Ôn thi môn toán - Nhận dạng tam giác
lượt xem 57
download
Tham khảo tài liệu 'ôn thi môn toán - nhận dạng tam giác', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Ôn thi môn toán - Nhận dạng tam giác
- CHÖÔNG XI: NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙC I . TÍNH CAÙ C GOÙ C CUÛ A TAM GIAÙ C B aø i 201: Tính caù c goù c cuû a ΔABC n eá u : 3 sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = ( *) 2 A+B+C= π Do 3 ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = N eâ n : 2 A+B A−B ⎛ C ⎞3 ⇔ 2 sin cos − ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ = 2 2 2 ⎠2 ⎝ C A−B C1 ⇔ 2 cos cos − 2 cos2 = 2 2 22 C C A−B ⇔ 4 cos2 − 4 cos cos +1 = 0 2 2 2 2 C A − B⎞ 2 A−B ⎛ ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + 1 − cos =0 2 2⎠ 2 ⎝ 2 C A − B⎞ 2 A−B ⎛ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + sin =0 ⇔ 2 2⎠ 2 ⎝ C A−B ⎧ ⎪2 cos 2 = cos 2 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪sin A − B = 0 ⎪ 2 ⎩ C ⎧ ⎧C π ⎪2 cos 2 = cos 0 = 1 ⎪= ⎪ ⇔ ⎨2 3 ⇔ ⎨ A−B ⎪ ⎪A = B =0 ⎩ ⎪2 ⎩ π ⎧ ⎪A = B = 6 ⎪ ⇔ ⎨ ⎪C = 2π ⎪ 3 ⎩ T ính caù c goù c cuû a ΔABC b ieá t : B aø i 202: 5 cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0 (*) 2 5 T a coù : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤ + = 0 ⎣ ⎦2
- ⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ ⎧sin ( B − C ) = 0 ⎧B − C = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 3 3 cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎪cos A = 2 2 ⎩ ⎩ ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = C = 75 0 ⎩ B aø i 203: Chöù n g minh ΔABC c où C = 1200 neá u : A B C sin A + sin B + sin C − 2 sin ⋅ sin = 2 sin (*) 2 2 2 T a coù A+B A−B C C A B C (*) ⇔ 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 B C A−B C C A+B A ⇔ 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos + 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2 2⎠ 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ A B ⇔ cos ⎢cos 2 + cos 2 ⎥ = cos 2 cos 2 2⎣ ⎦ C A B A B ⇔ 2 cos cos cos = cos cos 2 2 2 2 2 C1 A B AB π ⇔ cos = ( do cos > 0 v aø cos > 0 v ì 0 < ; < ) 22 2 2 22 2 ⇔ C = 1200 B aø i 204 : T ính caù c goù c cuû a ΔΑΒC b ieá t soá ño 3 goù c taï o caá p soá coä n g vaø 3+ 3 sin A + sin B + sin C = 2 K hoâ n g laø m maá t tính chaá t toå n g quaù t cuû a baø i toaù n giaû söû A < B < C T a coù : A, B, C taï o 1 caá p soá coä n g neâ n A + C = 2B π A + B + C = π neâ n B = Maø 3 3+ 3 sin A + sin B + sin C = L uù c ñoù : 2
- 3+ 3 π ⇔ sin A + sin + sin C = 3 2 3 ⇔ sin A + sin C = 2 A+C A −C 3 ⇔ 2 sin cos = 2 2 2 B A −C 3 ⇔ 2 cos cos = 2 2 2 ⎛ 3⎞ A−C 3 ⇔ 2. ⎜ ⎟ cos = ⎜2⎟ 2 2 ⎝ ⎠ C−A 3 π ⇔ cos = cos = 2 2 6 D o C > A neâ n ΔΑΒC coù : ⎧C − A π π ⎧ ⎪C = 2 ⎪ 2 =6 ⎪ ⎪ 2π π ⎪ ⎪ ⎨C + A = ⇔ ⎨A = 3 6 ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪B = 3 ⎪B = 3 ⎩ ⎩ B aø i 205: T ính caù c goù c cuû a ΔABC neá u (1 ) ⎧ b2 + c 2 ≤ a 2 ⎪ ⎨ ( 2) ⎪sin A + sin B + sin C = 1 + 2 ⎩ b2 + c 2 − a 2 A Ù p duï n g ñònh lyù haø m cosin: cos A = 2bc b + c ≤ a neâ n cos A ≤ 0 D o (1): 2 2 2 πAπ π ≤A
- ⎧ ⎪sin A = 1 π ⎧ ⎪A = 2 ⎪ A 2 ⎪ ⎪ D aá u “=” taï i (2) xaû y ra ⇔ ⎨cos = ⇔ ⎨ 2 2 ⎪B = C = π ⎪ B−C ⎪ 4 ⎪ ⎩ ⎪cos 2 = 1 ⎩ B aø i 206 : ( Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2004) C ho ΔABC k hoâ n g tuø thoû a ñieà u kieä n ( *) cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 T ính ba goù c cuû a ΔABC M = cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 * C aù ch 1 : Ñaët B+C B−C T a coù: M = 2 cos2 A + 4 2 cos cos −4 2 2 A B−C M = 2 cos2 A + 4 2 sin cos −4 ⇔ 2 2 A B-C sin > 0 v aø cos ≤1 Do 2 2 A N eâ n M ≤ 2 cos2 A + 4 2 sin − 4 2 π ΔABC khoâ n g tuø neâ n 0 < A ≤ M aë t khaù