Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

219
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 1-TS Trần Huyền

Đ IS (CƠ S ) TS Tr n Huyên Ngày 11 tháng 10 năm 2004 M Đ u Đ c gi thân m n, các b n đang tham gia chuyên đ "Đ i s cơ s " c a Khoa Toán - Tin ĐHSP Tp. HCM. Chuyên đ c a chúng tôi xây d ng, trư c h t nh m tr giúp các ng viên Th c sĩ tương lai v chuyên ngành đ i s h th ng l i các ki n th c cơ s , các k thu t cơ b n, rèn luy n k năng gi i toán đ có th v ng vàng vư t qua kỳ thi tuy n sinh cao h c c a ĐHSP Tp. HCM, tr thành h c viên Cao h c ngành Đ i s c a trư ng. Chuyên đ bám sát các n i dung đ ra trong chương trình tuy n sinh, không ch giúp các h c viên có th v ng tâm đ i di n v i kỳ thi tuy n mà còn giúp cho h c viên m t kh năng, phương pháp t h c, t đào t o mình. Đ h c viên d theo dõi, ti p thu các n i dung s đư c biên so n dư i d ng các bài gi ng v i ngôn ng đơn gi n và d hi u nh t, m i bài gi ng đ hai ti t cho m i tu n. Chuyên đ đ s đư c dàn d ng v i th i lư ng ch ng 40 ti t, liên t c đư c c p nh t cho t i ngày các b n có th tham gia đ t ôn t p t p trung trư c khi bư c vào kỳ thi tuy n, d p tháng 05 − 2005. Đ chuyên đ càng ngày càng đư c tri n khai m t cách h u ích, hi u qu hơn, chúng tôi luôn luôn s n sàng đón nh n các góp ý, yêu c u c a các b n. Chúng tôi cũng s n sàng trao đ i, gi i đáp các th c m c c a các b n, h u mong chuyên đ s là ngư i b n tâm giao c a đ c gi trong hành trình ph n đ u khoa h c c a mình. Các bài t p ki m tra nhóm Nhóm là m t khái ni m cơ b n c a Đ i s , và là m t trong nh ng n i dung không th v ng bóng trong các đ thi tuy n sinh chuyên ngành Đ i s cơ s . Vì v y b n ph i n m v ng k năng ki m tra m t t p X cho trư c v i m t phép toán nào đó trên X l p thành m t nhóm. Dĩ nhiên b n ph i năm v ng khái ni m nhóm đ theo đó mà t ng bư c ki m tra t p X đã cho và phép toán đã cho có th a mãn t t c các đi u ki n c n có cho m t nhóm hay không? Theo chương trình Đ i s đ i cương ta có ba đ nh nghĩa nhóm, tương đương v i nhau như sau : 1 Đ nh nghĩa 1 Nhóm là m t t p h p X = ∅, trên đó đã xác đ nh đư c m t phép toán hai ngôi th a các đi u ki n : 1. N1 : (Đi u ki n k t h p) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz). ex = x 2. N2 : (Đi u ki n đơn v ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thì xe = x 1
x−1 x = e 3. N3 : (Đi u ki n kh ngh ch ) ∀x ∈ X, ∃x−1 ∈ X sao cho xx−1 = e 2 Đ nh nghĩa 2 Nhóm là n a nhóm X, có đơn v trái e và m i x ∈ X đ u có ngh ch đ o trái x (t c x x = e) Như v y so v i đ nh nghĩa 1, thì đ nh nghĩa 2 ti t ki m hơn; đi u ki n N2 ch c n ki m tra ex = x và đi u ki n N3 ch ph i ki m tra x−1 x = e. M t d ng đ i ng u c a đ nh nghĩa 2 và có th xem như là đ nh nghĩa 2’ là : Nhóm là n a nhóm X, có đơn v ph i e và ∀x ∈ X đ u có ngh ch đ o ph i x (t c xx = e) 3 Đ nh nghĩa 3 Nhóm là n a nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là gi i đư c (t c có nghi m) trong X v i m i a, b ∈ X Đ ki m tra m t t p cho trư c X và m t phép toán cho trên X là nhóm, tùy trư ng h p c th mà ta l a ch n đ nh nghĩa nào trong các đ nh nghĩa nêu trên đ áp d ng cho phù h p. 4 Ví d 4.1 Ví d 1 Cho t p h p X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} xác đ nh trên X phép toán sau : (k1 , k2 ).