñi m c nh BC. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng AB và OM. GI I Câu 1: H M N M t c u (S): (x − 2)2 + (y − 3)2 + z 2 = 13 − m có tâm I(-2; 3; 0), bán kính R = IN = 13 − m , v i m < 13. I ° D ng IH ⊥ MN ⇒ MH = HN = 4 ⇒ IH = IN 2 − HN 2 = 13 − m − 16 = − m − 3 , v i m < -3. x = t  1  Phương trình tham s c a ñư ng th ng (d): y = 1 + t ° 2   z = −1 + t  r11 (d) có vectơ ch phương u =  1; ; 1 = (2; 1; 2) và ñi qua ñi m A(0; 1; -1) ° 22 uur uur r AI = (−2; 2; 1); [AI; u] = (3; 6; − 6) ° uur r [AI; u] 32 + 62 + 62 81 Kho ng cách h t I ñ n ñư ng th ng (d): h = = 3. ° = = r u 9 22 + 12 + 22 ° Ta có: IH = h ⇔ −m − 3 = 3 ⇔ − m − 3 = 9 ⇔ m = −12 (th a ñi u ki n) Trang 5
  6. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí ° V y, giá tr c n tìm: m = -12. Câu 2: Cách 1: ° G i N là ñi m ñ i x ng c a C qua O. ° Ta có: OM // BN (tính ch t ñư ng trung bình) ⇒ OM // (ABN) ⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)). ° D ng OK ⊥ BN, OH ⊥ AK (K ∈ BN; H ∈ AK) AO ⊥ (OBC); OK ⊥ BN ⇒ AK ⊥ BN ° Ta có: BN ⊥ OK; BN ⊥ AK ⇒ BN ⊥ (AOK) ⇒ BN ⊥ OH OH ⊥ AK; OH ⊥ BN ⇒ OH ⊥ (ABN) ⇒ d(O; (ABN) = OH ° T các tam giác vuông OAK; ONB có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15 = 2 + 2 + 2 = 2 ⇒ OH = = + = + + 2 2 2 2 2 2 5 OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a a 15 z V y, d(OM; AB) = OH = . ° a3A 5 Cách 2: N ° D ng h tr c Oxyz, v i Ox, Oy, Oz ñôi m t vuông góc O(0; 0; 0), C A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), O y a3 a a 3   a 3 a 3 M M ; ; 0  và N  0; ; B  2 2 2 2 a   x là trung ñi m c a AC. ° MN là ñư ng trung bình c a ∆ABC ⇒ AB // MN ⇒ AB // (OMN) ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)). uuuu  a a 3  uuur  a 3 a 3  r OM =  ; ; 0  , ON =  0; ; °  2 2 2 2   uuuu uuur  3a2 a2 3 a2 3  a2 3 a2 3 r r ( ) r n , v i n = ( 3; 1; 1) [OM; ON] =  ; ; 3; 1; 1 = ° =  4 4 4 4 4 r Phương trình mp (OMN) qua O v i pháp vectơ n : 3x + y + z = 0 ° 3.a + 0 + 0 a 3 a 15 Ta có: d(B; (OMN)) = ° = = 5 3 +1+1 5 a 15 V y, d(AB; OM) = . ° 5 BÀI 4 Trang 6
  7. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí Câu 1: Trong không gian Oxyz cho m t ph ng (α) : 2x – y + z – 5 = 0. Vi t phương trình m t ph ng (P) qua giao tuy n c a (α) và m t ph ng (xOy) và (P) t o v i 3 m t ph ng t a ñ 125 m t t di n có th tích b ng . 