c : 2 ⇒ 0 ≤ cos A ≤ 1 ⇒ cos2 A ≤ cos A A M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 Do ñoù : 2 A⎞ A ⎛ ⇔ M ≤ ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 4 2 sin − 4 2⎠ 2 ⎝ A A ⇔ M ≤ −4 sin2 + 4 2 sin − 2 2 2 2 A ⎛ ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 2 ⎝ ⎠ D o giaû thieá t (*) ta coù M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ ⎪ A = 90 0 ⎧ B−C ⎪ Vaä y : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ 2 ⎪B = C = 45 0 ⎩ ⎪ A 1 ⎪ ⎪sin 2 = 2 ⎩ * C aù c h 2 : ( *) ⇔ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 = 0
- B+C B−C ⇔ cos2 A + 2 2 cos cos −2=0 2 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 2 sin cos −2=0 2 2 A⎞ A B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 2 2 sin cos −2=0 2⎠ 2 2 ⎝ 2 A B − C⎞ ⎛ 2 B − C⎞ ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − ⎜ 1 − cos ⎟=0 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 A B − C⎞ 2 B−C ⎛ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − sin = 0 (*) 2 2⎠ 2 ⎝ D o ΔABC k hoâ n g tuø neâ n cos A ≥ 0 vaø cos A − 1 < 0 V aä y veá traù i cuû a (*) luoâ n ≤ 0 ⎧ ⎪cos A = 0 ⎪ A B−C ⎪ ⇔ ⎨ 2 sin = cos D aá u “=” xaû y ra 2 2 ⎪ B−C ⎪ ⎪sin 2 = 0 ⎩ ⎪ A = 90 0 ⎧ ⇔⎨ ⎪B = C = 45 0 ⎩ Baø i 207: C höù n g minh ΔABC coù ít nhaá t 1 goù c 60 0 k hi vaø chæ khi sin A + sin B + sin C = 3 (*) cos A + cos B + cos C T a coù : ( )( )( ) (*) ⇔ sin A − 3 cos A + sin B − 3 cos B + sin C − 3 cos C = 0 π⎞ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 0 3⎠ 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎛ A + B π⎞ A−B π⎞ ⎛ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝2 3⎠ 2 3⎠ ⎝ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ 2 sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + 2 sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0 ⎣⎝ 2 2 ⎠ 3 ⎦ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝ 2 6⎠ ⎛C π⎞⎡ A−B ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 ⎝ 2 6⎠⎣ 2 ⎝ 2 6 ⎠⎦ ⎛π A + B⎞ ⎛C π⎞ A−B ⎛C π⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = 0 ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ ⎝ 2 6⎠ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝3 2⎠ C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ =∨ =− ∨ =− 26 2 3 2 2 3 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 3 3
- B aø i 208: Cho ΔABC v aø V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chöù n g minh: a / Neá u V = 0 thì ΔABC c où moä t goù c vuoâ n g b / Neá u V < 0 thì ΔABC c où ba goù c nhoï n c / Neá u V > 0 thì ΔABC c où moä t goù c tuø 1 1 (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B ) + cos2 − 1 T a coù : V = 2 2 1 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C 2 ⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B D o ñoù : a/ V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0 ⇔ ΔABC ⊥ t aï i A hay ΔABC ⊥ t aï i B hay ΔABC ⊥ t aï i C b/ V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0 ⇔ ΔABC c où ba goù c nhoï n ( vì trong 1 tam giaùc khoâ n g theå coù nhieà u hôn 1 goùc tuø neâ n khoâ n g coù tröôø n g hôï p coù 2 cos cuø n g aâ m ) c/ V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0 ⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0 ⇔ ΔABC c où 1 goù c tuø . II. TAM GIAÙC VUOÂNG B a+c C ho ΔABC c où cotg B aø i 209: = 2 b C höù n g minh ΔABC v uoâ n g B a+c cotg T a coù : = 2 b B cos 2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C ⇔ B 2R sin B sin B sin 2 B A+C A−C cos 2 sin . cos 2= 2 2 ⇔ B B B sin 2 sin . cos 2 2 2 B B A−C B cos2 = cos . cos (do sin > 0) ⇔ 2 2 2 2 B A−C B cos = cos (do cos > 0) ⇔ 2 2 2
