Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng" nhằm tìm ra mối liên hệ giữa các bài toán hình học không gian và hình học phẳng trong học THPT; Tìm ra phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ đó nâng cao kiến thức và chất lượng học tập trong tiết học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ LỢI -------- TÊN ĐỀ TÀI MỐI LIÊN HỆ GIỮA MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN GIỮA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ HÌNH HỌC PHẲNG Lĩnh vực: Toán Người thực hiện: Trần Thị Ngọc Hà Tổ bộ môn: Toán - Tin Năm thực hiện: 2021-2022 Số điện thoại: 0977.848.162
MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 1 3. Đối tượng nghiên cứu .................................................................................. 2 4. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................. 2 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 7. Đóng góp của đề tài ..................................................................................... 2 B. NỘI DUNG ...................................................................................................... 3 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ............................................................................ 3 1.1Các kiến thức cơ bản về hình học không gian .............................................. 5 1.2 Các kiến thức cơ bản về hình học phẳng...................................................... 6 1.3 Cơ sở thực tiễn.............................................................................................. 8 2. Một số giải pháp ......................................................................................... 10 2.1 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm ................ 10 2.2 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm .................................................................................................................. 12 2.3 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác .......... 13 2.4 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến .................................... 16 2.5 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ giác......... 18 2.6 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trực tâm ...................................... 19 2.7 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề bán kính đường tròn ................... 20 2.8 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề hệ thức lượng ............................. 23 2.9 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề đường tròn ngoại tiếp ................. 26 2.10 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề Vec-tơ ....................................... 31 C. KẾT LUẬN ................................................................................................... 34 D.TÀI LIỆU THAM KHẢO. ........................................................................... 35
A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xu thế của dạy học hiện đại là dạy học theo phương pháp kiến tạo, trải nghiệm thông qua các hoạt động. Trong hoạt động dựa vào tri thức đã biết để xây dựng các tri thức mới thì các kiểu giải bài tập tương tự là hoạt động phù hợp và cần thiết đối với học sinh. Khi dạy học sinh lớp 11 và 12 giải toán hình học không gian tôi thường gặp các bài toán tương tự ở hình học phẳng và thực tế có nhiều bài toán hình học không gian để dễ hiểu chúng ta phải quy về mặt phẳng để tìm lời giải hoặc minh họa cho học sinh dễ hiểu. Trong quá trình giảng dạy tôi thường xuyên đưa ra các gợi ý tìm bài toán liên quan giữa hình học không gian và hình học phẳng giúp học sinh dễ hiểu về bài toán hình học không gian hơn, từ đó dần hình thành cho học sinh phương pháp “tương tự hóa”. Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước: Huy động kiến thức và tổ chức kiến thức. Huy động kiến thức là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp. Do đó, học sinh phải biết và cần phân tích ý tưởng: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với kiểu bài toán này hay chưa? Polia đã viết một quyển sách chỉ với nội dung “Giải bài toán như thế nào”, trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều kiện thiết yếu. Nhằm giúp các em học sinh lớp 11 và 12 có cách nhìn toàn diện hơn, bản chất hơn các bài toán hình học không gian, từ đó nâng cao hiệu quả học tập, góp phần nâng cao chất lượng dạy học để có kết quả tích cực trong kỳ thi THPT quốc gia cũng như bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Với những lí do như trên, tôi chọn đề tài: “Mối liên hệ giữa một số bài toán hình học không gian và bài toán hình học phẳng”. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm ra mối liên hệ giữa các bài toán hình học không gian và hình học phẳng trong học THPT. 1