36 Câu 2: Cho hình chóp SABC có ñáy là tam giác ABC vuông cân t i A, AB = AC = a (a > 0), hình chi u c a S trên ñáy trùng v i tr ng tâm G c a ∆ABC. ð t SG = x (x > 0). Xác ñ nh giá tr c a x ñ góc ph ng nh di n (B, SA, C) b ng 60o. GI I Câu 1: Phương trình m t ph ng (xOy): z = 0 ° Phương trình m t ph ng (P) thu c chùm xác ñ nh b i (α) và (xOy) có d ng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 ⇔ (P) : 2mx − my + (m + n)z − 5m = 0 ° Giao ñi m A, B, C c a (P) và 3 tr c Ox, Oy, Oz l n lư t có t a ñ : 5 5m    A  ; 0; 0  , B(0; − 5; 0), C  0; 0;  2 m+n   125 1 15 5m 125 ⇔ V = .OA.OB.OC = . .5. ° Th tích t di n OABC b ng = 36 6 6 2 m+n 36  m + n = 3m  m = 1, n = 2 ⇔ m+n =3m ⇔  ⇒  m + n = −3m  m = 1, n = −4 S ° V y, có 2 phương trình m t ph ng (P): (P1 ) : 2x − y + 3z − 5 = 0 (m = 1; n = 2) I C (P ) : 2x − y − 3z − 5 = 0 (m = 1; n = −4) 2 Câu 2: A M . Cách 1: G ° G i M là trung ñi m c a BC ⇒ AM ⊥ BC (∆ABC vuông cân) ° Ta có: SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC . B Suy ra: BC ⊥ (SAM) ° D ng BI ⊥ SA ⇒ IM ⊥ SA và IC ⊥ SA ⇒ BIC là góc ph ng nh di n (B; SA; C). ∆SAB = ∆SAC (c.c.c) ° ⇒ IB = IC ⇒ ∆IBC cân t i I. 1 a2 a2 BC = a 2; AM = BM = MC = BC = ; AG = ° 2 2 3 AM a2 1 ax 2 ∆AIM ~ ∆AGS ⇒ IM = SG. = x. . = ° AS 2 SG 2 + AG 2 2a2 2 x2 + 9 Trang 7
  8. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 3ax 2 ⇔ IM = . 2 9x 2 + 2a2 a2 3.3ax 2 Ta có: BIC = 60o ⇔ BIM = 30o ⇔ BM = IM.tg30o ⇔ ° = 2 2 9x 2 + 2a2 ⇔ 9x 2 + 2a2 = 3x 3 ⇔ 9x 2 + 2a2 = 27x 2 a ⇔ 18x 2 = 2a2 ⇔ 9x 2 = a2 ⇔ x = . 3 a V y, x = . ° 3 Cách 2: z ° BC = a 2 x ° G i M là trung ñi m BC a2 a2 ⇒ AM = ; AG = 2 3 ° G i E, F l n lư t là hình chi u c a G C F trên AB, AC. T giác AEGF là hình vuông A a y G ⇒ AG = AE 2 ⇒ AE = AF = . 3 E M B ° D ng h tr c t a ñ Axyz, v i Ax, Ay, Az ñôi m t vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), x a a  a a  C(0; a; 0), G  ; ; 0  , S  ; ; x  . 3 3  2 2  uuu  a a  uur  2a a  uuu  a 2a r r  ° SA =  ; ; x  , SB =  ; − ; − x  , SC =  − ; ; − x  3 3  3 3 33   2 a a a uuu uur  r  r r ° [SA; SB] =  0; ax; −  = a  0; x; −  = a.n1 , v i n1 =  0; x; −  3 3 3    a2 a a uuu uuu rr   r r ° [SA; SC] = (−ax; 0; ) = −a  x; 0; −  = −a.n 2 , v i n 2 =  x; 0; −  . 3 3 3   uuu uur r r ° M t ph ng (SAB) có c p vectơ ch phương SA, SB nên có pháp vectơ n1 uuu uuu rr r ° M t ph ng (SAC) có c p vectơ ch phương SA, SC nên có pháp vectơ n2 ° Góc ph ng nh di n (B; SA; C) b ng 60o. aa a2 0.x + x.0 + 33 9 ⇔ cos60o = = 9x + a2 2 2 2 a a 2 2 0+x + x +0+ 9 9 9 a2 1 a ⇔ 9x 2 = a2 = 2a2 ⇔ 9x 2 = a2 ⇔ x = . ⇔ =2 2 9x + a2 3 a V y, x = . ° 3 Trang 8
  9. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí BÀI 5 Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox ñi m A cách ñ u ñư ng th ng x −1 y z + 2 == và m t ph ng (α) : 2x – y – 2z = 0. (d) : 1 2 2 Câu 2: Cho hình chóp SABC có ñáy ABC là tam giác ñ u có c nh b ng 2a 2 , SA vuông góc v i (ABC) và SA = a. G i E, F l n lư t là trung ñi m c a c nh AB, BC. Tính góc và kho ng cách gi a hai ñư ng th ng SE và AF. GI I Câu 1: G i A(a; 0; 0) ∈ Ox . 