- B A−C B C−A ⇔ = ∨= 2 2 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A hay ΔABC vuoâng taïi C C höù n g minh ΔABC v uoâ n g taï i A neá u B aø i 210: b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a T a coù : + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A ⇔ + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) ⇔ cos B. cos C − sin B. sin C = 0 ⇔ ⇔ cos ( B + C ) = 0 π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâng taïi A C ho ΔABC c où : B aø i 211: A B C A B C1 cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 2 2 22 C höù n g minh ΔABC v uoâ n g T a coù : A B C1 A B C (*) ⇔ coscos cos = + sin sin sin 2 2 22 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1 1⎡ A+B A − B⎤ C ⇔ ⎢cos + cos cos = − ⎢cos − cos sin 2⎥ 2⎥ 2⎣ 2 2 2 2⎣ 2 2 ⎦ ⎦ C A − B⎤ C C A − B⎤ C ⎡ ⎡ ⇔ ⎢sin + cos ⎥ cos 2 = 1 − ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ sin 2 2 2⎦ ⎣ ⎣ ⎦ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C C A−B C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2
- C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ ⇔ cos ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ = cos 2 ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⎡ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 2⎥ 2 2⎦ ⎣ 2 ⎣ ⎦ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = 1 ∨ = ∨= 2 2 2 2 2 Cπ ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C 24 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 2 2 2 C höù n g minh ΔABC v uoâ n g neá u : B aø i 212: 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15 D o baá t ñaú n g thöù c Bunhiacoá p ki ta coù : 3cos B + 4 sin B ≤ 9 + 16 cos2 B + sin2 B = 15 6sin C + 8 cos C ≤ 36 + 64 sin2 C + cos2 C = 10 v aø 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15 n eâ n : ⎧ cos B sin B 4 ⎧ ⎪tgB = 3 ⎪3=4 ⎪ ⎪ Daá u “=” xaû y ra ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = 4 ⎪6 ⎪ 8 3 ⎩ ⎩ ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâ n g taï i A. C ho ΔABC c où : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B B aø i 213: C höù n g minh ΔABC v uoâ n g. T a coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B ⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin2 C). cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C. cos(A − B) ⇔ cos C = 0 hay − (1 + sin C) = cos C. cos(A − B) (*) ⇔ cos C = 0 ( D o sin C > 0 neâ n −(1 + sin C) < −1 Maø cos C.cos(A − B) ≥ −1 .Vaä y (*) voâ nghieä m .) Do ñoù ΔABC v uoâ n g taï i C III. TAM GIAÙC CAÂN
- C B aø i 214: Chöù n g minh neá u ΔABC c où tgA + tgB = 2 cotg 2 t hì laø tam giaù c caâ n . C T a coù : tgA + tgB = 2 cotg 2 C 2 cos sin(A + B) 2 ⇔ = C cos A.cos B sin 2 C 2 cos sin C 2 ⇔ = C cos A.cos B sin 2 C C C 2 sin cos 2 cos 2 2= 2 ⇔ C cos A cos B sin 2 C C ⎛ ⎞ ⇔ sin 2 = cos A.cos B ⎜ do cos > 0 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ 1 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤ 2⎣ ⎦ 2 ⇔ 1 − cos C = − cos C + cos ( A − B ) ⇔ cos ( A − B ) = 1 ⇔A=B ⇔ ΔABC c aâ n taï i C. C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 215: A B B A sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 A B B A sin .cos3 = sin .cos3 T a coù : 2 2 2 2 A⎞ B⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⇔⎜ = A⎟ A⎜ B⎟ B ⎜ cos ⎟ cos2 ⎜ cos ⎟ cos2 2⎠ 2⎝ 2⎠ 2 ⎝ A B ( do cos > 0 vaø cos > 0 ) 2 2
