Ôn thi môn toán - Hệ thức lượng trong tam giác

Chia sẻ: Trần Anh Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

376
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn thi môn toán - hệ thức lượng trong tam giác', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi môn toán - Hệ thức lượng trong tam giác

C HÖÔNG X: H EÄ THÖÙ C LÖÔÏ N G TRONG TAM GIAÙ C I . ÑÒNH LYÙ HAØ M SIN VAØ COSIN C ho ΔABC c où a, b, c laà n löôï t laø ba caï n h ñoá i dieä n cuû a A, B, C, R l aø baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC , S laø dieä n tích ΔABC t hì a b c = 2R = = sin A sin B sin C a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − 4S.cotgA b2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B = a 2 + c 2 − 4S.cotgB c2 = a 2 + b2 − 2ab cos C = a 2 + b2 − 4S.cotgC C ho ΔABC . Chöù n g minh: B aø i 184 A = 2B ⇔ a 2 = b2 + bc T a coù : a 2 = b2 + bc ⇔ 4R2 sin2 A = 4R2 sin2 B + 4R2 sin B.sin C ⇔ sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C 1 1 ⇔ (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) = sin B sin C 2 2 ⇔ cos 2B − cos 2A = 2 sin B sin C ⇔ −2 sin ( B + A ) sin ( B − A ) = 2 sin B sin C ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ sin ( A − B ) = sin B ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B C aù c h khaù c : sin 2 A − sin 2 B = sin B sin C ⇔ (s in A − sin B) (s in A + sin B) = sin B sin C A+B A−B A+B A−B ⇔ 2 cos sin .2 sin co s = sin B sin C 2 2 2 2 ⇔ sin ( B + A ) sin ( A − B ) = sin B sin C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0 ) ⇔ sin ( A − B ) = sin B ⇔ A − B = B ∨ A − B = π − B ( loaïi ) ⇔ A = 2B
sin ( A − B ) a 2 − b2 C ho ΔABC . Chöù n g minh: B aø i 185: = sin C c2 a 2 − b2 4R 2 sin2 A − 4R 2 sin2 B T a coù = c2 4R 2 sin2 C 1 1 sin 2 A − sin 2 B 2 ( 1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 = = sin 2 C sin 2 C cos 2B − cos 2A −2 sin ( A + B ) sin ( B − A ) = = 2 sin 2 C 2 sin 2 C sin ( A + B ) . sin ( A − B ) sin ( A − B ) = = sin C sin 2 C ( do sin ( A + B ) = sin C > 0) A B1 C ho ΔABC b ieá t raè n g tg ⋅ tg = ⋅ B aø i 186: 2 23 C höù n g minh a + b = 2c A B1 A B A B T a coù : tg ⋅ tg = ⇔ 3sin sin = cos cos 2 23 2 2 2 2 A B ⎛ ⎞ ⎜ do cos > 0, cos > 0 ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ A B A B A B ⇔ 2 sin sin = cos cos − sin sin 2 2 2 2 2 2 A+B A − B⎤ A+B ⎡ ⇔ − ⎢cos − cos ⎥ = cos 2 2 2⎦ ⎣ A−B A+B ( *) ⇔ cos = 2 cos 2 2 a + b = 2R ( sin A + sin B ) M aë t khaù c : A+B A−B = 4R sin cos 2 2 A+B A+B ( do ( *) ) = 8R sin cos 2 2 = 4R sin ( A + B ) = 4R sin C = 2c C aù c h khaù c : a + b = 2c ⇔ 2R ( sin A + sin B ) = 4R sin C
