Ổn định mũ của hệ phương trình sai phân có chậm trong không gian Banach

Chia sẻ: Danh Nguyen Tuong Vi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân phụ thuộc thời gian có chậm, với biến liên tục, hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên trong không gian Banach. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ổn định mũ của hệ phương trình sai phân có chậm trong không gian Banach

An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79 ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CÓ CHẬM TRONG KHÔNG GIAN BANACH Lê Trung Hiếu1, Huỳnh Ngọc Cảm1, Bùi Thị Mộng Ngân1 Trường Đại học Đồng Tháp 1 Thông tin chung: Ngày nhận bài: 28/11/2016 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 22/02/2017 Ngày chấp nhận đăng: 06/2017 Title: The exponential stability of delay equation systems regarding Banach Keywords: Sustainable conditions, exponential stability, whole exponential stability, the delay equation systems, Banach Từ khóa: Điều kiện ổn định; ổn định mũ, ổn định mũ toàn cục, phương trình sai phân có chậm, không gian Banach ABSTRACT Recently, many authors have published many conditions for the exponential stability of different equation systems in the slow space. However,when the equation systems were considered in Banach with no order, most of their results could not be applied. Therefore, we have applied some of the above results into Banach. Then, we could obtain some new sufficient conditions for the exponential stability because of nonlinear and linear time together with the delayed application of Banach. We also gave an example to illustrate the results in the case of applying the infinite-dimension of Banach to show unique limitations. TÓM TẮT Gần đây, nhiều tác giả đã công bố nhiều điều kiện cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân (PTSP) có chậm trong không gian. Tuy nhiên, khi xét hệ PTSP trong không gian Banach tổng quát không được trang bị quan hệ thứ tự thì phần lớn các kết quả này không áp dụng được. Do đó, chúng tôi mở rộng một số kết quả nêu trên sang không gian Banach tổng quát, từ đó chúng tôi đạt được một số điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của các hệ PTSP có chậm phi tuyến và tuyến tính phụ thuộc thời gian trong không gian Banach. Chúng tôi đưa ra ví dụ áp dụng cho kết quả đạt được trong trường hợp không gian Banach vô hạn chiều để thấy kết quả được phát biểu trong không gian còn hạn chế. 1. MỞ ĐẦU Trong những thập niên gần đây, lý thuyết phương trình sai phân (PTSP) đã có những bước phát triển vượt bật và là đối tượng nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Bởi tính ứng dụng trong nhiều ngành khoa học và kĩ thuật, các bài toán ổn định và ổn định vững (robust stability) của PTSP đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới. Trong các kết quả nghiên cứu về lí thuyết cũng như ứng dụng, lớp PTSP có chậm là lớp phương trình phổ biến và được khai thác nhiều nhất. Suốt những thập niên qua, các bài toán ổn định, ổn định vững của các PTSP có chậm được nghiên cứu rộng rãi trên các dạng không gian nền khác nhau như không gian thực  (Hieu, 2015; Hinrichsen, Son & Ngoc, 2003; Ngoc & Hieu, 2013; Udpin & Niamsup, 2009), một số dạng không gian Banach vô hạn chiều đặc biệt và không gian Banach tổng quát (Agarwal, Thompson & Tisdell, 2003; Gil', 2007; Murakami & Yutaka, 2008), bởi nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau. n 70 An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79 Một số phương pháp tiếp cận cho bài toán ổn định của các PTSP có chậm có thể kể như phương pháp hàm Lyapunov và một số biến dạng của nó như hàm Lyapunov-Krasovskii và hàm Lyapunov-Razumikhin, phương pháp đa thức đặc trưng, phương pháp sử dụng các nguyên lý ánh xạ co và các định lí điểm bất động, phương pháp sử dụng các dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc,… Trong đó, phương pháp tiếp cận truyền thống được sử dụng rộng rãi vẫn là phương pháp hàm Lyapunov. Tuy nhiên, đối với các lớp phương trình phụ thuộc thời gian (time-varying), đặc biệt là các phương trình phi tuyến, rất khó để thiết lập được các hàm Lyapunov. Hơn thế nữa, các kết quả thu được từ phương pháp hàm Lyapunov thường được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận phức tạp và khó sử dụng (Hieu, 2015). Ngoài ra, mỗi phương pháp tiếp cận nói trên đều có những hạn chế nhất định và thường chỉ phù hợp với một số lớp phương trình cụ thể. Từ vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu phát triển các kĩ thuật đã có để nghiên cứu đưa ra các điều kiện tường minh mới cho tính ổn định của các PTSP có chậm phụ thuộc thời gian, đặc biệt là các phương trình phi tuyến phụ thuộc thời gian, là vấn đề mở có ý nghĩa khoa học. Vấn đề này đã được đề cập và nghiên cứu một phần trong Hieu (2015), Liz (2011), Ngoc & Hieu (2013), Udpin & Niamsup (2009). Cụ thể, các tác giả đã vận dụng ý tưởng so sánh nghiệm và phương pháp tiếp cận khác mà không dùng phương pháp hàm Liapunov, từ đó đưa ra nhiều điều kiện tường minh cho tính ổn định của PTSP phụ thuộc thời gian trong không gian  và  n . Tuy nhiên, khi xét hệ PTSP trong không gian Banach vô hạn chiều hoặc không gian Banach tổng quát không có trang bị quan hệ thứ tự thì phần lớn các kết quả này không thể áp dụng được. và thay đổi điều kiện tương ứng. Cụ thể, chúng tôi mở rộng một số kết quả trong nghiên cứu của Ngoc & Hieu (2013) về các điều kiện ổn định của hệ PTSP có chậm trong không gian thực  thành một số điều kiện tổng quát hơn khi hệ PTSP được xét trong không gian Banach tổng quát. Từ đó, chúng tôi đạt được một số điều kiện ổn định mũ tường minh mới của hệ PTSP phi tuyến và tuyến tính có chậm phụ thuộc thời gian trong không gian Banach. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một ví dụ cụ thể về điều kiện ổn định của hệ PTSP có chậm trong không gian Banach vô hạn n chiều để thấy rằng kết quả trong  còn hạn chế và không sử dụng được đối với phương trình này. Kết quả đạt được còn là mở rộng của một số kết quả đã có trong Liz (2011), Udpin & Niamsup (2009) như là một trường hợp đặc biệt. n Sau đây, chúng tôi trình bày một số kí hiệu được sử dụng trong bài báo này. Gọi , ,  lần lượt là vành các số nguyên, trường các số thực và trường các số phức. Kí hiệu  + là tập hợp các số nguyên không âm. Với k1 , k2 ∈  + , kí hiệu [ k1 ,k2 ] là tập các