- A⎛ 2 A⎞ B⎛ 2 B⎞ ⇔ tg ⎜ 1 + tg ⎟ = tg ⎜ 1 + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg 3 − tg 3 + tg − tg = 0 2 2 2 2 ⎛A B⎞⎡ A B A B⎤ ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg 2 + tg 2 + tg .tg ⎥ = 0 (*) ⎝2 2 ⎠⎣ 2 2 2 2⎦ A B A B AB ( v ì 1 + tg 2 + tg 2 + tg tg > 0 ) ⇔ tg = tg 2 2 2 2 2 2 ⇔A=B ⇔ ΔABC c aâ n taï i C C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 216: cos2 A + cos2 B 1 = ( cotg 2 A + cotg 2B ) (*) sin 2 A + sin2 B 2 T a coù : cos2 A + cos2 B 1 ⎛ 1 1 ⎞ − 2⎟ (*) ⇔ =⎜ + sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin B 2 2 2 2 ⎠ cos A + cos B 1⎛ 1 1⎞ 2 2 +1 = ⎜ ⇔ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin2 B ⎠ 2 2 2 2 1⎛ 1 1⎞ ⇔ =⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠ 2 2 2 ⇔ 4 sin2 A sin2 B = ( sin2 A + sin2 B ) 2 ⇔ 0 = ( sin 2 A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B V aä y ΔABC c aâ n taï i C C höù n g minh ΔABC c aâ n neá u : B aø i 217: C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) 2 C ( atgA + btgB ) T a coù : a + b = tg 2 C ⇔ ( a + b ) cotg = atgA + btgB 2 C⎤ C⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 0 2⎦ 2⎦ ⎣ ⎣ A + B⎤ A + B⎤ ⎡ ⎡ ⇔ a ⎢ tgA − tg ⎥ + b ⎢ tgB − tg 2 ⎥ = 0 2⎦ ⎣ ⎣ ⎦ A−B B−A a sin b sin 2 2 =0 ⇔ + A+B A+B cos A. cos cos B. cos 2 2
- A−B a b ⇔ sin = 0 hay =0 − 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC c aâ n taï i C IV. NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙ C C ho ΔABC t hoû a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) B aø i 218: C höù n g minh ΔABC v uoâ n g hay caâ n D o ñònh lyù haø m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin 2 A − sin 2 B ) N eâ n (*) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B 1 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 2 1 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] 2 ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡1 − sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 v aä y ΔABC v uoâ n g hay caâ n taï i C Caù c h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 B aø i 219 ΔABC l aø tam giaù c gì neá u ( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B ) (*) T a coù : (*) ⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B ) ⇔ sin 2 A ⎡sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎤ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⇔ 2sin2 A cos A sin ( −B ) + 2sin2 B sin A cos B = 0
- ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 ( do sin A > 0 vaø sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 V aä y ΔABC c aâ n taï i C hay ΔABC v uoâ n g taï i C. ΔABC laø tam giaù c gì neá u : B aø i 220: ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B (2) Ta coù : (1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin 2 A sin 2B + sin2 B sin 2A = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay vaø o (2) ta ñöôï c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 D o ñoù ΔABC v uoâ n g caâ n taï i C V . TAM GIAÙ C ÑEÀ U C höù n g minh ΔABC ñeà u neá u : B aø i 221: bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ T a coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 3 1 3 ⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − sin C ⎥ + 2 sin C ⎢1 − cos B − sin B ⎥ = 0 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ π ⎞⎤ ⎡ π ⎞⎤ ⎛ ⎛ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1) 3 ⎠⎦ 3 ⎠⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎣
- π⎞ ⎛ D o sin B > 0 vaø 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ π⎞ ⎛ sin C > 0 v aø 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ N eâ n veá traù i cuû a (1) luoâ n ≥ 0 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ D o ñoù , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎪ 3⎠ ⎝ ⎩ π ⇔ ΔABC ñ eà u . ⇔C=B= 3 3 ⎧ sin B sin C = (1) ⎪ 4 ⎪ C höù n g minh ΔABC ñ eà u neá u ⎨ B aø i 222 : ⎪a 2 = a − b − c 3 3 3 (2) ⎪ a−b−c ⎩ T a coù : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2 c = a 3 − b3 − c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c2 ) ⇔ a 2 = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c 2 − 2bc cos A = b2 + c 2 − bc ( do ñl haø m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc 1 π ⇔ cos A = ⇔A= 2 3 T a coù : (1) ⇔ 4 sin B sin C = 3 ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⎛1⎞ π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta coù A = ⎟ ⎝2⎠ 3⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C V aä y töø (1), (2) ta coù ΔABC ñeà u C höù n g minh ΔABC ñ eà u neá u : B aø i 223: sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B ) T a coù : = 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1) cos ( A − B ) = 1 D aá u “=” xaû y ra khi: sin 2A + sin 2C ≤ 2sin B T öông töï : ( 2)
- D aá u “=” xaû y ra khi: cos ( A − C ) = 1 sin 2B + sin 2C ≤ 2sin A T öông töï : ( 3) Daá u “=” xaû y ra khi: cos ( B − C ) = 1 T öø (1) (2) (3) ta coù: 2 ( sin2A + sin2B + sin2C) ≤ 2 ( sinC + sinB + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = 1 ⎪ D aá u “=” xaû y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = 1 ⇔ ΔABC ñeà u C ho ΔABC c où : B aø i 224: 1 1 1 1 (*) + + = sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C 2 2 2 C höù n g minh ΔABC ñ eà u T a coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) = 2 cos A cos B cos C = 4 sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) M aø : 4 sin A sin B sin C = 2 ⎡ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ sin ( A + B ) ⎣ ⎦ = 2 ⎡cos ( A − B ) + cos C⎤ sin C ⎣ ⎦ = 2 sin C cos C + 2 cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do ñoù , vôù i ñieà u kieä n ΔABC k hoâ n g vuoâ n g ta coù (*) ⇔ sin 2 2B sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2C + sin 2 2A sin 2 2B = sin 2A. sin 2B. sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin 2 2A sin 2B sin 2C + sin 2 2B sin 2A sin 2C + sin 2 2C sin 2A sin 2B 1 1 2 2 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 2 1 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0 2 2 ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔ A = B = C ⇔ ABC ñ eà u ⇔⎨ ⎩sin 2B = sin 2C B aø i 225 : Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u : a cos A + b cos B + c cos C 2p (*) = a sin B + b sin C + c sin A 9R
- T a coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C ⎤ ⎣ ⎦ = 2R sin C ⎡cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ = 4R sin C sin A sin B ⎣ ⎦ C aù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R 3 sin 2 A sin 2 B sin2 C ( do bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C 2 3 sin A sin B sin C ( 1) D o ñoù veá traù i : ≤ a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 = ( sin A + sin B + sin C ) Maø veá phaû i : = 9R 9R 9 2 ≥ 3 sin A sin B sin C ( 2) 3 Töø (1) vaø (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC ñeà u 4 R sin A sin B sin C a+b+c Caù c h 2: T a coù : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ ⎛ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ ⎛b⎞ ⎛ c ⎞ ca 9R a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ 2R ⎠ 2R ⎠ 2R ⎝ ⎝ ⇔ 9abc = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) D o baá t ñaú n g thöùc Cauchy ta coù a + b + c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c 2 D o ñoù : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Daá u = xaû y ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC ñ eà u . Baø i 226: Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 2 2 sin ( A + B ) sin C T a coù : cot gA + cot gB = = sin A sin B sin A sin B sin C ( do bñt Cauchy) ≥ 2 ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
