intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Nhận dạng tam giác

Chia sẻ: Duong Minh Thong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

213
lượt xem
34
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'nhận dạng tam giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Nhận dạng tam giác

  1. CHÖÔNG XI: NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙC I . TÍNH CAÙ C GOÙ C CUÛ A TAM GIAÙ C B aø i 201: Tính caù c goù c cuû a ΔABC n eá u : 3 sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = ( *) 2 A+B+C= π Do 3 ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = N eâ n : 2 A+B A−B ⎛ C ⎞3 ⇔ 2 sin cos − ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ = 2 2 2 ⎠2 ⎝ C A−B C1 ⇔ 2 cos cos − 2 cos2 = 2 2 22 C C A−B ⇔ 4 cos2 − 4 cos cos +1 = 0 2 2 2 2 C A − B⎞ 2 A−B ⎛ ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + 1 − cos =0 2 2⎠ 2 ⎝ 2 C A − B⎞ 2 A−B ⎛ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + sin =0 ⇔ 2 2⎠ 2 ⎝ C A−B ⎧ ⎪2 cos 2 = cos 2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪sin A − B = 0 ⎪ 2 ⎩ C ⎧ ⎧C π ⎪2 cos 2 = cos 0 = 1 ⎪= ⎪ ⇔ ⎨2 3 ⇔ ⎨ A−B ⎪ ⎪A = B =0 ⎩ ⎪2 ⎩ π ⎧ ⎪A = B = 6 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪C = 2π ⎪ 3 ⎩ T ính caù c goù c cuû a ΔABC b ieá t : B aø i 202: 5 cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0 (*) 2 5 T a coù : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤ + = 0 ⎣ ⎦2
  2. ⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ ⎧sin ( B − C ) = 0 ⎧B − C = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 3 cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎪cos A = 2 2 ⎩ ⎩ ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = C = 75 0 ⎩ B aø i 203: Chöù n g minh ΔABC c où C = 1200 neá u : A B C sin A + sin B + sin C − 2 sin ⋅ sin = 2 sin (*) 2 2 2 T a coù A+B A−B C C A B C (*) ⇔ 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 B C A−B C C A+B A ⇔ 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos + 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2 2⎠ 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ A B ⇔ cos ⎢cos 2 + cos 2 ⎥ = cos 2 cos 2 2⎣ ⎦ C A B A B ⇔ 2 cos cos cos = cos cos 2 2 2 2 2 C1 A B AB π ⇔ cos = ( do cos > 0 v aø cos > 0 v ì 0 < ; < ) 22 2 2 22 2 ⇔ C = 1200 B aø i 204 : T ính caù c goù c cuû a ΔΑΒC b ieá t soá ño 3 goù c taï o caá p soá coä n g vaø 3+ 3 sin A + sin B + sin C = 2 K hoâ n g laø m maá t tính chaá t toå n g quaù t cuû a baø i toaù n giaû söû A < B < C T a coù : A, B, C taï o 1 caá p soá coä n g neâ n A + C = 2B π A + B + C = π neâ n B = Maø 3 3+ 3 sin A + sin B + sin C = L uù c ñoù : 2
  3. 3+ 3 π ⇔ sin A + sin + sin C = 3 2 3 ⇔ sin A + sin C = 2 A+C A −C 3 ⇔ 2 sin cos = 2 2 2 B A −C 3 ⇔ 2 cos cos = 2 2 2 ⎛ 3⎞ A−C 3 ⇔ 2. ⎜ ⎟ cos = ⎜2⎟ 2 2 ⎝ ⎠ C−A 3 π ⇔ cos = cos = 2 2 6 D o C > A neâ n ΔΑΒC coù : ⎧C − A π π ⎧ ⎪C = 2 ⎪ 2 =6 ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⎨C + A = ⇔ ⎨A = 3 6 ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = 3 ⎪B = 3 ⎩ ⎩ B aø i 205: T ính caù c goù c cuû a ΔABC neá u (1 ) ⎧ b2 + c 2 ≤ a 2 ⎪ ⎨ ( 2) ⎪sin A + sin B + sin C = 1 + 2 ⎩ b2 + c 2 − a 2 A Ù p duï n g ñònh lyù haø m cosin: cos A = 2bc b + c ≤ a neâ n cos A ≤ 0 D o (1): 2 2 2 πAπ π ≤A
  4. ⎧ ⎪sin A = 1 π ⎧ ⎪A = 2 ⎪ A 2 ⎪ ⎪ D aá u “=” taï i (2) xaû y ra ⇔ ⎨cos = ⇔ ⎨ 2 2 ⎪B = C = π ⎪ B−C ⎪ 4 ⎪ ⎩ ⎪cos 2 = 1 ⎩ B aø i 206 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2004) C ho ΔABC k hoâ n g tuø thoû a ñieà u kieä n ( *) cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 T ính ba goù c cuû a ΔABC M = cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 * C aù ch 1 : Ñaët B+C B−C T a coù: M = 2 cos2 A + 4 2 cos cos −4 2 2 A B−C M = 2 cos2 A + 4 2 sin cos −4 ⇔ 2 2 A B-C sin > 0 v aø cos ≤1 Do 2 2 A N eâ n M ≤ 2 cos2 A + 4 2 sin − 4 2 π ΔABC khoâ n g tuø neâ n 0 < A ≤ M aë t khaù c : 2 ⇒ 0 ≤ cos A ≤ 1 ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 Do ñoù : 2 A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 4 2 sin − 4 2⎠ 2 ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin2 + 4 2 sin − 2 2 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 2 ⎝ ⎠ D o giaû thieá t (*) ta coù M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ ⎪ A = 90 0 ⎧ B−C ⎪ Vaä y : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ 2 ⎪B = C = 45 0 ⎩ ⎪ A 1 ⎪ ⎪sin 2 = 2 ⎩ * C aù c h 2 : ( *) ⇔ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 = 0