số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ]. Với hai số nguyên dương l và q, kí hiệu  l ×q và  l+×q lần lượt là tập hợp các ma trận thực cỡ l × q và tập hợp các ma trận thực không âm (ma trận có tất cả các phần tử là số thực không âm) cỡ l × q. Cho ma trận = A (aij ) ∈  n×n , bán kính phổ (spectral radius) của A được xác định bởi = ρ ( A) max {| λ |: λ ∈ , det(λ= I n − A) 0} . Cho ma trận M ∈  l ×q , chuẩn của toán tử tuyến tính M :  q →  l , v  Mv : Mv = = max Mv , M : max v≠0 ‖ v‖ = 1 v Do đó, trong bài báo này, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng một số kết quả nêu trên được phát biểu trong không gian thực hữu hạn chiều bằng cách thay đổi không gian nền sang không gian Banach tổng quát được gọi là chuẩn toán tử (operator norm) của M. A (aij ),= B (bij ) ∈  Cho hai ma trận= 71 l ×q , ta kí An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79 | A | (| aij |) ∈  hiệu trị tuyệt đối của A là= l ×q 2. ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHỤ THUỘC THỜI GIAN CÓ CHẬM và qui ước A ≤ B có nghĩa là aij ≤ bij với mọi i 1,= 2,..., l , j 1, 2,..., q . = Tuy nhiên, nếu Trong suốt bài báo này, chúng tôi giả thiết rằng X là không gian Banach với số chiều tùy ý và không cần có một quan hệ thứ tự nào trên nó. Xét hệ PTSP phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm xác định trên X có dạng phi tuyến tổng quát như sau: với mọi i 1,= 2,..., l , j 1, 2,..., q thì ta aij < bij = viết A 0 sao cho nếu với k0 ∈  + cho trước, tồn tại η > 0 (η phụ 0 < τ i (k ) ≤ τ (i = 1, 2,..., m) với mọi k ∈  + . thuộc vào k0 ), M > 0 và β ∈ (0,1) sao cho Giả sử F (⋅;..., ⋅) thỏa mãn điều kiện ϕ < η ⇒ x(k ; k0 , ϕ ) ≤ M β k − k , ∀k ≥ k0 . 0 F (k ;0,..., 0) = 0 với mọi k ∈  + (tức là, véctơ 0 trong X là một điểm cân bằng của (1)). Gọi  là tập hợp gồm tất cả các hàm giá trị đầu Nghiệm không của (1) được gọi là ổn định mũ toàn cục (global exponential stability, viết tắt là ϕ : [−τ ,0] :={−τ , − τ + 1,..., 0} → X (loại trừ GES) nếu tồn tại M > 0 và hàm nhận tất cả các giá trị toàn là véctơ 0). Với (3) chuẩn của ϕ được xác định bởi Trong bài báo này chúng tôi qui ước rằng khi nghiệm không của (1) là ES (tương ứng GES) thì ta cũng nói (1) là ES (tương ứng GES). Ta thấy rằng, GES kéo theo ES. Tuy nhiên, đối với lớp hệ phương trình tuyến tính thì ES và GES là tương đương. } = ϕ : max ϕ ( j ) , j ∈ [−τ ,0] . Ta gọi nghiệm của (1) là dãy véctơ {x(k )} trong X và thỏa mãn hệ (1) với mọi k ≥ k0 . Với mỗi k0 ∈  + cho trước và một hàm giá trị đầu Năm 2013, Ngoc & Hieu (2013) đã đưa ra nhiều điều kiện đủ cho tính ổn định mũ toàn cục của (1) ϕ ∈  cố định, (1) có một nghiệm duy nhất, kí hiệu bởi x(⋅ ; k0 , ϕ ), thỏa mãn điều kiện đầu x(k0= + j ) ϕ ( j ), β ∈ ( 0,1) sao cho x ( k ; k0 , ϕ ) ≤ M β k − k0 ϕ , ∀k ≥ k0 . mỗi ϕ ∈  sao cho ϕ ( j ) < ∞, , j ∈ [ −τ ,0] { (1) trong không gian  n . ∀j ∈ [−τ ,0] . (2) 72 An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79 Định lí 2.2. (Ngoc & Hieu (2013), Định lí 2.2). Giả sử tồn tại các hàm ma trận 0,1,..., m) Ai (⋅) :  + →  +n×n (i = sao cho m F (k ; x0 , x1 ,..., xm ) ≤ ∑ Ai (k ) xi , ∀k ∈  + , , ∀( x0 , x1 ,..., xm ) ∈  n ( m +1) . (4) i =1 Khi đó (1) là GES nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) n Tồn tại p ∈  , p >> 0 và 0 < δ < 1 sao cho m ∑ Ai (k ) p ≤ δ p, ∀k ∈  + . i =0 (5) (ii) Tồn tại ma trận A ∈  n+×n , ρ ( A) < 1 sao cho m ∑ A (k ) ≤ A, i i =0 ∀k ∈  + . (6) (iii) m sup ∑ Ai (k ) < 1. (7) k∈ + i = 0 Sau đây, chúng tôi phát biểu một dạng mở rộng của Định lý 2.2 (iii) trong không gian Banach X mà không cần có một quan hệ thứ tự như trong Định lí 2.2. Tiêu chuẩn ổn định là tường minh và dễ sử dụng. Định lí 2.3. Giả sử tồn tại ai (⋅):  + →  + (i = 0, 1, ..., m) sao cho m F (k ; x0 , x1 ,..., xm ) ≤ ∑ ai (k ) xi , ∀k ∈  + , ∀( x0 , x1 ,..., xm )∈ X m +1. (8) i =0 Khi đó, (1) là GES nếu m sup ∑ ai (k ) < 1. (9) k∈ + i = 0 (ii) Ta thấy rằng khi X ≡  thì điều kiện (4) kéo Nhận xét 2.4. (i) Giả thiết của Định lí 2.3 tốt hơn Định lí 2.2 vì không cần một quan hệ thứ tự trên X. Tuy nhiên, để mở rộng một cách đầy đủ (i), (ii) của Định lí 2.2 thì chúng ta cần giả thiết trên X có một quan hệ thứ tự ≤ . Một trường hợp có thể xét về không gian Banach có thứ tự đó là ( X , ≤) theo điều kiện (8) vì chuẩn véctơ trên  n có tính đơn điệu. Do đó, Định lí 2.2 (iii) là trường hợp đặc biệt của Định lí 2.3 khi X ≡  và ai (k ) ≡ Ai= (k ) , i 1, 2,..., m, ∀k ∈  + . là Chứng minh Định lí 2.3. Phép chứng minh Định lí 2.3 là tương tự nhưng có cải tiến từ phép chứng minh của Định lí 2.2 trong nghiên cứu của Ngoc & Hieu (2013) nhằm tránh dùng quan hệ thứ tự một dàn Banach (Banach lacttice). Khi đó, với quan hệ thứ tự này, giá trị tuyệt đối của véctơ x là véctơ x := sup(− x, x) ∈ X (Murakami & trên  . Chúng tôi đã cải tiến tất cả so sánh các Yutaka, 2008, Mục 2). n 73 An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 15 (3), 70 – 79 véctơ trên  , các ma trận trên  thành so sánh các chuẩn của chúng, bởi vì trong không l ×q n { gian Banach tổng quát không có quan hệ thứ tự thì không so sánh được các véctơ, các ma trận. } Đặt 1 := ϕ ∈  : ϕ ≤ 1 . Từ (9) suy ra tồn tại số dương m ∑ ai (k ) ≤ δ , i =0 δ ∈ ( 0;1) sao cho: ∀k ∈  + . (10) Phần chứng minh tiếp theo gồm hai bước như sau: Bước I: Lấy ϕ ∈ 1 và gọi x ( ⋅) := x ( ⋅; k0 , ϕ ) là nghiệm của (1) - (2). Ta chỉ ra rằng tồn tại K>0 và β ∈ ( 0,1) sao cho ∀k , k0 ∈  + , k > k0 ; ∀ϕ ∈ 1 : x(k ; k0 , ϕ ) ≤ K β k − k0 . Do ϕ ∈ 1 nên tồn tại K>0 sao cho K > ϕ ( k ) , ∀k ∈ [−τ ,0] , ∀ϕ ∈ 1. u (k ) : K β = Đặt k − k0 , k ∈ , với= β: τ +1 (11) δ ∈ (0,1). Từ (2) và (12), ta có u ( k ) > x ( k ) , ∀k ∈ [k0 −τ ,k0 ] . Thật vậy, ta có (12) u ( k0 ) = K β k0 − k0 = K > ϕ (0) = x ( k0 ) (do (2) và (11)). Tương tự, do β ∈ (0,1) cùng với (2) và (11) nên ta có k0 u ( k0 − 1= K β −1 > K > ϕ (−1)= ) K β ( k0 −1)−= x ( k0 − 1) , … u ( k0 − τ= ) K β ( k0 −τ )−k=0 K β −τ > K > ϕ (−τ )= x ( k0 − τ ) . Vậy (12) là đúng. Tiếp theo ta chứng minh u ( k ) > x ( k ) , ∀k ∈  + , k ≥ k0 − τ . Vì 0 ≤ τ i ( k ) ≤ τ , ∀k ∈  + , nên ta có: (1) = x(k0 + 1) ( F k0 ; x ( k0 ) , x ( k0 − τ 1 ( k0 ) ) ,..., x ( k0 − τ m ( k0 ) ) ≤ a0 ( k0 ) x ( k0 ) + ∑ ai ( k0 ) x ( k0 − τ i ( k0 ) ) m (8) i =1 (13) ≤ a0 ( k0 ) u ( k0 ) + ∑ ai ( k0 ) u ( k0 − τ i ( k0 ) ) m i =1 m = a0 ( k0 ) K + ∑ ai ( k0 ) K β −τ i ( k0 ) i =1 74 )