intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:256

Thêm vào BST
Báo xấu
21
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: Phần 1 gồm có những nội dung cơ bản sau: Nguyên hàm định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản; nguyên hàm đổi biến; nguyên hàm từng phần; tích phân định nghĩa, tính chất và tích phân cơ bản; tích phân đổi biến. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: Phần 1

  1. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  2. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 4. TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7. GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  3. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên K nếu F '  x   f  x  với mọi x  K . Định lí: 1) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . 2) Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C , với C là một hằng số. Do đó F  x   C, C   là họ tất cả các nguyên hàm của f  x  trên K . Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x  và  f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp u  u  x   dx  x  C  du  u  C 1  1 1  1 x  dx  x  C   1 u  du  u  C   1  1  1 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x u u C C ax au  a dx  ln a  C  a  0, a  1  a du  ln a  C  a  0, a  1 x u File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  4. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C 1 1  cos 2 dx  tan x  C  cos 2 du  tan u  C x u 1 1  sin 2 dx   cot x  C  sin 2 du   cot u  C x u B - BÀI TẬP DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Câu 2. Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Câu 3. Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . C.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . 1  1 C.  x dx  x với   1 .  1    D.  f  x  dx  f  x  . Câu 5. Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  5. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A.  II  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . D.  I  và  II  . Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . Câu 7. Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . D. F   x   f   x  , x  K . Câu 8. Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Câu 9. Cho f  x   , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1 A.  cos x dx   sin x  C . B.  x dx  ln x  C . C.  2 x dx  x 2  C . D.  e dx  e  C . x x Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4  C 1 A.  x3dx  . B.  x dx  ln x  C . 4 C.  sin xdx  C  cos x . D.  2e dx  2  e  C  . x x Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? xn 1 A.  dx  x  2C ( C là hằng số). B.  x dx  n  C ( C là hằng số; n   ). n 1 C.  0dx  C ( C là hằng số). D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số). File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  6. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx . A. F  x    2 x  C . B. F  x   2 x  C . 3  2 x2 C. F  x   C . D. F  x   C . 3 2 Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là: 1 4 1 A. x  9x  C . B. 4 x 4  9 x  C . C. x 4  C . D. 4 x3  9 x  C . 2 4 e Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x  4 là xe 1 e.xe 1 A. 101376 . B. e .x  C . 2 e 1 C.  4x  C . D.  4x  C . e 1 e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là A. 20 x3  12 x  C . B. x 5  2 x3  x  C . x4 C. 20 x 5  12 x3  x  C . D.  2x2  2x  C . 4 Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? x5 4 1 A.  0 dx  C . B. 5  x dx   C . C.  dx  ln x  C . D.  e x dx  e x  C . x 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  là x 3 2 x 3x x3 3 x 2 1 A.   ln x  C . B.   2 C . 3 2 3 2 x 3 2 3 2 x 3x x 3x C.   ln x  C . D.   ln x  C . 3 2 3 2 a b Câu 20. Cho hàm số f  x   2   2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x x 1  f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b . 1 2 A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . D. T  0 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là A. F  x   x 3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . 5 Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ? 6 6 A. F  x    3 x  1 8. B. F  x    3 x  1 2. 18 18 6 6  3 x  1  3 x  1 C. F  x   . D. F  x   . 