Một số sai lầm và giải pháp vận dụng “mệnh đề - tập hợp” để giải toán đại số 10

MỘT SỐ SAI LẦM VÀ GIẢI PHÁP VẬN DỤNG<br /> “MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP” ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 10<br /> <br /> Cao Hữu Hòa<br /> Trường Đại học Trà Vinh<br /> <br /> <br /> Tóm tắt<br /> Bài viết được đề cập đến việc nghiên cứu sử dụng “mệnh đề - tập hợp” của toán học.<br /> Phân tích sai lầm và đưa ra các giải pháp thích hợp để giải quyết bài toán Đại số lớp 10 thông<br /> qua phân tích các ví dụ.<br /> Từ khóa: Sai lầm, giải pháp, mệnh đề, tập hợp, ví dụ toán học.<br /> Abstract<br /> The paper is devoted to the study using "proposition - set" of mathematic. Analyze<br /> mistakes and make appropriate solutions to solve problems Algebra class 10 through the<br /> analysis of examples.<br /> Key words: Mistakes, solutions, proposition, set, examples of Mathematic.<br /> <br /> 1. Đặt vấn đề<br /> Khi trình bày lời giải bài toán, chứng minh một định lí hoặc phát biểu một<br /> mệnh đề toán học, chúng ta thường tỏ ra lúng túng, khó khăn khi sử dụng các thuật<br /> ngữ, kí hiệu và các suy luận toán học, hoặc trình bày vấn đề không có hệ thống,<br /> không hợp logic, thậm chí còn dùng sai kí hiệu và cũng không loại trừ những<br /> trường hợp còn lạm dụng kí hiệu như từ viết tắt trong một câu văn. Chẳng hạn, “từ<br /> đó  phương trình vô nghiệm”, “không  giá trị nào của tham số”…, “bất đẳng<br /> thức xảy ra với x ”,…những lỗi này thường gặp trong các bài kiểm tra của HS,<br /> sách tham khảo thậm chí còn gặp ở các sách giáo khoa.<br /> Lịch sử toán học còn ghi lại những kí hiệu cho toán, lúc đầu do một nhà toán<br /> học đề xuất. Song do tính khoa học cao, sự tiện ích và tính thẩm mỹ với đầy đủ ý<br /> nghĩa của nó mà các kí hiệu ấy được nhiều người tin dùng, cải tiến và dần trở nên<br /> thông dụng quốc tế. Chẳng hạn, các kí hiệu dy dx và  f (x )dx trong lĩnh vực phép<br /> tính vi phân, tích phân do G.W. Leibniz, nhà toán học Đức (1646-1716) đề xuất.<br /> Như thế, các kí hiệu toán học mà chúng ta sử dụng ngày nay là những sản phẩm trí<br /> tuệ sáng tạo của con người. Việc sử dụng chúng chính xác không những thể hiện<br /> sự nghiêm túc khoa học mà còn thể hiện thái độ trân trọng đối với những sản phẩm<br /> văn hóa khác của loài người. Do đó, khám phá những sai lầm trên và đưa ra những<br /> giải pháp trong việc vận dụng “mệnh đề - tập hợp” để giải toán là một vấn đề cấp<br /> thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn.<br /> 2. Phương pháp nghiên cứu<br /> Kết quả được thu thập qua các cuộc khảo sát HS, SV năm học 2017-2018<br /> của bộ môn Toán ứng dụng tại Trường Đại học Trà Vinh kết hợp với nguồn tư liệu<br /> mà tác giả thu thập từ các sách giáo khoa, sách tham khảo 1.- 6.