2a 2a Kho ng cách t A ñ n m t ph ng (α) : d(A; α) = ° = 3 22 + 12 + 22 r (∆) qua M 0 (1; 0; − 2) và có vectơ ch phương u = (1; 2; 2) ° uuuuuur r ð t M 0 M1 = u ° Do ñó: d(A; ∆) là ñư ng cao v t A trong tam giác AM 0 M1 ° uuuuu r r [AM 0 ; u] 2.SAM0M1 8a2 − 24a + 36 ⇒ d(A; ∆) = = = r M 0 M1 u 3 ° Theo gi thi t: d(A; α) = d(A; ∆) 2a 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 = 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 − 24a + 36 = 0 ⇔ = 3 3 ⇔ 4(a − 3)2 = 0 ⇔ a = 3. ° V y, có m t ñi m A(3; 0; 0). Câu 2: S Cách 1: ° G i M là trung ñi m c a BF ⇒ EM // AF ⇒ (SA; AF) = (EM; AF) = SEM ° ∆SAE vuông t i A có: SE2 = SA 2 + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a 3 A H C 2a 2. 3 AF = =a 6 ° 2 K F E a6 M ⇒ EM = BM = MF = ; BF = a 2 B 2 SB2 = SA 2 + AB2 = a2 + 8a2 = 9a2 ⇒ SB = 3a ° Trang 9
  10. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí SF 2 = SA 2 + AF 2 = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a 7 ° ° Áp d ng ñ nh lý ñư ng trung tuy n SM trong ∆SBF có: 1 SB2 + SF 2 = 2.SM2 + BF 2 2 15a2 1 ⇔ 9a2 + 7a2 = 2SM 2 + .2a2 ⇔ SM2 = 2 2 ° G i α là góc nh n t o b i SE và AF ° Áp d ng ñ nh lý hàm Côsin vào ∆SEM có: 3a2 15a2 3a2 + − 2 2 2 ES + EM − SM 2 = − 2 = 2. 2 cos α = cosSEM = = 2.ES.EM 2 2 a6 2. .a 3 2 ⇒ α = 45o. a2 D ng AK ⊥ ME; AH ⊥ SK. Ta có: AK = MF = và AH ⊥ (SME) ° 2 ° Vì AF // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH. z ° ∆SAK vuông có: aS 1 1 1 12 3 a3 = 2 + 2 = 2 ⇒ AH = = + 2 2 2 AH SA AK aa a 3 a3 C ° V y, d(SE; AF) = . 3 A Cách 2: x F ° D ng h tr c Axyz, v i Ax, Ay, Az y E M ñôi m t vuông góc, A(0; 0; 0), B(a 2; a 6; 0), C(−a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), B a 2 a 6  E ; ; 0  ; F(0; a 6; 0) 2 2   a 2  và M  ; a 6; 0  . 2  uur  a 2 a 6 uuur  a 2  uuu  r SE =  ; ; − a  ; AF = (a; a 6; 0), SM =  ; a 6; − a  ° 2 2 2   ° G i α là góc nh n t o b i SE và AF.ta có: a2 a6 0. + a 6. 0(−a) 3a2 2 uur uuu r 2 2 cos α = cos(SE; AF) = . = = 2 a 6.a 3 2 2 a 3a 2 2 0 + 6a + 0. +a + 2 2 ⇒ α = 45o. uur uuur  a2 6 a2 3  a2 3 a2 3 r r n, v i n = ( 2; 0; 1) [SE; SM] =  ; 0; ( 2; 0; 1) = ° =  2 2 2 2 Trang 10
  11. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí r Phương trình m t ph ng (SEM) qua S v i pháp vectơ n : 2x + z − a = 0. ° 0+0−a a2 Kho ng cách t A ñ n (SEM): d(A;SEM) = ° = 3 2 +1 Vì AF // EM ⇒ AF //(SEM) ⇒ d(SE; AF) = d(A; SEM) ° a3 V y, d(SE; AF) = . ° 3 BÀI 6 Câu 1: Trong không gian v i h t a ñ vuông góc Oxyz cho m t ph ng (P) và m t c u (S): (P): 2x + 2y + z − m 2 − 3m = 0 ; (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 1)2 = 9 . Tìm m ñ (P) ti p xúc (S). V i m tìm ñư c xác ñ nh t a ñ ti p ñi m. Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, BC = 2a, c nh SA vuông góc v i ñáy và SA = 2a. G i M là trung ñi m SC. Ch ng minh ∆MAB cân và tính di n tích ∆MAB theo a. GI I Câu 1: (P) : 2x + 2y + z − m 2 − 3m = 0 (S) : (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x − 1)2 = 9 có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3. ⇔ d[I, (P)] = R (P) ti p xúc (S)  m 2 + 3m − 1 = 9 m = 2 2.1 + 2.(−1) + 1.1 − m 2 − 3m = 3 ⇔ m 2 + 3m − 1 = 9 ⇔  2 ⇔ ⇔  m = −5  m + 3m − 1 = −9 22 + 22 + 12  ° V y, (P) ti p xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0 ° ðư ng th ng (d) qua I và vuông góc v i (P) có phương trình: x −1 y +1 z −1 = = 2 2 1 x = 3 2x + 2y + z − 10 = 0   T a ñ ti p ñi m là nghi m c a h :  x − 1 y + 1 z − 1 ⇒ y = 1 ° 2 = 2 =1 z = 2   ° V y, t a ñ ti p ñi m M(3; 1; 2). Câu 2: Cách 1: ° Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AC. Trang 11
  12. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí Do ñó ∆SAC vuông t i A có AM là S 1 trung tuy n nên MA = SC. 2 SA ⊥ (ABC) M ° Ta l i có:  AB ⊥ BC (∆ABC vuoâ ng taïi B) ⇒ SB ⊥ BC (ñ nh lý 3 ñư ng vuông góc) C A 1 H Do ñó ∆SBC vuông t i B có BM là trung tuy n nên MB = SC. 2 K B ° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân t i M. D ng MH // SA và HK // BC (H ∈ AC; K ∈ AB) ° 1  MH = 2 SA = a SA ⊥ (ABC) MH ⊥ (ABC)  ⇒ ⇒ vì:  BC ⊥ AB HK ⊥ AB HK = 1 BC = a  2  ∆MHK vuông t i H có: MK 2 = MH 2 + HK 2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ MK = a 2 ° a2 2 1 1 Di n tích ∆MAB: SMAB = .MK.AB = .a 2.a = ° 2 2 2 Cách 2: ° ∆ABC vuông t i B có: z AC2 = AB2 + BC2 = a2 + 4a2 = 5a2 S 2a ⇒ AC = a 5 D ng BH ⊥ AC (H ∈ AC), ta có: ° M 2 2 AB a a AH = = = ⋅ AC a 5 5 y C H A 1 1 1 5 a5 = + =2 ⋅ 2 2 2 BH AB BC 4a K 2a x a B ⇒ BH = 5 5 ° D ng h tr c t a vuông góc Axyz, v i Ax, Ay, Az ñôi m t vuông góc và  2a a  A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B  ; ; 0 5 5   a5  T a ñ trung ñi m M c a SC là M  0; ; a ° 2   uuuu  a 5  3a r Ta có: MA =  0; ; a  ⇒ MA = ° 2 2   uuur  2a 3a 3a  MB =  − ; ; a  ⇒ MB = . 2 5 25   suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân t i M. Trang 12
  13. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí uuuu uuur  a2 2a2 2  r uuuu uuur r ; a  ⇒ [MA; MB] = a2 2 Ta có: [MA; MB] =  ;− ° 5 5  a2 2 1 uuuu uuur 12 r ° Di n tích ∆MAB: SMAB = [MA; MB] = .a 2 = . 