  5. B+C B−C ⇔ cos2 A + 2 2 cos cos −2=0 2 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 2 sin cos −2=0 2 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 2 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 2 ⎝ 2 A B − C⎞ ⎛ 2 B − C⎞ ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − ⎜ 1 − cos ⎟=0 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 A B − C⎞ 2 B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − sin = 0 (*) 2 2⎠ 2 ⎝ D o ΔABC k hoâ n g tuø neâ n cos A ≥ 0 vaø cos A − 1 < 0 V aä y veá traù i cuû a (*) luoâ n ≤ 0 ⎧ ⎪cos A = 0 ⎪ A B−C ⎪ ⇔ ⎨ 2 sin = cos D aá u “=” xaû y ra 2 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪sin 2 = 0 ⎩ ⎪ A = 90 0 ⎧ ⇔⎨ ⎪B = C = 45 0 ⎩ Baø i 207: C höù n g minh ΔABC coù ít nhaá t 1 goù c 60 0 k hi vaø chæ khi sin A + sin B + sin C = 3 (*) cos A + cos B + cos C T a coù : ( )( )( ) (*) ⇔ sin A − 3 cos A + sin B − 3 cos B + sin C − 3 cos C = 0 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 0 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ A + B π⎞ A−B π⎞ ⎛ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝2 3⎠ 2 3⎠ ⎝ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ 2 sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + 2 sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0 ⎣⎝ 2 2 ⎠ 3 ⎦ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝ 2 6⎠ ⎛C π⎞⎡ A−B ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 ⎝ 2 6⎠⎣ 2 ⎝ 2 6 ⎠⎦ ⎛π A + B⎞ ⎛C π⎞ A−B ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = 0 ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ ⎝ 2 6⎠ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝3 2⎠ C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ =∨ =− ∨ =− 26 2 3 2 2 3 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 3 3
  6. B aø i 208: Cho ΔABC v aø V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chöù n g minh: a / Neá u V = 0 thì ΔABC c où moä t goù c vuoâ n g b / Neá u V < 0 thì ΔABC c où ba goù c nhoï n c / Neá u V > 0 thì ΔABC c où moä t goù c tuø 1 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 1 T a coù : V = 2 2 1 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C 2 ⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B D o ñoù : a/ V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0 ⇔ ΔABC ⊥ t aï i A hay ΔABC ⊥ t aï i B hay ΔABC ⊥ t aï i C b/ V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0 ⇔ ΔABC c où ba goù c nhoï n ( vì trong 1 tam giaùc khoâ n g theå coù nhieà u hôn 1 goùc tuø neâ n khoâ n g coù tröôø n g hôï p coù 2 cos cuø n g aâ m ) c/ V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0 ⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0 ⇔ ΔABC c où 1 goù c tuø . II. TAM GIAÙC VUOÂNG B a+c C ho ΔABC c où cotg B aø i 209: = 2 b C höù n g minh ΔABC v uoâ n g B a+c cotg T a coù : = 2 b B cos 2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin 2 B A+C A−C cos 2 sin . cos 2= 2 2 ⇔ B B B sin 2 sin . cos 2 2 2 B B A−C B cos2 = cos . cos (do sin > 0) ⇔ 2 2 2 2 B A−C B cos = cos (do cos > 0) ⇔ 2 2 2
  7. B A−C B C−A ⇔ = ∨= 2 2 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A hay ΔABC vuoâng taïi C C höù n g minh ΔABC v uoâ n g taï i A neá u B aø i 210: b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a T a coù : + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A ⇔ + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) ⇔ cos B. cos C − sin B. sin C = 0 ⇔ ⇔ cos ( B + C ) = 0 π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A C ho ΔABC c où : B aø i 211: A B C A B C1 cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 2 2 22 C höù n g minh ΔABC v uoâ n g T a coù : A B C1 A B C (*) ⇔ coscos cos = + sin sin sin 2 2 22 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1 1⎡ A+B A − B⎤ C ⇔ ⎢cos + cos cos = − ⎢cos − cos sin 2⎥ 2⎥ 2⎣ 2 2 2 2⎣ 2 2 ⎦ ⎦ C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos ⎥ cos 2 = 1 − ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ sin 2 2 2⎦ ⎣ ⎣ ⎦ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C C A−B C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2
