Toán lượng giác - Chương 11: Nhận dạng tam giác

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thu Trinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

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Nhằm phục vụ quá trình học tập, giảng dạy của giáo viên và học sinh tài liệu Toán lượng giác chương 11 nhận dạng tam giác sẽ là tư liệu ôn tập hữu ích, giúp các bạn hệ thống lại kiến thức đã học. Mời các bạn cùng tham khảo.

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Nội dung Text: Toán lượng giác - Chương 11: Nhận dạng tam giác

CHÖÔNG XI: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC I. TÍNH CAÙC GOÙC CUÛA TAM GIAÙC Baø i 201: Tính caùc goùc cuûa ΔABC neáu : 3 sin ( B + C ) + sin ( C + A ) + cos ( A + B ) = ( *) 2 Do A+B+C= π 3 Neâ n : ( *) ⇔ sin A + sin B − cos C = 2 A+B A−B ⎛ C ⎞ 3 ⇔ 2 sin cos − ⎜ 2 cos2 − 1 ⎟ = 2 2 ⎝ 2 ⎠ 2 C A−B C 1 ⇔ 2 cos cos − 2 cos2 = 2 2 2 2 C C A−B ⇔ 4 cos2 − 4 cos cos +1 = 0 2 2 2 2 ⎛ C A − B⎞ 2 A − B ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + 1 − cos =0 ⎝ 2 2 ⎠ 2 2 ⎛ C A − B⎞ 2 A − B ⇔ ⎜ 2 cos − cos ⎟ + sin =0 ⎝ 2 2 ⎠ 2 ⎧ C A−B ⎪2 cos 2 = cos 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin A − B = 0 ⎪ ⎩ 2 ⎧ C ⎪2 cos 2 = cos 0 = 1 ⎧C π ⎪ ⎪ = ⇔⎨ ⇔ ⎨2 3 ⎪A − B = 0 ⎪A = B ⎩ ⎪ 2 ⎩ ⎧ π ⎪A = B = 6 ⎪ ⇔⎨ ⎪C = 2π ⎪ ⎩ 3 Baø i 202: Tính caùc goù c cuûa ΔABC bieát : 5 cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0 (*) 2 5 Ta coù : ( *) ⇔ 2 cos2 A − 1 + 2 3 ⎡cos ( B + C ) cos ( B − C ) ⎤ + = 0 ⎣ ⎦ 2
⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A. cos ( B − C ) + 3 = 0 2 ⇔ ⎣2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 − 3 cos2 ( B − C ) = 0 ⎡ ⎦ 2 ⇔ ⎡2 cos A − 3 cos ( B − C ) ⎤ + 3 sin 2 ( B − C ) = 0 ⎣ ⎦ ⎧sin ( B − C ) = 0 ⎧B − C = 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ 3 ⇔⎨ 3 ⎪cos A = cos ( B − C ) ⎪cos A = ⎩ 2 ⎩ 2 ⎧ A = 300 ⎪ ⇔⎨ ⎪B = C = 75 0 ⎩ Baø i 203: Chöù n g minh ΔABC coù C = 1200 neá u : A B C sin A + sin B + sin C − 2sin ⋅ sin = 2sin (*) 2 2 2 Ta coù A+B A−B C C A B C (*) ⇔ 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin sin + 2 sin 2 2 2 2 2 2 2 C A−B C C A+B A B ⇔ 2 cos cos + 2 sin cos = 2 cos + 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 C⎛ A−B C⎞ A B ⇔ cos ⎜ cos + sin ⎟ = cos ⋅ cos 2⎝ 2 2⎠ 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ A B ⇔ cos ⎢ cos 2 + cos 2 ⎥ = cos 2 cos 2 2⎣ ⎦ C A B A B ⇔ 2 cos cos cos = cos cos 2 2 2 2 2 C 1 A B A B π ⇔ cos = (do cos > 0 vaø cos > 0 vì 0 < ; < ) 2 2 2 2 2 2 2 ⇔ C = 120 0 Baø i 204: Tính caùc goù c cuûa ΔΑΒ C bieá t soá ño 3 goùc taï o caáp soá coän g vaø 3+ 3 sin A + sin B + sin C = 2 Khoân g laø m maá t tính chaá t toå n g quaù t cuû a baø i toaù n giaû söû A < B < C Ta coù : A, B, C taï o 1 caáp soá coä n g neâ n A + C = 2B π Maø A + B + C = π neâ n B = 3 3+ 3 Luù c ñoù : sin A + sin B + sin C = 2
