SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

Chia sẻ: Lê Hoa Trà | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

487
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán là trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt đặt biệt là tránh nhưng sai sót và ngộ nhân khi giải các bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phát hiện và biện pháp khắc phục sai lầm trong khi giải toán GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 1
PHẦN I:MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học. Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên. Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện nhân cách Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải toán là hình thức chủ yếu của việc học toán Khi giải toán, chắc các bạn đã không ít lần mắc phải những sai lầm đáng tiếc. Trong chuyên mục “Sai ở đâu ? Sửa cho đúng”, các bạn đã chứng kiến rất nhiều lời giải sai lầm. Nhà sư phạm toán nổi tiếng G. Polya đã nói : “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. A.A. Stoliar còn nhấn mạnh : “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”. Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Phần Đại số là một phần kiến thức khá quan trọng. Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình… Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dưỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng Các phép biến đổi, biến đổi tương đương và bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán như: Chứng minh bất GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 2
đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, giải bất phương trình, hệ phương trình…thường gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic. II. Mục đích của đề tài Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai sót và ngộ nhân khi giải các bài toán. III. Phạm vi nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua. IV. Cơ sở nghiên cứu Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet. V. Phương pháp nghiên cứu Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận. – Phương pháp khảo sát thực tiễn. – Phương pháp phân tích. – Phương pháp tổng hợp. – Phương pháp khái quát hóa. – Phương pháp quan sát. – Phương pháp kiểm tra. – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 3
VI. Thời gian nghiên cứu Đề tài được thực hiện từ ngày 10/6/2010 đến ngày 28/11/2010 VII. Giới hạn của đề tài Đề tài được sử dụng trong việc dạy các tiết luyện tập, phụ đạo và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi các cấp, với đối tượng là những học sinh trung bình, khá, giỏi bộ môn Toán. PHẦN II: NỘI DUNG I. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VỀ CĂN THỨC 1. Muỗi nặng bằng voi! Ví dụ 1: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây: Gọi khối lượng con muỗi là: m (kg) m > 0 Gọi khối lượng con voi là: v (kg) v > 0 mv Đặt c  2  m  2c  v (1)  2c  m  v (2) Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được: m( 2c  m )  v( 2c  v )  2mc  m 2  2vc  v 2  m 2  2mc  c 2  v 2  2vc  c 2  ( m  c )2  ( v  c )2  mc  v c mv GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 4
Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Vậy sai lầm ở đâu? Phải chăng học sinh thường mắc phải trong suy luận: 2 2 A2 = B2  A = B Sửa lại cho đúng A  B  A  B Đây là bài toán trong sách Để học tốt Toán 8 của GS Hoàng Chúng, giới thiệu cho các em học sinh lớp 8 tham khảo, rút ra kinh nghiệm khi làm toán về hằng đẳng thức. Ví dụ 2: (Bài 16 SGK Toán 9 trang 12) Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây. Giả sử khối lượng con muỗi m(g) và khối lượng con voi V(g) Ta có: 2 2 2 2 m V V  m 2 2 2 2  m  2m V  V V  2m V  m  ( m  V )2  ( V  m )2  ( m  V )2  (V  m )2  m V  V  m  2m  2V  m V Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!). Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong hằng đẳng thức: A  A thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi. 2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. Ví dụ 1: Có học sinh viết: +Vì (  4 ).(  25 )  100  10 và 4 . 25  ( 4 ).( 25 )  100  10 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 5