A+B A−B C C ⇔ 2 sin cos = 4 sin cos 2 2 2 2 C⎞ A−B C A+B ⎛ A+B ⇔ cos = 2 sin = 2 cos ⎜ do sin = cos ⎟ 2 2 2⎝ 2 2⎠ A B A B A B A B ⇔ cos cos + sin sin = 2 cos cos − 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A B A B ⇔ 3 sin sin = cos cos 2 2 2 2 A B1 ⇔ tg ⋅ tg = 2 23 B aø i 187: Cho ΔABC , chöù n g minh neá u cotgA, cotgB, cotgC taï o moä t caá p soá coä n g thì a 2 , b2 , c2 cuõ n g laø caá p soá coä n g. T a coù : cot gA, cot gB, cot gC laø caáp soá coäng ⇔ cot gA + cot gC = 2 cot gB ( * ) Caù c h 1: sin ( A + C ) 2 cos B Ta coù: ( *) ⇔ sin 2 B = 2 sin A sin C cos B ⇔ = sin A sin C sin B ⇔ sin B = − ⎡cos ( A + C ) − cos ( A − C ) ⎤ ⎡ − cos ( A + C ) ⎤ 2 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⇔ sin 2 B = cos2 ( A + C ) − cos ( A − C ) cos ( A + C ) 1 [cos 2A + cos 2C] ⇔ sin 2 B = cos2 B − 2 1 ⇔ sin 2B = (1 − sin 2 B ) − ⎡(1 − 2 sin 2 A ) + (1 − 2 sin 2 C ) ⎤ 2⎣ ⎦ ⇔ 2 sin 2 B = sin 2 A + sin 2 C 2b2 a2 c2 ⇔ = + 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ 2b2 = a 2 + c2 ⇔ a 2 , b2 , c2 laø caâùp soá coäng • Caù c h 2: Ta coù: a 2 = b2 + c 2 − 2ab cos A ⎛1 ⎞ ⇔ a 2 = b2 + c 2 − 4 ⎜ bc sin A ⎟ .cotgA ⎝2 ⎠ ⇔ a = b + c − 4S cot gA 2 2 2 b2 + c 2 − a 2 Do ñoù cotgA = 4S a 2 + c 2 − b2 a 2 + b2 − c 2 Töông töï cotgB = , cotgC = 4S 4S b +c −a a + b − c2 a 2 + c 2 − b2 2 2 2 2 2 ( *) ⇔ Do ñoù: = 2⋅ + 4S 4S 4S ⇔ 2b = a + c 2 2 2
C ho ΔABC c où sin2 B + sin2 C = 2sin2 A B aø i 188: C höù n g minh BAC ≤ 600. Ta coù: sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A b2 c2 2a 2 ⇔ + = 4R 2 4R 2 4R 2 ⇔ b2 + c 2 = 2a 2 ( *) D o ñònh lyù haø m cosin neâ n ta coù a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A 2 ( b2 + c 2 ) − b2 − c 2 b2 + c 2 − a 2 ( do ( *)) ⇔ cos A = = 2bc 4bc b2 + c 2 2bc 1 ( do Cauchy ) = ≥ = 4bc 4bc 2 Vaïây : BAC ≤ 600. C aù c h khaù c: ñònh lyù haø m cosin cho a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A ⇒ b2 + c2 = a 2 + 2bc cos A D o ñoù (*) ⇔ a 2 + 2bc cos A = 2a 2 b 2 + c2 1 a2 ⇔ cos A = = ≥ ( do Cauchy) 2bc 4 bc 2 C ho ΔABC . Chöù n g minh : B aø i 189: R ( a 2 + b2 + c 2 ) cotgA+cotgB+cotgC = abc b + c − a2 2 2 Ta coù: cotgA = 4S a +c −b a 2 + b2 − c 2 2 2 2 Töông töï: cot gB = , cot gC = 4S 4S a +b +c a 2 + b2 + c 2 2 2 2 Do ñoù cot gA + cot gB + cot gC = = abc 4S 4 4R a +b +c 2 2 2 =R abc B aø i 190: Cho ΔABC c où 3 goù c A, B, C taï o thaø n h moä t caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. G iaû söû A < B < C. 111 C höù n g minh: =+ abc