π 3+ 3 ⇔ sin A + sin + sin C = 3 2 3 ⇔ sin A + sin C = 2 A+C A−C 3 ⇔ 2 sin cos = 2 2 2 B A −C 3 ⇔ 2 cos cos = 2 2 2 ⎛ 3⎞ A−C 3 ⇔ 2. ⎜ ⎜ 2 ⎟ cos 2 = 2 ⎟ ⎝ ⎠ C−A 3 π ⇔ cos = = cos 2 2 6 Do C > A neâ n ΔΑΒ C coù : ⎧C − A π ⎧ π ⎪ 2 =6 ⎪C = 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2π ⎪ π ⎨C + A = ⇔ ⎨A = ⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ π ⎪ π ⎪B = 3 ⎪B = 3 ⎩ ⎩ Baø i 205: Tính caùc goùc cuûa ΔABC neá u ⎧ b2 + c 2 ≤ a 2 ⎪ (1 ) ⎨ ⎪sin A + sin B + sin C = 1 + 2 ⎩ ( 2) b2 + c 2 − a 2 AÙ p duï n g ñònh lyù haø m cosin: cos A = 2bc Do (1): b + c ≤ a neâ n cos A ≤ 0 2 2 2 π π A π Do ñoù : ≤A
⎧ ⎪sin A = 1 ⎧ π ⎪ ⎪ A 2 ⎪A = 2 ⎪ Daáu “=” taïi (2) xaû y ra ⇔ ⎨cos = ⇔ ⎨ ⎪ 2 2 ⎪B = C = π ⎪ B−C ⎪ ⎩ 4 ⎪cos 2 = 1 ⎩ Baø i 206: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2004) Cho ΔABC khoâ n g tuø thoûa ñieà u kieä n cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C = 3 ( *) Tính ba goù c cuû a ΔABC * Caù ch 1: Ñaë t M = cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 B+C B−C Ta coù : M = 2 cos2 A + 4 2 cos cos −4 2 2 A B−C ⇔ M = 2 cos2 A + 4 2 sin cos −4 2 2 A B-C Do sin > 0 vaø cos ≤1 2 2 A Neâ n M ≤ 2 cos2 A + 4 2 sin − 4 2 π Maë t khaùc : ΔABC khoâ n g tuø neâ n 0 < A ≤ 2 ⇒ 0 ≤ cos A ≤ 1 ⇒ cos2 A ≤ cos A A Do ñoù : M ≤ 2 cos A + 4 2 sin − 4 2 ⎛ A⎞ A ⇔ M ≤ ⎜ 1 − 2 sin2 ⎟ + 4 2 sin − 4 ⎝ 2⎠ 2 A A ⇔ M ≤ −4 sin 2 + 4 2 sin − 2 2 2 2 ⎛ A ⎞ ⇔ M ≤ −2 ⎜ 2 sin − 1 ⎟ ≤ 0 ⎝ 2 ⎠ Do giaû thieá t (*) ta coù M=0 ⎧ ⎪cos2 A = cos A ⎪ ⎪ A = 90 0 ⎪ B−C ⎧ Vaäy : ⎨cos =1 ⇔ ⎨ ⎪ 2 ⎪B = C = 45 ⎩ 0 ⎪ A 1 ⎪sin 2 = 2 ⎩ * Caù c h 2: ( *) ⇔ cos 2A + 2 2 cos B + 2 2 cos C − 3 = 0
B+C B−C ⇔ cos2 A + 2 2 cos cos −2=0 2 2 A B−C ⇔ ( cos2 A − cos A ) + cos A + 2 2 sin cos −2=0 2 2 ⎛ A⎞ A B−C ⇔ cos A ( cos A − 1) + ⎜ 1 − 2 sin 2 ⎟ + 2 2 sin cos −2=0 ⎝ 2⎠ 2 2 2 ⎛ A B − C⎞ ⎛ 2 B − C⎞ ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − ⎜ 1 − cos ⎟=0 ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ A B − C⎞ 2 B −C ⇔ cos A ( cos A − 1) − ⎜ 2 sin − cos ⎟ − sin = 0 (*) ⎝ 2 2 ⎠ 2 Do ΔABC khoâ n g tuø neân cos A ≥ 0 vaø cos A − 1 < 0 Vaäy veá traùi cuûa (*) luoâ n ≤ 0 ⎧ ⎪cos A = 0 ⎪ ⎪ A B−C Daáu “=” xaû y ra ⇔ ⎨ 2 sin = cos ⎪ 2 2 ⎪ B−C ⎪sin 2 = 0 ⎩ ⎪ A = 90 0 ⎧ ⇔⎨ ⎪B = C = 45 0 ⎩ Baø i 207: Chöù n g minh ΔABC coù ít nhaá t 1 goù c 60 0 khi vaø chæ khi sin A + sin B + sin C = 3 (*) cos A + cos B + cos C Ta coù : ( ) ( ) ( (*) ⇔ sin A − 3 cos A + sin B − 3 cos B + sin C − 3 cos C = 0 ) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ sin ⎜ A − ⎟ + sin ⎜ B − ⎟ + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ A + B π⎞ A−B ⎛ π⎞ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ cos + sin ⎜ C − ⎟ = 0 ⎝ 2 3⎠ 2 ⎝ 3⎠ ⎡⎛ π C ⎞ π ⎤ A−B ⎛C π⎞ ⎛C π⎞ ⇔ 2 sin ⎢⎜ − ⎟ − ⎥ cos + 2 sin ⎜ − ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0 ⎣⎝ 2 2 ⎠ 3 ⎦ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝ 2 6⎠ ⎛C π⎞⎡ A−B ⎛ C π ⎞⎤ ⇔ 2 sin ⎜ − ⎟ ⎢ − cos + cos ⎜ − ⎟ ⎥ = 0 ⎝ 2 6⎠⎣ 2 ⎝ 2 6 ⎠⎦ ⎛C π⎞ A−B ⎛C π⎞ ⎛π A + B⎞ ⇔ sin ⎜ − ⎟ = 0 ∨ cos = cos ⎜ − ⎟ = cos ⎜ − ⎟ ⎝ 2 6⎠ 2 ⎝ 2 6⎠ ⎝3 2 ⎠ C π A − B π A + B −A + B π A + B ⇔ = ∨ = − ∨ = − 2 6 2 3 2 2 3 2 π π π ⇔C= ∨A = ∨B= 3 3 3
Baø i 208: Cho ΔABC vaø V = cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C – 1. Chöùn g minh: a/ Neá u V = 0 thì ΔABC coù moä t goù c vuoâ n g b/ Neá u V < 0 thì ΔABC coù ba goù c nhoï n c/ Neá u V > 0 thì ΔABC coù moä t goù c tuø 1 1 Ta coù : V = (1 + cos 2A ) + (1 + cos 2B) + cos2 − 1 2 2 1 ⇔ V = ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C 2 ⇔ V = cos ( A + B ) .cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C.cos ( A − B ) + cos2 C ⇔ V = − cos C ⎡cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ V = −2 cos C cos A cos B Do ñoù : a/ V = 0 ⇔ cos A = 0 ∨ cos B = 0 ∨ cos C = 0 ⇔ ΔABC ⊥ taï i A hay ΔABC ⊥ taï i B hay ΔABC ⊥ taï i C b/ V < 0 ⇔ cos A.cos B.cos C > 0 ⇔ ΔABC coù ba goù c nhoï n ( vì trong 1 tam giaù c khoâ n g theå coù nhieà u hôn 1 goùc tuø neâ n khoâ n g coù tröôø n g hôïp coù 2 cos cuø n g aâm ) c/ V > 0 ⇔ cos A.cos B.cos C < 0 ⇔ cos A < 0 ∨ cos B < 0 ∨ cos C < 0 ⇔ ΔABC coù 1 goùc tuø . II. TAM GIAÙC VUOÂNG B a+c Baø i 209: Cho ΔABC coù cotg = 2 b Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g B a+c Ta coù : cotg = 2 b B cos ⇔ 2 = 2R sin A + 2R sin C = sin A + sin C B 2R sin B sin B sin 2 B A+C A−C cos 2 sin . cos ⇔ 2 = 2 2 B B B sin 2 sin . cos 2 2 2 B B A−C B ⇔ cos2 = cos . cos (do sin > 0) 2 2 2 2
