Ôn thi Cao học môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất

Chia sẻ: AN TON | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

1.917
lượt xem 1.113
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn thi Cao học - Môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất - Các công thức cơ bản: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi Cao học môn Toán kinh tế - Phần II: Xác suất

OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ (Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007) PHAÀN II: XAÙC SUAÁT A- CAÙC COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN §1. OÂN VEÀ TOÅ HÔÏP 1.1. Ñònh nghóa: Moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø moät nhoùm khoâng coù thöù töï goàm k phaàn töû phaân bieät ñöôïc ruùt ra töø n phaàn töû ñaõ cho. Ví duï: Caùc toå hôïp chaäp 2 cuûa 3 phaàn töû x, y, z laø: {x,y}; {x,z}; {y,z}. 1.2. Coâng thöùc tính toå hôïp: Goïi laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. k Cn Ta coù coâng thöùc: n! Cn = k k !( n − k )! 20! Ví duï: C20 = 6 = 38760. 6!14! 6 Chuù yù: Treân maùy tính coù phím chöùc naêng nCr, ta tính C20 baèng caùch baám 20 nCr 6 = 1.3. Baøi toùan löïa choïn: Moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong ñoù coù NA saûn phaåm loaïi A vaø N- NA saûn phaåm loïai B. Choïn ngaãu nhieân ra n saûn phaåm (0 < n < N). Vôùi moãi soá nguyeân k thoûa 0 ≤ k ≤ NA, 0 ≤ n-k ≤ N-NA. Tìm soá caùch choïn ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A. Lôøi giaûi Ñeå choïn ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåmloaïi A ta tieán haønh 2 böôùc: Böôùc 1: Choïn k saûn phaåm loaïi A töø NA saûn phaåm loaïi A. Soá caùch choïn laø CN A . k Böôùc 2: Choïn n-k saûn phaåm loaïi B töø N-NA saûn phaåm loaïi B. Soá caùch choïn laø C N−kN A . n − 1
Theo nguyeân lyù nhaân ta coù soá caùch ra n saûn phaåm, trong ñoù coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A laø: CN A .CN−kN A . k n − §2. ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT 2.1. Pheùp thöû vaø bieán coá 1) Pheùp thöû laø moät thí nghieäm ñöôïc thöïc hieän trong nhöõng ñieàu kieän xaùc ñònh naøo ñoù. Moät pheùp thöû coù theå cho nhieàu keát quaû khaùc nhau, moãi keát quaû ñöôïc goïi laø moät bieán coá. Ví duï: Thöïc hieän pheùp thöû laø tung moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët. Caùc bieán coá coù theå xaûy ra laø: Xuaát hieän maët 1 chaám; Xuaát hieän maët coù chaám chaün,… 2) Bieán coá taát yeáu, kí hieäu Ω (OÂmeâga), laø bieán coá nhaát thieát phaûi xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng quaù 6” laø bieán coá taát yeáu. 3) Bieán coá baát khaû, kí hieäu Φ, laø bieán coá khoâng bao giôø xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn 6” laø bieán coá baát khaû. 4) Bieán coá ngaãu nhieân laø bieán coá coù theå xaûy ra cuõng coù theå khoâng xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ta thöôøng duøng caùc kí töï A, A1, A2, B, C,… ñeå chæ caùc bieán coá ngaãu nhieân. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, bieán coá “Xuaát hieän maët 1 chaám” laø moät bieán coá ngaãu nhieân. Trong caùc ví duï minh hoïa sau, khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, ta goïi Aj (j = 1,2,…,6) laø bieán coá “Xuaát hieän maët j chaám” . 5) Bieán coá toång cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu A + B (hay A∪ B) laø bieán coá ñònh bôûi: A + B xaûy ra ⇔ A xaûy ra hoaëc B xaûy ra. ⇔ Coù ít nhaát moät trong hai bieán coá A hoaëc B xaûy ra. Minh hoïa: 2
Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm toång cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau: A1 + A2 +…+ An xaûy ra ⇔ Coù ít nhaát 1 trong n bieán coá A1, A2,…, An xaûy ra. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, goïi A laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám khoâng quaù 2” vaø B laø bieán coá “Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün”, ta coù: A = A1 + A2 B = A2 + A4 + A6 6) Bieán coá tích cuûa hai bieán coá A vaø B, kí hieäu AB (hay A∩B) laø bieán coá ñònh bôûi: AB xaûy ra ⇔ A xaûy ra vaø B xaûy ra. Nhö vaäy, bieán coá tích AB xaûy ra khi vaø chæ khi caû hai bieán coá A vaø B ñoàng thôøi xaûy ra. Minh hoïa: Ta coù theå môû roäng khaùi nieäm tích cuûa n bieán coá A1, A2,…, An nhö sau: A1A2…An xaûy ra ⇔ Taát caû n bieán coá A1, A2,…, An ñoàng thôøi xaûy ra. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá sau: A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn hay baèng 5. C: Xuaát hieän maët coù soá chaám nhoû hôn hay baèng 5. Ta coù: AB = A6 vaø ABC = Φ. 7) Bieán coá sô caáp laø bieán coá khaùc bieán coá baát khaû vaø khoâng theå phaân tích döôùi daïng toång cuûa hai bieán coá khaùc. 3
Ta coù theå xem caùc bieán coá sô caáp nhö laø caùc nguyeân töû nhoû nhaát khoâng theå phaân chia ñöôc nöõa. Moät bieán coá A baát kyø seõ laø toång cuûa moät soá bieán coá sô caáp naøo ñoù, ta goïi nhöõng bieán coá sô caáp ñoù thuaän lôïi cho bieán coá A. Nhö vaäy, moïi bieán coá sô caáp ñeàu thuaän lôïi cho bieán coá taát yeáu, trong khi khoâng coù bieán coá sô caáp naøo thuaän lôïi cho bieán coá baát khaû. Ví duï: Khi tung moät con xuùc xaéc 6 maët, ta coù taát caû 6 bieán coá sô caáp laø Aj (j = 1,2,…,6). Goïi A laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám leû. Khi ñoù: A = A1 + A3 + A5. Do doù coù 3 bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho bieán coá A laø A1, A3, A5. 8) Hai bieán coá A vaø B ñöôïc goïi laø xung khaéc neáu AB = Φ, nghóa laø A vaø B khoâng bao giôø ñoàng thôøi xaûy ra trong cuøng moät pheùp thöû. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá : A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët 1 chaám. C : Xuaát hieän maët coù soá khoâng quaù 2. Ta coù A vaø B xung khaéc nhöng A vaø C thì khoâng (AC = A2). 9) Bieán coá ñoái laäp cuûa bieán coá A, kí hieäu A , laø bieán coá ñònh bôûi A xaûy ra ⇔ A khoâng xaûy ra Minh hoïa: Nhö vaäy, A vaø A xung khaéc, hôn nöõa A + A = Ω, nghóa laø nhaát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät trong hai bieán coá A hoaëc A xaûy ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Tung moät con xuùc xaéc 6 maët, xeùt caùc bieán coá A : Xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. B : Xuaát hieän maët coù soá chaám leû. Ta thaáy ngay B laø bieán coá ñoái laäp cuûa A. 10) Caùc bieán coá ñoàng khaû naêng laø caùc bieán coá coù khaû naêng xaûy ra nhö nhau khi thöïc hieän pheùp thöû. Ví duï: Khi tung ngaãu nhieân moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët, caùc bieán coá sô caáp Aj (j = 1,2,…,6) laø ñoàng khaû naêng. 4
2.2. Ñònh nghóa xaùc suaát. Giaû söû khi tieán haønh moät pheùp thöû ø, coù taát caû n bieán coá sô caáp ñoàng khaû naêng coù theå xaûy ra, trong ñoù coù mA bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho bieán coá A. mA Tæ soá ñöôïc goïi laø xaùc suaát cuûa bieán coá A, kí hieäu laø P(A). n Nhö vaäy, Soá bieán coá sô caáp thuaän lôïi cho A P(A) = Toång soá bieán coá sô caáp coù theå xaûy ra 2.3. Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn. Xeùt moät loâ haøng chöùa N saûn phaåm, trong doù coù NA saûn phaåm loaïi A, coøn laïi laø loaïi B. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra n saûn phaåm (0< n < N). Khi ñoù, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ NA thoûa 0 ≤ n-k ≤ N-NA, xaùc suaát ñeå trong n saûn phaåm choïn ra coù ñuùng k saûn phaåm loaïi A laø: C C k n−k p n(k) = N nN − NA A CN §3. COÂNG THÖÙC COÄNG XAÙC SUAÁT 3.1. Coâng thöùc coäng xaùc suaát 1) Coâng thöùc coäng xaùc suaát thöù nhaát. Vôùi A vaø B laø hai bieán coá xung khaéc, ta coù P(A+B) = P(A) + P(B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá xung khaéc töøng ñoâi, ta coù: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) 2) Heä quaû: Vôùi A laø moät bieán coá baát kyø, ta coù P(A) = 1 − P(A) 3) Coâng thöùc coäng xaùc suaát thöù hai: Vôùi A vaø B laø hai bieán coá baát kyø, ta coù: 5