Tìm ra phương pháp dạy phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, từ đó nâng cao kiến thức và chất lượng học tập trong tiết học. 3. Đối tượng nghiên cứu Một số bài toán hình học không gian và hình học phẳng THPT. 4. Phạm vi nghiên cứu Tập trung vào toán hình học không gian và hình học phẳng lớp 11. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11, 12. Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường Trung học phổ thông. 6. Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: • Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài. • Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và học sinh). • Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn). • Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp). • Phương pháp thực nghiệm. 7. Đóng góp của đề tài Đề tài góp phần mang tới cho giáo viên một phần giải pháp giúp các em học sinh có thể học tốt môn toán, đặc biệt là trong toán hình học phẳng và hình học không gian. Đồng thời, giáo viên biết được hiện trạng của các em hiện nay. 8. Bố cục 1, Cơ sở lý luận và thực tiễn 2, Một số giải pháp 3, Tổ chức thực hiện vào các bài toán 2
B. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam. Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề”. Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất của con người lao động mới là môn hình học không gian. Để học môn này học sinh cần có trí tưởng, kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và giải nó. Như mọi người đều biết, hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng. Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thức của hình không gian thành Rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian những phần đơn giản hơn mà có 3
thể giải nó trong các bài toán phẳng. Đó là một việc làm đúng đắn, nhờ nó làm cho quá trình nhận thức, rèn luyện năng lực lập luận, sự sáng tạo, tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không gian của học sinh. Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian, với cơ sở là mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là thiết diện, giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học phẳng để từ đó giải quyết được bài toán ban đầu. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Trong chương trình toán phổ thông, hình học không gian là phần kiến thức tương đối khó với hầu hết các em học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi. Bởi để giải quyết tốt các bài toán hình học không gian, học sinh không những nắm vững các kiến thức cơ bản của hình học không gian, hình học phẳng mà còn phải có trí tưởng tượng phong phú, biết cách liên hệ giữa hình học phẳng với hình học không gian. Có nhiều cách để tiếp cận một bài toán mới, một trong những phương thức hiệu quả là phương pháp tương tự hóa, tức là tìm hiểu xem bài toán cần giải quyết có vấn đề gì tương tự với các bài toán mà ta đã giải quyết trước đây chưa, đó cũng là nguồn gốc của sự sáng tạo. Học sinh thường lúng túng trước một bài toán hình học không gian ở các mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ các khái niệm, định lý liên quan và đặc biệt là không nhớ hay phát hiện được các bài toán tương tự. Trong hình học không gian có những bài toán này là bài toán con của bài toán khác. Để giải bài tập hình học không gian và hình học phẳng một cách thành thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học 4
không gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học, vận dụng tốt các kiến thức đã học. 1.1. Các kiến thức cơ bản về hình học không gian Tất cả các bề mặt như mặt bàn, mặt bảng, mặt hồ phản chiếu cho ta thấy được hình ảnh của mặt phẳng. Cũng như mặt phẳng thì không có bề dày và không có giới hạn. Để vẽ được hình biểu diễn của một hình không gian ta dựa vào các quy tắc sau: - Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, tương ứng của đoạn thẳng thì sẽ là đoạn thẳng. - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, tương tự của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn các đường nhìn thấy và dùng nét đứt để vẽ những đường bị che khuất. 1.1.1. Quan hệ song song Hai mặt phẳng song song khi đáp ứng yêu cầu không có điểm chung thì ta nói hai mặt phẳng song song với nhau. - Nếu đường thẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau là a. b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau. - Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước ta chỉ vẽ được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng đồng thời cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến của chúng song song với nhau. - Định lý Ta-lét: ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tương ứng tỷ lệ. Ví dụ: nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kỳ cắt ba mặt phẳng song song thì AB BC AC  α  , β  ,  γ  lần lượt tại các điểm A,B,C và A',B',C' thì = = . A'B' B'C' A'C' 5