B A−C B ⇔ cos = cos (do cos > 0) 2 2 2 B A−C B C−A ⇔ = ∨ = 2 2 2 2 ⇔ A = B+C∨C = A +B π π ⇔ A = ∨C= 2 2 ⇔ ΔABC vuoâ ng taï i A hay ΔABC vuoâ ng taï i C Baø i 210: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g taïi A neá u b c a + = cos B cos C sin B sin C b c a Ta coù : + = cos B cos C sin B sin C 2R sin B 2R sin C 2R sin A ⇔ + = cos B cos C sin B sin C sin B cos C + sin C cos B sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C sin ( B + C ) sin A ⇔ = cos B.cos C sin B sin C ⇔ cos B cos C = sin B sin C (do sin A > 0) ⇔ cos B. cos C − sin B. sin C = 0 ⇔ cos ( B + C ) = 0 π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoâ ng taï i A Baø i 211: Cho ΔABC coù : A B C A B C 1 cos ⋅ cos ⋅ cos − sin ⋅ sin ⋅ sin = (*) 2 2 2 2 2 2 2 Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g Ta coù : A B C 1 A B C (*) ⇔ cos cos cos = + sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 1⎡ A+B A − B⎤ C 1 1⎡ A+B A − B⎤ C ⇔ ⎢ cos + cos ⎥ cos 2 = 2 − 2 ⎢ cos 2 − cos 2 ⎥ sin 2 2⎣ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ C A − B⎤ C ⎡ C A − B⎤ C ⇔ ⎢sin + cos ⎥ cos 2 = 1 − ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ sin 2 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ ⎦ C C A−B C C C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = 1 − sin 2 + cos = 1 − sin 2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2
C C A−B C C A−B C ⇔ sin cos + cos cos = cos2 + cos sin 2 2 2 2 2 2 2 C⎡ C C⎤ A−B⎡ C C⎤ ⇔ cos ⎢sin − cos ⎥ = cos ⎢sin 2 − cos 2 ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2 ⎣ ⎦ ⎡ C C⎤ ⎡ C A − B⎤ ⇔ ⎢sin − cos ⎥ ⎢cos − cos =0 ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ C C C A−B ⇔ sin = cos ∨ cos = cos 2 2 2 2 C C A−B C B−A ⇔ tg = 1 ∨ = ∨ = 2 2 2 2 2 C π ⇔ = ∨ A = B+C∨B = A +C 2 4 π π π ⇔C= ∨A= ∨B= 2 2 2 Baø i 212: Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g neá u : 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) = 15 Do baá t ñaú n g thöù c Bunhiacoá p ki ta coù : 3 cos B + 4 sin B ≤ 9 + 16 cos2 B + sin2 B = 15 vaø 6 sin C + 8 cos C ≤ 36 + 64 sin 2 C + cos2 C = 10 neâ n : 3(cos B + 2 sin C) + 4(sin B + 2 cos C) ≤ 15 ⎧ cos B sin B ⎧ 4 ⎪ 3 = 4 ⎪ ⎪tgB = 3 ⎪ Daáu “=” xaû y ra ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ sin C = cos C ⎪cotgC = 4 ⎪ 6 ⎩ 8 ⎪ ⎩ 3 ⇔ tgB = cotgC π ⇔ B+C= 2 ⇔ ΔABC vuoân g taï i A. Baø i 213: Cho ΔABC coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g. Ta coù : sin 2A + sin 2B = 4 sin A.sin B ⇔ 2 sin(A + B) cos(A − B) = −2 [ cos(A + B) − cos(A − B)] ⇔ cos(A + B) = [1 − sin(A + B)] cos(A − B) ⇔ − cos C = [1 − sin C] cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = (1 − sin 2 C). cos(A − B) ⇔ − cos C(1 + sin C) = cos2 C. cos(A − B) ⇔ cos C = 0 hay − (1 + sin C) = cos C. cos(A − B) (*) ⇔ cos C = 0 ( Do sin C > 0 neân −(1 + sin C) < −1 Maø cos C.cos(A − B) ≥ −1 .Vaäy (*) voâ nghieä m .)
Do ñoù ΔABC vuoân g taï i C III. TAM GIAÙC CAÂN C Baø i 214:Chöù n g minh neá u ΔABC coù tgA + tgB = 2 cotg 2 thì laø tam giaù c caâ n . C Ta coù : tgA + tgB = 2 cotg 2 C 2 cos sin(A + B) 2 ⇔ = cos A.cos B C sin 2 C 2 cos sin C 2 ⇔ = cos A.cos B C sin 2 C C C 2 sin cos 2 cos ⇔ 2 2 = 2 cos A cos B C sin 2 C ⎛ C ⎞ ⇔ sin 2 = cos A.cos B ⎜ do cos > 0 ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 1 ⇔ (1 − cos C ) = ⎡ cos ( A + B ) + cos ( A − B ) ⎤ 2 2⎣ ⎦ ⇔ 1 − cos C = − cos C + cos ( A − B ) ⇔ cos ( A − B ) = 1 ⇔A=B ⇔ ΔABC caâ n taï i C. Baø i 215: Chöù n g minh ΔABC caân neá u : A B B A sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 A B B A Ta coù : sin .cos3 = sin .cos3 2 2 2 2 ⎛ A⎞ ⎛ B⎞ ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⎜ sin 2 ⎟ 1 ⇔⎜ =⎜ A⎟ 2 A B⎟ B ⎜ cos ⎟ cos ⎜ cos ⎟ cos2 ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 2⎠ 2 A B (do cos > 0 vaø cos > 0 ) 2 2
A⎛ 2 A⎞ B⎛ 2 B⎞ ⇔ tg ⎜ 1 + tg ⎟ = tg ⎜ 1 + tg ⎟ 2⎝ 2⎠ 2⎝ 2⎠ A B A B ⇔ tg 3 − tg 3 + tg − tg = 0 2 2 2 2 ⎛ A B⎞⎡ A B A B⎤ ⇔ ⎜ tg − tg ⎟ ⎢1 + tg 2 + tg 2 + tg .tg ⎥ = 0 (*) ⎝ 2 2 ⎠⎣ 2 2 2 2⎦ A B A B A B ⇔ tg = tg ( vì 1 + tg 2 + tg 2 + tg tg > 0 ) 2 2 2 2 2 2 ⇔ A=B ⇔ ΔABC caâ n taï i C Baø i 216: Chöù n g minh ΔABC caân neá u : cos2 A + cos2 B 1 = ( cotg 2 A + cotg 2B ) (*) sin A + sin B 2 2 2 Ta coù : cos2 A + cos2 B 1 ⎛ 1 1 ⎞ (*) ⇔ = ⎜ + − 2⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin B 2 2 2 2 ⎠ cos A + cos B 2 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⇔ +1 = ⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 2 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠ 2 2 1⎛ 1 1 ⎞ ⇔ = ⎜ + ⎟ sin A + sin B 2 ⎝ sin A sin 2 B ⎠ 2 2 2 ⇔ 4 sin 2 A sin 2 B = ( sin 2 A + sin 2 B ) 2 ⇔ 0 = ( sin 2 A − sin2 B ) ⇔ sin A = sin B Vaäy ΔABC caâ n taï i C Baø i 217: Chöù n g minh ΔABC caân neá u : C a + b = tg ( atgA + btgB ) (*) 2 C Ta coù : a + b = tg ( atgA + btgB) 2 C ⇔ ( a + b ) cotg = atgA + btgB 2 ⎡ C⎤ ⎡ C⎤ ⇔ a ⎢ tgA − cotg ⎥ + b ⎢ tgB − cotg ⎥ = 0 ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎡ A + B⎤ ⎡ A + B⎤ ⇔ a ⎢ tgA − tg ⎥ + b ⎢ tgB − tg 2 ⎥ = 0 ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ A−B B−A a sin b sin ⇔ 2 + 2 =0 A+B A+B cos A. cos cos B. cos 2 2
A−B a b ⇔ sin = 0 hay − =0 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC caâ n taï i C IV. NHAÄN DAÏN G TAM GIAÙ C Baø i 218: Cho ΔABC thoûa : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chöù n g minh ΔABC vuoâ n g hay caâ n Do ñònh lyù haø m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Neâ n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin B cos A = 2R ( sin 2 A − sin 2 B ) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = sin 2 A − sin 2 B 1 1 ⇔ sin ( A − B ) = (1 − cos 2A ) − (1 − cos 2B ) 2 2 1 ⇔ sin ( A − B ) = [ cos 2B − cos 2A ] 2 ⇔ sin ( A − B ) = − ⎡sin ( A + B ) sin ( B − A ) ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) ⎡1 − sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 vaä y ΔABC vuoâ n g hay caâ n taïi C Caùc h khaù c sin A cos B − sin B cos A = sin2 A − sin2 B ⇔ sin ( A − B ) = ( sin A + sin B) ( sin A − sin B) A+B A−B A+B A−B ⇔ sin ( A − B ) = ( 2 sin cos ) (2 cos sin ) 2 2 2 2 ⇔ sin ( A − B ) = sin ( A + B ) sin ( A − B ) ⇔ sin ( A − B ) = 0 ∨ sin ( A + B ) = 1 π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Baø i 219 ΔABC laø tam giaùc gì neáu ( a 2 + b2 ) sin ( A − B ) = ( a 2 − b2 ) sin ( A + B) (*) Ta coù : (*) ⇔ ( 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B ) sin ( A − B ) = 4R 2 ( sin 2 A − sin 2 B ) sin ( A + B ) ⇔ sin 2 A ⎣sin ( A − B ) − sin ( A + B ) ⎦ + sin 2 B ⎡sin ( A − B ) + sin ( A + B ) ⎤ = 0 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 sin 2 A cos A sin ( −B ) + 2 sin 2 B sin A cos B = 0
⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 vaø sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Vaäy ΔABC caâ n taï i C hay ΔABC vuoâ n g taï i C. Baø i 220: ΔABC laø tam giaù c gì neá u : ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B (2) Ta coù : (1) ⇔ 4R2 sin2 A sin 2B + 4R2 sin2 B sin 2A = 16R2 sin A sin2 B cos A ⇔ sin 2 A sin 2B + sin 2 B sin 2A = 4 sin A sin2 B cos A ⇔ 2 sin2 A sin B cos B + 2 sin A cos A sin 2 B = 4 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin A cos B + sin B cos A = 2 sin B cos A (do sin A > 0, sin B > 0) ⇔ sin A cos B − sin B cos A = 0 ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay vaøo (2) ta ñöôïc sin 2A = 2sin2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 Do ñoù ΔABC vuoân g caân taï i C V. TAM GIAÙ C ÑEÀ U Baø i 221: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u : bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ Ta coù : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin ( B + C ) ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) − sin B cos C − sin C cos B ⎡ 1 3 ⎤ ⎡ 1 3 ⎤ ⇔ 2 sin B ⎢1 − cos C − sin C⎥ + 2 sin C ⎢1 − cos B − sin B⎥ = 0 ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⎡ ⎛ π ⎞⎤ ⇔ sin B ⎢1 − cos ⎜ C − ⎟ ⎥ + sin C ⎢1 − cos ⎜ B − ⎟ ⎥ = 0 (1) ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦
⎛ π⎞ Do sin B > 0 vaø 1 − cos ⎜ C − ⎟ ≥ 0 ⎝ 3⎠ ⎛ π⎞ sin C > 0 vaø 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 ⎝ 3⎠ Neâ n veá traù i cuûa (1) luoâ n ≥ 0 ⎧ ⎛ π⎞ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ Do ñoù, (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ 3⎠ π ⇔C=B= ⇔ ΔABC ñeàu . 