(l1 , l2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) Ch ng minh r ng X v i phép toán trên là nhóm. Gi i : 1. Cách 1 : (N u s d ng đ nh nghĩa 1, ta l n lư t ki m tra t ng bư c như sau:) • X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅. • D dàng th y là n u (k1 , k2 ), (l1 , l2 ) là c p s nguyên thì (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 ) cũng là m t c p s nguyên nên phép toán trên X là phép toán hai ngôi. • ∀(k1 , k2 ), (l1 , l2 ), (t1 , t2 ) ∈ X ta có :[(k1 , k2 )(l1 , l2 )](t1 , t2 ) = (k1 + l1 , k2 + (−1)k1 l2 )(t1 , t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 ) (1) M t khác : (k1 , k2 )[(l1 , l2 )(t1 , t2 )] = (k1 , k2 )(l1 + t1 , l2 + (−1)l1 t2 ) = (k1 + l1 + t1 , k2 + (−1)k1 l2 + (−1)k1 +l1 t2 (2) So sánh ( 1) vào ( 2) ta có đi u ki n k t h p. • T n t i (0, 0) ∈ X mà v i m i (k1 , k2 ) ∈ X thì (0, 0)(k1 , k2 ) = (0 + k1 , 0 + (−1)0 k2 ) = (k1 , k2 ) và (k1 , k2 )(0, 0) = (k1 + 0, k2 + (−1)k1 .0) = (k1 , k2 ) V y (0, 0) là đơn v trong X. 2
• ∀(k1 , k2 ) ∈ X, ∃(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) ∈ X mà (−k1 , (−1)k1 +1 k2 )(k1 , k2 ) = (−k1 + k1 , (−1)k1 +1 k2 + (−1)−k1 k2 ) = (0, 0) (k1 , k2 )(−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) = (k1 − k1 , k2 + (−1)2k1 +1 k2 ) = (0, 0) t c (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) V y X là m t nhóm. • Nh n xét : Như v y đ ki m tra m t nhóm theo đ nh nghĩa 1, ta đã làm theo đúng các yêu c u c a đ nh nghĩa là ki m tra t p X = ∅, ki m tra phép toán cho trên X th t s là phép toán hai ngôi (hai ph n t b t kỳ c a t p h p X ph i có tích là m t ph n t thu c X!) và ba tiên đ N1 , N2 , N3 . Dĩ nhiên, trong các bư c đó, n u có bư c nào mà các đòi h i đu c th a mãn m t cách hi n nhiên thì ta có th b qua. Ch ng h n ví d trên n u xem bư c 1, bư c 2 là hi n nhiên th a mãn thì v n có th ch p nh n đư c. Tuy nhiên trong m t s trư ng h p c n ki m tra m t cách c n tr ng, tránh s sai sót. 2. Cách 2 : N u s d ng đ nh nghĩa 2 thì trong l i gi i trên ch c n b đi hai đ ng th c ki m tra đơn v ph i, ki m tra ngh ch đ o ph i (ho c b đi hai đ ng th c ki m tra đơn v trái, ki m tra ngh ch đ o trái). 3. Cách 3 : (N u s d ng đ nh nghĩa 3 ) Trư c h t h t ta ki m tra X = ∅, phép toán trên X th t s là phép toán hai ngôi, ki m tra đi u ki n k t h p c a phép toán (Đi u này là như cách 1). Ti p theo ta ki m tra các phương trình ax = b và xa = b là có nghi m trong X. Cho a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) ∈ X và x = (x1 , x2 ). • ax = b ⇐⇒ (a1 , a2 )(x1 , x2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒ (a1 + x1 , a2 + (−1)a1 x2 ) = (b1 , b2 ) a1 + x1 = b1 x1 = b 1 − a1 ∈ Z ⇐⇒ ⇐⇒ a2 + (−1)a1 x2 = b2 x2 = (−1)a1 (b2 − a2 ) ∈ Z V y phương trình ax = b có nghi m nghĩa là x = (b1 − a1 , (−1)a1 (b2 − a2 )) ∈ X • Tương t : xa = b ⇐⇒ (x1 , x2 )(a1 , a2 ) = (b1 , b2 ) ⇐⇒ (x1 + a1 , x2 + (−1)x1 a2 ) = (b1 , b2 ) x1 + a1 = b1 x 1 = b1 − a1 ∈ Z ⇐⇒ x1 ⇐⇒ b1 −a1 x2 + (−1) a2 = b2 x2 = b2 − (−1) a2 ∈ Z b1 −a1 t c phương trình xa = b có nghi m là : x = (b1 − a1 , b2 − (−1) a2 ) ∈ X V y t p X v i phép toán đã cho l p thành nhóm. • Nh n xét : Đ tìm đư c ph n t đơn v (0, 0) hay ngh ch đ o (k1 , k2 )−1 = (−k1 , (−1)k1 +1 k2 ) cách 1, ta s d ng vi c gi i các phương trình đưa ra cách 3 v i b = a khi tìm đơn v e hay v i b = e = (0, 0) khi tìm a−1 . 4.2 Ví d 2 a b Cho X = : ac = 0 0 c Ch ng minh r ng X là nhóm đ i v i phép nhân ma tr n. Gi i : 3
1. Cách 1 : (N u s d ng đ nh nghĩa 1) • Hi n nhiên là X = ∅ a1 b 1 a2 b 2 • ∀ , ∈ X thì 0 c1 0 c2 a1 b 1 a2 b 2 a1 a2 b = ∈ X(a1 a2 c1 c2 = 0) 0 c1 0 c2 0 c1 c2 V y phép nhân ma tr n là phép toán hai ngôi trên X. • Theo đ i s tuy n tính, phép nhân các ma tr n có tính ch t k t h p. 1 0 • Đơn v là E = ∈X 0 1 a b • ∀ ∈ X do ac = 0 theo đ i s tuy n tính ta có : 0 c −1 a b 1 c −b = ∈X 0 c ac 0 a V y X là m t nhóm. • Nh n xét : Trong ví d trên, t p các ma tr n và phép nhân ma tr n là các đ i tư ng mà chuyên ngành ĐSTT đã nghiên c u, vì v y đ ki m tra m t s đi u ki n nào đó mà b n ch t là các k t qu đã bi t chuyên ngành này, ta không c n l p l i các ki m tra chi ti t mà ch c n nh c r ng theo chuyên ngành đó (hay k t qu nào đó) ta có đư c đi u mu n ki m tra. Ch ng h n tính ch t k t h p c a phép nhân ma tr n, đơn v hay ngh ch đ o c a m t ma tr n không suy bi n ví d trên. Tuy nhiên trong trư ng h p đơn v hay ngh ch đ o, c n ph i ch ra, ph n t đang nói t i ph i thu c t p X đã cho. 2. Cách 2 : (n u s d ng đ nh nghĩa 3) : Trư c h t ta ki m tra X = ∅, phép nhân ma tr n là phép toán 2 ngôi trên X, tính k t h p c a phép nhân ma tr n trên X (như đã làm cách 1). Ti p theo cho a1 a2 b1 b2 a= ,b= ∈X 0 a3 0 b3 ta c n ch ra các phương trình ax = b và xa = b đ u có nghi m trong X. G i x = x1 x2 . 0 x3 a1 a2 x1 x2 b1 b2 a1 x 1 a1 x 2 + a2 x 3 • ax = b ⇐⇒ = ⇐⇒ = 0 a3 0 x3 0 b3 0 a3 x 3 b1 b2 0 b3   x = b1  1  (a1 = 0) a1   a1 x 1 = b1    b3 ⇐⇒ a3 x 3 = b3 ⇐⇒ x3 = (a3 = 0)  a1 x2 +a2 x3 = b2  a3  x = b2 a3 − a2 b3 (a a = 0)     2 1 3 a1 a3 4
b1 b 2 a3 − a2 b 3   V y nghi m x =  a1 a1 a3 ∈X   b3 0 a3 • Tương t ch ng minh phương trình xa = b có nghi m. V y X là nhóm. • Nh n xét : Th t ra cách 2 này khá dài dòng, chúng tôi đưa ra nh m đ các b n làm quen nhi u hơn v i đ nh nghĩa 3, và mu n kh ng đ nh đi u r ng, m i bài toán đ u có th có nhi u l i gi i khác nhau n u ta ta bi t huy đ ng và v n d ng ki n th c đã bi t m t cách h p lý, năng đ ng. 4.3 Ví d 3 Cho t p s M = {−1, 1}. Ch ng minh r ng M l p thành nhóm v i phép nhân thông thư ng các s . Gi i : 1. Cách 1 : • Hi n nhiên M = ∅ · -1 1 • Xét b ng nhân c a M : -1 1 -1 1 -1 1 K t qu c a m t tích b t kỳ hai ph n t c a M l i thu c M nên phép nhân các s trên M là phép toán 2 ngôi. • Phép nhân các s (nói riêng trên M ) có tính k t h p. • Đơn v là 1 ∈ M • D th y n u x ∈ M thì x−1 = x ∈ M V y M là nhóm 2. Cách 2 : Ta bi u di n M dư i d ng sau : M = {x ∈ R : |x| = 1} • Hi n nhiên M = ∅ • ∀x, y ∈ M thì |x| = |y| = 1 nên |xy| = |x|.