nên ( 4 ).( 25 )  4 . 25 (!) 147 147 147 147 147 + Vì   49  7 và  49  7 nên  (!) 3 3 3 3 3 Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 2 2010  2011 + Cách giải sai: 2 2010  2011  2010  2 2010  1  ( 2010  2 2010  1 ) 2   ( 2010  1 )  ( 2010  1 )  2010  1  !     Nguyên nhân: - Khi làm bài học sinh chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại. - Học sinh chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.  Biện pháp khắc phục: - Khi dạy phần này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều kiện để có: a . b  ab ; a a  . b b 3. Sai lầm khi học sinh chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số. Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a 2  5a ( Với a < 0 ) + Cách giải sai: A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  3a ( với a < 0 ) (!) + Cách giải đúng là: A = 2 a 2  5a = 2 a  5a  2a  5a  7a ( với a < 0 ) Ví dụ 2: Tìm x, biết : 4(1  x)2 - 6 = 0 + Cách giải sai : 4(1  x)2 - 6 = 0  2 (1  x)2  6  2(1 - x) = 6  1- x = 3  x = - 2. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 6
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm. + Cách giải đúng: 4(1  x)2 - 6 = 0  2 (1  x)2  6  1  x = 3. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3  x = -2 2) 1- x = -3  x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4. + Nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu a
 3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4 Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5) Rút gọn biểu thức: (4  17) 2 + Cách giải sai: Học sinh A: (4  17 ) 2  4  17  4  17 Học sinh B: (4  17 )2  4  17 + Cách giải đúng: (4  17) 2  4  17  17  4 + Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức A2  A , giá trị tuyệt đối của một số âm. Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau: Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b . 2 2 Ta có : a 2  2ab  b 2  b 2  2 ab  a 2 hay  a  b    b  a  (1) 2 2 Lấy căn bậc hai hai vế ta được:  a  b  b  a  Do đó: a  b  b  a Từ đó : 2a  2b a b Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. Học sinh này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1) phải được kết quả: a  b  b  a chứ không thể có a - b = b- a. + Nguyên nhân: Học sinh chưa nắm vững hằng đẳng thức A2  A , giá trị tuyệt đối của một số âm. Ví dụ 4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16. B = 16 x  16 - 9 x  9 + 4x  4 + x  1 với x  -1 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 8
+ Cách giải sai : B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x 1 B = 4 x 1 2 2 16 = 4 x  1  4 = x  1  4 = ( x  1 ) hay 16 = ( x  1) 2  16 = | x+ 1| Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1  x = 15 2) 16 = -(x+1)  x = - 17. + Cách giải đúng: B = 4 x  1 -3 x  1 + 2 x  1 + x  1 (x  -1) B = 4 x 1 16 = 4 x  1  4 = x  1 (do x  -1)  16 = x + 1. Suy ra x = 15. + Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x = 15 và x =- 17 nhưng chỉ có giá trị x = 15 là thoả mãn, còn giá trị x = -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x  -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! + Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A2 = | A|, có nghĩa là : A2 = A nếu A  0 ( tức là A lấy giá trị không âm ); A2 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ). GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 9
5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn. Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27 2 3( x  y )2 Rút gọn: với x  0 , y  0 , x  y. x2  y2 2 Một học sinh A làm như sau: 2 3( x  y )2 3.22 ( x  y )2 6( x  y )2 6    x  y2 2 2 2 2( x  y ) 2 2 2 (x y) (x y) 2 x y Một học sinh B làm như sau: 2 3( x  y )2 2 3. x  y 6  .  x  y2 2 2 ( x  y )( x  y ) 2 x y (vì x  0 , y  0 , x  y ) Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng? Dễ thấy em học sinh A làm sai! Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 ) Rút gọn biểu thức sau: 20  45  3 18  72 +Cách giải sai: 20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2  2 5  3 5  9 2  6 2   5  15 2  14 7 + Cách giải đúng là: 20  45  3 18  72  4.5  9.5  3 2.9  36.2  2 5  3 5  9 2  6 2  15 2  5 + Nguyên nhân: Sai lầm ở chỗ học sinh chưa nắm vững công thức biến đổi: x A  y B  z A  m   x  z  A  y B  m ( A,B  Q+ ; x,y,z,m  R ) - Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, giáo viên nhấn mạnh để học sinh khắc sâu và tránh những sai sót. GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 10