D o A, B, C laø caá p soá nhaâ n coù q = 2 neâ n B = 2A, C = 2B = 4A 2π 4π π Maø A + B + C = π neân A = , B = ,C = 7 7 7 C aù c h 1: 11 1 1 Ta coù: += + b c 2R sin B 2R sin C ⎛ ⎞ 1⎜ 1 1⎟ = + ⎜ ⎟ 2π 4π ⎟ 2R ⎜ ⎜ sin sin ⎟ 7 7⎠ ⎝ 4π 2π sin + sin 1 7 7 = 2π 4π 2R sin sin 7 7 3π π 2 sin . cos 1 7 ⎛ do sin 4 π = sin 3π ⎞ 7 = ⋅ 3π ⎜ ⎟ 2π 2R 7 7⎠ ⎝ sin . sin 7 7 π cos 1 1 7 =⋅ = R π 2R sin A π 2 sin . cos 7 7 1 = a C aù c h 2: 111 1 1 1 =+⇔ = + abc sin A sin B sin C 1 1 1 sin 4A + sin 2A ⇔ = + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2 sin 3A. cos A 2 cos A 2 cos A ⇔ = = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 3π 4π do : sin 3A = sin = sin = sin 4A • 7 7 T ính caù c goù c cuû a ΔABC neá u B aø i 191: sin A sin B sin C = = 1 2 3 a b c = 2R D o ñònh lyù haø m sin: = = sin A sin B sin C sin A sin B sin C ( *) n eâ n : = = 1 2 3
a b c ⇔ = = 2R 2R 3 4R ⎧ b c ⎪b = a 3 ⇔a= = ⇔⎨ 32 ⎪c = 2a ⎩ ( ) 2 Ta coù: c 2 = 4a 2 = a 3 + a2 ⇔ c 2 = b2 + a 2 Vaïây ΔABC vuoâng taïi C Thay sin C = 1 vaøo ( *) ta ñöôïc sin A sin B 1 = = 1 2 3 1 ⎧ ⎪sin A = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin B = 3 ⎪ 2 ⎩ ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = 60 0 ⎩ G hi chuù: Trong tam giaù c ABC ta coù a = b ⇔ A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B II. ÑÒNH LYÙ VEÀ ÑÖÔØN G TRUNG TUYEÁ N C ho A BC coù trung tuyeá n AM thì: BC2 AB2 + AC2 = 2AM2 + 2 a2 h ay : c + b = 2ma + 2 2 2 2 B aø i 192: Cho A BC coù AM trung tuyeá n , AMB = α , AC = b, AB = c, S laø dieä n tích A BC. Vôù i 0 < α < 900 b2 − c 2 a / Chöù n g minh: cotgα = 4S b / Giaû söû α = 45 , chöù n g minh: cotgC – cotgB = 2 0 HM MB − BH A HM vuoâ n g ⇒ cotgα = a/ = AH AH a BH (1 ) ⇒ cotgα = − 2AH AH
b2 − c 2 ( a + c − 2ac cos B ) − c 2 2 2 M aë t khaù c : = 4S 2AH.a Ñ aë t BC = a b2 − c 2 a c cos B a BH ( 2) ⇒ = − = − 4S 2AH AH 2AH AH b2 − c 2 Töø (1) vaø (2) ta ñöôï c : cotg α = 4S C aù c h khaù c: Goï i S 1 , S 2 l aà n löôï t laø dieä n tích tam giaù c ABH vaø ACH Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABH vaø ACH ta coù : AM2 + BM2 − c 2 cotg α = ( 3) 4S1 AM2 + CM2 − b2 − cotg α = ( 4) 4S2 Laá y (3) – (4) ta coù : b2 − c 2 S cotg α = ( v ì S 1 =S 2 = ) 4S 2 HC HB HC − HB b/Ta coù : cotgC – cotgB = − = AH AH AH ( MH + MC ) − ( MB − MH ) = AH 2MH = 2 cotg α = 2 cotg 450 = 2 = AH C aù c h khaù c: Aù p duï n g ñònh lyù haø m cos trong tam giaù c ABM vaø ACM ta coù : BM2 + c 2 − AM2 cotg B = ( 5) 4S1 CM2 + b2 − AM2 cotg C = ( 6) 4S2 Laá y (6) – (5) ta coù : b2 − c 2 S cotg C − cot gB = = 2 cot gα =2 ( vì S 1 =S 2 = v aø caâ u a ) 2S 2