1.1.2. Vectơ trong không gian Vector trong không gian là đoạn thẳng có hướng nhất định. Ký hiệu là  chỉ điểm đầu và điểm cuối của đoạn thẳng. Các quy tắc về việc sử dụng vector trong không gian bao gồm các quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trung tuyến, quy tắc trọng tâm, quy tắc hình hộp. Tất cả những kiến thức này chúng ta sẽ được học trong sách giáo khoa hình học 11. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng với nhau nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 1.1.3. Quan hệ vuông góc Trong bài tập về quan hệ vuông góc cần hiểu được những kiến thức cơ bản về đường thẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng khi nào? Những định nghĩa, tính chất và lý thuyết chung của nó. Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và chứng minh nó. 1.1.4. Bài toán về góc Đối với bài tập về góc cần xác định được các yếu tố về góc giữa hai đường thẳng chéo nhau. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa cạnh bên và mặt đáy, cách tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao, góc giữa đường cao và mặt bên, công thức, lý thuyết về góc giữa hai mặt phẳng,... Nhìn chung bài tập và kiến thức về hình học không gian là rất rộng và bao la. Nếu chỉ học trong sách giáo khoa thôi là không đủ, học sinh cần phải làm bài tập thường xuyên và nhiều để rèn luyện kỹ năng về phản xạ với hình không gian. 1.2. Các kiến thức cơ bản về hình học phẳng - Định lý Menelaus Cho tam giác ABC, các điểm D, E, F theo thứ tự nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi FA DB EC 1 FB DC EA Chú ý : Định lý Menelaus có thể mở rộng cho đa giác lồi n cạnh. - Định lý Ceva - Đường thẳng Euler 6
- Đường tròn Euler Với mọi tam giác ABC bất kì, 9 điểm: trung điểm các cạnh, chân các đường cao, trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm tam giác với các đỉnh cùng nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn Euler của tam giác ABC. Đường tròn Euler có bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và có tâm là trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. - Định lý con bướm Cho đường tròn (O) và I là trung điểm của một dây cung AB. Qua I dựng hai dây cung tùy ý MN, PQ sao cho MP, NQ cắt AB tại E, F theo thứ tự. Khi đó I là trung điểm EF. - Định lý Ptolemy Với mọi tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong một đường tròn, ta đều có đẳng thức AB.CD + AD.BC= AC.BD Tổng quát : (bất đẳng thức Ptolemy) Với mọi tứ giác ABCD bất kì, ta có bất đẳng thức AB.CD + AD.BC  AC.BD . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD là tứ giác lồi nội tiếp. - Định lý Stewart - Đường thẳng Simson Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Simson của điểm M đối với tam giác ABC. Tổng quát: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong mặt phẳng tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó điều kiện cần và đủ để M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là X, Y, Z thẳng hàng. - Đường thẳng Steiner 7
Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi X, Y, Z lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Khi đó X, Y, Z thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng được gọi là đường thẳng Steiner của điểm M đối với tam giác ABC. Đường thẳng Steiner luôn đi qua trực tâm tam giác. - Điểm Miquel của tam giác, tứ giác toàn phần Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ANP, BPM, CMN đồng quy tại điểm Miquel X của M, N, P đối với tam giác ABC. Khi M, N, P thẳng hàng, ta có X điểm Miquel của tứ giác toàn phần ABCMNP. Khi đó X nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. - Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần Cho tứ giác toàn phần ABCDEF, điểm Miquel M của tứ giác và tâm ngoại tiếp các tam giác AEF, CDE, BDF, ABC cùng nằm trên đường tròn Miquel của tứ giác. - Định lý Pascal Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng nằm trên một conic bất kì. Gọi G, H, K theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng (AB,DE), (BC,EF), (CD,FA). Khi đó G, H, K thẳng hàng. - Định lý Pappus Cho hai đường thẳng a, b. Trên a lấy các điểm A, B, C; trên b lấy các điểm D, E, F. Gọi G, H, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (AE,DB), (AF,CD), (BF,CE). Khi đó G, H, K thẳng hàng. Định lý Pappus là trường hợp suy biến của định lý Pascal khi conic suy biến thành cặp đường thẳng. - Bất đẳng thức AM-GM - Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz - Bất đẳng thức Nesbitt 1.3. Cơ sở thực tiễn Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá trình học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của 8