<br /> 3. Kết quả nghiên cứu<br /> 3.1. Mệnh đề<br /> <br /> 1<br />  Là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa. Thuộc<br /> tính cơ bản của nó là “giá trị chân lí”. Trong logic toán, người ta qui định “Mỗi<br /> một mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1”. Như vậy, một mệnh<br /> đề phải hoặc đúng (biểu thị 1) hoặc sai (biểu thị 0) (luật bài trung). Một mệnh đề<br /> không thể vừa đúng, vừa sai (luật phi mâu thuẫn).<br /> 3.2. Tập hợp<br /> Là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa. Ở sách<br /> giáo khoa khái niệm này khá trực quan được trình bày ngắn gọn đối với HS, chủ<br /> yếu để làm phương tiện ôn tập và hệ thống lại các kiến thức.<br /> Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Đại số 10 (sách chỉnh lí hợp nhất 2000), NXB<br /> Giáo dục, Hà Nội, 2004, cho thấy giữa chương “mệnh đề - tập hợp”, chương<br /> “phương trình, hệ phương trình” và chương “bất phương trình” có mối quan hệ<br /> mật thiết với nhau. Do đó, ở bài viết này, ta đi khám phá những sai lầm khi vận<br /> dụng “mệnh đề - tập hợp” để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình<br /> đại số.<br /> 3.3. Thực trạng những sai lầm cần được khai thác<br /> 3.3.1. Sai lầm do hiểu không đầy đủ bản chất hệ thống kí hiệu toán học và<br /> các suy luận toán học<br /> Trong logic toán, nếu P, Q là hai mệnh đề thì kí hiệu “ P  Q ” dùng để chỉ<br /> mệnh đề “Nếu P thì Q” hoặc “Vì P nên Q” hoặc “Từ P suy ra Q”,…Do đó, viết<br /> “Nếu P  Q ” rõ ràng thừa từ “Nếu”. Chẳng hạn, trang 130, Bài tập Đại số 10<br /> (1998) tác giả Ngô Thúc Lanh, Vũ Tuấn, Trần Anh Bảo có viết “Nếu m  6/ 7 ,<br /> x1  2/7; x 2  4/7 ” (không có từ “thì” nhưng từ “Nếu” lại được sử dụng). Hay<br /> trang 19, Bài tập Đại số 10 (1998) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn<br /> Liên Hải có viết “Nếu B  0  y  -(A / B)x - (C / B)  ax  b ”,…<br /> Khi P, Q là hai phương trình hay bất phương trình (mệnh đề chứa biến), kí<br /> hiệu “P  Q” còn để chỉ phương trình Q là phương trình hệ quả của phương trình P<br /> (tập nghiệm của Q chứa tập nghiệm của P). Muốn nói hai phương trình P, Q tương<br /> đương, ta viết “P  Q” (hai phương trình có cùng tập nghiệm). Bởi vậy, trong quá<br /> trình biến đổi một phương trình (bất phương trình), có một bước nào đó ta sử dụng<br /> kí hiệu “  ” thì phương trình sau là phương trình hệ quả của phương trình trước<br /> và lời giải chưa kết thúc. Tuy nhiên, nhiều tác giả sách chưa chú ý. Chẳng hạn,<br /> trang 125, Đại số 10 (1998) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn Liên<br /> Hải có viết “ x 2  3x  2  x 2  3x  2  0  x  3/2 ”. Trang 148, sách Đại số<br /> và Giải tích 11 (1997) tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng có viết<br /> “ cos(x /2)  0  x /2   /2  k  x    k 2 ”,...,các kí hiệu “  ” phải<br /> là kí hiệu “  ”.<br /> 3.3.2. Sai lầm do lạm dụng kí hiệu "  ", "  ", "[", "{" , “//”, “  ” tùy ý,<br /> thiếu chính xác giữa các bước biến đổi, thậm chí còn dùng sai hoàn toàn<br /> Đứng ngay sau kí hiệu “  ”, “  ” không phải là một mệnh đề toán học.