- C C C 2 sin cos 2 sin 2 2 2 = = 2 A+B 2 A−B C 2 A−B sin .cos cos cos 2 2 2 2 C ≥ 2tg ( 1) 2 B Töông töï : cot gA + cot gC ≥ 2tg ( 2) 2 A cot gB + cot gC ≥ 2tg ( 3) 2 Töø (1) (2) (3) ta coù ⎛A B C⎞ 2 ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ 2 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝2 2 2⎠ D o ñoù daá u “=” taï i (*) xaû y ra A−B A−C B−C ⎧ ⎪cos = cos = cos =1 2 2 2 ⇔⎨ ⎪sin A = sin B = sin C ⎩ ⇔A=B=C ⇔ ΔABC ñeàu. BAØI TAÄP Tính caù c goù c cuû a ΔABC b ieá t : 1. 3 2π π a/ cos A = sin B + sin C − ( ÑS: B = C = ,A = ) 2 6 3 π b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = 0 ( ÑS: A = B = C = ) 3 c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 Tính goù c C cuû a ΔABC b ieá t : 2. a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2 ⎧ A, B nhoïn ⎪ b/ ⎨ 2 ⎪sin A + sin B = 9 sin C 2 ⎩ ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 Cho ΔABC c où : ⎨ 3. ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 C höù n g minh Δ c où ít nhaá t moä t goù c 36 0 . 4. Bieá t sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m . Chöù n g minh a / m = 2 t hì ΔABC v uoâ n g b/ m > 2 t hì ΔABC n hoï n c/ m < 2 t hì ΔABC t uø . Chöù n g minh ΔABC v uoâ n g neá u : 5. b+c a/ cos B + cos C = a b c a b/ + = cos B cos C sin B sin C
- c / sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = 2 ⎡1 − cos ( B − C )⎤ 2 ⎣ ⎦ d/ b 1 − cos 2B 2 Chöù n g minh ΔABC c aâ n neá u : 6. 1 + cos B 2a + c a/ = sin B a 2 − c2 sin A + sin B + sin C A B = cot g . cot g b/ sin A + sin B − sin C 2 2 c / tgA + 2tgB = tgA.tg B 2 C C⎞ ⎛ ⎞ ⎛ d / a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C B e / ( p − b ) cot g = ptg 2 2 C f / a + b = tg ( atgA + btgB ) 2 ΔABC l aø Δ g ì neá u : 7. A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg 2 b / c = c cos 2B + b sin 2B c / sin 3A + sin 3B + sin 3C = 0 d / 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chöù n g minh ΔABC ñ eà u neá u 8. a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b / 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c / sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R v ôù i ma , m b , mc laø 3 ñöôø n g trung tuyeá n d/ ma + m b + mc = 2 Th.S Ph ạm H ồ ng Danh – T T luyệ n thi Vĩ nh Vi ễ n
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
BỘ 60 ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2010-2011
2 p | 822 | 364
-
Đề thi ôn tập môn Toán lớp 10 - Đề số 1
3 p | 659 | 267
-
Ôn thi môn toán - Hệ thức lượng trong tam giác
16 p | 375 | 95
-
Đề thi thử đại học môn toán khối D 2010 -2011 lần 1 Trường THPT Chuyên Hạ Long
6 p | 220 | 92
-
Đề thi thử môn toán
3 p | 195 | 46
-
Chuyên đề ôn thi đại học - Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4 p | 170 | 46
-
Chuyên đề ôn thi: Hình học giải tích trong không gian
18 p | 138 | 35
-
Tài liệu ôn thi môn: Toán vào lớp 10
17 p | 127 | 14
-
ĐỀ ÔN THI HOC KỲ II – NĂM HOC 2009 – 2010 ̣ ̣ MÔN TOAN – LỚP 10 ́
13 p | 129 | 11
-
Đề thi ôn thi đại học môn toán - Đề số 1
5 p | 48 | 11
-
ôn thi môn toán năm 2011_ số 6
6 p | 80 | 9
-
Đề ôn luyện thi môn toán học - đề 1
2 p | 105 | 7
-
Đề ôn thi môn Toán khối THPT năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Trần Văn Giàu
20 p | 10 | 4
-
Đề thi HK 2 môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - THPT Phạm Văn Đồng - Mã đề 004
7 p | 64 | 2
-
Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2012 - THPT Phú Điền
5 p | 26 | 2
-
Đề thi HK 2 môn Toán học lớp 12 - Mã đề 9
3 p | 30 | 2
-
Đề tham khảo HK 2 môn Toán lớp 10 năm 2012 - THPT Lấp Vò 2
5 p | 42 | 1
-
Đề khảo sát chất lượng lần 4 môn Toán lớp 11 năm 2018 - THPT Nguyễn Viết Xuân - Mã đề 304
6 p | 18 | 0
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn