NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

Chia sẻ: Nguyen Van Ngo | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

238
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hướng dẫn các sai lầm khi giải toán

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

NHÖÕNG SAI LAÀM KHI GIAÛI TOAÙN TÌM GIAÙ TRÒ NHOÛ NHAÁT VAØ GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT -Noäi dung: I-Ñònh nghóa giaù trò lôùn nhaát giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: -Ñònh nghóa 1: Cho bieåu thöùc f(x,y,…) xaùc ñònh treân mieàn D .ta noùi M laø giaù trò lôùn nhaát cuûa f(x,y,…) treân D neáu hai ÑK treân ñaây ñöôïc thoaõ maõn : +Vôùi moïi x,y,…thu6oïc D thì f(x,y,…) ≤ M vôùi M laø haèng soá . +Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D sao cho f(x0,y0,…) = M -Ñònh nghóa 2: Cho bieåu thöùc f(x,y,…) xaùc ñònh treân mieàn D .ta noùi N laø giaù trò lôùn nhaát cuûa f(x,y,…) treân D neáu hai ÑK treân ñaây ñöôïc thoaõ maõn : +Vôùi moïi x,y,…thu6oïc D thì f(x,y,…) ≥ vôùi N laø haèng soá . +Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D sao cho f(x0,y0,…) = N II_Caùc Haèng baát ñaúng thöùc caàn nhôù 1) a2 ≥ 0 Toång quaùt a2k ≥ 0 (k nguyeân döông) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a =0 2) a2 ≤ 0 Toång quaùt a2k ≤ 0 (k nguyeân döông) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a =0 3) {a{ ≥ 0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = 0 4) –{a{ ≤ a ≤ {a{ Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = 0 5) {a+b{ ≤ {a{+{b{ Ñaúng thöùc xaåy ra khi ab ≥ 0 6) a2+b2 ≥ 2ab Ñaúng thöùc xaåy ra khi a = b a+b 7) ≥ ab .Vôùi a,b ≥ 0(BÑT Coâ si) Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b 2 1 1 8) a ≥ b , ab > 0 => ≤ Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b a b a b 9) + ≥ 2 Vôùi ab >0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b b a 1 1 4 10) + ≥ Vôùi ab >0 Ñaúng thöùc xaåy ra khi a= b a b a+b a b 11) (am+bn)2 ≤ (a2+b2)(m2+n2) Ñaúng thöùc xaåy ra khi = (BÑT Bu m n nhi a coâp xki) III-Nhöõng sai laàm thöông gaëp trong giaûi toaùn cöïc trò: 1-sai laàm trong chöùng minh ÑK 1: 1 VD1:Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc P = 2 x − 6 x + 17 Lôøi giaûi sai: Phaân thöùc töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân P coù giaù trò lôùn nhaát khi maãu coù giaù trò nhoû nhaát Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ 8 1 Min(x2- 6x +17) = 8 x = 3. Vaäy MaxP = ⇔ x = 3 8 Phaân tích sai laàm :Tuy ñaùp soá khoâng sai nhöng laäp luaän laïi sai ,vì : “Phaân thöùc töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân P coù giaù trò lôùn nhaát khi 1
maãu coù giaù trò nhoû nhaát” maø chö ñöa ra nhaän xeùt töû vaø maãu ñeàu laønhöõng bieåu thöùc coù gioaù trò döông. Ta ñöa ra moät phaûn ví duï: 1 1 Xeùt bieåu thöùc A = 2 Vôùi laäp luaän nhö treân: A = 2 “Phaân thöùc x −4 x −4 töû thöùc coù giaù trò khoâng ñoåi neân A coù giaù trò lôùn nhaát khi maãu coù giaù trò nhoû nhaát”Nghóa laø A coù giaù trò lôùn nhaát x 2 – 4 coù giaù trò nhoû nhaát .Maø x2 – 4 coù giaù trò nhoû nhaát laø -4 x = 0 .Neân 1 1 A coù giaù trò lôùn nhaát laø − x =0 .