C ho A BC coù trung tuyeá n phaù t xuaá t töø B vaø C laø mb , mc thoû a B aø i 193 c mb ≠ 1 . Chöù n g minh: 2cotgA = cotgB + cotgC = b mc m2 c2 T a coù : 2 = 2 b b mc 1⎛ 2 b2 ⎞ a + c2 − ⎜ ⎟ 2 2⎠ c2 ⇔ 2= ⎝ b 1⎛ 2 c2 ⎞ b + a2 − ⎟ ⎜ 2⎝ 2⎠ c4 b4 ⇔ b2 c 2 + a 2 c 2 − = a 2 b2 + b2 c 2 − 2 2 14 ⇔ a 2 c 2 − a 2 b2 = ( c − b4 ) 2 1 ⇔ a 2 ( c 2 − b2 ) = ( c 2 − b2 )( c 2 + b2 ) 2 c ⎛ ⎞ ⇔ 2a 2 = c 2 + b2 (1) ⎜ do ≠ 1 ⎟ ⎝b ⎠ T hay b + c = a + 2bc cos A vaø o (1), ta coù (1) thaø n h 2 2 2 a 2 = 2bc cos A a2 4R 2 sin 2 A ⇔ cos A = = 2bc 2 ( 2R sin B ) ( 2R sin C ) sin ( B + C ) cos A sin A ⇔2 = = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔ 2 cotgA = = cotgC+ cotgB sin B sin C B aø i 194 : Chöù n g minh neá u A BC coù trung tuyeá n AA’ vuoâ n g goù c vôù i trung tuyeá n B B’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) G AB vuoâ n g taï i G coù GC’ trung tuyeá n neâ n AB = 2GC’ 2 Vaä y AB = CC′ 3 ⇔ 9c = 4m 2 2 c c2 ⎞ ⎛ ⇔ 9c 2 = 2 ⎜ b2 + a 2 − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ 5c 2 = a 2 + b2 ⇔ 5c2 = c2 + 2ab cos C (do ñònh lyù haø m cos) ⇔ 2c 2 = ab cos C 2 ⇔ 2 ( 2R sin C ) = ( 2R sin A )( 2R sin B ) cos C
⇔ 2 sin2 C = sin A sin B cos C 2 sin C cos C ⇔ = sin A sin B sin C 2 sin ( A + B ) = cotgC ⇔ sin A sin B 2 ( sin A cos B + sin B cos A ) = cotgC ⇔ sin A sin B ⇔ 2 ( cotg B + cotgA ) = cotgC III. DIEÄN TÍCH TAM GIAÙC G oï i S: dieä n tích A BC R: baù n kính ñöôø ng troø n ngoaï i tieá p A BC r: baù n kính ñöôøn g troø n noä i tieá p A BC p: nöû a chu vi cuû a A BC thì 1 1 1 S= a.h a = b.h b = c.hc 2 2 2 1 1 1 S = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2 abc S= 4R S = pr S = p ( p − a ) ( p − b )( p − c ) 2S sin 2A + sin 2B + sin 2C = B aø i 195: C ho A BC chöù n g minh: R2 T a coù : sin2A+ ( sin2B + sin2C ) = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] abc 1 abc 1 4RS 2S = 4. . . = = =2 2R 2R 2R 2 R 3 2 R3 R B aø i 196 C ho A BC. Chöù n g minh : 12 ( a sin 2B + b2 sin 2A ) S = Dieä n tích ( A BC) = 4
1 T a coù : S = dt ( ΔABC ) = ab sin C 2 1 ab sin ( A + B ) = 2 1 = ab [sin A cos B + sinB cos A ] 2 1 ⎡⎛ a ⎛b ⎤ ⎞ ⎞ = ab ⎢⎜ sin B ⎟ cos B + ⎜ sin A ⎟ cos A ⎥ (do ñl haøm sin) 2 ⎣⎝ b ⎝a ⎠ ⎠ ⎦ 1 = ⎡a 2 sin B cos B+ b2 sin A cos A ⎤ 2⎣ ⎦ 1 = ( a 2 sin 2B + b2 sin 2A ) 4 B aø i 197 : Cho ΔABC c où troï n g taâ m G vaø GAB = α, GBC = β, GCA = γ. 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) C höù n g minh: cotgα + cotgβ +cotgγ = 4S G oï i M laø trung ñieå m BC, veõ MH ⊥ AB AH ΔAMH ⊥⇒ cos α = AM BH 2BH ΔBHM ⊥⇒ cos B = = MB a T a coù : AB = HA + HB a ⇔ c = AM cos α + cos B 2 1⎛ a ⎞ (1 ) ⇔ cos α = ⎜ c − cos B ⎟ AM ⎝ 2 ⎠ M aë t khaù c do aù p duï n g ñònh lyù haø m sin vaø o ΔAMB t a coù : MB AM 1 a ⇔ sin α = MB sin B = sin B (2) = sin α sin B AM 2AM L aá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : a c − cos B 2c − a cos B 2 cotgα = = a b sin B a. 2 2R R ( 4c − 2a cos B ) R ( 4c − 2ac cos B ) 2 = = ab abc 3c + b − a 3c + b − a 2 2 2 2 2 2 = = abc 4S R
