1
Häc viÖn c«ng nghÖ bu chÝnh
viÔn th«ng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
NGÂN HÀNG ĐỀ THI MÔN TOÁN CAO CẤP 1
( DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QTKD )
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 4 CÂU ( một câu loại 1, một câu loại 2, một câu loại 3 và một câu loại 4)
A. CÂU HỎI LOẠI 1 ĐIỂM
1. Tính đạo hàm của hàm số:
2
ln( 1 )
y x x
.
2. Tính đạo hàm của hàm số: xey xsinln.
3. Tính đạo hàm của hàm số:
2 arctg
x
y x e.
4. Tính đạo hàm của hàm số: sin
cos sin
x
y
x x x
.
5. Tính đạo hàm tại x = 0 của hàm số
41
sin khi 0
( )
x x
f x x
x
.
6. Tính vi phân của hàm số:
2
( ) arcsin
a
f x x
x
, a là hằng số.
7. Tính vi phân của hàm số: 2 2 3
( ) 2
x
y a x .
8. Tính dy và d 2y biết
x
x
yln
.
9.Tính tích phân
I
2
1
x
x
e
dx
e
.
10. Tính tích phân
arctg( 1)
I x dx
.
11. Tính tích phân
dx
x
x
I2
sin
2sin1 .
12. Tính tích phân 3x
I x dx
.
2
13. Tính tích phân 3
1
dx
I
x
.
14. Tính tích phân
2
9
dx
I
x
.
15. Tính tích phân
2
4
dx
I
x x
.
B. CÂU HỎI LOẠI 2 ĐIỂM
1. Tính giới hạn sau 1
ln
lim
1
x
x
x
.
2. Tính giới hạn sau 3
0
tg
lim
x
x x
x
.
3. Tính giới hạn sau 4
0
1 1
lim 4
1
x
xxe
.
4. Tính giới hạn sau
1
4
0
lim
x
x
xx e .
5. Tính giới hạn sau
ln
0
lim 1
x
xx
.
6. Chứng minh rằng
arcsin
x
và
ln(1 )
tgx
là các vô cùng bé tương đương khi 0
x.
7. Cho hàm số
ln(1 ) ln(1 )
khi 1, 0
( )
khi 0
x x x x
f x x
a x
Tìm hằng số
a
để hàm số liên tục tại
0
x.
8. Cho hàm số
2
khi 0
( )
khi 0
ax x
ex
f x x
A x
Tìm hằng số
A
để hàm số liên tục tại
0
x.
9. Tìm cực trị của hàm số 2
1
1
x
y
x
.
3
10.Tính tích phân:
12
4
0
(1 )
x dx
I
x
.
11.Tính tích phân:
0
3
1
1
x
x
ln
e
I dx
e
.
12. Tính tích phân:
3
3
22 9dxxxI .
13.Tính tích phân: 2
0
2
I x sin x
.
14.Tính tích phân:
1
0
x
I x e dx
.
15.Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2
4
x
y
x
.
C. CÂU HỎI LOẠI 3 ĐIỂM
1. Tìm cực trị của hàm số
3 2 5
3
z x x y
.
2. Tìm cực trị của hàm số yxyxyxz ln10ln4
22 .
3. Tìm cực trị của hàm số
2 2
(2 )(2 )
z ax x by y
,
. 0
a b
.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2
2 4 8
z x xy x y
trên miền D:
20
10
y
x.
5. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
1 2
z x y
trên miền D:
0
0
1
y
x
yx
.
6.Giải phương trình vi phân
2
3
x
y y x e
.
7. Giải phương trình vi phân cos
x
y y x e
.
8. Giải phương trình vi phân
3
7 12
x
y y y xe
.
9. Giải phương trình vi phân
sin cos2
y y x x
.
10. Giải phương trình vi phân 2 sin
x
y y y x e
.
4
11. Giải phương trình vi phân
2
2
x
e
y y y
x
.
12. Giải phương trình vi phân
3
2
x
e
y y y
x
.
13. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy:
4 sin2
y y x
,
(0) 3, (0) 2
y y
.
14. Giải phương trình vi phân
4 sin2 1
y y x
.
15. Tìm nghiệm của bài toán Cauchy sau:
3
4 3 ,
x
y y y e
(0) 1, (0) 9
y y
.
D. CÂU HỎI LOẠI 4 ĐIỂM
1. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong: 1
2 xy , 2
2
1xy và 5
y.
b) Cho hàm số
y
x
z x y xe
tính
x y
A x z y z x y
.
2. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 4
2 xy , và
4 0
x y
,
b) Cho hàm số ,
11
22
2
yx
x
y
x
z tính
A
2 2
x y
x z y z
.
3. a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 3,
y x y x
và
4
y x
( 0)
x
.
b) Giải phương trình vi phân 2 2
x
y y y xe
.
4. a) Tính tích phân suy rộng sau:
2
13
dx
x

,
b) Cho hàm số
arctg
x
z
y
, tính
A
" "
xx yy
z z
.
5. a) Tính tích phân suy rộng sau:
2
2
24
dx
x
,
b) Cho hàm số
2 2
( )
z y f x y
với
f
là hàm số có đạo hàm liên tục, tính
2
1 1
x y
z
A z z
x y y
.
6. a) Tính tích phân suy rộng sau: 2
3
2
1
dx
x

,
b) Giải phương trình vi phân
4 2sin
y y x
.
5
7. a) Tính tích phân suy rộng sau:
0
x
xe dx

,
b) Tìm cực trị của hàm số .
y
xeyxz
8. a) Tìm cực trị của hàm số 3 2
3
z x xy y y
,
b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình: 2
(2 ) ( 3 ) 0
x y dx x y dy .
9. a) Tìm cực trị của hàm số 2 2 2
z x xy y x y
,
b) Giải phương trình vi phân: 2
y y x
.
10. a) Tìm cực trị của hàm số xyyxz 3
33 ,
b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình: 2 2 3
(3 2 ) ( ) 0
x xy dx x y dy .
11. a) Tìm nghiệm của phương trình 1
1
1
y y
x
thỏa mãn điều kiện
(2) 1
y,
b) Giải phương trình vi phân:
3
6
x
y y y e
.
12. a) Tính vi phân toàn phần của hàm số arctg
x y
z
x y
,
b) Tìm tích phân tổng quát của phương trình
cos =1
y y
.
13. a) Tính gần đúng giá trị )198,003,1ln( 43 A
b) Giải phương trình vi phân
2
1
y
y y
x x
.
14. a) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
( 1) 0
xdx x dy
,
b) Giải phương trình vi phân
4 cos
y y x
.
15. a) Tìm nghiệm của phương trình vi phân
2
1
y y xy
x
thỏa mãn điều kiện
(1) 1
y,
b) Giải phương trình vi phân sau:
2
2 3
y y y x
.