Ôn tập đại số cơ sở bài 14-TS Trần Huyền

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

164
lượt xem 44
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn tập đại số cơ sở bài 14 TS Trần Huyền bám sát nội dung ra đề trong chương trình tuyến sinh, không những giúp sinh viên có tâm thế vững vàng trong kỳ thi mà có thể tự đào tạo mình, tự học, tự đánh giá. Tài liệu được biên soạn một cách dễ hiểu, ngắn gọn, súc tích. Chúc cá bạn sinh viên thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập đại số cơ sở bài 14-TS Trần Huyền

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN V VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã bi t m c trư c - nh có tính ch t cơ b n : m i iđêan là iđêan chính mà s h u đư c khá nhi u các tính ch t chia h t như trong vành Z các s nguyên. Tuy v y, chúng v n còn m t kho ng cách khá xa so v i Z. Ch ng h n, ư c chung l n nh t c a hai ph n t trong m t vành chính A, đã t n t i, nói chung v n không có đư c m t thu t toán tìm UCLN như trong vành s nguyên - thu t toán Ơclit. Khái ni m v vành Ơclit (mà các đi u ki n đ nh nghĩa nó có đư c nh s phân tích, đánh giá các đi u ki n đ m b o cho s th c hi n thu t toán Ơclit trong vành Z !), đư c xem là m t b sung rút ng n b t kho ng cách đó. Đ nh nghĩa Vành Ơclit là m t mi n nguyên A, sao cho trên t p A∗ các ph n t khác 0 xác đ nh đư c ánh x δ : A∗ −→ N, vào t p s t nhiên N th a các đi u ki n: E1 : N u a, b ∈ A∗ mà a\b thì δ(a) δ(b). E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn t n t i q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn n a n u r = 0 thì δ(r) < δ(b). Ánh x δ đư c g i là hàm b c hay ánh x Ơclit. Hi n nhiên vành Ơclit A là vành chính và đ c đi m nh n bi t m t vành Ơclit trong l p các vành chính nói chung đó là s xác đ nh c a hàm b c trên nó. Vì v y các bài toán v vành Ơclit, ngoài các d ng tương t như có trong vành chính, mà cách x lí nói chung cũng tương t như trong vành chính, đáng đ ý hơn đây là các bài toán liên quan t i hàm b c. Tr ơc h t, chính là các bài toán ki m tra m t vành đã cho là vành Ơclit. Ví d 1 a b Cho æ = : a, b ∈ Z . Ch ng minh r ng æ cùng v i hai phép toán c ng và nhân −b a ma tr n là m t vành Ơclit. Gi i : Đ ch ng minh æ là m t vành Ơclit, trư c h t ta c n ki m tra æ là m t mi n nguyên theo các bư c sau: + æ có nhi u hơn m t ph n t . + æ ⊂ M2 , v i M2 là vành các ma tr n c p hai. v 1
1 0 + Đơn v c a æ là 0 1 + Phép nhân trên æ là giao hoán. + æ không có ư c c a 0. B n bư c đ u khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. Đ ki m tra æ không có ư c c a 0, ta đ ý r ng : a b = a2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0 −b a nên a b A= =0 −b a khi và ch khi det A = 0. V y n u A = 0, B = 0 thì det AB = det A. det B = 0 nên AB = 0. V y æ là mi n nguyên. Ti p theo ta xây d ng hàm b c δ : æ∗ −→ N mà v i m i A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2 +b2 ∈ N. Ta l n lư t ki m tra δ th a các đii u ki n E1, E2 Th t v y, trư c h t n u A\B (A, B ∈ æ∗ ) thì t n t i C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C, t đó ta có det A det B (do det C 1). V y : δ(A) δ(B) t c δ th a E1. Bây gi n u A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên t n t i ma tr n ngh ch đ o B −1 ∈ M2 . Xét ma tr n AB −1 ∈ M2 , d th y nó có d ng r s AB −1 = −s r 1 1 Ta ch n các s nguyên a, b sao cho |a − r| và |b − s| , và l p ma tr n 2 2 a b Q= ∈æ −b a Khi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma tr n R = A − QB = (AB −1 − Q)B th a mãn yêu c u det R < det B (n u R = 0) b i : r−a s−b det(AB −1 − Q) = b−s r−a =(r − a)2 + (s − b)2 1 1 + < 1. 4 4 t c δ th a đi u ki n E2. V y æ là vành Ơclit. Các bài toán v tính ch t c a các ph n t liên quan t i b c (t c giá tr c a ánh x Ơclit) c a chúng cũng là nh ng d ng toán đáng chú ý trong vành Ơclit. 2