2 2 2 BÀI 7 Câu 1: Cho hình chóp ñ u S.ABC, ñáy ABC có c nh b ng a, m t bên t o v i ñáy m t góc b ng ϕ (0o < ϕ < 90o ) . Tính th tích kh i hình chóp S.ABC và kho ng cách t ñ nh A ñ n m t ph ng (SBC). Câu 2: . Trong không gian oxyz cho hai ñư ng th ng: x = 2 t x + y − 3 = 0  (d1) : y = t ; (d2 ) :  4 x + 4 y + 3z − 12 = 0 z = 4  Ch ng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Vi t phương trình m t c u (S) có ñư ng kính là ño n vuông góc chung c a (d1) và (d2). GI I Câu 1: S Cách 1: ° G i H là trung ñi m c a BC. ° Do S.ABC ñ u và ∆ABC ñ u nên chân ñư ng cao ñ nh S trùng v i giao ñi m ba ñư ng cao là tr c tâm O A C c a ∆ABC và có ∆SBC cân t i S. ϕ O suy ra: BC ⊥ SH, BC ⊥ AH, nên SHA = ϕ . H B 1 a3 Ta có: OH = AH = . ° 3 6 a3 HO a3 ∆SHO vuông góc: SO = HO.tgϕ = tgϕ và SH = = 6 cos ϕ 6.cos ϕ a2 3 a3tgϕ 1 1a3 Th tích hình chóp S.ABC: V = .SO.SABC = . tgϕ. = ° 3 36 4 24 a2 3 1 Di n tích ∆SBC: SSBC = .SH.BC = ° 2 12.cos ϕ ° G i h là kho ng cách t A ñ n (SBC), ta có: Trang 13
  14. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí a3 tgϕ a2 3 1 3.V a3 V = .h.SSBC ⇒ h = = 3. : sin ϕ = 3 SSBC 24 12 cos ϕ 2 Cách 2: ° Vì S.ABC là hình chóp ñ u z nên chân ñư ng cao ñ nh S trùng S v i tâm O ñư ng tròn (ABC). ° G i M là trung ñi m c a BC. Ta có: 2 a3 a3 AO = AM = và OM = - 3 3 6 C AM ⊥ BC, SM ⊥ BC ⇒ SMA = ϕ A - ϕ O y M ∆SOM vuông có: - a3 SO = OM.tgϕ = tgϕ B x 6 ° D ng h tr c t a ñ Axyz, v i Ax, Ay, Az ñôi m t vuông góc, A(0; 0; 0), a a 3   a a 3   a 3   a 3   a 3 a 3  B ; ; 0  ,C − ; ; 0  ,M 0; ; 0  , O 0; ; 0  , S 0; ; tgϕ 22 22 2 3 3 6       a3tgϕ 1 Th tích hình chóp: V = .SO.SABC = ° 3 24 uur  a a 3 a 3  uuu r Ta có: BS =  − ; − ; tgϕ  , BC = (−a; 0; 0) ° 2 6 6  a2 3 a2 3  r r uur uuu [BS; BC] =  0; − tgϕ; − =n ° 6 6  r Phương trình m t ph ng (SBC) qua B v i vectơ pháp tuy n n : ° a  a2 3 a 3  a2 3   O x −  − tgϕ  y − (z − 0) = 0 − 2 6 2 6   a3 ⇔ (SBC) : tgϕy + z − tgϕ = 0. 2 ° Kho ng cách d t A ñ n (SBC): a3 a3 tgϕ.O + O − tgϕ tgϕ 2 a3 =2 d= sin ϕ. = 1 2 tg2 ϕ + 1 cos ϕ Câu 2: r (d1) ñi qua ñi m A(0; 0; 4) và có vectơ ch phương u1 = (2; 1; 0) r (d2) ñi qua ñi m B(3; 0; 0) và có vectơ ch phương u2 = (3; − 3; 0) uuu r ° AB = (3; 0; − 4) Trang 14
  15. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí uuu r r r uuu r r r AB.[u1; u2 ] = 36 ≠ 0 ⇒ AB, u1 , u2 không ñ ng ph ng. ° ° V y, (d1) và (d2) chéo nhau. x = 3 + t /  (d2) có phương trình tham s : y = − t / ° z = 0  ° G i MN là ñư ng vuông góc chung c a (d1) và (d2) M ∈ (d1 ) ⇒ M(2t; t; 4) , N ∈ (d 2 ) ⇒ N(3 + t / ; − t / ; 0) ° uuuu r ⇒ MN = (3 + t / − 2t; − t / − t; − 4) uuuu r r / / MN ⊥ u1 2(3 + t − 2) − (t + t) = 0 M(2; 1; 4)  t / = −1   ° Ta có:  uuuu r ⇒  ⇔ ⇒ r N(2; 1; 0) t = 1 / / 3 + t − 2t + (t + t) = 0 MN ⊥ u2   1 T a ñ trung ñi m I c a MN: I(2; 1; 2), bán kính R = MN = 2. ° 2 V y, phương trình m t c u (S): (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4. ° BÀI 8 Câu 1: Trong không gian Oxyz có 2 m t ph ng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 ñư ng th ng: x+ 5 y − 3 z +1 x − 3 y +1 z − 2 ; (d 2 ) : = = = = (d1): 