3 ⎧ 3 ⎪sin B sin C = 4 ⎪ (1) Baø i 222: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u ⎨ ⎪a 2 = a − b − c 3 3 3 (2) ⎪ ⎩ a−b−c Ta coù : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2c = a 3 − b3 − c3 ⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc + c 2 ) ⇔ a 2 = b2 − bc + c2 ⇔ b2 + c2 − 2bc cos A = b2 + c2 − bc (do ñl haø m cosin) ⇔ 2bc cos A = bc 1 π ⇔ cos A = ⇔A= 2 3 Ta coù : (1) ⇔ 4 sin B sin C = 3 ⇔ 2 ⎡cos ( B − C ) − cos ( B + C ) ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⎛1⎞ ⎛ π⎞ ⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta coù A = ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 3⎠ ⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C Vaäy töø (1), (2) ta coù ΔABC ñeà u Baø i 223: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta coù : sin 2A + sin 2B = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) = 2 sin C cos ( A − B ) ≤ 2 sin C (1) Daáu “=” xaû y ra khi: cos ( A − B ) = 1 Töông töï : sin 2A + sin 2C ≤ 2 sin B (2)
Daáu “=” xaû y ra khi: cos ( A − C ) = 1 Töông töï : sin 2B + sin 2C ≤ 2 sin A (3) Daáu “=” xaû y ra khi: cos ( B − C ) = 1 Töø (1) (2) (3) ta coù : 2 ( sin 2A + sin 2B + sin 2C) ≤ 2 ( sinC + sin B + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = 1 ⎪ Daáu “=” xaû y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = 1 ⇔ ΔABC ñeà u Baø i 224: Cho ΔABC coù : 1 1 1 1 + + = (*) sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C 2 2 2 Chöù n g minh ΔABC ñeà u Ta coù : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) 2 cos A cos B cos C = 4 sin A sin B sin C ( sin 2A sin 2B sin 2C ) Maø : 4 sin A sin B sin C = 2 ⎡ cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ sin ( A + B ) ⎣ ⎦ = 2 ⎡ cos ( A − B ) + cos C ⎤ sin C ⎣ ⎦ = 2 sin C cos C + 2 cos ( A − B ) sin ( A + B ) = sin 2C + sin 2A + sin 2B Do ñoù , vôù i ñieà u kieä n ΔABC khoâ n g vuoân g ta coù (*) ⇔ sin2 2B sin2 2C + sin 2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B = sin 2A. sin 2B. sin 2C ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = sin2 2A sin 2B sin 2C + sin2 2B sin 2A sin 2C + sin2 2C sin 2A sin 2B 1 1 ⇔ ( sin 2B sin 2A − sin 2B sin 2C ) + ( sin 2A sin 2B − sin 2A sin 2C ) 2 2 2 2 1 + ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0 2 2 ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔⎨ ⇔ A = B = C ⇔ ABC ñeà u ⎩sin 2B = sin 2C Baø i 225: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neáu : a cos A + b cos B + c cos C 2p = (*) a sin B + b sin C + c sin A 9R
Ta coù : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin 2A + sin 2B + sin 2C ) = R ⎡2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C ⎤ ⎣ ⎦ = 2R sin C ⎡cos ( A − B ) − cos ( A + B ) ⎤ = 4R sin C sin A sin B ⎣ ⎦ Caù c h 1: a sin B + b sin C + c sin A = 2R ( sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ) ≥ 2R 3 sin2 A sin 2 B sin2 C ( do bñt Cauchy ) a cos A + b cos B + c cos C 2 3 Do ñoù veá traù i : ≤ sin A sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 Maø veá phaûi : = = ( sin A + sin B + sin C ) 9R 9R 9 23 ≥ sin A sin B