Một số phương pháp tính tổng

Chia sẻ: Ba Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp tính tổng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số phương pháp tính tổng

mét sè ph-¬ng ph¸p tÝnh tæng I. Ph-¬ng ph¸p dù ®o¸n vµ quy n¹p : Trong mét sè tr-êng hîp khi gÆp bµi to¸n tÝnh tæng h÷u h¹n Sn = a1 + a2 + .... an (1) B»ng c¸ch nµo ®ã ta biÕt ®-îc kÕt qu¶ (dù ®o¸n , hoÆc bµi to¸n chøng minh khi ®· cho biÕt kÕt qu¶). Th× ta nªn sö dông ph-¬ng ph¸p nµy vµ hÇu nh- thÕ nµo còng chøng minh ®-îc . VÝ dô 1 : TÝnh tæng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = 1 S2 = 1 + 3 =22 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 ... ... ... 2 Ta dù ®o¸n Sn = n Víi n = 1;2;3 ta thÊy kÕt qu¶ ®óng gi¶ sö víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2) ta cÇn ph¶i chøng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) ThËt vËy céng 2 vÕ cña ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) 2 theo nguyªn lý quy n¹p bµi to¸n ®-îc chøng minh vËy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 T-¬ng tù ta cã thÓ chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau ®©y b»ng ph-¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc . n (n 1) 1, 1 + 2+3 + .... + n = 2 n(n 1)(2n 1) 2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 6 2 3 3 3 n(n 1) 3, 1 +2 + ..... + n = 2 1 4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 12 II. Ph-¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : Gi¶ sö ta cÇn tÝnh tæng (1) mµ ta cã thÓ biÓu diÔn a i , i = 1,2,3...,n , qua hiÖu hai sè h¹ng liªn tiÕp cña 1 d·y sè kh¸c , chÝnh x¸c h¬n , gi¶ sö : a 1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 .... .... ..... an = bn – bn+ 1 khi ®ã ta cã ngay : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 VÝ dô 2 : tÝnh tæng : 1 1 1 1 S= ....... 10.11 11.12 12.13 99.100 Trang 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã : , , 10.11 10 11 11.12 11 12 99.100 99 100 Do ®ã : 1 1 1 1 1 1 1 1 9 S= ....... 10 11 11 12 99 100 10 100 100 D¹ng tæng qu¸t 1 1 1 Sn = ...... (n> 1) 1.2 2.3 n(n 1) 1 n = 1- n 1 n 1 VÝ dô 3 : tÝnh tæng 1 1 1 1 Sn = ...... 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cã Sn = ........ 2 1.2 2.3 2 2.3 3.4 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 Sn = ...... 2 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 n(n 3) Sn = 2 1.2 (n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) VÝ dô 4 : tÝnh tæng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = 3 ! -2! 3.3! = 4! -3! ..... ..... ..... n.n! = (n + 1) – n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1 VÝ dô 5 : tÝnh tæng 3 5 2n 1 Sn = ....... (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1) 2 2i 1 1 1 Ta cã : 2 ; i = 1 ; 2 ; 3; ....; n i(i 1) i2 (i 1) 2 1 1 1 1 1 Do ®ã Sn = ( 1- 2 ) ..... 2 22 32 n2 (n 1)2 1 n(n 2) = 1- 2 (n 1) (n 1)2 III. Ph-¬ng ph¸p gi¶i ph-¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh: VÝ dô 6 : TÝnh tæng S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh- sau : Trang 2
S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 ) S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) Tõ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101  S = 2101-1 VÝ dô 7 : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn d-íi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 ) Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n – p n )  Sn = 1+p ( Sn – pn )  Sn = 1 +p.Sn – p n+1  Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 Pn 1 1  Sn = p 1 VÝ dô 8 : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 = 2p – p +3p 2 – p2 + 4p3– p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn – pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1 Pn 1 1 p.Sn=Sn- (n 1) P n 1 ( theo VD 7 ) P 1 pn 1 1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - P 1 (n 1) P n 1 p n 1 1  Sn = p 1 ( P 1)2 IV. Ph-¬ng ph¸p tÝnh qua c¸c tæng ®· biÕt n C¸c kÝ hiÖu : ai a1 a2 a3 ...... an i 1 C¸c tÝnh chÊt : n n n 1, ( ai bi ) ai bi i 1 i 1 i 1 n n 2, a.ai a ai i 1 i 1 VÝ dô 9 : TÝnh tæng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) n n n n Ta cã : Sn = i(i 1) (i 2 i) i2 i i 1 i 1 i 1 i 1 V× : Trang 3