Ñieàu naøy khoâng ñuùng .Vì − 4 4 Khoâng phaûi laø giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc A .chaúng haïn vôùi x 1 1 =3 thì A = > − 5 4 Lôøi giaûi ñuùng: Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8 ≥ 8 .Töû vaø maãu cuûa P ñeàu laø bieåu thöùc coù giaù trò döông .=> P > 0 ,do ñoù P coù giaù trò lôùn 1 nhaát Coù gia 1trò nhoû nhaát x2- 6x +17 coù giaù trò nhoû P nhaát. VD2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = (x-1)2 + (x-3)2 Lôøi giaûi sai:ta coù (x-1)2 ≥ 0(1) ; (x-3)2 ≥ 0(2) .Neân A coù giaù trò nhoû nhaát laø 0.ta khoâng theå keát luaän nhö vaäy .vì khoâng theå xaåy ra ñaúng thöùc ñoàng thôøi cuûa (1) vaø (2) x y z VD3: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= + + .Vôùi x,y,z > 0 y z x Lôøi giaûi sai: Giaû söû :x ≥ y ≥ z > 0 .=> x-z ≥ 0 => y(x-z) ≥ z (x-z) => xy-yz+z2 ≥ xz x y z Chia hai veá cho soá döông xz: Ta coù : − + ≥ 1(1) .Maët khaùc ,ta coù z x x x y x y z + ≥ 2 (2).Coäng (1) vôùi (2): + + ≥ 3.Vaäy Min A = 3 x = y = z y x y z x x y z Phaân tích sai laàm :Khi hoaùn vò voøng quanh thì A trôû thaønh + + .Töùc y z x laø bieåu thöùc khoâng ñoåi .Ñieàu ñoù cho pheùp tañöôïc giaû söû x laøsoá lôùn nhaát (hoaëc laø soá nhoû nhaát),nhöng khoâng cho pheùp giaû söû x ≥ y ≥ z.Thaät vaäy sau khi choïn x laø soá lôn nhaát (x ≥ y,x ≥ z) thì vai troø cuûa y vaø z laïi khoâng bình ñaúng :giöõ nguyeân x thay y bôõi z thay z bôõi y ta x z y ñöôïc + + ,khoâng baèng bieåu thöùc A. z y x (Ta ñöa ra moät ví duï khaùc cho pheùp ñöôïc giaû söû x ≥ y ≥ z.Chaúng haïn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau khi choïn x laø soá lôùn nhaát thì vai troø cuûa y vaø z laø bình ñaúng :Giöõ nguyeân x thay y bôõi z ,thay z bôõi y ta ñöôïc : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, vaãn baèng B) Caùch giaûi ñuùng : Caùch 1:AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ si cho ba soá döông x,y,z: 2
x z y x y z A= + + ≥ 33 . . = 3 . z y x y z x x z y x y z Do ñoù min( + + ) = 3Khi vaø chæ khi: = = ,töùc laø x = y = z z y x y z x x z y  x y  y z y y x Caùch 2:Ta coù + + =  +  +  + −  .Ta ñaõ coù : + ≥ 2 (Do  y x z y x    z x x x y x y z y z y x,y>0)Neân ñeå chöùng minh + + ≥ 3 Chæ caàn chöùng minh : + − ≥ 1 y z x z x x (1) (1) xy+z2-yz ≥ xz(Nhaân hai veá vôùi soá döông xz) xy+z2-yz-xz ≥ 0 y(x-z)-z(x-z) ≥ 0 (x-z)(y-z) ≥ 0(2) (2)ñuùng vôùi giaû thieát raèng zlaø soá nhoû nhaát trong ba soá x,y,z do ñoù (1) ñuùng . x y z Töø ñoù tìm ñöôïc giaù trò nhoû nhaát cuûa + + y z x VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = x2+y2 bieát x+y =4 Lôøi giaûi sai:Ta coù x2+y2 ≥ 2xy Do ñoù A coù giaù trò nhoû nhaát x2+y2=2xy x=y=2 Khi ñoù MinA = 22+22= 8 Phaân tích sai laàm :Ñaùp soá khoâng sai tuy nhieân laäp luaän sai laàm .Ta môùi chöùng minh f(x,y) ≥ g(x,y) Chöù chöa C/m ñöôïc f(x,y) ≥ M Vôùi M laø haèng soá . Ta ñöa ra moät ví duï :Vôùi laäp luaän nhö treân töø baát ñaúng thöùc ñuùng :x2 ≥ 4x-4 seõ suy ra :x2 nhoû nhaát x2 = 4x-4 (x-2)2 = 0 x=2 ñi ñeán Min x2 = 4 x=2 Deã thaáy keát quaû ñuùng phaûi laø minx2 = 0 Khi vaø chæ khi x = 0 Caùch giaûi ñuùng :Ta coù x+y = 4 => x2+2xy+y2 = 16 (1) Ta laïi coù (x-y)2 ≥ 0 => x2-2xy +y2 ≥ 0(2) Töø (1) vaø (2) : 2(x2+y2) ≥ 16 => x2+y2 ≥ 8 Min A = 8 Khi vaø chæ khi x= y= 2 2.Sai laàm trong chöùng minh ñieàu kieän 2: VD1:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= x+ x Lôøi giaûi sai: 2  1 1  1 1 1 A= x+ x =  x + x +  − =  x +  − ≥ −  4 4  2 4 4 1 Vaäy MinA = − 4 Phaân tích sai laàm : 1 1 Sau khi chöùng minh f(x) ≥ − ,chöa chæ tröôøng hôïp xaûy ra f(x) = − 4 4 1 .Xaûy ra daáu baèng khi vaø chæ khi x = − ,voâ lyù . 2 Lôøi giaûi ñuùng :Ñeå toân taïi x phaûi coù x ≥ 0 3
Do ñoù A= x+ x ≥ 0 MinA = 0 Khi vaø chæ khi x = 0 VD2:Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Vôùi x,y.z ≥ 0 vaø x+y+z = 1 Lôøi giaûi sai:AÙp duïng baát ñaúng thöùc 4ab ≤ (a + b) 2 : 4(x+y).z ≤ ( x + y + z ) 2 = 1 4(x+z).y ≤ ( x + y + z ) 2 = 1 4(z+y).x ≤ ( x + y + z ) 2 = 1 Nhaân töøng veá (do khoâng aâm) 64xyz(x+y)(y+z)(z+x) ≤ 1 1 Max A = 64 Phaân tích sai laàm :Sai laàm ôû choã chöa chæ ra ñöôïc tröôøng hôïp xaûy ra 1 daáu ñaúng thöùc .Ñieàu kieän ñeå A = laø 64  x+ y = z  y+z = x  x = y = z = 0    z + x = y ⇔  x + y + z = 1 Maâu thuaãn x + y + z = 1  x, y , z ≥ 0    x, y , z ≥ 0  Caùch giaûi ñuùng :AÙp duïng baát ñaúng thöùc coâ si cho ba soá khoâng aâm : 1= x+y+z ≥ 3 xyz (1) 2= (x+y)+(y+z)+(z+x) ≥ 33 ( x + y )( y + z )( z + x) (2) Nhaân töøng veá (1) vôùi (2) (do hai veá ñeàu khoâng aâm ): 3 2 2 ≥ 93 A ⇒ A ≤   9 3 2 1 Max A =   ⇔ x = y = z = 3 3 ( x + a )( x + b ) VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= vôùi x > 0 ,a,b laø caùc x haèng soá döông cho tröôùc. Lôøi giaûi sai:Ta coù x+a ≥ 2 ax (1) x+b ≥ 2 bx (2) ( x + a )( x + b ) 2 ax .2 bx Do ñoù : ≥ = 4 ab .MinA = 4 ab ⇔ x = a = b x x Phaân tích sai laàm:Chæ xaåy ra A = 4 ab Khi ôû (1) vaø ôû (2)xaåy ra daáu ñaúng thöùc ,töùc laø x = a vaø x = b.Nhö vaäy ñoøi hoûi a= b .Neáu a ≠ b thì khoâng coù ñöôïc A = 4 ab Caùch giaûi ñuùng :Ta thöïc hieän pheùp nhaân vaø taùch ra caùc haèng soá : ( x + a )( x + b ) = x 2 + ax + bx + ab =  x + ab  + ( a + b ) A=   x x  x  4
ab Ta laïi coù : x + ≥ 2 ab (baát ñaúng thöùc coâsi) x Neân A ≥ 2 ab + a + b = ( a + b ) 2  ab Min A = ( ) 2 x = a+ b ⇔ x ⇔ x = ab  x>0  VD4:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= 2x+3y bieát 2x2+3y2 ≤ 5 Lôøi giaûi sai:Goïi B= 2x2+3y2 ta coù B ≤ 5 Xeùt A+B = 2x+3y +2x2+3y2 = 2(x2+x)+3(y2+y) 5 =2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4 ≥ − (1) 4 Ta laïi coù B ≤ 5 neân -B ≥ -5 25 25 1 Coäng (1)vôùi (2):A ≥ − minA = − ⇔x= y=− 4 4 2 1 Phaân tích sai laàm :Sai laàm ôû choã vôùi x= y= - ,chæ coù xaûy ra daâu “=” 2 1 ôû (1),coøn daáu “=” ôû (2) khoâng xaûy ra . Thaät vaäy vôùi x = y = - thì : 2 2 2  1  1 1 3 B= 2  −  + 3 −  = + ≠ 5 .Do ñoù –B ≠ −5  2  2 2 4 Caùch giaûi ñuùng: Ta xeùt bieåu thöùc phuï:A2 = (2x+3y)2 AÙp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki ( ) ( ) ( ) ( 2   2 ) ( 2 ) Ta coù : A2 = (2x+3y)2 = 2 . 2 x + 3. 3 y ≤  2 + 3   2 x + 3. y    2 2   =(2+3)(2x +3y ) ≤ 5.5 = 25 2 2 x 2 y 3 A2 = 25 = ⇔ x = y .Do A2 ≤ 25 neân -5 ≤ A ≤ 5 2 3  x=y Min A = -5 ⇔  ⇔ x = y = −1 2 x + 3 y = −5  x= y Max A = 5 ⇔  ⇔ x = y =1 2 x + 3 y = 5 5