<br /> Ví dụ, trang 67, Bài tập Đại số 10 tác giả Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng,<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  7 - 3a  0<br />  2<br /> Hàn Liên Hải, viết “ a - 5  0  không có”. Dùng kí hiệu “  ” không đúng<br /> <br /> 3 - a  0<br /> chỗ. Trang 45, các bài giảng luyện thi môn Toán (1997) tác giả Lê Thống Nhất,<br /> Đào Tam, có viết “Do (1) và (2) tương đương  (2) cũng có nghiệm x 1, x 2 ”.<br /> Trang 157, Toán nâng cao Đại số và Giải tích 11 (1998) tác giả Nguyễn<br /> Tiến Quang, có viết “ 2  7 2   3  7 2   1  0  3t2  2t  1  0 , với<br /> x 2x<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> x<br /> t  7 2  t  1/ 3 hoặc t  1 (loại)”. Như vậy, bất phương trình theo ẩn x<br /> không thể tương đương với bất phương trình theo ẩn t .<br /> Trang 211, các bài giảng luyện thi môn Toán (1997) tác giả Lê Thống Nhất,<br /> Đào Tam có viết “ f  t   cos t  1  0 với t ”, ở đây thừa từ “với”. Trang 121,<br /> tác giả có viết “vì IC1 (BC1D) nên MN // (BDC1), đã dùng sai kí hiệu “ ”, đúng<br /> ra là kí hiệu “  ”.<br /> Một số cách viết sau đây cũng không thể chấp nhận được mặc dù người đọc<br /> vẫn hiểu đúng ý định người viết “Hai đường thẳng a và b là // với nhau”; “Đường<br /> thẳng a là  với mặt phẳng (P)”. Các kí hiệu: //,  đã bị lạm dụng để thay thế cho<br /> các từ “song song”, “vuông góc”. Các lỗi kiểu như thế trong các bài kiểm tra, bài<br /> thi của HS rất nhiều và một số sách tham khảo cũng có. Sự chủ quan vô tình này<br /> làm mất đi tính giá trị cũng như tính thẩm mỹ của các kí hiệu toán học.<br /> 3.3.3. Sai lầm trong sử dụng từ để viết kết luận nghiệm bài toán<br /> Ví dụ, giải phương trình x 2  3x  2  0  x  1x  2   0  x  1  x  2 ,<br /> HS thường ghi kết luận “Vậy phương trình có nghiệm là x  1 và x  2 (cũng có<br /> trường hợp kết luận: Vậy phương trình có nghiệm là x  1  x  2 )”.<br /> Kết luận trên không chính xác, thiếu logic, đúng ra là dùng từ “hoặc” (liệt kê<br /> các phần tử của tập nghiệm) thay từ “và” hay thay cho kí hiệu “  ” thì hợp lí hơn.<br /> Nói chung, chương “mệnh đề - tập hợp” là cơ sở, nền tảng cho việc học tập<br /> các chương tiếp theo cũng như vận dụng suy luận toán học. Cho nên, ta phải khai<br /> thác càng sâu càng tốt những sai lầm mắc phải để giảng dạy sao cho hiệu quả.<br /> 3.4. Những khó khăn và hướng khắc phục<br /> 3.4.1. Với chương “Phương trình, hệ phương trình” và “Bất phương trình”<br /> Khi học các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, kéo theo, tương<br /> đương), HS thường khó phân biệt giữa điều kiện cần và điều kiện đủ, khó khăn khi<br /> chứng minh bằng phản chứng, nhầm lẫn trong cách viết tập hợp, tìm hợp, giao,<br /> hiệu các tập hợp (giữa các khoảng, đoạn). Nói chung, HS không hiểu rõ ý nghĩa<br /> của các kí hiệu "  ", "  ", "", "", "  ", " ", ..., và chưa quen sử dụng.<br /> Khắc phục vấn đề này bằng cách phân tích các ví dụ cụ thể giúp HS hiểu rõ<br /> bản chất vấn đề và tránh sai sót.