n n(n 1) i 1 2 3 .... n i 1 2 n (Theo I ) n(n 1)(2n 1) 2 i i 1 6 n(n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)(n 2) cho nªn : Sn = 2 6 3 VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) n n ta cã : Sn = i(3i 1) (3i 2 i) i 1 i 1 n n = 3 i2 i i 1 i 1 Theo (I) ta cã : 3n(n 1)(2n 1) n(n 1) Sn = n 2 (n 1) 6 2 VÝ dô 11 . TÝnh tæng Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] – [23+43 +63 +....+(2n)3] = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) (2n 1) 2 (2n 2) 2 8n 2 (n 1) 2 Sn = ( theo (I) – 3 ) 4 4 =( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V. VËn dông trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña d·y sè c¸ch ®Òu ( Häc sinh líp 6 ) C¬ së lý thuyÕt : + ®Ó ®Õm sè h¹ng cña 1 d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp cña d·y c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè ®Çu 0 : ( kho¶ng c¸ch ) + 1 + §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè ®¬n vÞ , ta dïng c«ng thøc: Tæng = ( sè ®Çu – sè cuèi ) .( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dô 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 +.... + 132 Sè sè h¹ng cña A lµ : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cña B lµ ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 VI. V©n dông 1 sè c«ng thøc chøng minh ®-îc vµo lµm to¸n VÝ dô 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tæng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch 1 : VT = k(k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) Trang 4
= k( k+1) (k 2) (k 1) = k (k+1) .3 = 3k(k+1) (k 2) (k 1) C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1). 3 k (k 1)(k 2) k (k 1)(k 1) = * 3 3  3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 1.2.3 0.1.2 => 1.2 = 3 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 3 ................................... n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) n(n 1) 3 3 1.2.0 ( n 2) n( n 1) ( n 1)n(n 2) S= 3 3 3 VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1) = k( k+1) ( k +2 ) .4 k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2) Rót ra : k(k+1) (k+2) = 4 4 1.2.3.4 0.1.2.3 ¸p dông : 1.2.3 = 4 4 2.3.4.5 1.2.3.4 2.3.4 = 4 4 .......................................................... n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) n(n+1) (n+2) = 4 4 n ( n 1)( n 2)( n 3) Céng vÕ víi vÕ ta ®-îc S = 4 * Bµi tËp ®Ò nghÞ : TÝnh c¸c tæng sau 1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 +.....+ 26.2 + 2 6 3 b, S = 5 + 52 + 53 + ..... + 5 99 + 5100 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 1 1 1 1 5, S = ........ 1.2 2.3 3.4 99.100 4 4 4 6, S = .... 5 .7 7 .9 59.61 Trang 5
5 5 5 5 7, A = ...... 11.16 16.21 21.26 61.66 1 1 1 1 8, M = 0 1 2 ..... 2005 3 3 3 3 1 1 1 9, Sn = ..... 1.2.3. 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2 2 2 10, Sn = ..... 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 1 11, Sn = ...... 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) 12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 50 ch÷ sè 9 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong qu¸ tr×nh båi d-ìng häc sinh giái , t«i ®· kÕt hîp c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn d¹ng tÝnh tæng ®Ó rÌn luyÖn cho c¸c em , ch¼ng h¹n d¹ng to¸n t×m x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 1 1 1 2 1989 c, 1 + ...... 1 3 6 10 x( x 1) 1991 Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 lµ luü thõa cña 2 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60  3 ; 7; 15 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 31991  13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 +1  5 Trang 6