18 6 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  7. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2  x 2  là x 3  x4  x 2  3 2 x4  x2  3  x3 1 x A. C . B. 2  2x  C . C.  C . D.   C . 3x x 3x 3 x 3 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6    2 là x x2 1 1 A. x 7  ln x   2 x . B. x 7  ln x   2x  C . x x 1 1 C. x 7  ln x   2 x  C . D. x 7  ln x   2 x  C . x x Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là: 1 4 4 3 1 4 1 3 4 3 A.x  x3  x C . B. x  x  x C . 4 3 4 3 3 1 2 3 1 4 1 3 2 3 C. x 4  x3  x C . D. x  x  x C . 4 3 4 3 3 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 x 2019 A. x C. B. 2 x3  C . 673 2019 1 x 2019 1 C.  C . D.  6054 x 2017  C . x 673 2 x Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 1 A. f ( x)  e x  2 B. f ( x)  e x  2 sin x sin x  e x  1 C. f ( x )  e x 1   D. f  x   e x   cos x  2 cos 2 x 1 Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với x   0;   thì hàm số f  x  là x 1 1 1 A. f  x    2  . B. f  x   x  . x x 2x 1 1 1 C. f  x   2  ln  2 x  . D. f  x    2  . x x 2x 2 x  x 1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . x 1 1 1 x2 A. x  C . B. 1  2  C . C.  ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C . x 1  x  1 2 1 Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3  là sin 2 x A. F  x   3 x  tan x  C . B. F  x   3 x  tan x  C . C. F  x   3 x  cot x  C . D. F  x   3 x  cot x  C . 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x  trên  0;   . x2 1 1 1 A. 3sin x  C . B. 3sin x   C . C. 3cos x   C . D. 3cos x  ln x  C . x x x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  8. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . B. x 3  sin x  C . C. x 3  cos x  C . D. 3 x3  sin x  C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2  8sin x . A.  f  x  dx  6 x  8 cos x  C . B.  f  x  dx  6 x  8cos x  C . C.  f  x  dx  x  8cos x  C . 3 D.  f  x  dx  x  8 cos x  C . 3  x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . B.  f  x  dx  x  sinx  C . x 1 x 1 C.  f  x  dx  2  2 sinx  C . D.  f  x  dx  2  2 sinx  C . Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . x2 A.  f  x  dx   sin x  C . B.  f  x  dx  1  sin x  C . 2 x2 C.  f  x  dx  x sin x  cos x  C . D.  f  x  dx   sin x  C . 2 a 3 b 4 Câu 36. x 2  2 x3  dx có dạng x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1 . C. 9 . D. 32 . 1 1 3 5  a 4 b 6 Câu 37.   x3  x  dx có dạng x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5  12 6 bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. 5 1 3 .   D. Không tồn tại. Câu 38.    2a  1 x 3  bx 2  dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng 3 3 4    2a  1 x  bx 2  dx  x  x 3  C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 A. 1; 3 . B. 3; 1 . C.  ; 1 . D. 8 1 1 x sin 2 x  cos 2 x 4 2   Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   2 x  3cos x, F    3 2 2 2 A. F ( x)  x2  3sin x  6  B. F ( x)  x 2  3sin x  4 4 2 2 C. F ( x)  x 2  3sin x  D. F ( x)  x2  3sin x  6  4 4 1  Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x )  2 x  2 thỏa mãn F( )  1 là: sin x 4 2 2 A. F( x)  cotx  x2  B. F( x)  cotx  x 2  16 16 2 2 C. F( x)  cotx  x 2 D. F( x)  cotx  x  16 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  9. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 41. Nếu  f ( x)dx  e x  sin 2 x  C thì f ( x) là hàm nào? A. e x  cos 2 x B. e x  sin 2 x C. e x  cos 2 x D. e x  sin 2 x x3  1 Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f ( x)  biết F(1) = 0 x2 x2 1 1 x2 1 3 A. F ( x)    B. F ( x)    2 x 2 2 x 2 x2 1 1 x2 1 3 C. F ( x)    D. F (x)    2 x 2 2 x 2 2 3 Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)   là : x x A. 4 x  3ln x  C . B. 2 x  3ln x  C . 1 C. 4 x    3ln x  C . D. 16 x  3ln x  C . 3 4 ( x 2  )dx Câu 44. Tính x 33 5 33 5 A.  x  4 ln x  C . x  4ln x  C . B. 5 5 5 3 C. 3 x5  4ln x  C . D. 3 x5  4ln x  C . 3 5 3 2 Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  4 x  3x  2 x  2 thỏa mãn F(1)  9 là: A. F( x)  x 4  x3  x2  2 . B. F( x)  x 4  x3  x2  10 . C. F( x)  x 4  x3  x2  2 x . D. F( x)  x4  x3  x2  2 x  10 . Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y  (2 x  1)5 là: 1 1 A. (2 x  1)6  C . B. (2 x  1)6  C . 12 6 1 C. (2 x  1)6  C . D. 10(2 x  1)4  C . 2 Câu 47. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   2 x 2  x 3  4 thỏa mãn điều kiện F  0   0 là 2 3 x4 A. 2 x  4 x . 3 B. x   4 x . 4 C. x 3  x 4  2 x . D. Đáp án khác. 3 4 Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F ’  x   4 x 3 – 3 x 2  2 và F  1  3 A. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 B. F  x   x 4 – x 3 +2x  3 C. F  x   x 4 – x 3  2 x  3 D. F  x   x 4  x 3  2 x  3 Câu 49. Hàm số f  x  xác định, liên tục trên  và có đạo hàm là f   x   x  1 . Biết rằng f  0   3 . Tính f  2   f  4  ? A. 10 . B. 12 . C. 4 . D. 11 . Câu 50. Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời các điều kiện f   x   x  sin x và f  0   1 . Tìm f  x . x2 x2 A. f  x    cos x  2 . B. f  x    cos x  2 . 2 2 x2 x2 1 C. f  x    cos x . D. f  x    cos x  . 2 2 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  10. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Câu 51. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x   3  5cos x và f  0   5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f  x   3 x  5sin x  2 . B. f  x   3 x  5sin x  5 . C. f  x   3 x  5sin x  5 . D. f  x   3 x  5sin x  5 . Câu 52. Biết F  x  là một nguyên hàm của của hàm số f  x   sin x và đồ thị hàm số y  F  x  đi   qua điểm M  0;1 . Tính F   . 2         A. F    2 . B. F    1 . C. F    0 . D. F    1 . 2 2 2 2 2 Câu 53. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x  2 x  3 thỏa mãn F  0   2 , giá trị của F 1 bằng 13 11 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 3 3 b Câu 54. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   ax   x  0  , biết rằng F  1  1 , x2 f 1  0 F 1  4 , . 2 3x 3 7 3x 2 3 7 A. F  x     . B. F  x     . 4 2x 4 4 2x 4 3x 2 3 7 3x 2 3 1 C. F  x     . D. F  x     . 2 4x 4 2 2x 2 Câu 55. Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x 2  2 x  m  1 , f  2   1 và đồ thị của hàm số y  f  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f  x  là A. x3  x 2  3x  5 . B. x 3  2 x 2  5 x  5 . C. 2 x3  x 2  7 x  5 . D. x 3  x 2  4 x  5 . 2 1 Câu 56. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu 3 thức log 2 3F 1  2 F  2   bằng A. 10 . B. 4 . C. 4 . D. 2 . 3 Câu 57. Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x   4 x  2  m  1 x  m  5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f  x  biết rằng F 1  8 và F  0   1 là: A. F  x   x 4  2 x 2  6 x  1 B. F  x   x 4  6 x  1 . C. F  x   x 4  2 x 2  1 . D. Đáp án A và B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  11. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có đạo hàm trên  a; b . (2): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . (4): Mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y  x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x  0 nên không thể có đạo hàm trên  1;1 Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên  a; b thì đều liên tục trên  a; b nên đều có nguyên hàm trên  a; b . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên  a; b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên  a; b . Câu 2. Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx . B.   f  x  . g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3. Cho f  x  , g  x  là các hàm số xác định và liên tục trên  . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A.  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx . B.  2 f  x  dx  2 f  x  dx . C.   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx . D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx . Hướng dẫn giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A.  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   . B.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục trên  . 1  1 C.  x dx  x với   1 .  1    D.  f  x  dx  f  x  . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  12. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   sai vì tính chất đúng khi k   \ 0 . Câu 5. Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục, có F  x  , G  x  lần lượt là nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:  I  . F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .  II  . k.F  x  là một nguyên hàm của k. f  x  với k   .  III  . F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . Các mệnh đề đúng là A.  II  và  III  . B. Cả 3 mệnh đề. C.  I  và  III  . D.  I  và  II  . Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì  I  và  II  là đúng,  III  sai. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . B.  f   x  dx  f  x   C với mọi hàm số f  x  có đạo hàm trên  . C.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với mọi hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  . D.  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  . Hướng dẫn giải Chọn D Mệnh đề:  kf  x  dx  k  f  x  dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f  x  liên tục trên  là mệnh đề sai vì khi k  0 thì  kf  x  dx  k  f  x  dx . Câu 7. Cho hàm số f  x  xác định trên K và F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f   x   F  x  , x  K . B. F   x   f  x  , x  K . C. F  x   f  x  , x  K . D. F   x   f   x  , x  K . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có F  x    f  x  dx , x  K   F  x    f  x  , x  K .  Câu 8. Cho hàm số f  x  xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G  x   F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K . B. Nếu f  x  liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F  x  được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu F   x   f  x  với mọi xK . D. Nếu hàm số F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên K thì hàm số F   x  là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  13. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm. File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  14. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Câu 9. Cho f  x   , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x2 A. Trên  2;   , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2   C1 ; trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln   x  2   C2 ( C1 , C2 là các hằng số). B. Trên khoảng  ; 2  , một nguyên hàm của hàm số f  x  là G  x   ln   x  2   3 . C. Trên  2;   , một nguyên hàm của hàm số f  x  là F  x   ln  x  2  . D. Nếu F  x  và G  x  là hai nguyên hàm của của f  x  thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì F  x   ln  x  2  và G  x   ln   x  2   3 đều là các nguyên hàm của hàm số f  x  nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1 A.  cos x dx   sin x  C . B.  dx  ln x  C . x C.  2 x dx  x  C . 2 D.  e x dx  e x  C . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  cos x dx  sin x  C  A sai. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4  C 1 A.  x3dx  . B.  x dx  ln x  C . 4 C.  sin xdx  C  cos x . D.  2e dx  2  e  C  . x x Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có  x dx  ln x  C . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? xn 1 A.  dx  x  2C ( C là hằng số). B.  x dx   C ( C là hằng số; n   ). n n 1 C.  0dx  C ( C là hằng số). D.  e x dx  e x  C ( C là hằng số). Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n  1 . Câu 13. Tìm nguyên hàm F  x     2 dx . A. F  x    2 x  C . B. F  x   2 x  C . 3   2 x2 C. F  x   C . D. F  x   C . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có F  x     2 dx   2 x  C (vì  2 là hằng số). Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  cos x  2018 là File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  15. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng A. F  x   e x  sin x  2018 x  C . B. F  x   e x  sin x  2018 x  C . C. F  x   e x  sin x  2018 x . D. F  x   e x  sin x  2018  C . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x   2 x 3  9 là: 1 4 1 4 A. x  9x  C . B. 4 x 4  9 x  C . C. x C . D. 4 x3  9 x  C . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A x4 x4   2 x  9dx  2. 4  9 x  C  2  9 x  C . 3 Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e.x e  4 là xe 1 e.xe 1 A. 101376 . B. e 2 .x e1  C . C.  4x  C . D.  4x  C . e 1 e 1 Hướng dẫn giải Chọn D e.xe 1 Ta có  f  x  dx    e.xe  4  dx   4x  C . e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f  x   5 x 4  6 x 2  1 là A. 20 x3  12 x  C . B. x 5  2 x3  x  C . x4 C. 20 x 5  12 x3  x  C . D.  2x2  2x  C . 