Ví d 2: Cho vành Ơclit A v i hàm b c δ. Đ t m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m} Ch ng minh r ng : a. N u u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u \ 1 b. N u a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a b t kh qui. Gi i : a) Theo tiên đ E2, v i c p ph n t 1, u = 0, t t n t i q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r . N u r = 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A∗ ) là đi u không th x y ra. V y r = 0 t c 1 = qu hay u\1 . b) Hi n nhiên a = 0 và a không kh ngh ch do δ(a) = n > m = min δ(A∗ ). (n u a \ 1 thì δ(a) = m! ). Đ ch ng minh a b t kh qui ta l y ư c b t kỳ b c a a ta ch ra b là ư c kh ngh ch hay ư c liên k t v i a. Vì b \ a nên t n t i c mà a = bc ; đ ng th i do E1 mà δ(b) ≤ δ(a). Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m. N u δ(a) = m, theo a) ta có : b \ 1. N u δ(a) = n, theo tiên đ E2 áp d ng cho c p b, a = 0, t n t i q, r sao cho : b = qa + r. N u r = 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \ 1. Khi đó ta có : r = b − qa = b − q(bc) = b(1 − qc) ⇒ b \ r. Đi u này không th x y ra vì δ(b) = n > m = δ(r) ! V y r = 0 và b = qa, t c a \ b. Do b \ a và a \ b nên b ∼ a V y ư c b t kỳ b c a a là ư c t m thư ng, do đó a b t kh qui. Ví d 3 Cho A là vành Ơclit v i hàm b c δ không là hàm h ng (δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t !). Ch ng minh r ng t n t i ph n t a ∈ A, sao cho trong vành thương A/ a , m i l p ghép khác 0 đ u ch a ít nh t m t đ i di n kh ngh ch. Gi i : Vì δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t nên t n t i các s t nhiên m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m}. Ch n a ∈ A∗ mà δ(a) = n; ta ch ra a là ph n t c n tìm. Th t v y, n u x + A là l p ghép khác 0 trong A/ a thì x không là b i c a a, do đó t n t i q, r ∈ A v i r = 0 mà : x = qa + r. Theo đii u ki n E2 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do v y r kh ngh ch và r = x − qa ∈ x + A, là đ i di n kh ngh ch c a l p x + A = 0. 3
BÀI T P 1. Ch ng minh r ng vành các s ph c có d ng a + ib v i a, b ∈ Z là vành Ơclit. 2. Cho t p các s ph c √ √ Z( −2) = a + b( −2) : a, b ∈ Z √ Ch ng minh Z( −2) là vành Ơclit (v i phép c ng và phép nhân s ph c). Ch ng minh √ √ √ r ng ph n t a + b −2 ∈ Z( −2) là b t kh qui trong Z( −2) n u a2 + 2b2 là s nguyên t . 3. Cho A là vành Ơclit. Ch ng minh r ng giá tr c a hàm b c δ trên hai ph n t liên k t là b ng nhau. T đó suy ra r ng A là trư ng khi và ch khi hàm b c δ trên A∗ là hàm h ng (t c δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A∗ ) 4. Cho A là vành Ơclit v i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N. Ch ng minh r ng t n t i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N sao cho δ (A∗ ) = {0, 1, 2, . . . , n} hay δ (A∗ ) = N 5. Cho A là vành Ơclit không ph i là trư ng và cho a ∈ A∗ là ph n t sao cho m i l p ghép khác 0 c a vành thương A/ a đ u ch a m t đ i di n kh ngh ch. Ch ng minh r ng a là ph n t b t kh qui. Có k t lu n gì v b c c a a ? 6. Cho A là vành Ơclit và I A. Ch ng minh r ng vành thương A/I là vành Ơclit ⇔ A/I là mi n ngyuên. 4