2 −4 3 −2 3 4 Vi t phương trình ñư ng th ng (∆) song song v i hai m t ph ng (P) và (Q), và c t hai ñư ng th ng (d1) và (d2). Câu 2: Cho hình l p phương ABCD . A'B'C'D' c nh a. M, N l n lư t là trung ñi m c a AB và C'D'. Tính kho ng cách t B' ñ n (A'MCN). GI I ∆/ r nq Q r np P Câu 1: ∆ r (P) có pháp vectơ: Q/ u r r/ r/ P/ n P = (3; 12; − 3) = 3(1; 4; − 1) = 3n P , v i n P = (1; 4; − 1) r r ° (Q) có pháp vectơ n Q = (3; − 4; 9) u1 r u2 r ° (d1) có vectơ ch phương u1 = (2; − 4; 3) A B r d1 d2 ° (d2) có vectơ ch phương u2 = (−2; 3; 4) Trang 15
  16. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí (∆ / ) = (P) ∩ (Q) / / (P )//(P), (Q )//(Q) ° G i:  / / (d1 ) ⊂ (P ), (d 2 ) ⊂ (Q ) r r /  u = u∆ ° Suy ra (∆) là giao tuy n c a hai m t ph ng (P/) và (Q/), và (∆) // (∆/). r r/ r r/ (∆) có vectơ ch phương u = [n P ; n Q ] = (32; − 12; − 16) = 4(8; − 3; − 4) = 4u , ° r/ v i u = (8; − 3; − 4). r r/ mp (P/) có c p vectơ ch phương u1 và u nên có pháp vectơ: ° r r r/ n P/ = [u1; u ] = (25; 32; 26) r Phương trình mp (P/) ch a (d1) ñi qua ñi m A(-5; 3; -1) ∈ (d1 ) v i n P/ là: ° 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 / ⇔ (P ) : 25x + 32y + 26z + 55 = 0 r/ r mp (Q/) có c p vectơ ch phương u2 và u nên có pháp vectơ: ° r r r/ n Q/ = [u2 ; u ] = (0; 24; − 18) r Phương trình mp (Q/) ch a (d2) ñi qua ñi m B(3; -1; 2) ∈ (d 2 ) v i n Q/ là: ° 0(x − 3) + 24(y + 1) − 18(z − 2) = 0 / ⇔ (Q ) : 4y − 3x + 10 = 0 Ta có: (∆) = (P / ) ∩ (Q / ). ° 25x + 32y + 26z + 55 = 0 ° V y, phương trình ñư ng th ng (∆) :  4y − 3z + 10 = 0 Câu 2: Cách 1: B n tam giác vuông AA / M, BCM, CC/ N, A / D/ N b ng nhau (c.g.c) ° ⇒ A / M = MC = CN = NA / D/ C/ N ⇒ A / MCN là hình thoi. A/ B/ ° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung ñư ng cao v t ñ nh B/ và SA/ MCN = 2.SA / NC D C nên: VB/ .A/ MCN = 2.VB/ .A/ NC. A B M a3 a3 1 11 Mà: VB/ .ANC = VC.A/ B/ N = .CC/ .SA/ B/ N = .a. .a.a = ⇒ VB/ .A / MCN = . ° 3 32 6 3 1 Ta có: SA/ MCN = .A / C.MN, v i A / C = a 3; MN = BC/ = a 2 ° 2 a2 6 ⇒ SA / MCN = . 2 Trang 16
  17. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí 1 G i H là hình chi u c a B/ trên (A/MCN), ta có: VB/ .A/ MCN = .B/ H.SA/ MCN ° 3 3.VB/ .A/ MCN a3 a 2 6 a 6 ⇒ B/ H = = 3. : . = SA/ MCN 3 2 3 Cách 2: ° Ch n h tr c Dxyz, v i Dx, Dy, Dz z ñôi m t vuông góc, / C/ aD N A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), A/ B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), aa M  a; ; 0  , N  0; ; a  C D 22 ay uuuur uuuu r A ° Ta có: A / C = (−a; a; − a), MN = (−a; 0; a) a M B uuuu uuuu r x r [A C; MN] = (a2 ; 2a2 ; a2 ) = a2 (1; 2; 1) / r r = a2 .n vôù i n = (1; 2; 1). r Phương trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) v