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có   5 x 4  6 x 2  1 dx  x 5  2 x3  x  C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? 4 x5 1 A.  0 dx  C . B.  x dx  5  C . C.  dx  ln x  C . x D.  e x dx  e x  C . Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có:  x dx  ln x  C  C sai. 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y  x 2  3 x  là x x3 3 x 2 x3 3 x 2 1 A.   ln x  C . B.   2 C . 3 2 3 2 x x3 3x 2 3 x 3x 2 C.   ln x  C . D.   ln x  C . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D  1 x3 3x 2 Áp dụng công thức nguyên hàm ta có   x 2  3 x   dx    ln x  C .  x 3 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  16. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a b Câu 20. Cho hàm số f  x     2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x 1  f  x  dx  2  3ln 2 . Tính T  a  b . 1 2 A. T  1 . B. T  2 . C. T  2 . D. T  0 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1  a b   a  Ta có  f  x  dx    2   2  dx     b ln x  2 x   a  1  b ln 2 . 1 1 x x   x 1 2 2 2 Theo giả thiết, ta có 2  3ln 2  a  1  b ln 2 . Từ đó suy ra a  1 , b  3 . Vậy T  a  b  2 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là A. F  x   x 3  x 2  5 . B. F  x   x 3  x  C . C. F  x   x 3  x 2  5 x  C . D. F  x   x 3  x 2  C . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f  x   3x 2  2 x  5 là F  x   x 3  x 2  5 x  C . 5 Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1 ? 6 6 A. F  x    3 x  1 8. B. F  x    3 x  1 2. 18 18 6 6  3 x  1  3 x  1 C. F  x   . D. F  x   . 18 6 Hướng dẫn giải Chọn D  1 1  ax  b  Áp dụng   ax  b  dx   C với   1 và C là hằng số.  a  1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   2  x 2  là x 3 4 2 x  x  3 2 x4  x2  3  x3 1 x A. C . B. 2  2x  C . C.   C . D.   C . 3x x 3x 3 x 3 Hướng dẫn giải Chọn D  1 1  1 1 x3 x Ta có   2  x 2   dx    x 2  x 2   dx      C . x 3  3 x 3 3 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   7 x 6   2  2 là x x 1 1 A. x 7  ln x   2 x . B. x 7  ln x   2 x  C . x x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  17. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1 1 C. x 7  ln x   2x  C . D. x 7  ln x   2x  C . x x Hướng dẫn giải Chọn D 1  f  x  dx  x 7  ln x   2x  C . x Câu 25. Nguyên hàm của f  x   x 3  x 2  2 x là: 1 4 4 3 1 4 1 3 4 3 A. x  x3  x C . B. x  x  x C . 4 3 4 3 3 1 2 3 1 1 2 3 C. x 4  x3  x C . D. x 4  x3  x C . 4 3 4 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: 1 4 1 3 4 3 x  3  x 2  2 x dx  x  x  x C . 4 3 3 Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x  x 2018 là x 2019 x 2019 A. x C. B. 2 x3  C . 673 2019 1 x 2019 1 C.  C . D.  6054 x 2017  C . x 673 2 x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 3  12 2018  x 2 x 2019 3 x 2019  3  x  x 2018 d x    3 x  x  d x  3.   C  2 x  C .  3 2019 2019 2 Câu 27. Hàm số F ( x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 1 A. f ( x)  e x  2 B. f ( x)  e x  2 sin x sin x  e x  1 C. f ( x )  e x 1   D. f  x   e x   cos x  2 cos 2 x Hướng dẫn giải 1 Ta có:  e x  tan x  C   e x  . cos 2 x Chọn D 1 x   0;   f  x Câu 28. Nếu  f  x  dx   ln 2 x  C với thì hàm số là x 1 1 1 A. f  x    2  . B. f  x   x  . x x 2x 1 1 1 C. f  x   2  ln  2 x  . D. f  x    2  . x x 2x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có  f  x  dx  F  x   C  F   x   f  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  18. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng 1   1  1  2 x  1 1 Do đó f  x     ln 2 x       ln 2 x    2    2  với x   0;   . x  x x 2x x x 2 x  x 1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   . x 1 1 1 x2 A. x  C . B. 1  2 C . C.  ln x 1  C . D. x 2  ln x  1  C . x 1  x  1 2 Hướng dẫn giải Chọn C x2  x  1 1 Ta có f  x    x x 1 x 1 2 x   f  x  dx   ln x  1  C . 