Ví dụ 3: Bài tập 2 Rút gọn: A  32 x   5  x  4x ( với x  0 ) +Cách giải sai : 2 A  32 x   5  x  4 x  3 x  5 x  2 x  4 x + Cách giải đúng là : Với x  0 . Ta có: 2 A  32 x   5 x  4x  3 x  5 x  2 x  3 x  5 x  2 x  6 x Ví dụ 4: Bài 3b ( SBT toán 9 – trang 27 ) 3 Rút gọn biểu thức: M  2 x  48 x x +Cách giải sai : 3 3x 2 M  2x  48 x  2  4 3x x x  2 3 x  4 3 x  6 3 x (!) + Cách giải đúng: 3 M  2x  48 x . Điều kiện để M xác định là: x < 0. x 2 3   x  Khi đó: M  2  16. 3 x  2 3 x  4 3 x  2 3 x x Ví dụ 5: Giải tập sau: y 2  xy x Rút gọn biểu thức: M   y y + Cách giải sai: M y 2  xy  x  xy  y 2  x  y  x y  x y y y y y. y y x y x x x    1  1 (!) y y y y GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 11
+ Cách giải đúng : Đk để M xác định: xy  0 ; y  0 . Ta xét hai trường hợp: * x  0; y < 0 . y 2  xy x y 2  xy x M    y y y2 y x x x  1   1 2 y y y * x  0 ; y>0. M y 2  xy  x  y  y x  x y y  y. y y y x x x x    1    1  y y y y x Vậy: nếu x  0 ; y0 thì M  1 y + Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc A2 B  A B với B  0 , điều kiện để một thừa số đưa được vào trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, quy tắc khai phương một thương. + Biện pháp khắc phục: Khi dạy giáo viên cần cho học sinh nắm vững: + A2 B  A B với B  0  A2 B  vo 'i A  0; B  0 + A B    A2 B  vo'i A  0; B  0 + A tồn tại khi A  0 x  0  + a  0, a x 2 2 x    a a A A + Nếu A  0 , B > 0 thì  B B 6. Khi trục căn thức ở mẩu, khai phương một tích, khai phương một thương học sinh thường mắc phải một số sai lầm: Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9 - tập 1 – trang 19 ) GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 12
Tính 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4 + Cách giải sai: 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 44.1, 21  1, 44.0, 4   1, 2.1,1  1, 2.0, 2  1, 32  0, 24  1, 08 (!) + Cách giải đúng: 1,44.1, 21 1, 44.0, 4  1, 44 1,21  0, 4   1, 44.0,81  1, 2.0,9  1, 08 Ví dụ 2: Giải các bài tập sau: 625 Tính: a. 81.256 ; b. 16 + Cách giải sai: a. 81.256  9. 16  3. 4  12 (!) 625 25 5 5 b.    (!) 16 4 2 2 + Cách giải đúng: a. 81.256  81. 256  9.16  144 625 625 25 b.   16 16 4 Vi dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu + Cách giải sai : 52 3. 5  2 15  2 a.  2  3 3   3 b. 2   2 5  1 2 5 1   5 1   2 5 1  5 1 5 1 2 hoặc 2  2  5 1   2  5 1  5 1 5 1  5 1  5 1  5 1 3 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 13
hoặc 2  2  5 1   2  5 1   2 5 1  5 1 5 1  5 1  5 1   5 2 1 25  1 12 2 2 5 1  2 5 1    hoặc    2  5 1  5 1 5 1 5 1 1   hoặc 2  2  5 1   2  5 1  5 1 5 1  5 1  5 1  5 1 2 5 5 7 5 7 5 7 c.    2 7  3 2 7. 7  3 2.7  3 17 hoặc 5  5  7 3   5  7 3   5 7 3   5  7 3  2 7 3 2  7 3 .  7 3  2.  7  9  4 4 2 a 1 d.  2 a 3 3 2 a 2 a 2 a 2 a hoặc    2 a 3 2 a 3 2 a 3 2    a 2  32 2a  9 - Cách giải đúng: 52  3. 5  2   15  2 3  a. 2 3 3 3   b. 2  2  5 1   2  5 1  5 1 5 1  5 1  5 1  5 1 2 c. 5  5 2 7 3   5 2 7 3    2 7 3  2 7 3 . 2 7 3 2 2 7  32       5 2 7 3   10 7  15 28  9 19 d. 2 a  2 a 2 a 3  2 a 2 a 3     2 a 3  2 a 3 2 a 3 2 2 a  32       2 a 2 a 3   4a  6 a 4a  9 4a  9 9 (với a  0 và a  ) 4 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 14
- Nguyên nhân: + Học sinh chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai phương mà ngộ nhận sử dụng “ A  B  A  B ” tương tự như A.B  A. B ( với A  0 và B  0 ) để tính . + Học sinh hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương. + Học sinh mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất cơ bản của phân thức. + Học sinh chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: A 2  B 2   A  B  A  B  - Biện pháp khắc phục: + Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng A  B  A  B tương tự như A.B  A . B ( với A  0 và B  0 ) . + Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức. + Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau. + Cần khắc sâu các công thức: A A B  , với B > 0 B B C  C  AB  , với A  0 và A  B 2 2 AB AB C  C  A B  , với A  0, B  0 và A  B A B A B 7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  0 khi giải các bài toán về căn bậc ba : Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19) 3 Giải phương trình: x 1 1  x (2) GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 15