  8. C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ ⇔ cos ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ = cos 2 ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎥ 2 2⎦ ⎣ 2 ⎣ ⎦ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = 1 ∨ = ∨= 2 2 2 2 2 Cπ ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C 24 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 2 2 2 C höù n g minh ΔABC v uoâ n g neá u : B aø i 212: 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15 D o baá t ñaú n g thöù c Bunhiacoá p ki ta coù : 3cos B + 4 sin B ≤ 9 + 16 cos2 B + sin2 B = 15 6sin C + 8 cos C ≤ 36 + 64 sin2 C + cos2 C = 10 v aø 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15 n eâ n : ⎧ cos B sin B 4 ⎧ ⎪tgB = 3 ⎪3=4 ⎪ ⎪ Daá u “=” xaû y ra ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = 4 ⎪6 ⎪ 8 3 ⎩ ⎩ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâ n g taï i A. C ho ΔABC c où : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B B aø i 213: C höù n g minh ΔABC v uoâ n g. T a coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B ⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin2 C). cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C. cos(A − B) ⇔ cos C = 0 hay − (1 + sin C) = cos C. cos(A − B) (*) ⇔ cos C = 0 ( D o sin C > 0 neâ n −(1 + sin C) < −1 Maø cos C.cos(A − B) ≥ −1 .Vaä y (*) voâ nghieä m .) Do ñoù ΔABC v uoâ n g taï i C III. TAM GIAÙC CAÂN
  9. C B aø i 214: Chöù n g minh neá u ΔABC c où tgA + tgB = 2 cotg 2 t hì laø tam giaù c caâ n . C T a coù : tgA + tgB = 2 cotg 2 C 2 cos sin(A + B) 2 ⇔ = C cos A.cos B sin 2 C 2 cos sin C 2 ⇔ = C cos A.cos B sin 2 C C C 2 sin cos 2 cos 2 2= 2 ⇔ C cos A cos B sin 2 C C ⎛ ⎞ ⇔ sin 2 = cos A.cos B ⎜ do cos > 0 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 1 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤ 2⎣ ⎦ 2 ⇔ 1 − cos C = − cos C + cos ( A − B ) ⇔ cos ( A − B ) = 1 ⇔A=B ⇔ ΔABC c aâ n taï i C. C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 215: A B B A sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 A B B A sin .cos3 = sin .cos3 T a coù : 2 2 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⇔⎜ = A⎟ A⎜ B⎟ B ⎜ cos ⎟ cos2 ⎜ cos ⎟ cos2 2⎠ 2⎝ 2⎠ 2 ⎝ A B ( do cos > 0 vaø cos > 0 ) 2 2
  10. A⎛ 2 A⎞ B⎛ 2 B⎞ ⇔ tg ⎜ 1 + tg ⎟ = tg ⎜ 1 + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg 3 − tg 3 + tg − tg = 0 2 2 2 2 ⎛A B⎞⎡ A B A B⎤ ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg 2 + tg 2 + tg .tg ⎥ = 0 (*) ⎝2 2 ⎠⎣ 2 2 2 2⎦ A B A B AB ( v ì 1 + tg 2 + tg 2 + tg tg > 0 ) ⇔ tg = tg 2 2 2 2 2 2 ⇔A=B ⇔ ΔABC c aâ n taï i C C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 216: cos2 A + cos2 B 1 = ( cotg 2 A + cotg 2B ) (*) sin 2 A + sin2 B 2 T a coù : cos2 A + cos2 B 1 ⎛ 1 1 ⎞ − 2⎟ (*) ⇔ =⎜ + sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin B 2 2 2 2 ⎠ cos A + cos B 1⎛ 1 1⎞ 2 2 +1 = ⎜ ⇔ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin2 B ⎠ 2 2 2 2 1⎛ 1 1⎞ ⇔ =⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠ 2 2 2 ⇔ 4 sin2 A sin2 B = ( sin2 A + sin2 B ) 2 ⇔ 0 = ( sin 2 A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B V aä y ΔABC c aâ n taï i C C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 217: C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) 2 C ( atgA + btgB ) T a coù : a + b = tg 2 C ⇔ ( a + b ) cotg = atgA + btgB 2 C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 0 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − tg ⎥ + b ⎢ tgB − tg 2 ⎥ = 0 2⎦ ⎣ ⎣ ⎦ A−B B−A a sin b sin 2 2 =0 ⇔ + A+B A+B cos A. cos cos B. cos 2 2