<br /> Ví dụ: Câu 1: Giải phương trình x  3 x 2  3x  2   0<br /> 2m  1<br /> Câu 2: Giải và biện luận phương trình  m2<br /> x 2<br /> (Bài tập 3c trang 71 và Bài tập 26d trang 85 SGK Đại số 10).<br /> 3<br /> Phân tích câu 1:<br /> Kết quả trong số các bài giải sai bao gồm:<br /> Thiếu điều kiện x - 3  0 .<br /> <br />  x -3  0<br /> Biến đổi x  3 x  3x  2  0   2<br /> 2<br /> (dùng kí hiệu“{ thay vì [”).<br />  x - 3x  2  0<br /> <br /> Kết luận nghiệm không kết hợp với điều kiện của phương trình.<br /> Dùng sai, lạm dụng các kí hiệu "", " ", "[", "{" .<br /> Minh họa bài giải của HS<br /> x  3  0<br /> x  3 x  3x  2   0<br /> 2 (1)<br />  2 2 <br /> <br /> x  3x  2  0<br /> x 1  3<br /> <br />  x 2  1  3  phương trình có nghiệm là x1  3 hoặc x 2  1 hoặc x 3  2 .<br /> <br /> x 3  2<br /> Phân tích bài giải minh họa<br /> Thiếu điều kiện ( x - 3  0  x  3 ), nên nhận cả x 2  1 và x 3  2 là nghiệm.<br /> Từ (1) sang (2) là không tương đương do chưa có điều kiện x  3 (vì hai<br /> phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Và khi nói chúng tương<br /> đương thì phải chỉ rõ chúng tương đương trên tập xác định nào. Cụ thể, tập xác<br /> định của (1) là 3;   , còn (2) hợp của hai phương trình và đều xác định R. Do<br /> đó, (1) không tương đương (2). Đúng ra là (1)  (2), sau khi tìm được các nghiệm<br /> của phương trình hệ quả (2) thì phải thử lại phương trình (1) để nhận nghiệm.<br /> Nếu kết luận phương trình có ba nghiệm thì x 2  1 hoặc x 3  2 làm cho<br /> x  3 không có nghĩa. Do đó, x 2  1 và x 3  2 là hai nghiệm ngoại lai.<br /> Nguyên nhân sai: do tính chất trong tập số thực: a.b  0  a  0 hoặc b  0 .<br /> Trong phần kết luận bài toán, HS đã lạm dụng kí hiệu “  ”.<br /> Hướng dẫn giải:<br /> Ta có:<br />  x 3  0 x  3<br />  <br /> x  3 x 2  3x  2   0   x  3  0   x  3  x  3.<br />  2  x  1  x  2<br />  x  3x  2  0  <br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  3 .<br /> Phân tích câu 2: Bài toán đưa về giải và biện luận phương trình dạng: ax  b<br /> Kết quả trong số các bài giải sai bao gồm:<br /> Không xét hết các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a .<br /> Đa số đều có đặt điều kiện x  2 nhưng khi giải tìm được các giá trị của x<br /> thì không kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm.<br /> Nhiều HS còn sai sót trong suy luận.<br /> Minh họa bài giải của HS<br /> <br /> 4<br /> Bài giải 1: Điều kiện: x  2 ,<br /> 2m  1<br /> Phương trình  m  2 (*)  2m  1  (x  2)(m  2)<br /> x 2<br />   m  2  x  4m - 5  (*) có nghiệm x   4m  5  / m - 2  .<br /> Bài giải 2: Với x  2 , (*)  2m  1  (x  2)(m  2)   m  2  x  4m - 5<br /> Nếu m -2  0  m  2  0.x  3 phương trình (*) vô nghiệm.