+ Cách gải sai: 3 x 1  1  x  3 x 1  x 1 x 1  0  x  1   3    x  1   x  1   2   x  1 x  2 x  0  x  1  x  1    x  0(loai )     x  x  1 x  2   0   x  1  x  2  Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1=1; x2=2. (!) + Cách giải đúng: 3 3 x  1  1  x  3 x  1  x  1   x  1  x  1 3   x  1   x  1  0   x  1  x 2  2 x   0  x  x  1 x  2   0  x  0 hoặc x = 1 hoặc x = 2. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1  0; x2  1; x3  2 - Nguyên nhân: + Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số a  0 x  0  a x 2 2 x  a    a + HS chưa nắm vững định nghĩa căn bậc ba của một số a. - Biện pháp khắc phục: Khi giảng phần này giáo viên cần cho học sinh nắm định căn bậc ba của một số a, đồng thời lưu ý học sinh hiểu rõ giữa căn bậc hai của một số a  0 ; căn bậc hai số học của một số a  0 và căn bậc ba của một số a. 8. Sai lầm trong kĩ năng biến đổi : Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai. Ví dụ 1 : Tìm x, biết : (4- 17 ).2 x  3 (4  17 ) . - Cách giải sai : GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 16
3 (4- 17 ).2 x  3 (4  17 )  2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 )  x < . 2 - Cách giải đúng : Vì 4 = 16 < 17 nên 4 - 17 < 0, do đó ta có: 3 (4- 17 ).2 x  3 (4  17 )  2x > 3  x > . 2 - Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”. - Biện pháp khắc phục: Chỉ ra sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và 17 cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - 17 là số âm, dẫn tới lời giải sai. x2  3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : x 3 x2  3 ( x  3 )( x  3 ) - Cách giải sai : = = x - 3. x 3 x 3 - Cách giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + 3  0 hay x  - 3 . Khi đó ta có x2  3 ( x  3 )( x  3 ) = = x - 3 (với x  - 3 ). x 3 x 3 x2  3 - Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức sẽ x 3 không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được. II/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ. Ví dụ 1: Giải PT: ( x  2011 ) x  2010  0 (*) GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 17
+ Lơì giải sai: Ta có : x  2011  x  2010  0  x  2011  0  x  2011  x  2011        x  2010  0  x  2010  0  x  2010 + Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình + Lời giải đúng: Điều kiện: x  2010  x  2011  0 Do đó:  x  2011 x  2010  0  x  2010  0 (Vì: x + 2011 > 0)  x  2010  0  x  2010 Vậy: x = 2010 là nghiệm của phương trình (*). Ví dụ 2: Giải pt: x  1  5 x  1  3 x  2 (1) + Lời giải sai: (1)  x  1  5x  1  3x  2  x  1  5 x  1  3 x  2  2 15 x 2  13 x  2 (Bình phương hai vế ) (4)  2  7 x  2 15 x 2  13 x  2   4  14 x  49 x 2  4 15 x 2  13 x  2  (5)  11 x 2  24 x  4  0   11 x  2  x  2   0  2 11 x  2  0 x   11 x  2  0   x2 + Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa 2 x  1 xác định khi x  1 .Do đó x  Không phải là nghiệm 11 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 18
Sai lầm thứ hai là (4) và (5) Không tương đương 2  7 x  0 Mà (4)   2 2 ( 2  7 x )  4( 15 x  13 x  2 ) Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với 2 phương trình (4) với điều kiện: 2  7 x  0  x  . Do đó x = 2 cũng không phải là 7 nghiệm của (1). + Cách giải đúng: Cách 1: Giải xong thử lại 2 Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định 1  x  . Do đó khi giải xong kết luận phương 7 trình vô nghiệm. Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô nghiệm. Ví du 3: Giải phương trình: x4  x2 + Lời giải sai: x  0 x  4  x  2  x  4  x 2  4 x  4  x( x  3 )  0    x  3 Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của phương trình. + Cách giải đúng:  x  2 x  2  0  x  2   x4  x2     x  0  x  0  x  4  x2  4x  4   x  x  3  0   x  3  B  0 Ghi nhớ : AB 2 A  B 2x  5 Ví dụ 4:Giải phương trình: 1 x2 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 19
+ Lời giải sai: Điều kiện: x > 2 2x  5 2x  5 1  1  2 x  5  x  2  x  7 (loại) x2 x2 Vậy phương trình trên vô nghiệm. Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7? Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A  0; B < 0 Nên mất một nghiệm x= -7 + Lời giải đúng: Điều kiện: x > 2 hoặc x  -2,5 2x  5 2x  5 1  1 (với x > 2 hoặc x  -2,5) x2 x2  2 x  5  x  2  x  7 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x = -7 Ví dụ 5: 3 Giải phương trình: 2 x  1  3 4 x  1  3 6 x  1 (1) + Lời giải sai: 3 2x  1  3 4x  1  3 6x  1  6 x  2  3 3  2 x  1  4 x  1   3  2x 1  3 4x 1  6x 1   2 x  1  4 x  1  6 x  1   1 3   2 x  1  4 x  1  6 x  1   1  48 x 3  28 x 2  0  12 x 3  7 x 2  0 GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang 20