  11. A−B a b ⇔ sin = 0 hay =0 − 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC c aâ n taï i C IV. NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙ C C ho ΔABC t hoû a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) B aø i 218: C höù n g minh ΔABC v uoâ n g hay caâ n D o ñònh lyù haø m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin 2 A − sin 2 B ) N eâ n (*) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B 1 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 2 1 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] 2 ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡1 − sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 v aä y ΔABC v uoâ n g hay caâ n taï i C Caù c h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 B aø i 219 ΔABC l aø tam giaù c gì neá u ( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B ) (*) T a coù : (*) ⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B ) ⇔ sin 2 A ⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = 0
  12. ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 ( do sin A > 0 vaø sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 V aä y ΔABC c aâ n taï i C hay ΔABC v uoâ n g taï i C. ΔABC laø tam giaù c gì neá u : B aø i 220: ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B (2) Ta coù : (1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin 2 A sin 2B + sin2 B sin 2A = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay vaø o (2) ta ñöôï c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 D o ñoù ΔABC v uoâ n g caâ n taï i C V . TAM GIAÙ C ÑEÀ U C höù n g minh ΔABC ñeà u neá u : B aø i 221: bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ T a coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 3 1 3 ⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − sin C ⎥ + 2 sin C ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = 0 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1) 3 ⎠⎦ 3 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣
  13. π⎞ ⎛ D o sin B > 0 vaø 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > 0 v aø 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ N eâ n veá traù i cuû a (1) luoâ n ≥ 0 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ D o ñoù , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎪ 3⎠ ⎝ ⎩ π ⇔ ΔABC ñ eà u . ⇔C=B= 3 3 ⎧ sin B sin C = (1) ⎪ 4 ⎪ C höù n g minh ΔABC ñ eà u neá u ⎨ B aø i 222 : ⎪a 2 = a − b − c 3 3 3 (2) ⎪ a−b−c ⎩ T a coù : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2 c = a 3 − b3 − c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c2 ) ⇔ a 2 = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c 2 − 2bc cos A = b2 + c 2 − bc ( do ñl haø m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc 1 π ⇔ cos A = ⇔A= 2 3 T a coù : (1) ⇔ 4 sin B sin C = 3 ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⎛1⎞ π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta coù A = ⎟ ⎝2⎠ 3⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C V aä y töø (1), (2) ta coù ΔABC ñeà u C höù n g minh ΔABC ñ eà u neá u : B aø i 223: sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B ) T a coù : = 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1) cos ( A − B ) = 1 D aá u “=” xaû y ra khi: sin 2A + sin 2C ≤ 2sin B T öông töï : ( 2)
  14. D aá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − C ) = 1 sin 2B + sin 2C ≤ 2sin A T öông töï : ( 3) Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( B − C ) = 1 T öø (1) (2) (3) ta coù: 2 ( sin2A + sin2B + sin2C) ≤ 2 ( sinC + sinB + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = 1 ⎪ D aá u “=” xaû y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = 1 ⇔ ΔABC ñeà u C ho ΔABC c où : B aø i 224: 1 1 1 1 (*) + + = sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C 2 2 2 C höù n g minh ΔABC ñ eà u T a coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) = 2 cos A cos B cos C = 4 sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) M aø : 4 sin A sin B sin C = 2 ⎡ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ sin ( A + B ) ⎣ ⎦ = 2 ⎡cos ( A − B ) + cos C⎤ sin C ⎣ ⎦ = 2 sin C cos C + 2 cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do ñoù , vôù i ñieà u kieä n ΔABC k hoâ n g vuoâ n g ta coù (*) ⇔ sin 2 2B sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2B = sin 2A. sin 2B. sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin 2 2A sin 2B sin 2C + sin 2 2B sin 2A sin 2C + sin 2 2C sin 2A sin 2B 1 1 2 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 2 1 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0 2 2 ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔ A = B = C ⇔ ABC ñ eà u ⇔⎨ ⎩sin 2B = sin 2C B aø i 225 : Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u : a cos A + b cos B + c cos C 2p (*) = a sin B + b sin C + c sin A 9R