2 1 Câu 30. Nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   3  là sin 2 x A. F  x   3 x  tan x  C . B. F  x   3 x  tan x  C . C. F  x   3 x  cot x  C . D. F  x   3 x  cot x  C . Hướng dẫn giải Chọn C 1 Nguyên hàm của hàm số f  x   3  là F  x   3 x  cot x  C . sin 2 x 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   3cos x  2 trên  0;   . x 1 1 1 A. 3sin x   C . B. 3sin x   C . C. 3cos x   C . D. 3cos x  ln x  C . x x x Hướng dẫn giải Chọn B 1  1 b  Ta có  f  x  dx    3cos x  2  dx  3sin x   C . a x  x Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là A. x 3  cos x  C . B. x 3  sin x  C . C. x 3  cos x  C . D. 3 x3  sin x  C . Hướng dẫn giải Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2  sin x là x 3  cos x  C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2  8sin x . A.  f  x  dx  6 x  8 cos x  C . B.  f  x  dx  6 x  8cos x  C . C.  f  x  dx  x  8cos x  C . 3 D.  f  x  dx  x  8 cos x  C . 3 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  f  x  dx    3 x 2  8sin x  dx  x 3  8 cos x  C .  x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos2   2 A.  f  x  dx  x  sinx  C . B.  f  x  dx  x  sinx  C . File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  19. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng x 1 x 1 C.  f  x  dx  2  2 sinx  C . D.  f  x  dx  2  2 sinx  C . Lời giải Chọn C  1  cos x  x 1 Ta có  f  x  dx    2  dx   sin x  C .  2 2 Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  cos x . x2 A.  f  x  dx   sin x  C . B.  f  x  dx  1  sin x  C . 2 x2 C.  f  x  dx  x sin x  cos x  C . D.  f  x  dx   sin x  C . 2 Hướng dẫn giải Chọn A x2  f  x  dx    x  cos x  dx   sin x  C . 2 a b Câu 36.   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1 . C. 9 . D. 32 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm   x 2  2 x3  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 2 1 3 1 4 x  2 x3  dx  x  x C . 3 2 a 3 b 4 Suy ra để x 2  x 3  dx có dạng x  x  C thì a  1, b  2. 3 4 Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a 3 b 4 Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x  x  C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 3 4 a 3 b 4 lấy đạo hàm của x  x C . 3 4 Ví dụ: a 3 b 4 2 b 2 b A. Thay a  2 vào x  x  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C 3 4 3 4 3 4 : 2 3 b 4    2 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3  x  x  C  3 4  x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại 2 3 2 đáp án A a b 1 b 1 b B. Thay a  1 vào x 3  x 4  C ta được x3  x 4  C . Lấy đạo hàm của x3  x 4  C 3 4 3 4 3 4 : 1 3 b 4  2 3 2 3   x  bx , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho x  2 x  2 x  bx , x   ( cụ 2 3  x  x  C 3 4  thể b  2   ) nên ta nhận đáp án B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
  20. ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân và Ứng Dụng a 3 b 4 b b C. Thay a  9 vào x  x  C ta được 3 x 3  x 4  C . Lấy đạo hàm của 3 x 3  x 4  C : 3 4 4 4  3 b 4   3 x  x  C   9 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3  4  9 x 2  2 x3  2 x2  bx3 , x   nên ta loại đáp án C a 3 b 4 32 3 b 4 D. Thay a  32 vào x  x  C ta được x  x  C . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 32 3 b 4 x  x C : 3 4  32 3 b 4    32 x  bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 2 3  x  x  C  3 4  32 x  2 x  2 x  bx3 , x   nên ta loại 2 3 2 đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của x 2 ở 2 vế của đẳng thức x 2  2 x 3  2 x 2  bx3 ; 9 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 ; 32 x 2  2 x 3  2 x 2  bx 3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:   x  2 x  dx  3x  8x  C . 2 3 3 4 a 3 b 4 Vì thế, a  9 để x 2  2 x 3  dx  3x 3  8 x 4  C có dạng x  x C . 3 4 Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau:   x  2 x  dx  3x  8x  C . 2 3 3 4 Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . a b Để   x 2  2 x3  dx có dạng x 3  x 4  C thì b  32 . 3 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. 1 1 3 5  a 4 b 6 Câu 37.   x3  x  dx có dạng x  x  C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5  12 6 bằng: 36 A. 1 . B. 12 . C. 5  1 3 .  D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: 1 1 3 5  Theo đề, ta cần tìm   x3  x  dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 3 5  Ta có: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2