i pháp vectơ n : ° 1(x − 0) + 2(y − a) + 1(z − 0) = 0 ⇔ (A / MCN) : x + 2y + z − 2a = 0. ° Kho ng cách d t B/(a; a; a) ñ n mp(A/MCN): a + 2a + a − 2a 2a a 6 d= . = = 3 1+ 4 +1 6 BÀI 9 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 ñư ng th ng: x = t x = t '   (d1) : y = 4 + t ; và (d2) : y = 3t ' − 6 z = 6 + 2 t z = t ' − 1   G i K là hình chi u vuông góc c a ñi m I(1; -1; 1) trên (d2). Tìm phương trình tham s c a ñư ng th ng qua K vuông góc v i (d1) và c t (d1). Câu 2: 1. Tính th tích c a hình chóp S.ABC, bi t ñáy ABC là m t tam giác ñ u c nh a, m t bên (SAB) vuông góc v i ñáy, hai m t bên còn l i cùng t o v i ñáy góc α. GI I Câu 1: Trang 17
  18. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí r (d1) có vectơ ch phương u1 = (1; 1; 2) r (d2) có vectơ ch phương u2 = (1; 3; 1) uur ° K ∈(d 2 ) ⇒ K(t / ; 3t / − 6; t / − 1) ⇒ IK = (t / − 1; 3t / − 5; t / − 2) 18  18 12 7  uur r ° IK ⊥ u2 ⇔ t / − 1 + 9t / − 15 + t / − 2 = 0 ⇔ t / = ⇒ K ; − ;  11  11 11 11  ° Gi s (∆) c t (d1) t i H(t; 4 + t; 6 + 2t), (H ∈ (d1 )) uuur  18 56 59  ° HK =  − t; − − t; − − 2t   11 11 11  18 56 118 26 uuur r ° HK ⊥ u1 ⇔ −t− −t− − 4t = 0 ⇔ t = − 11 11 11 11 30 7 1 uuur  ⇒ HK =  4; − ; −  = (44; − 30; − 7). 11 11  11  18  x = 11 + 44λ  12  ° V y, phương trình tham s c a ñư ng th ng (∆): y = − − 30λ . 11  7  z = 11 − 7λ  Câu 2: Cách 1: ° D ng SH ⊥ AB S ° Ta có: (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = AB, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) và SH là ñư ng cao c a hình chóp. ° D ng HN ⊥ BC, HP ⊥ AC B ⇒ SN ⊥ BC, SP ⊥ AC ⇒ SPH = SNH = α N ° ∆SHN = ∆SHP ⇒ HN = HP. H ϕ C a3 o P ° ∆AHP vuông có: HP = HA.sin 60 = . 4 A a3 ° ∆SHP vuông có: SH = HP.tgα = tgα 4 a2 3 a3 1 1a3 ° Th tích hình chóp S.ABC : V = .SH.SABC = . .tgα. = tgα 3 34 4 16 Cách 2: ° D ng SH ⊥ AB ° Ta có: (SAB) ⊥ (ABC), (SAB) ∩ (ABC) = B, SH ⊂ (SAB) ⇒ SH ⊥ (ABC) ° Vì (SAC) và (SBC) cùng t o v i (ABC) m t góc α và ∆ABC ñ u, nên suy ra H là trung ñi m AB. Trang 18
  19. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí ° D ng h tr c t a ñ Hxyz, v i Hx, Hy, Hz z ñôi m t vuông góc, H(0; 0; 0), hS a  a  A  ; 0; 0  ; B  − ; 0; 0  , 2  2   a3  C  0; ; 0  , S(0; 0; h), (h > 0). B 2   ° C Phương trình mp (ABC): H r y z = 0, v i pháp vectơ n1 = (0; 0;1) a3 2 A ° Phương trình mp (SAC): a x y z 2 x + =1 + a a3 h r ⇔ (SAC) : 2h 3x + 2hy + a 3z − ah 3 = 0 v i n 2 = (2h 3; 2h; a 3) ° (SAC) t o v i (ABC) m t góc α: 0+0+a 3 a3 cos α = = 2 2 2 16h 2 + 3a2 0 + 0 + 1. 