|y| = 1, do đó xy ∈ M , t c phép nhân các s trên M là phép toán hai ngôi. • Phép nhân các s có tính ch t k t h p • Đơn v là 1 ∈ M 1 • ∀x ∈ M thì |x| = 1 nên |x−1 | = = 1 do đó x−1 ∈ M V y M là nhóm. |x| 3. Cách 3 : Ta bi u di n M = {x ∈ R : x2 = 1} hay M = {(−1)n : n ∈ Z} và ti n hành ki m tra các đi u ki n như trên. 4. Cách 4 : Các b n có th s d ng đ nh nghĩa 3 v i lưu ý là : 1.M = M = M.1 (−1).M = M = M.(−1) 5
• Nh n xét : M i t p h p có th đư c bi u di n dư i các d ng khác nhau. Và v i m i cách bi u di n, chúng ta có th có nh ng cách x lý khác nhau đ có đư c các l i gi i không gi ng nhau. Ví d này mu n các b n khi nhìn nh n m t v n đ ph i bi t xem xét nh ng góc đ khác nhau đ th y đư c các cách ti p c n khác nhau gi i quy t v n đ đó. 4.4 Ví d 4 Ch ng minh r ng m t n a nhóm h u h n X có lu t gi n ư c hai phía là nhóm. Gi i : 1. Cách 1 : (N u s d ng đ nh nghĩa 3). Đi u ki n v các phương trình ax = b và xa = b gi i đư c trong X c a đ nh nghĩa 3 là tương đương v i đòi h i aX = X = Xa, ∀a ∈ X. G i s r ng X = {x1 , x2 , ..., xn }. Khi đó ∀a ∈ X thì aX = {ax1 , ax2 , ..., axn } ⊂ X đ ng th i do X có lu t gi n ư c nên n tích trong aX là đôi m t khác nhau (n u axi = axj thì xi = xj ) nên |aX| = |X| suy ra aX = X. M t cách tương t có th ch ng minh Xa = X. V y X là nhóm. 2. Cách 2 : Các b n có th s d ng đ nh nghĩa 1 (hay đ nh nghĩa 2 v i chú ý r ng do X = ∅ nên ∃a ∈ X và do X h u h n nên có m > n > 0 và am = an . Đơn v c a X khi đó là e = am−n (hãy t ch ng minh). V i m i x ∈ X, t t n t i k > l > 0 mà xk = xl và x−1 = xk−l−1 (hãy t ch ng minh). Lưu ý trong ch ng minh luôn luôn có ý th c s d ng lu t gi n ư c. • Nh n xét : Đây là m t ví d tương đ i khó. Vi c s d ng d ng tương đương cho s t n t i nghi m các phương trình ax = b, xa = b là hoàn toàn có quy n ch p nh n, không c n ph i ch ng minh. Th t ra đó là d ng phát bi u khác c a các đi u ki n trên theo ngôn ng t p h p. Cách th 2 chúng tôi ch đưa ra các cách tìm đơn v và ngh ch đ o, vi c hoàn thi n ch ng minh dành cho đ c gi đ t khám phá l y chính mình, th khơi d y b n năng khéo léo c a mình. BÀI T P LÀM THÊM 1. Cho X = Z × Z = {(k1 , k2 ) : k1 , k2 ∈ Z} Trên X xác đ nh phép toán sau : (k1 , k2 )(l1 , l2 ) = (k1 + (−1)k2 l1 , k2 + l2 ) Ch ng minh X v i phép toán trên là nhóm. a 0 2. Cho X = : ac = 0 . Ch ng minh X v i phép nhân ma tr n l p thành m t b c nhóm. Nhóm X có giao hoán không? 3. Cho t p các s ph c D = {1, i, −1, −i}. Ch ng minh r ng D là nhóm v i phép nhân thông thư ng các s . 4. Cho t p X = ∅ và Φ(X) là t p các song ánh c a X lên X. Ch ng minh Φ(X) là nhóm đ i v i phép nhân ánh x . 6
5. Cho Mn ∗ là t p h p các ma tr n c p n không suy bi n. Ch ng minh Mn ∗ là nhóm v i phép nhân ma tr n. 6. Ta g i ma tr n vuông A = (aij ) c p n có d ng tam giác n u aij = 0 khi i > j. Ch ng minh r ng t p các ma tr n vuông c p n không suy bi n có d ng tam giác l p thành nhóm v i phép nhân ma tr n. 7