C höù n g minh töông töï : 3a 2 + c 2 − b2 cotgβ = 4S 3b + a 2 − c 2 2 cotgγ = 4S D o ñoù : cotgα + cotgβ + cotgγ 3c2 + b2 − a 2 3a 2 + c 2 − b2 3b2 + a 2 − c 2 = + + 4S 4S 4S 3 (a + b + c ) 2 2 2 = 4S 32 ( a + b2 + c2 ) (*) C aù c h khaù c : T a coù m2 + m2 + mc = 2 a b 4 a2 c2 + m2 − 4 = 4c + 4ma − a (a) 2 2 2 a cotgα = 4SΔABM 8S 4a 2 + 4m2 − b2 4b2 + 4m2 − c2 T öông töï cotgβ = (b), cotgγ = (c) b c 8S 8S C oä n g (a), (b), (c) vaø keá t hôï p (*) ta coù : 3 ( a 2 + b2 + c 2 ) cotg α + cotg β + cotg γ = 4S IV. BAÙN KÍNH ÑÖÔØ N G TROØ N G oï i R baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p ΔABC v aø r baù n kính ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC t hì a abc R= = 2 sin A 4S S r= p A B C r = ( p − a ) tg = ( p − b ) tg = ( p − c ) tg 2 2 2 B aø i 198: Goï i I laø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p ΔABC . C höù n g minh:
A B C a/ r = 4R sin sin sin 2 2 2 b/ IA.IB.IC = 4Rr 2 B BH ΔIBH ⊥⇒ cotg a / Ta coù : = 2 IH B ⇒ BH = rcotg 2 C T öông töï HC = r cotg 2 M aø : BH + CH = BC neâ n B C⎞ ⎛ r ⎜ cotg + cotg ⎟ = a 2 2⎠ ⎝ ⎛B + C⎞ r sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠=a ⇔ B C sin sin 2 2 A B C ⇔ r cos = ( 2R sin A ) sin sin 2 2 2 A A A B C ⇔ r cos = 4R sin cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C A ⇔ r = 4R sin sin sin . (do cos >0) 2 2 2 2 Α IK r Δ ⊥ ΑΚΙ ⇒ sin ⇒ IA = b / Ta coù : = A 2 IA sin 2 r r IB = ; IC = T öông töï B C sin sin 2 2 r 3 IA.IB.IC = Do ñoù : A B C sin sin sin 2 2 2 r3 = 4Rr 2 (do keát quaû caâu a) = r 4R B aø i 199 : C ho ΔABC c où ñöôø n g troø n noä i tieá p tieá p xuù c caù c caï n h ΔABC t aï i A’, B’, C ’. ΔA 'B 'C ' coù caù c caï n h laø a’, b’, c’ vaø dieä n tích S’. Chöù n g minh:
a' b ' C⎛ A B⎞ a/ = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ + a b 2⎝ 2 2⎠ S' A B C b/ = 2 sin sin sin S 2 2 2 1 1 1 C 'IB ' = ( π − A ) = ( B + C ) a / Ta coù : C ' A 'B ' = 2 2 2 A Ù p duï n g ñònh lyù hình sin vaø o ΔA 'B 'C ' a' = 2r ( r: baù n kính ñöôø ng troø n noä i tieá p ΔABC ) sin A ' B+C ⇒ a ' = 2r sin A ' = 2r sin (1) 2 ΔABC c où : a = BC = BA '+ A 'C B C ⇒ a = r cot g + r cot g 2 2 B+C sin 2 ⇒a=r (2) B C sin sin 2 2 a B C (1) ′ = 2 sin sin L aá y t a ñöôï c a 2 2 (2) b' A C = 2 sin .sin T öông töï b 2 2 a ' b' C⎛ A B⎞ = 2 sin ⎜ sin + sin ⎟ . V aä y + a b 2⎝ 2 2⎠ 1 1 1 .B 'IA ' = ( π − C ) = ( A + B ) A 'C 'B ' = b / Ta coù : 2 2 2