12h + 4h + 3a 16h 2 + 3a2 1 = 1 + tg2 α = ⇔ cos2 α 3a2 3a2 tg2 α a3 ⇔ h2 = ⇔ h= tgα 16 4 a2 3 a3 1 1a3 Th tích hình chóp S.ABC: V = .h.SABC = . tgα. = tgα . ° 3 34 4 16 BÀI 10 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho 2 ñư ng th ng: x − 3 y −1 z −1 x−7 y−3 z−9 ; (∆ 2 ): = = = = (∆1) : −7 2 3 1 2 −1 1. L p phương trình chính t c c a ñư ng th ng (∆3) ñ i x ng v i (∆2) qua (∆1). 2. Xét m t ph ng (α) : x + y + z + 3 = 0. Vi t phương trình hình chi u c a (∆2) theo phương (∆1) lên m t ph ng (α). uuuur uuuur 3. Tìm ñi m M trên m t ph ng (α) ñ MM1 + MM2 ñ t giá tr nh nh t bi t M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9). Câu 2: Cho lăng tr ñ ng ABC.A'B'C' có ñáy ABC là tam giác cân v i AB = AC = a, góc BAC = 120o , c nh bên BB' = a. G i I là trung ñi m CC'. Ch ng minh ∆AB'I vuông t i A và tính cosin c a góc gi a hai m t ph ng (ABC) và (AB'I). GI I Trang 19
  20. http://ebook.here.vn Thư vi n ð thi tr c nghi m | Luy n thi ðH mi n phí Câu 1: x = 3 − 7t1 r  1. ° (∆1 ) : y = 1 + 2t1 có vectơ ch phương u1 = (−7; 2; 3) ∆2 B z = 1 + 3t A  1 r u1 x = 7 + 7t 2 ∆1 qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø  H K ° (∆ 2 ) : y = 3 + 2t 2 r coù vectô chæ phöông u2 = (1; 2; − 1) z = 9 − t A/  2 ° G i H là hình chi u c a A trên (∆1) ∆3 B/ ° H ∈ (∆1 ) ⇒ H(3 − 7t1; 1 + 2t1; 1 + 3t1 ) uuur ⇒ AH = (−4 − 7t1; − 2 + 2t1; − 8 + 3t1 ) uuur r ° AH ⊥ u1 ⇔ − 7(−4 − 7t1 ) + 2(−2 + 2t1 ) + 3(−8 + 3t1 ) = 0 ⇔ t1 = 0 ⇒ H(3; 1; 1) ° G i A là ñi m ñ i x ng c a A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7) / ° G i K là hình chi u c a B trên (∆1) và B/ là ñi m ñ i x ng c a B qua K. Tương t như trên ta tìm ñư c:  114 25 22  /  20 105 204  K ;;  ⇒ B − ; − ;−   31 31 31   31 31 31  uuuuu  11 74 13  1 r 1r r ° A / B/ =  ; − ; −  = (11; − 74; 13) = .a , v i a = (11; − 74; 13)  31 31 31  31 31 ° Phương trình ñư ng th ng (∆3) ñ i x ng v i (∆2) qua (∆1) chính là phương trình r ñư ng th ng A / B/ qua A/ v i vectơ ch phương a . x +1 y +1 z + 7 = = ° V y, phương trình chính t c (∆3): . 11 −74 13 2. M t ph ng (β) ch a (∆2) và (β) // (∆1) r r ⇒ (β) có c p vectơ ch phương u1 = (−7; 2; 3), u2 = (1, 2, − 1) rr r r ⇒ [u1; u2 ] = (−8; − 4; − 16) = −4(2; 1; 4) = − 4nβ , v i nβ = (2; 1; 4) r ° Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9) ∈(∆ 2 ) v i pháp tuy n nβ : (β) : 2x + y + 4z − 53 = 0 / Ta có: (α) ∩ (β) = (∆ 2 ) là hình chi u c a (∆2) lên (α) theo phương (∆1). ° x + y + z + 3 = 0 / V y, phương trình hình chi u (∆ 2 ) :  ° 2x + y + 4z − 53 = 0 3. G i I là trung ñi m M1M 2 ⇒ I(5; 2; 5) (∆ ) uuuur uuuur uuu r ° Ta có: MM1 + MM 2 = 2MI M2 uuuur uuuur uuu r ⇒ MM1 + MM 2 nh nh t ⇔ 2MI nh nh t I r uα M1 ⇔ M là hình chi u c a I trên (α) ° Phương trình ñư ng th ng (∆) qua I và vuông góc v i (α) là: M0 M α Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
925 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2