Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

194
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 7-TS Trần Huyền

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 31 tháng 1 năm 2005 Bài 7. Các Bài Toán Xác Đ nh Tính Ch t Và Mô T C u Trúc C a M t Nhóm Các bài toán d ng này thư ng có n i dung sau: Cho nhóm X th a mãn m t s đi u ki n cho trư c nào đó, k t lu n c a bài toán yêu c u ch ra r ng, khi đó nhóm X cũng th a mãn m t s tính ch t xác đ nh. Ví d 1 Cho X là nhóm mà v i m i ph n t a ∈ X thì a2 = e. Ch ng minh r ng khi đó X là nhóm aben. V m t nguyên t c, mu n x lý bài toán xác đ nh m t tính ch t nào đó c a nhóm, chúng ta c n s d ng các tính ch t thông d ng c a nhóm, k t h p v i các đi u ki n b sung c a bài toán, phân tích, đánh giá và bi n đ i các tính ch t đã có t i các tính ch t c n có theo đòi h i c a k t lu n bài toán. Các tính ch t thông d ng c a m t nhóm bao g m, trư c h t là các tiên đ trong đ nh nghĩa nhóm, và các tính ch t d n xu t t các tiên đ đó, ch ng h n như: • Trong nhóm X luôn có lu t gi n ư c (t c là t m i đ ng th c ax = ay (hay xa = ya) đ u suy ra đư c x = y!) • Trong nhóm X, ph n t a ∈ X là đơn v c a nhóm X ⇐⇒ a2 = a (t c a lũy đ ng!) • Trong nhóm X, ngh ch đ o c a m i ph n t a ∈ X là duy nh t và b = a−1 ⇔ ab = e ho c ba = e. • Trong nhóm X, ngh ch đ o c a m t tích b ng tích các ngh ch đ o theo th t ngư c (t c là (a1 a2 . . . an )−1 = a−1 . . . a−1 a−1 ) n 2 1 • ... 1
Quay tr l i ví d 1, đ ch ng minh X là nhóm aben ta c n ch ra: ∀a, b ∈ X thì ab = ba. Đ có đư c tính ch t c n thi t này ta s d ng đi u ki n b sung c a bài toán là a2 = e, ∀a ∈ X, k t h p v i m t s nào đó các tính ch t thông d ng đã có trong nhóm, bi n đ i đ có đư c các l i gi i sau: • L i gi i th nh t: T đi u ki n bài toán, ta có v i m i a, b ∈ X thì: a2 = e, b2 = e =⇒ a2 .b2 = e.e = e đ ng th i (ab)2 = e. Do đó: a.a.b.b = ab.ab (= e) Th c hi n lu t gi n ư c trái a và lu t gi n ư c ph i b đ ng th c cu i cùng ta đư c: ab = ba (đpcm). • L i gi i th hai: T đi u ki n bài toán: a2 = e, ∀a ∈ X =⇒ a = a−1 , ∀ ∈ X. Do đó ∀a, b ∈ X : ab = (ab)−1 = b−1 a−1 = ba, t c ta có đpcm. đây, chúng tôi ch đưa vài l i gi i cơ b n, n u các b n th c hi n các bư c bi n đ i hơi khác m t chút các b n s có thêm các l i gi i c a riêng mình. Các b n hãy th s c mình xem! Ví d 2 Cho X là nhóm có vô h n ph n t . Ch ng minh r ng X ch a vô h n các nhóm con khác nhau. Gi i Vì X có vô h n ph n t nên X = {e}. Xét c p các ph n t c a X, có hai kh năng duy nh t sau đây: a) Trong X có m t ph n t c p vô h n. Khi đó, nhóm con cyclic sinh b i ph n t a là < a > có vô h n ph n t ; và b n thân < a > ch a vô h n các nhóm con khác nhau sau đây: < a >, < a2 >, . . . , < ak >, . . . Đó cũng là các nhóm con c a X. V y, khi đó X ch a vô h n nhóm con. b) M i ph n t trong X đ u có c p h u h n. Khi đó, xét h J t t c các nhóm con cyclic sinh b i các ph n t c a X, J = {< x >: x ∈ X}. D th y là X = < x >, do đó x∈X n u h J ch ch a h u h n các nhóm con khác nhau thì do: < x >= x∈X ∈J có s ph n t là h u h n, trái v i đi u ki n đã cho X có vô h n ph n t . V y J ch a vô h n các nhóm con khác nhau, t c X ch a vô h n các nhóm con khác nhau. Chú ý r ng các tính ch t c a nhóm là r t phong phú và đa d ng, nó không ch đư c phát bi u cho các ph n t c a t p n n, phép toán trong nhóm mà còn đư c xác đ nh cho nh ng khái ni m d n xu t t nhóm như là nhóm con, ư c chu n t c, . . . Đ c bi t trong các nhóm h u h n chúng ta có m t tính ch t quan tr ng liên h gi a c p c a nhóm và c p các nhóm con, chính là n i dung c a đ nh lý sau: Đ nh lí 1 (Lagran) Cho nhóm h u h n X, và A ⊂ X. Khi đó, c p A là ư c s c a c p X. n Đ nh lý này có vài h qu cũng thư ng đư c s d ng trong các bài toán xác đ nh tính ch t cho các nhóm h u h n và mô t c u trúc nhóm h u h n đó là: 2