môn học là rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú. Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian. Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học sinh. Nhiều em không biết cách trình bày bài giải, sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần thục, lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt có một vài em vẽ hình quá xấu, không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học. Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh? Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là: +) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán hình không gian. +) Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh. +) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian. +) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách. +) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v. Học sinh thường suy nghĩ hay giải từ các bài toán liên quan theo dạng (các loại tứ diện, hình chóp, hình hộp, các cách chứng minh sự vuông góc hay 9
song song …) mà không để ý xa hơn là có bài toán hình phẳng tương tự và giải các bài toán này. Học sinh ít suy nghĩ là từ đâu ta có đề toán này (thực ra đối với thầy cô giáo thì việc ra đề bài hoàn toàn dựa trên nền tảng lý thuyết cũng như bài tập các em đã được học. Đề cho học sinh giỏi là đề biến hóa từ một bài toán nào đó mà giả thiết bị giấu đi hoặc khai thác một tính chất được tổng quát hóa hay mở rộng cho đối tượng khác). 2. Một số giải pháp Đề giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là: Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong không gian, giải thích các vẽ nhằm giúp học sinh vẽ hình đẹp, để dần giải quyết các bài tập. Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình không gian như quan hệ song song của hai đường thẳng, hai mặt phẳng, đường thẳng và mặt phẳng..v..v Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra.... Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. Trong quá trình dạy học tỏi đề ra một hướng giải quyết là “Rèn luyện tư day giải toán Hình học cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian". 2.1 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề quỹ tích của một điểm Bài toán 1: Trong mặt phẳng cho hai nửa đường thẳng q và p cắt nhau tại I. Một đường thẳng  cắt cả hai đường thẳng q và p. Một đường thẳng di động song song với  và cắt hai đường thẳng q, p lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB. Nhận xét: Bài toán này có phương pháp giải khá đơn giản và được kết quả: Quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB là đường thẳng IM trong đó M là trung điểm của đoạn thẳng AB. (hình 1) 10
p A M I B q Hình 1 Bây giờ ta xét bài toán tương tự bài toán này trong không gian như sau: Bài toán 1': Trong không gian, cho hai nửa mặt phẳng (P) và (Q), có giao tuyến là đường thẳng d và một đường thẳng  cắt (P) và (Q). Một đường thẳng di động luôn song song với  cắt (P) và (Q) lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng AB. Giải Ta xét trường hợp đặc biệt khi đường thẳng di động và song song với  nằm trong mặt phẳng (R) chứa đường thẳng  và cắt đường thẳng d tại I. Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) và (Q) theo hai đường thẳng q và p. Trong mặt phẳng (R) quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là đường thẳng IM như hình vẽ 2. Cho mặt phẳng (R) di động và song song với chính nó thì đoạn thẳng IM vạch trên nửa mặt phẳng (d,M) và đó là kết quả bài toán. Tóm lại, quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng AB là nửa mặt phẳng chứa đường thẳng d và trung điểm của một đoạn thẳng PQ bất kì. PQ d I A B  M q p R Hình 2 11