A+B C sin C ' = sin = cos V aä y 2 2 1 a ' b 'sin C ' S ' dt ( ΔA 'B 'C ') 2 T a coù : = = 1 dt ( ΔABC ) S ab sin C 2 S ' ⎛ a ' ⎞ ⎛ b ' ⎞ sin C ' ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ S ⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ sin C C cos B C A 2 = 4 sin sin 2 sin ⋅ C C 2 2 2 2 sin cos 2 2 B C A = 2 sin ⋅ sin ⋅ sin 2 2 2 B aø i 200: Cho ΔABC c où troï n g taâ m G vaø taâ m ñöôø n g troø n noä i tieá p I. Bieá t GI vuoâ n g g où c vôù i ñöôø n g phaâ n giaù c trong cuû a BCA . Chöù n g minh: a+b+c 2ab = 3 a+b V eõ GH ⊥ AC, GK ⊥ BC, ID ⊥ AC IG caé t AC taï i L vaø caé t BC taï i N Ta coù : Dt(ΔCLN) = 2Dt(ΔLIC) = ID.LC = r.LC (1) M aë t khaù c : Dt(ΔCLN) = Dt(ΔGLC) + Dt(ΔGCN) 1 ( GH.LC + GK.CN ) (2) = 2 D o ΔCLN caâ n neâ n LC = CN T öø (1) vaø (2) ta ñöôï c : 1 LC ( GH + GK ) rLC = 2 ⇔ 2r = GH + GK G oï i h a , h b laø hai ñöôø n g cao ΔABC p haù t xuaá t töø A, B GK MG 1 GH 1 Ta coù : = v aø = = ha MA 3 hb 3 1 ( ha + h b ) 2r = (3) D o ñoù : 3
1 1 S = Dt ( ΔABC ) = pr = a.ha = b.h b M aø : 2 2 2pr 2pr ha = v aø h b = D o ñoù : a b 2 ⎛1 1⎞ T öø (3) ta coù : 2r = pr ⎜ + ⎟ 3 ⎝a b⎠ 1 ⎛a + b⎞ ⇔ 1 = p⎜ ⎟ 3 ⎝ ab ⎠ a+b+c a+b ⇔3= ⋅ 2 ab 2ab a+b+c ⇔ = a+b 3 T h.S Ph ạ m H ồ ng Danh ( TT luyệ n thi V ĩ nh Vi ễ n)
BAØI TAÄP Cho ΔABC c où ba caï n h laø a, b, c. R vaø r laà n löôï t laø baù n kính ñöø ô ng troø n ngoaï i 1. tieá p vaø noä i tieá p ΔABC . Chöù n g minh: C A B a/ ( a − b ) cotg + ( b − c ) cotg + ( c − a ) cotg = 0 2 2 2 r b / 1 + = cos A + cos B + cos C R A B C c / Neá u cotg , cotg , cotg l aø caá p soá coä n g thì a, b, c cuõ n g laø caá p soá coä n g. 2 2 2 d/ Dieä n tích ΔABC = R r ( sin A + sin B + sin C ) e / Neá u : a 4 = b4 + c4 thì ΔABC c où 3 goù c nhoï n vaø 2sin2 A = tgB.tgC 8 Neá u dieä n tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 2. 15 Cho ΔABC c où ba goù c nhoï n . Goï i A’, B’, C’ laø chaâ n caù c ñöôø n g cao veõ töø A, B, 3. C. Goï i S, R, r laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p ΔABC . Goï i S’, R’, r’ laà n löôï t laø dieä n tích, baù n kính ñöôø n g troø n ngoaï i tieá p , noä i tieá p cuû a ΔA 'B 'C ' . Chöù n g minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R ' = 2 c / r’ = 2RcosA.cosB.cosC ΔABC c où ba caï n h a, b, c taï o moä t caá p soá coä n g. Vôù i a < b < c 4. Chöù n g minh : a/ ac = 6Rr A −C B b/ cos = 2 sin 2 2 3r ⎛ C A⎞ c / Coâ n g sai d = ⎜ tg − tg ⎟ 2⎝ 2 2⎠ Cho ΔABC c où ba goù c A, B, C theo thöù töï taï o 1 caá p soá nhaâ n coù coâ n g boä i q = 2. 5. Chöù n g minh: 111 a/ = + abc 5 b / cos2 A + cos2 B + cos2 C = 4