  15. T a coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C ⎤ ⎣ ⎦ = 2R sin C ⎡cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ = 4R sin C sin A sin B ⎣ ⎦ C aù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R 3 sin 2 A sin 2 B sin2 C ( do bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C 2 3 sin A sin B sin C ( 1) D o ñoù veá traù i : ≤ a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 = ( sin A + sin B + sin C ) Maø veá phaû i : = 9R 9R 9 2 ≥ 3 sin A sin B sin C ( 2) 3 Töø (1) vaø (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC ñeà u 4 R sin A sin B sin C a+b+c Caù c h 2: T a coù : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ ⎛ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ ⎛b⎞ ⎛ c ⎞ ca 9R a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ 2R ⎠ 2R ⎠ 2R ⎝ ⎝ ⇔ 9abc = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) D o baá t ñaú n g thöùc Cauchy ta coù a + b + c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c 2 D o ñoù : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Daá u = xaû y ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC ñ eà u . Baø i 226: Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 2 2 sin ( A + B ) sin C T a coù : cot gA + cot gB = = sin A sin B sin A sin B sin C ( do bñt Cauchy) ≥ 2 ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
  16. C C C 2 sin cos 2 sin 2 2 2 = = 2 A+B 2 A−B C 2 A−B sin .cos cos cos 2 2 2 2 C ≥ 2tg ( 1) 2 B Töông töï : cot gA + cot gC ≥ 2tg ( 2) 2 A cot gB + cot gC ≥ 2tg ( 3) 2 Töø (1) (2) (3) ta coù ⎛A B C⎞ 2 ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ 2 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝2 2 2⎠ D o ñoù daá u “=” taï i (*) xaû y ra A−B A−C B−C ⎧ ⎪cos = cos = cos =1 2 2 2 ⇔⎨ ⎪sin A = sin B = sin C ⎩ ⇔A=B=C ⇔ ΔABC ñeàu. BAØI TAÄP Tính caù c goù c cuû a ΔABC b ieá t : 1. 3 2π π a/ cos A = sin B + sin C − ( ÑS: B = C = ,A = ) 2 6 3 π b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = 0 ( ÑS: A = B = C = ) 3 c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 Tính goù c C cuû a ΔABC b ieá t : 2. a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2 ⎧ A, B nhoïn ⎪ b/ ⎨ 2 ⎪sin A + sin B = 9 sin C 2 ⎩ ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 Cho ΔABC c où : ⎨ 3. ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 C höù n g minh Δ c où ít nhaá t moä t goù c 36 0 . 4. Bieá t sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m . Chöù n g minh a / m = 2 t hì ΔABC v uoâ n g b/ m > 2 t hì ΔABC n hoï n c/ m < 2 t hì ΔABC t uø . Chöù n g minh ΔABC v uoâ n g neá u : 5. b+c a/ cos B + cos C = a b c a b/ + = cos B cos C sin B sin C
  17. c / sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = 2 ⎡1 − cos ( B − C )⎤ 2 ⎣ ⎦ d/ b 1 − cos 2B 2 Chöù n g minh ΔABC c aâ n neá u : 6. 1 + cos B 2a + c a/ = sin B a 2 − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g . cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 2 c / tgA + 2tgB = tgA.tg B 2 C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d / a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e / ( p − b ) cot g = ptg 2 2 C f / a + b = tg ( atgA + btgB ) 2 ΔABC l aø Δ g ì neá u : 7. A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg 2 b / c = c cos 2B + b sin 2B c / sin 3A + sin 3B + sin 3C = 0 d / 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u 8. a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b / 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c / sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R v ôù i ma , m b , mc laø 3 ñöôø n g trung tuyeá n d/ ma + m b + mc = 2 Th.S Ph ạm H ồ ng Danh – T T luyệ n thi Vĩ nh Vi ễ n
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2