2.2 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm Bài toán 2: Trong mặt phẳng, chứng minh rằng độ dài cạnh dài nhất của tam giác là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên cạnh của tam giác. Giải: A A M N B C B C H N Hình 33 Hình Hình 44 Hình Gọi M, N là hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh của tam giác ABC . Ta xét trường hợp đặc biệt: + Nếu M và N lần lượt trùng với hai điểm là hai đỉnh của tam giác ABC thì suy ra MN  max AB, BC, CA + Nếu M hoặc N trùng với một đỉnh của tam giác. Giả sử M trùng với A. - Nếu N thuộc cạnh AB hoặc AC thì hiển nhiên. - Nếu N thuộc BC: Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. Nếu N thuộc đoạn thẳng BH  MN  AB Nếu N thuộc đoạn thẳng CH  MN  AC  MN  max AB, BC, CA + Nếu M và N không trùng với đỉnh nào của tam giác. Giả sử M  AB, N  AC . Nối B với N (hình 3) Như trên suy ra MN  max AB, BN, NA  max AB, NB, CA  max AB, BC, CA. Tóm lại ta luôn có: MN  max AB, BC, CA. 12
Bây giờ ta xét bài toán tương tự bài toán này trong không gian như sau: Bài toán 2': Trong không gian, chứng minh rằng cạnh dài nhất của tứ diện là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện. Nếu bài toán này trực tiếp giải thì đây có thể nói là một bài toán khá khó đối với học sinh phổ thông. Tuy nhiên nếu ta nhìn bài toán này ở một góc độ đơn giản hơn thì ta dễ thấy có một bài toán trong hình học phẳng tương tự với bài toán này khi coi hình tứ diện trong hình học không gian tương tự với tam giác trong hình học phẳng. A M N B D P Q C Hình Hình 55 Giải Thật vậy, do M, N nằm trên tứ diện ABCD suy ra M nằm trên ít nhất một mặt của tứ diện. Giả sử M   ABC  ,N   ACD  (hình 5) Đường thẳng AM cắt BC tại Q, đường thẳng AN cắt CD tại P. Áp dụng bài toán 2, ta có: MN  max AQ, AP, PQ  max AB, BC, CA, PQ, AP  max AB, BC, CA, BD, CD, AD. Vậy ta có: MN không lớn hơn cạnh lớn nhất của tứ diện nên cạnh dài nhất của tứ diện là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì nằm trên tứ diện. (đpcm) 2.3 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề diện tích tam giác, tứ giác Bài toán 3: Trong mặt phẳng, cho góc xOy và một điểm M nằm trong góc đó;  là một đường thẳng qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B. Xác định vị trí đường thẳng  để diện tích tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất. 13
Giải: x A P M O B y Q Hình Hình66 Qua M ta kẻ lần lượt các đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại Q; song song với Oy cắt Ox tại P. (hình 6) Vì M cố định nên P và Q cố định. Do PM//Oy và QM//Ox OP BM BQ OP OQ BQ OQ OB suy ra: = =  + = + = =1 . AO AB OB OA OB OB OB OB Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 2 1=  OP OQ  OP OQ +  4 .  OA.OB  4OP.OQ  OA OB  OA OB 1 Mặt khác, SOAB = OA.OB.sinO  2.OP.OQ.sinO=4SOPQ 2 Do SOPQ không đổi nên: maxSOAB = 4SOPQ OP OQ Dấu bằng có được khi =  AB//PQ OA OB Từ đó ta có cách dựng: Qua M kẻ các đường thẳng song song với Ox và Oy, cắt Oy và Ox lần lượt tại P và Q. Qua M kẻ đường thẳng  song song với PQ thì  là đường thẳng cần dựng. Nhận xét: Qua lời giải trên ta thấy bước quan trọng nhất là kẻ thêm hình (MP//Oy và MQ//Ox) và tìm mối liên hệ giữa diện tích của tam giác OAB và 14
diện tích tam giác cố định OPQ . Khai thác phương hướng như vậy, ta giải quyết bài toán trong không gian như sau: Bài toán 3': Trong không gian, cho góc tam diện Oxyz và một điểm M nằm trong góc tam diện; (α) là một mặt phẳng qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Xác định vị trí của mặt phẳng   để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Giải Qua M kẻ lần lượt các đường thẳng song song với các tia Ox, Oy, Oz; cắt các mặt phẳng  Oyz  ,  Ozx  ,  Oxy  lần lượt tại các điểm A', B' và C' (hình 4). Do M cố định nên các điểm A', B' và C' cố định. O B' A' C A R C' z x M Q P B y Hình77 Hình Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của đường thẳng AM với OA', CM với OC', BM với OB'. Suy ra P  BC, Q  AB, R  AC. Lấy các điểm A'',B'',C'' lần lượt đối xứng với các điểm A',B',C' qua điểm M. Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A0 ,B0 ,C 0 sao cho: OA0 =MA",OB0 =MB",OC0 =MC" VOA'B'C' OA 0 .OB0 .OC 0 MA' MB' MC'  = = . . VOABC OA.OB.OC OA OB OC MA' MB' MC' PM MK MQ Mặt khác, ta có + + = + + =1 OA OB OC AP BK CQ 15
Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 3 1=  MA' MB' MC'  MA' MB' MC' + +   27 . . (*)  OA OB OC  OA OB OC Do M cố định suy ra: MA', MB', MC' không đổi Từ (*) ta có: OA.OB.OC  27.MA'.MB'.MC' Suy ra: VOABC  VOA'B'C' MA' MB' MC' MR MP MQ 1  MinVOABC =27VOA'B'C'  = =  = = = OA OB OC AR BP CQ 3  M là trọng tâm tam giác ABC. Từ đây ta có cách dựng hình của bài toán: Gọi  là đường thẳng qua M và song song với Ox cắt mặt phẳng (Oyz) tại A'. Gọi (α) là mặt phẳng chứa Ox và M cắt mặt phẳng (Oyz) theo đường thẳng  '  A   '. 3 Trên  ' lấy điểm P sao cho A' nằm giữa O và R thõa mãn: OP = OA' 2 Đường thẳng MR cắt Ox tại A. Dựng các điểm B, C tương tự với điểm A. Theo chứng minh thì ta dựng được mặt phẳng  α  qua M cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại A, B, C để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị lớn nhất. Theo cách dựng thì mặt phẳng  α  là duy nhất. (đpcm) 2.4 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề tiếp tuyến Bài toán 4: Trong mặt phẳng, tìm những điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với một đường tròn cho trước và vuông góc với nhau. Nhận xét: Đây là một bài toán rất đơn giản và dễ dàng ta có kết quả: Quỹ tích những điểm thỏa mãn bài toán là một đường tròn đồng tâm với đường tròn đã cho và có bán kính là 2R .( với R là bán kính đường tròn đã cho). Với kết quả như vậy ta có thể dự đoán kết quả của bài toán sau: Bài toán 4': Trong không gian, tìm quỹ tích những điểm từ đó có thể dựng đến một mặt cầu cho trước ba tiếp tuyến đôi một vuông góc nhau. Dự đoán: quỹ tích là một mặt cầu đồng tâm với mặt cầu đã cho. 16
Để chứng minh dự đoán này ta phải chứng minh nếu M là một điểm thuộc quỹ tích thì OM luôn không đổi (O là tâm mặt cầu đã cho). Giải Gọi M là một điểm thuộc quỹ tích bài toán; MA,MB,MC là ba tiếp tuyến từ M đến mặt cầu cho trước (O;R) . (hình 5) Ta có: MA=MB=MC và MA  MB, MB  MC, MC  MA Do đó tam giác ABC là tam giác đều và đường vuông góc AI hạ từ A xuống MO cũng là đường cao của ABC . Đặt: MA=a ; OA=R ta có: AB2 =MA 2 +MB2 =2a 2  AB=BC=CA=a 2 2 3 1 2  BI= . AB = AB = a . 3 2 3 3 Mặt khác trong tam giác vuông BMO ta có: BM.BO=BI.BO BM.BO a.R. 3 R 6  MO= = = BI a. 2 2  R 6 Vậy điểm M thuộc quỹ tích thì nó phải nằm trên mặt cầu  O; .  2  Trong các bài toán toán trên ta đã vận dụng sụ tương tự từ lời giải một bài toán trong hình học phẳng để tìm ra lời giải của bài toán trong hình học không gian. Tuy nhiên có những bài toán tương tự như nhau nhưng lời, phương pháp giải lại hoàn toàn khác nhau, có thể trong hình học phẳng thì lại đơn giản nhưng khi chuyển sang hình học không gian thì rất khó. Chính vì lẽ đó mà vận dụng sự tương tự giữa hình học phẳng và hình học không gian để giải các bài toán trong hình học không gian chỉ là cung cấp thêm một phương pháp suy nghĩ, một phương pháp giải toán áp dụng cho một số bài toán hình học không gian. Nếu như trong giải toán hình học không gian nhờ vào tương tự giữa nó với một bài toán tương tự trong hình học phẳng đòi hỏi học sinh có một kiến thức vững vàng về hình học phẳng, có trí tưởng tượng hình học không gian tốt thì quá trình suy nghĩ từ một bài toán hình học phẳng rồi đề xuất một bài toán tương tự trong hình học không gian sau đó tìm cách giải quyết bài toán mới đó 17
đòi hỏi ở học sinh ngoài những kiến thức cần thiết như trên mà còn cần ở các em có khả năng nhìn nhận vấn đề dưới từng góc độ và nhiều phương diện khác nhau. Muốn thực hiện được điều đo trước tiên phải nắm được và hiểu được các yếu tố, mối quan hệ tương tự có tính chất cơ bản giữa hình học phẳng và hình học không gian. Sau đó là sử dụng các kiến thức hình học không gian hoặc áp dụng tính chất tương tự trong lời giải của bài toán hình học phẳng để giải bài toán đặt ra, nhiều khi bài toán đặt ra lại rất khó. Trong điều kiện giảng dạy nếu người thầy giáo khai thác được các vấn đề đó là đã tạo điều kiện thuận lợi cho sự phát triển năng lực trí tuệ đặc biệt là năng lực tương tự hóa của học sinh trong khi học hình học không gian. 2.5 Góp phần rèn luyện kĩ năng học chủ đề trọng tâm tam giác, tứ giác Bài toán 5: Trong mặt phẳng, ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại 1 một điểm và điểm đó các chân mỗi đường trung tuyến bằng chiều dài của 3 đường trung tuyến đó. Giao điểm ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm tam giác. Đây là bài toán cơ bản trong hình học phẳng, bây giờ ta khai thác yếu tố "đường trung tuyến". Nhận xét: Nếu ta nhìn đường trung tuyến dưới góc độ: Đường trung tuyến là đường nối đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện thì ta có khái niệm đường trọng tuyến trong tứ diện là đường nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó ta có bài toán tương tự: Bài toán 5': Trong không gian, bốn đường trọng tuyến trong một hình tứ diện 1 đồng quy tại một điểm, điểm đó các chân mỗi đường bằng độ dài mỗi đường. 4 Giao điểm của bốn đường trọng tuyến trong tứ diện gọi là trọng tâm của tứ diện. Ta lại xem yếu tố "đường trung tuyến" của tam giác dưới góc độ tương tự với mặt "trung tuyến" của tứ diện (mặt trung tuyến của tứ diện là mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua trung điểm cạnh đối diện của tứ diện). Khi đó ta có một bài toán tương tự với bài toán 5 như sau: 18