Ôn tập cuối kì môn Giải tích 2 - Trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh

Chia sẻ: Nhung Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

290
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập cuối kì môn Giải tích 2 là tài liệu ôn tập của tác giả Nguyễn Hồng Lộc thuộc Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh. Tài liệu gồm có 5 câu hỏi tự luận. Mời các bạn cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập cuối kì môn Giải tích 2 - Trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh

ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2013. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 1 / 10
Câu 1 TínhRR tích phân kép √ I = |(y − x)(y + 3x)|dxdy với D D = {x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 10
Câu 1 TínhRR tích phân kép √ I = |(y − x)(y + 3x)|dxdy với D D = {x 2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0} Để phá dấu trị tuyệt đối, chia D làm 2 miền, một miền hàm dưới dấu trị tuyệt đối > 0 và miền còn lại hàm < √ 0 D1 = {−x 3 ≤ y ≤ x, x 2 + y 2 ≤ 1, √ y ≥ 0} , D2 = D − D1,f (x, y ) = (y − x)(y + 3x) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 10
RR RR I =− f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy DRR 1 DRR 2 I = −2 f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy D1 D I = 2π/3 R R1 √ −2 d ϕ (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ + 3rcosϕ)rdr π/4 0 π R R1 √ + d ϕ (rsinϕ − rcosϕ)(rsinϕ + 3rcosϕ)rdr 0 0 I = ... Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 3 / 10
Câu 2 Tính tích phân mặt loại hai ZZ I = (x 3 +1)dydz +(y 3 +2)dzdx +(z 3 +3)dxdy , S với S là phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 2z, bị cắt bởi mặt phẳng z = 1, lấy phần z > 1, mặt phía trên theo hướng trục Oz. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 4 / 10
Áp dụng công thức trực tiếp sẽ khó vì hàm z rút ra phức tạp. Ở đây ta áp dụng công thức G-O nhưng mặt chưa kín nên ta phải thêm vào để được mặt kín, thêm vào mặt S1 : {z = 1, x 2 + y 2 ≤ 1} hướng xuống theo hướng trục Oz.Chú ý hướng của mặt S1, chọn hướng xuống để toàn bộ mặt hướng ra ngoài.(z=1 RR RR nênRRdz=0) RR I = − = − 4dxdy S+SRRR 1 S1 S+S1 S1 RR 2 2 2 I =3 (x + y + z )dxdydz + 4 dxdy = ... V Dxy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 5 / 10
Câu 3 P∞ (2n + 1)! Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số n 2 n=1 3 .(n!) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 10
Câu 3 P∞ (2n + 1)! Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số n 2 n=1 3 .(n!) an+1 D = lim n→∞ an (2n + 3)! 3n .(n!)2 D = lim n+1 n→∞ 3 .((n + 1)!)2 (2n + 1)! (2n + 2)(2n + 3) D = lim = 4/3 > 1 n→∞ 3n2 Theo dấu hiệu D’Alambert chuỗi này phân kỳ. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 10
Câu 4 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ n 2 n + 1 (−1)n n P n=1 n+3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 10
Câu 4 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ n 2 n + 1 (−1)n n P n=1 n+3 n 2 n+1 an = (−1)n n p n+3 C = lim n |an | = e −2 < 1 n→∞ Theo dấu hiệu Cauchy chuỗi này hội tụ tuyệt đối. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 10
Câu 5 ∞ P 1 Tính tổng của chuỗi số S = n 1 n=1 3 (n + 2 ) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 10
Câu 5 1 ∞ P Tính tổng của chuỗi số S = n 1 n=1 3 (n + 2 ) √ P∞ 1 P∞ 2 3 S= n 1 = √ 2n+1 (2n + 1) n=1 3 (n + 2 ) n=1 ( 3) √ P ∞ x 2n+1 S(x) = 2 3 , x = √13 n=1 2n + 1 Chia cho (2n+1) nghĩ đến nguyên hàm của xn2, 1 P∞ n 2 1−x = Pn=0 x . Thay x bởi x : 1 ∞ 2n 1−x 2 = n=0 x .Lấy nguyên hàm Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 10
1 1+x R 1 P∞ x 2n+1 2 ln| 1−x | + C = 1−x 2 dx = n=0 2n+1 Thay x = 0 vào 2 vế, ta được C=0 P x 2n+1 Do đó: 12 ln| 1−x 1+x |= ∞ n=0 2n+1 √ P x ∞ 2n+1 S(x) = 2 3( − x) √ n=0 2n + 1 S(x) = 2 3( 12 ln| 1−x 1+x | − x) √ 1 1+ √3 1 S = 2 3( 2 ln| 1− √1 | − √13 ) 3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 9 / 10
THANK YOU FOR ATTENTION Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 10 / 10