sin C (2) 3 Töø (1) vaø (2) ta coù ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC ñeà u 4R sin A sin B sin C a+b+c Caù c h 2: Ta coù : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R ⎛ a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇔ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca 9R a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ 2R ⇔ 9abc = ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Do baá t ñaú n g thöùc Cauchy ta coù a + b + c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c2 Do ñoù : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Daáu = xaûy ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC ñeà u . Baø i 226: Chöù n g minh ΔABC ñeà u neáu A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 2 2 sin ( A + B ) sin C Ta coù : cot gA + cot gB = = sin A sin B sin A sin B sin C ≥ 2 (do bñt Cauchy) ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
C C C 2 sin cos 2 sin = 2 2 = 2 2 A + B 2 A − B C 2 A − B sin .cos cos cos 2 2 2 2 C ≥ 2tg (1) 2 B Töông töï : cot gA + cot gC ≥ 2tg (2) 2 A cot gB + cot gC ≥ 2tg (3) 2 Töø (1) (2) (3) ta coù ⎛ A B C⎞ 2 ( cot gA + cot gB + cot gC ) ≥ 2 ⎜ tg + tg + tg ⎟ ⎝ 2 2 2⎠ Do ñoù daáu “=” taï i (*) xaû y ra ⎧ A−B A−C B−C ⎪cos = cos = cos =1 ⇔⎨ 2 2 2 ⎪sin A = sin B = sin C ⎩ ⇔A=B=C ⇔ ΔABC ñeàu. BAØI TAÄP 1. Tính caùc goù c cuûa ΔABC bieát : 3 π 2π a/ cos A = sin B + sin C − (ÑS: B = C = ,A = ) 2 6 3 π b/ sin 6A + sin 6B + sin 6C = 0 (ÑS: A = B = C = ) 3 c/ sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 2. Tính goùc C cuûa ΔABC bieá t : a/ (1 + cot gA ) (1 + cot gB ) = 2 ⎧ A, B nhoïn ⎪ b/ ⎨ 2 ⎪sin A + sin B = 9 sin C 2 ⎩ ⎧cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 3. Cho ΔABC coù : ⎨ ⎩sin 5A + sin 5B + sin 5C = 0 Chöù n g minh Δ coù ít nhaát moä t goù c 36 0 . 4. Bieá t sin2 A + sin2 B + sin2 C = m . Chöù n g minh a/ m = 2 thì ΔABC vuoân g b/ m > 2 thì ΔABC nhoïn c/ m < 2 thì ΔABC tuø . 5. Chöù n g minh ΔABC vuoân g neá u : b+c a/ cos B + cos C = a b c a b/ + = cos B cos C sin B sin C
c/ sin A + sin B + sin C = 1 − cos A + cos B + cos C ( b − c ) = 2 ⎡1 − cos ( B − C )⎤ 2 d/ ⎣ ⎦ b 2 1 − cos 2B 6. Chöù n g minh ΔABC caân neá u : 1 + cos B 2a + c a/ = sin B a 2 − c2 sin A + sin B + sin C A B b/ = cot g . cot g sin A + sin B − sin C 2 2 c/ tgA + 2tgB = tgA.tg B 2 ⎛ C ⎞ ⎛ C⎞ d/ a ⎜ cot g − tgA ⎟ = b ⎜ tgB − cot g ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ C B e/ ( p − b ) cot g = ptg 2 2 C f/ a + b = tg ( atgA + btgB ) 2 7. ΔABC laø Δ gì neá u : A+B a/ atgB + btgA = ( a + b ) tg 2 b/ c = c cos 2B + b sin 2B c/ sin 3A + sin 3B + sin 3C = 0 d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) 8. Chöù n g minh ΔABC ñeà u neá u a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R d/ ma + m b + mc = vôù i ma , m b , mc laø 3 ñöôø n g trung tuyeá n 2