<br /> Nếu m -2  0  m  2  phương trình (*) có nghiệm x   4m  5  / m - 2 <br /> Vậy  m  2 : (*) vô nghiệm; m  2 : (*) có nghiệm là x   4m  5  /  m - 2 <br /> Phân tích bài giải minh họa<br /> Ở bài giải 1, không xét các trường hợp xảy ra của m  2 dẫn đến việc chia<br /> hai vế phương trình cho một biểu thức mà biểu thức này có thể bằng 0. Ngoài ra,<br /> bài giải này còn một sai sót đặc biệt là không kết hợp với điều kiện x  2 để xem<br /> với giá trị nào của tham số m thì x   4m  5  /  m - 2  là nghiệm của phương<br /> trình, ở bài giải này còn lạm dụng kí hiệu “  ” trong kết luận và còn thiếu phần<br /> kết luận của một bài toán “giải và biện luận”.<br /> Ở bài giải 2, cũng mắc sai sót là không kết hợp với điều kiện x  2 để xem<br /> với giá trị nào của tham số m thì x   4m  5  /  m - 2  là nghiệm. Ngoài ra, trong<br /> lời giải có nhiều sai lầm trong suy luận, không hợp logic, lạm dụng kí hiệu “  ”.<br /> Chẳng hạn, “Nếu m -2  0  m  2  0.x  3 ”; “Nếu m-2  0  m  2<br />  x   4m  5  /  m - 2  ”. Khi giảng dạy, giáo viên cần chỉ ra những sai lầm này<br /> và trình bày lời giải đúng, chính xác, suy luận chặt chẽ hơn.<br /> Hướng dẫn giải: Điều kiện: x  2 , với điều kiện đó,<br /> 2m  1<br />  m  2 1  2m  1  (x  2)(m  2)   m  2  x  4m - 5 2<br /> x 2<br /> + Nếu m  2 thì m -2  0 , nên (2)  0x  3 , phương trình vô nghiệm.<br /> + Nếu m  2 thì m -2  0 nên (2)  x   4m  5  /  m - 2  .<br /> 4m  5 4m  5 1<br /> Ngoài điều kiện m  2 để x  là nghiệm thì  2 hay m  .<br /> m2 m2 2<br /> Kết luận: Nếu m  2 hoặc m=1/2 thì phương trình vô nghiệm.<br /> Nếu m  2 và m  1/2 thì phương trình có nghiệm x   4m  5  / m - 2  .<br /> 3.4.2. Đối với các phương trình, bất phương trình chứa ẩn số ở mẫu, hay<br /> chứa ẩn số trong dấu căn bậc hai nói riêng (căn chẵn nói chung)<br /> Ta thường quên đặt điều kiện xác định mà đi trực tiếp vào biến đổi, trong<br /> khi các biến đổi đó là không tương đương, do chưa nắm kỹ khái niệm hai phương<br /> trình tương đương. Khắc phục: nhắc lại “Hai phương trình tương đương khi hai tập<br /> nghiệm của chúng trùng nhau” và nhấn mạnh “Chúng tương đương với nhau trên<br /> tập xác định D” hay khi ta thay tập D bởi điều kiện D “Với điều kiện D, hai<br /> phương trình tương đương với nhau”. Tuy nhiên, cũng có trường hợp có đặt điều<br /> kiện nhưng khi kết luận nghiệm thì quên, hoặc thậm chí bỏ quên luôn điều kiện.<br /> 3 5<br /> Ví dụ: Giải bất phương trình  (Bài tập 34b trang 126 Đại số 10).<br /> 1  x 2x  1<br /> Kết quả trong số bài giải sai bao gồm:<br /> 5<br />  Không xét điều kiện 1  x  0 và 2x  1  0 ; Thực hiện qui đồng bỏ mẫu.<br /> Lạm dụng, dùng sai các kí hiệu "", " ", "[" .<br /> Minh họa bài giải của HS<br /> Bài giải 1:<br /> 1  x  0 x  1<br />   x  1<br /> 3 5 1 2   1  3 <br />   2x  1  0  x    2<br /> 1  x 2x  1   2 x <br /> 3  2x  1  5 1  x  11x  2  0 11<br /> <br />  x  2/11 và x  1 là nghiệm của bất phương trình đã cho.<br /> 3 5 1<br /> Bài giải 2: <br /> 1  x 2x  1<br /> 1  x  0  2x  1  0 1  x  0  2x  1  0<br />  <br />   3  2x  1  5 1  x   11x  2<br />  1  x   2x  1  0  1  x   2x  1  0<br />  <br /> 1 2<br />  x   hay  x  1<br /> 2 11<br /> Phân tích bài giải minh họa<br /> Ở bài giải 1, từ (1) sang (2) không tương đương, vì người giải qui đồng bỏ<br /> mẫu số trong khi chưa biết dấu của 1  x và 2x  1. Hơn nữa, trong kết luận đã lạm<br /> dụng kí hiệu “  ”.<br /> Ở bài giải 2, sai trong kết luận các khoảng nghiệm của bất phương trình tại<br /> các đầu mút. Và kết luận nghiệm thông thường là dùng tập hợp. Chẳng hạn, tập<br />  <br /> nghiệm của bất phương trình đã cho là ;  1 2  2 11;1 . <br /> 1  x  0  x 1<br />  <br /> Hướng dẫn giải: Điều kiện:  <br /> <br /> <br /> 2x  1  0  x   12<br /> <br /> 3 5 3 2x  1  5 1  x  11x  2<br /> Khi đó   0  0 (i )<br /> 1  x 2x  1 1  x  2x  1 1  x  2x  1<br /> Ta có bảng xét dấu vế trái của bất phương trình (i )<br /> <br /> x  -1/2 2/11 1 <br /> 11x - 2 - - 0 + +<br /> 1x + + + 0 -<br /> 2x  1 - 0 + + +<br /> 11x  2<br /> 1  x  2x  1 + - 0 + -<br /> <br /> <br />  <br /> Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;  1 2  2 11;1 . <br /> <br /> 6<br />  3. Kết luận<br /> Bài viết giúp chúng ta thấy việc vận dụng “ mệnh đề - tập hợp” để phát triển<br /> vốn thuật ngữ và kí hiệu toán học, hiểu rõ các phép toán logic, biết sử dụng chúng<br /> một cách chính xác, trình bày lời giải bài toán một cách mạch lạc, hợp logic. Các<br /> kí hiệu này không chỉ giúp ta diễn đạt các mệnh đề toán học một cách gọn gàng mà<br /> chúng còn mang tính khoa học, tính lịch sử và tính thẩm mỹ với đầy đủ ý nghĩa<br /> của nó. Họ hàng các kí hiệu toán thật vô cùng phong phú. Có những kí hiệu chỉ<br /> dùng trong phạm vi một bài viết do chính tác giả định nghĩa. Có những kí hiệu chỉ<br /> dùng trong phạm vi một quốc gia và có nhiều kí hiệu được sử dụng gần như thống<br /> nhất trên toàn thế giới.<br /> Các kí hiệu toán học mà chúng ta sử dụng ngày nay là những sản phẩm trí<br /> tuệ sáng tạo của con người, chúng cũng là những sản phẩm văn hóa. Tuy chưa có<br /> một qui định cụ thể nào về cách sử dụng các kí hiệu nhưng mỗi kí hiệu đều được<br /> toán học định nghĩa và nói rõ cách sử dụng. Định nghĩa và cách sử dụng ấy phải<br /> được tôn trọng. Đồng thời nó cũng là cơ sở, nền tảng cho việc học tập các kiến<br /> thức toán học chương trình toán phổ thông nói riêng và nghiên cứu toán nói chung.<br /> ______________<br /> Tài liệu tham khảo<br /> 1. Phan Hữu Chân, Trần Lâm Hách, Nhập môn lí thuyết tập hợp và logic, NXB Giáo dục, Hà<br /> Nội, 1997.<br /> 2. Hoàng Chúng, Những vấn đề logic trong môn Toán ở trường trung học cơ sở, NXB Giáo dục,<br /> Hà Nội, 1997.<br /> 3. Trần Văn Hạo, Cam Duy Lễ, Đại số 10 (sách chỉnh lí hợp nhất 2000), NXB Giáo dục, Hà<br /> Nội, 2004.<br /> 4. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng<br /> Thắng, Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao (sách giáo viên), NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006.<br /> 5. Robert.J.Marzano: A different kind of classroom - Teaching with dimension of learning,<br /> ASCD, USA, 1992.<br /> 6. Website: http//Learning.com.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br />