H qu 1 C p c a m t ph n t a trong nhóm X là ư c s c a c p X. H qu 2 N u c p c a nhóm X là s nguyên t thì X là nhóm cyclic. Ví d 3 Cho X là nhóm aben c p 6. Ch ng minh r ng X là nhóm cyclic. Gi i Đ ch ra X là nhóm cyclic, ta c n ch ra trong X có ch a m t ph n t c p 6. Vì X c p 6 nên t n t i m t ph n t a ∈ X và a = e. Theo h qu 1 c a đ nh lý Lagrang thì c p a ch có th là 2, 3, 6. N u c p a = 6 thì ta có đpcm. N u c p a = 2 thì nhóm thương X/< a > có c p 3. Khi đó n u b ∈ X/ mà b =< a > thì c p b = 3. Do đó, ph n t đ i di n b ∈ b ph i có c p 6 ho c c p 3. Trư ng h p c p b = 3 thì tích ab ph i có c p 6. N u c p a = 3 thì nhóm thương X/ có c p 2. Khi đó n u b ∈ X/ mà b =< a > thì c p b = 2. Do đó, ph n t đ i di n b ∈ b ph i có c p 6 hay c p 2. Trư ng h p c p b = 2 thì tích ab có c p 6. V y trong m i kh năng có th x y ra cho c p ph n t c a a, ta đ u ch ra trong X có ch a m t ph n t c p 6, t c X là cyclic. Nh n xét: Trong ví d trên ta đã s d ng s ki n: Các ph n t đ i di n b c a l p ghép b trong nhóm thương là b i c a c p b, đi u này có th ch ng minh đơn gi n như sau: g i c p b = n, khi đó bn = e ⇒ (b)n = bn = e. V y n là b i c a c p b. Ví d 4 Hãy mô t c u trúc c a các nhóm c p 6 không đ ng c u v i nhau. Xét c p c a các ph n t x = e c a nhóm X c p 6. Theo h qu 1 c a đ nh lý Lagrang có t t c các kh năng sau: a) T n t i m t ph n t a c p 6. Khi đó X là nhóm cyclic c p 6 và X ∼ Z6 . = b) Không t n t i m t ph n t nào c p 6; t c X không là nhóm cyclic. Do k t qu c a ví d 3, ta suy ra X không là nhóm aben (vì nhóm c p 6 aben là nhóm cyclic!). Vì X không aben nên t n t i m t ph n t a ∈ X mà c p a = 3 (vì n u m i ph n t c a X mà c p ≤ 2 thì X l i là nhóm aben!). Khi đó nhóm con sinh b i a là < a > có ch s 2 nên là ư c chu n t c c a X và nhóm thương X/ < a > có đúng 2 ph n t . Ch n b ∈< a > thì b ∈ X/ < a > và b = e nên c p b = 2, suy ra c p b = 2 (vì c p b = 6!). V y, / n u t n t i nhóm X c p 6 không aben thì X =< {a, b} > v i c p a = 3, c p b = 2, và g m 6 ph n t sau: X = {e, a, a2 , b, ab, a2 b} th a h th c ba = a2 b (B n đ c hãy s d ng tính ch t trong nhóm đ ch ng minh n u X v i 6 ph n t trên là nhóm thì tích ba ch có th là ba = a2 b mà không th là 1 trong 5 giá tr còn l i!) Bây gi xét nhóm S3 các phép th b c 3, xem như đư c sinh b i 2 ph n t α = (1 2 3) và β = (1 2) ta có: S3 = {e, α, α2 , β, αβ, α2 β} th a βα = α2 β. Đi u này đ m b o r ng ánh x ϕ : X → S3 mà ϕ(e) = e, ϕ(a) = α, ϕ(a2 ) = α2 , ϕ(b) = β, ϕ(ab) = αβ và ϕ(a2 b) = α2 β là song ánh b o toàn các phép toán. T đó, X là m t nhóm và X ∼ S3 . = 3
BÀI T P 1. Ch ng minh r ng các nhóm có c p nh hơn 6 đ u là nhóm aben. 2. Cho X là nhóm h u h n c p ch n. Ch ng minh s các ph n t c p 2 trong X là s l . 3. Cho X là nhóm và x, y ∈ X. Ta g i x−1 y −1 xy là hoán t c a x và y. Ch ng minh r ng: a) Nhóm con A c a X sinh b i t p t t c các hoán t c a m i c p x, y ∈ X là nhóm con chu n t c c a X. b) Nhóm thương X/A là aben. Đ ng th i n u H X thì X/H aben ⇐⇒ A ⊂ H. 4. Cho A là nhóm con c a nhóm X và a ∈ X, ch ng minh r ng t p aA = {ax : x ∈ A} là nhóm con c a X khi và ch khi a ∈ A. 5. Mô t c u trúc c a các nhóm c p 4 không đ ng c u v i nhau. 6. Môt t c u trúc các nhóm c p 9 không đ ng c u v i nhau. 4