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) Ví duï 1: Moät loâ haøng chöùa 15 saûn phaåm goàm 10 saûn phaåm toát vaø 5 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 4 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 4 saûn phaåm choïn ra coù: a) Soá saûn phaåm toát khoâng ít hôn soá saûn phaåm xaáu. b) Ít nhaát 1 saûn phaåm xaáu. Lôøi giaûi. Goïi Aj (j = 0,1,…,4) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (4-j) saûn phaåm xaáu coù trong 4 saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù A0, A1,…,A4 xung khaéc töøng ñoâi vaø theo Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn vôùi N = 15, NA = 10, n = 4 (ôû ñaây loaïi A laø loaïi toát), ta coù: j 4− j P( A j ) = C10 C 5 4 C15 Töø ñoù ta tính ñöôïc: 5 100 450 P( A0 ) = ; P ( A1 ) = ; P( A2 ) = 1365 1365 1365 600 210 P( A3 ) = ; P ( A4 ) = . 1365 1365 a) Goïi A laø bieán coá soá saûn phaåm toát khoâng ít hôn soá saûn phaåm xaáu. Ta coù: A = A4 + A3 + A2. Töø ñaây do tính xung khaéc töøng ñoâi cuûa A2, A3, A4, Coâng thöùc coäng thöù nhaát cho ta: P( A) = P( A4 ) + P( A3 ) + P( A2 ) 210 600 450 = + + 1365 1365 1365 = 0,9231 b) Goïi B laø bieán coá coù ít nhaát 1 saûn phaåm xaáu trong 4 saûn phaåm choïn ra. Khi ñoù, bieán coá ñoái laäp B laø bieán coá khoâng coù saûn phaåm xaáu naøo trong 4 saûn phaåm choïn ra neân B = A4. Suy ra xaùc suaát cuûa B laø 6
210 P( B) = 1 − P ( B ) = 1 − P ( A4 ) = 1 − = 0,8462 . 1365 Ví duï 2: Moät lôùp hoïc coù 100 sinh vieân, trong ñoù coù 60 sinh vieân gioûi Toaùn, 70 sinh vieân gioûi Anh vaên vaø 40 sinh vieân gioûi caû hai moân Toaùn vaø Anh vaên. Choïn ngaãu nhieân moät sinh vieân cuûa lôùp. Tìm xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc sinh vieân gioûi ít nhaát moät trong hai moân Toaùn hoaëc Anh vaên. Lôøi giaûi Goïi - A laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi moân Toaùn. - B laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi moân Anh vaên. Khi ñoù - AB laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi caû hai moân Toaùn vaø Anh vaên. - A + B laø bieán coá sinh vieân ñöôïc choïn gioûi ít nhaát moät trong hai moân Toaùn hoaëc Anh vaên. Do ñoù 60 70 40 P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) = + − = 0,9. 100 100 100 §4. COÂNG THÖÙC NHAÂN XAÙC SUAÁT 4.1. Xaùc suaát coù ñieàu kieän. 1) Ñònh nghóa: Xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá A bieát bieán coá B ñaõ xaûy ra, kí kieäu P(A/B), laø xaùc suaát cuûa bieán coá A nhöng ñöôïc tính trong tröôøng hôïp bieán coá B ñaõ xaûy ra roài. Ví duï: Thaûy moät con xuùc xaéc ñoàng chaát 6 maët. Xeùt caùc bieán coá sau: - A laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám chaün. - B laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám leû. - C laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám nhoû hôn hay baèng 4. - D laø bieán coá xuaát hieän maët coù soá chaám lôùn hôn hay baèng 4. Khi ñoù - P(A/B) = 0 - P(A/C) = 2/4 = 0,5 - P(A/D) = 2/3 Nhaän xeùt: Trong ví duï treân ta coù xaùc suaát cuûa bieán coá A laø P(A) = 3/6 = 0,5. Do ñoù P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). 7
Ñieàu ñoù cho thaáy xaùc suaát coù ñieàu kieän cuûa bieán coá A coù theå nhoû hôn, coù theå baèng nhöng cuõng coù theå lôùn hôn xaùc suaát thoâng thöôøng P(A). Ñaëc bieät, ta thaáy xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra laø 0,5 khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc bieát hay chöa bieát bieán coá C ñaõ xaûy ra. Ta noùi bieán coá A ñoäc laäp vôùi bieán coá C theo ñònh nghóa sau: 2) Tính ñoäc laäp: Neáu P(A/B) = P(A), nghóa laø söï xuaát hieän cuûa bieán coá B khoâng aûnh höôûng ñeán xaùc suaát cuûa bieán coá A, thì ta noùi A ñoäc laäp vôùi B. 4.2. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát Neáu bieán coá A ñoäc laäp vôùi bieán coá B thì B cuõng ñoäc laäp vôùi A vaø ta coù P(AB) = P(A) P(B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá ñoäc laäp töøng ñoâi, nghóa laø vôùi moïi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , Ai vaø Aj ñoäc laäp, ta coù: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An). 4.3. Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù hai Vôùi A, B laø hai bieán coá baát kyø, ta coù P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Môû roäng: Vôùi A1, A2, …, An laø n bieán coá baát kyø , ta coù: P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An-1). Chaúng haïn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). Ví duï: Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 15 saûn phaåm, trong ñoù loâ I goàm 10 saûn phaåm toát, 5 saûn phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saûn phaåm toát vaø 7 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø moãi loâ 2 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 4 saûn phaåm choïn ra coù 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. Tính xaùc suaát ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I. 8
Lôøi giaûi Goïi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) laàn löôït laø caùc bieán coá coù i saûn phaåm toát vaø (2 - i) saûn phaåm xaáu coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ I, loâ II. Khi ñoù - A0, A1, A2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 0 2 10 P( A0 ) = C10 C 5 = 2 ; C15 105 1 1 P( A1 ) = C10 C 5 = 50 ; 2 C15 105 2 0 45 P( A2 ) = C10 C 5 = 2 . C15 105 - B0, B1, B2 xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 0 2 21 P( B0 ) = C 8 C 7 = 2 ; C15 105 1 1 P( B1 ) = C8 C 7 = 56 ; 2 C15 105 2 0 P( B2 ) = C8 C 7 = 28 . 2 C15 105 - Ai vaø Bj ñoäc laäp. a) Goïi A laø bieán coá choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaûm xaáu. Ta coù: A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0. Do tính xung khaéc töøng ñoâi, Coâng thöùc coäng xaùc suaát cho ta: P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0). Töø ñaây, do tính ñoäc laäp , Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù nhaát cho ta: 9
P(A) = P(A 0 )P(B2 ) + P(A1 )P(B1 ) + P(A 2 )P(B0 ) 10 28 50 56 45 21 = . + . + . . 105 105 105 105 105 105 = 0,3651. b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 2 saûn phaåm toát vaø 2 saûn phaåm xaáu. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát ñeå choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I trong tröôøng hôïp naøy chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). Theo Coâng thöùc nhaân xaùc suaát thöù hai, ta coù P(A1A) = P(A)P(A1/A) . Suy ra P(A1A) P(A1/A) = . P(A) Maët khaùc A1A = A1B1 Vì hai bieán coá A1 vaø B1 ñoäc laäp neân theo Coâng thöùc nhaân thöù nhaát ta coù: 50 56 P( A1 A) = P( A1 B1 ) = P( A1 ) P( B1 ) = . = 0,2540. 105 105 Do ñoù xaùc suaát caàn tìm laø: P(A1A) 0,2540 P(A1/A) = = = 0,6957. P(A) 0,3651 §5. COÂNG THÖÙC XAÙC SUAÁT ÑAÀY ÑUÛ VAØ COÂNG THÖÙC BAYES 5.1. Heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Caùc bieán coá A1, A2,…, An ñöôïc goïi laø moät heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi neáu hai tính chaát sau ñöôïc thoûa: - A1 + A2 +… + An = Ω; - ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghóa laø caùc bieán coá A1, A2,…, An xung khaéc töøng ñoâi vaø nhaát thieát phaûi coù moät vaø chæ moät bieán coá Aj naøo ñoù xaûy ra khi thöïc hieän moät pheùp thöû baát kyø. Nhaän xeùt: Vôùi A1, A2,…, An laø moät heä ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi ta coù P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. 10
Ví duï: Coù hai hoäp, moãi hoäp chöùa 10 vieân bi, trong ñoù hoäp I goàm 6 bi ñoû, 4 bi traéng; hoäp II goàm 8 ñoû, 2 traéng.Töø moãi hoäp, choïn ra 2 bi. Xeùt caùc bieán coá sau: - Ai (i = 0, 1,2 ) laø bieán coá coù i bi ñoû vaø 2-i bi traéng coù trong 2 bi laáy töø hoäp I. - Bj (j = 0, 1,2 ) laø bieán coá coù j bi ñoû vaø 2-j bi traéng coù trong 2 bi laáy töø hoäp II. Khi ñoù ta coù caùc heä sau laø caùc heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi: - A0 , A1 , A2. - B0 , B1 , B2. - A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2. - A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2. 5.2. Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû Cho A1, A2,…, An laø moät heä bieán coá ñaày ñuû vaø xung khaéc töøng ñoâi. Khi ñoù, vôùi A laø moät bieán coá baát kyø, ta coù: n P(A) = ∑ P(A )P(A/A ) j =1 j j 5.3. Coâng thöùc Bayes: Vôùi caùc giaû thieát nhö trong 4.2, ta coù vôùi moãi 1 ≤ k ≤ n: P(A k )P(A/A k ) P(A )P(A/A k ) P(A k /A) = = n k P(A) ∑ P(A j )P(A/A j ) j =1 Ví duï. Coù hai loâ haøng, moãi loâ chöùa 15 saûn phaåm, trong ñoù loâ I goàm 10 saûn phaåm toát, 5 saûn phaåm xaáu; loâ II goàm 8 saûn phaåm toát vaø 7 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ I 2 saûn phaåm boû sang loâ II, sau ñoù töø loâ II laáy ra 2 saûn phaåm. a) Tính xaùc suaát ñeå trong 2 saûn phaåm choïn ra töø loâ II coù 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu. b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. Tính xaùc suaát ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ I. Lôøi giaûi. Goïi - A laø bieán coá choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. - Aj (j = 0, 1, 2) laø bieán coá coù j saûn phaåm toát vaø (2 - j) saûn phaåmxaáu coù trong 2 saûn phaåm ñöôïc choïn ra töø loâ I. 11
Khi ñoù A0, A1, A2 laø heä ñaày ñuû, xung khaéc töøng ñoâi vaø ta coù: 0 2 10 P( A0 ) = C10 C 5 = 2 ; C15 105 1 1 50 P( A1 ) = C10 C 5 = 2 ; C15 105 2 0 P( A2 ) = C10 C 5 = 45 . 2 C15 105 a) Yeâu caàu cuûa baøi toaùn laø tính xaùc suaát P(A). Theo Coâng thöùc xaùc suaát ñaày ñuû ta coù: P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2). Ta coù: 1 1 72 P( A / A0 ) = C 8 C 9 = 2 C17 136 1 1 72 P( A / A1 ) = C 9 C 8 = 2 C17 136 1 1 P( A / A2 ) = C10 C 7 = 70 2 C17 136 Suy ra xaùc suaát cuûa bieán coá A laø P( A) = P( A0 ) P( A / A0 ) + P ( A1 ) P( A / A1 ) + P( A2 ) P( A / A2 ) 10 72 50 72 45 70 = . + . + . . 105 136 105 136 105 136 = 0,5231 b) Giaû söû ñaõ choïn ñöôïc 1 saûn phaåm toát vaø 1 saûn phaåm xaáu töø loâ II. Khi ñoù bieán coá A ñaõ xaûy ra. Do ñoù xaùc suaát caàn tìm chính laø xaùc suaát coù ñieàu kieän P(A1/A). Aùp duïng Coâng thöùc Bayes vaø söû duïng keát quaû vöøa tìm ñöôïc ôû caâu a) ta coù 12
50 72 . P(A1 )P(A/A1 ) 105 136 P(A1/A) = = = 0,4819. P(A) 0,5231 §6. COÂNG THÖÙC BERNOULLI 6.1. Coâng thöùc Bernoulli Tieán haønh n pheùp thöû ñoäc laäp trong nhöõng ñieàu kieän nhö nhau. Giaû söû ôû moãi pheùp thöû, bieán coá A hoaëc xaûy ra vôùi xaùc suaát p khoâng ñoåi, hoaëc khoâng xaûy ra vôùi xaùc suaát q = 1 – p. Khi ñoù, vôùi moãi 0 ≤ k ≤ n, ta coù Coâng thöùc Bernoulli tính xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû, bieán coá A xaûy ra ñuùng k laàn laø: Pn (k) = Cnp k q n − k k 6.2. Heä quaû: Vôùi caùc giaû thieát nhö treân ta coù: - Xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû bieán coá A khoâng xaûy ra laàn naøo laø qn. - Xaùc suaát ñeå trong n pheùp thöû bieán coá A luoân luoân xaûy ra laø pn. Ví duï. Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm vôùi tæ leä saûn phaåm loaïi toát laø 60%. Cho maùy saûn xuaát 5 saûn phaåm. Tính xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù: a) 3 saûn phaåm toát. b) Ít nhaát 3 saûn phaåm toát. Lôøi giaûi. Goïi Ak (k = 0,1,…,5) laø bieán coá coù k saûn phaåm toát vaø (5-k) saûn phaåm xaáu coù trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc. Aùp duïng Coâng thöùc Bernoulli vôùi n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta coù: P( Ak ) = C n p k q n−k = C 5 (0,6) k (0,4) 5−k k k a) Xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù 3 saûn phaåm toát laø: 3 P( A3 ) = C 5 (0,6) 3 (0,4) 2 = 0,3456. b) Xaùc suaát ñeå trong 5 saûn phaåm thu ñöôïc coù ít nhaát 3 saûn phaåm toát chính laø P(A3 + A4 + A5). Ta coù: P( A3 + A4 + A5 ) = P ( A3 ) + P ( A4 ) + P( A5 ) 4 = 0,3456 + C 5 (0,6) 4 (0,4) + (0.6) 5 = 0,68256. 13
B - ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN - PHAÂN PHOÁI XAÙC SUAÁT §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN. 1.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân laø moät ñaïi löôïng nhaän giaù trò thöïc tuøy theo keát quaû cuûa pheùp thöû. Ta duøng caùc kí töï: X, Y, Z,… chæ caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Caùc kí töï: x, y, z,… chæ giaù trò cuûa caùc ñaïi löôïng ngaãu nhieân. 1.2. Phaân loaïi: a) Loaïi rôøi raïc: Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân chæ nhaän höõu haïn hoaëc voâ haïn ñeám ñöôïc caùc giaù trò. Ví duï: Tieán haønh n thí nghieäm. Goïi X laø soá thí nghieäm thaønh coâng. Khi ñoù X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc chæ nhaän n+1 giaù trò 0; 1;..; n. b) Loaïi lieân tuïc: Laø loaïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän voâ haïn khoâng ñeám ñöôïc caùc giaù trò maø thoâng thöôøng caùc giaù trò naøy laáp kín moät ñoaïn naøo ñoù trong taäp caùc soá thöïc. Ví duï: Goïi T laø nhieät ñoä ño ñöôïc taïi moät ñòa phöông. Ta coù T laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc. 1.3. Luaät phaân phoái: a) Tröôøng hôïp rôøi raïc: Vôùi X laø moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc nhaän caùc giaù trò taêng daàn : x0, x1,…,xn ta laäp baûng: X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn trong ñoù: - pk = P(X = xk) ≥ 0 vôùi k = 0,1, …, n. n - ∑p k =0 k = 1 , nghóa laø p0 + p1 +…+ pn = 1 . Ví duï: Moät loâ haøng chöùa 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 saûn phaåm toát vaø 4 saûn phaåm xaáu. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 2 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 2 saûn phaåm choïn ra. Tìm luaät phaân phoái cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù theå nhaän caùc giaù trò laø 0, 1, 2. Aùp duïng Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn ta ñöôïc: 14
0 2 2 p0 = P ( X = 0) = C 6 C 4 = ; 2 C10 15 1 1 p1 = P ( X = 1) = C6 C4 = 8 ; 2 C10 15 2 0 p2 = P ( X = 2) = C6 C4 = 1 . 2 C10 3 Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 b) Tröôøng hôïp lieân tuïc: Tröôøng hôïp X lieân tuïc, thay cho vieäc lieät keâ caùc giaù trò cuûa X ôû doøng treân, ta chæ ra ñoaïn [a;b] maø X nhaän giaù trò ôû ñoaïn ñoù (a, b coù theå höõu haïn hoaëc voâ haïn). Coøn thay cho xaùc suaát p0, p1,…, pn ta ñöa ra haøm maät ñoä f(x) thoaû caùc tính chaát sau: - f(x) ≥ 0 vôùi moïi x ∈[a;b]. b - ∫ f ( x)dx = 1. a β - P(α ≤ X ≤ β ) = ∫ f ( x)dx. α §2. CAÙC ÑAËC SOÁ CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN. 2.1. Mode: Mode cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu Mod(X), laø giaù trò x0 cuûa X ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: - Neáu X rôøi raïc thì x0 laø giaù trò maø xaùc suaát P(X = x0) lôùn nhaát trong soá caùc xaùc suaát P(X = x). - Neáu X lieân tuïc thì x0 laø giaù trò maø haøm maät ñoä f(x) ñaït giaù trò lôùn nhaát. Nhö vaäy, Mod(X) laø giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X, töùc laø giaù trò maø X thöôøng laáy nhaát. Chuù yù raèng Mod(X) coù theå nhaän nhieàu giaù trò khaùc nhau. Ví duï: Xeùt laïi ví duï treân, ta coù X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do ñoù Mod(X) = 1. 15
2.2. Kyø voïng (hay Giaù trò trung bình). 1) Kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu M(X), laø soá thöïc ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn n thì M ( X ) = ∑ xk pk , nghóa laø k =0 M(X) = x0p0 + x1p1+…+ xnpn - Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a;b] thì b M ( X ) = ∫a xf ( x)dx. Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân , ta coù X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 Do ñoù kyø voïng cuûa X laø M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2. 2) Tính chaát: Kyø voïng coù caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Kyø voïng cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng baèng chính haèng soá ñoù, nghóa laø: M(C) = C (C: Const). Tính chaát 2: Vôùi k laø haèng soá ta coù M(kX) = kM(X). Tính chaát 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y). Tính chaát 4: Vôùi hai löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp X vaø Y ta coù M(XY) = M(X)M(Y). 2.3. Phöông sai vaø ñoä leäch chuaån. 1) Phöông sai cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, kí hieäu D(X), laø soá thöïc khoâng aâm ñònh bôûi: 16
D(X) = M((X - μ)2) trong ñoù μ = M(X) laø kyø voïng cuûa X. Caên baäc hai cuûa phöông sai ñöôïc goïi laø ñoä leäch chuaån, kí hieäu σ ( X ) . Vaäy σ ( X ) = D( X ) . 2) Coâng thöùc tính phöông sai: Töø ñònh nghóa cuûa phöông sai ta coù coâng thöùc khaùc ñeå tính phöông sai nhö sau: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 trong ñoù M(X2), M(X) laàn löôït laø kyø voïng cuûa X2 vaø X. Nhö vaäy, - Neáu X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X x0 x1 ……………………….. xn P p0 p1 …………………………. pn n n ∑x p − (∑ x k p k ) 2 2 thì coâng thöùc treân trôû thaønh D(X) = k k k =0 k =0 - Neáu X lieân tuïc vôùi haøm maät ñoä f(x) coù mieàn xaùc ñònh [a;b] thì b b D ( X ) = ∫a x 2 f ( x)dx − ( ∫a xf ( x)dx) 2 Ví duï: Xeùt laïi ví duï ñaõ xeùt ôû treân, ta coù X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 vaø kyø voïng cuûa X laø M(X) = 1,2ø . Suy ra phöông sai cuûa X laø: D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 - (1,2)2 = 32/75 ≈ 0,4267. Ñoä leäch chuaån cuûa X laø: σ ( X ) = D( X ) = 0,4267 ≈ 0,6532. 3) Tính chaát: Phöông sai coù caùc tính chaát sau: Tính chaát 1: Phöông sai cuûa moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân haèng C baèng 0, nghóa laø: D(C) = 0 Tính chaát 2: Vôùi k laø haèng soá ta coù 17
D(kX) = k2(D(X). Tính chaát 3: Vôùi X, Y laø hai ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoäc laäp ta coù: D(X + Y) = D(X) + D(Y). Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS,..) ñeå tính kyø voïng , phöông sai vaø ñoä leäch chuaån cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc. Ví duï: Xeùt ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X coù phaân phoái nhö sau: X 0 1 2 P 2/15 8/15 1/3 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE… vaø baám soá öùng vôùi SD, treân maøn hình seõ hieän leân chöõ SD. 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1(Scl) = AC. Kieåm tra laïi: Baám REPLAY Up hoaëc Down thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: xi; pi M+ (DATA) 0 ; (baám SHIFT ,) 2 ab/c 15 M+ 1 ; 8 ab/c 15 M+ 2 ; 1 ab/c 3 M+ 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám REPLAY Down ñeå kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ví duï: Nhaäp sai 0 ; 2 ab/c 5 M+ (DATA). Khi kieåm tra ta thaáy: - x1 = 0 (ñuùng). - Freq1 = 2/5 (sai) Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 2/5, baám 2 ab/c 15 = thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 2/15. Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT + M thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taàn soá töông öùng) seõ bò xoùa. Chaúng haïn, nhaäp dö 3 ; ab/c 3 M+ (DATA). Khi kieåm tra ta thaáy x4 = 3 (dö). Ta ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu dö (goàm giaù trò cuûa X = 3 vaø xaùc suaát töông öùng 1/3) seõ bò xoùa. Chuù yù: Sau khi kieåm tra vieäc nhaäp soá lieäu xong, phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoùat khoûi cheá ñoä chænh söûa. 5) Ñoïc keát quaû: - Baám SHIFT 2 1 ( X ) = ta ñöôïc kyø voïng M(X) = 1,2. 18
- Baám SHIFT 2 2 (xσn) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån σ(X) = 0, 6532. - Suy ra phöông sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267. Chuù yù: Ñoái vôùi maùy CASIO 500A, coù moät soá thay ñoåi nhö sau: • Baám MODE ñeå vaøo MODE SD. • Xoùa boä nhôù thoáng keâ baèng caùch baám SHIFT AC =. Kieåm tra laïi baèng caùch baám SHIFT 6 thaáy ra 0 laø ñaõ xoùa. • Khi nhaäp soá lieäu, ta thay ; baèng ×. §3. PHAÂN PHOÁI SIEÂU BOÄI. 3.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái sieâu boäi, kí hieäu X ∼ H(N, NA, n), trong ñoù N, NA, n laø caùc soá nguyeân döông , 0 < n, NA < N, neáu X rôøi raïc nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø max{0; n + NA - N} ñeán min{n; NA} theo Coâng thöùc tính xaùc suaát löïa choïn: k n−k P( X = k ) = C N C N −N A A n CN 3.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái sieâu boäi. Giaû söû X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Kyø voïng: NA M ( X ) = np vôùi p= . N b) Phöông sai. N −n D( X ) = npq vôùi q = 1 − p . N −1 Ví duï. Moät hoäp chöùa 12 bi goàm 8 bi ñoû vaø 4 bi xanh. Choïn ngaãu nhieân töø hoäp ra 4 bi. Goïi X laø soá bi ñoû coù trong 4 bi choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái cuûa X vaø xaùc ñònh kyø voïng, phöông sai cuûa X. Lôøi giaûi Ta thaáy X coù phaân phoái sieâu boäi X ∼ H(N, NA, n) vôùi N = 12; NA = 8, n = 4. Do ñoù X nhaän caùc giaù trò k nguyeân töø max {0; 4+8-12} = 0 ñeán min{4; 8} = 4 vôùi caùc xaùc suaát ñònh bôûi: k 4− k P( X = k ) = C 8 C 4 4 C12 Töø ñaây ta tính ñöôïc P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495; 19
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495. Vaäy luaät phaân phoái cuûa X laø: X 0 1 2 3 4 P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495 Kyø voïng cuûa X laø 8 M(X) = np = 4. = 2, 667. 12 Phöông sai cuûa X laø N-n 8 8 12 - 4 D(X) = npq = 4. (1 − ) = 0, 6465. N -1 12 12 12 - 1 §4. PHAÂN PHOÁI NHÒ THÖÙC 4.1. Ñònh nghóa: Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X ñöôïc goïi laø coù phaân phoái nhò thöùc, kí hieäu X∼ B(n,p), trong ñoù n soá nguyeân döông , 0 < p < 1, neáu X rôøi raïc nhaän n + 1 giaù trò nguyeân 0,1,…, n vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo theo Coâng thöùc Bernoulli: P ( X = k ) = C n p k q n−k . k Tröôøng hôïp n = 1, ta coøn noùi X coù phaân phoái Bernoulli, kí hieäu X ∼ B(p). 4.2. Caùc ñaëc soá cuûa phaân phoái nhò thöùc. Giaû söû X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p). Khi ñoù X coù caùc ñaëc soá nhö sau: a) Mode: Mod(X) = k, trong ñoù k laø soá nguyeân thoûa np – q ≤ k ≤ np – q + 1. b) Kyø voïng: M(X) = np. c) Phöông sai: D(X) = npq Ví duï: Moät loâ haøng chöùa raát nhieàu saûn phaåm, trong ñoù tæ leä saûn phaåm loaïi toát laø 60%. Choïn ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 5 saûn phaåm. Goïi X laø soá saûn phaåm toát coù trong 5 saûn phaåm choïn ra. Haõy tìm luaät phaân phoái cuûa X. Xaùc ñònh kyø voïng vaø phöông sai cuûa X. Hoûi giaù trò tin chaéc nhaát cuûa X laø bao nhieâu? Lôøi giaûi. Ta thaáy X coù phaân phoái nhò thöùc X ∼ B(n,p) vôùi n = 5, p = 0,6. Suy ra X nhaän 6 giaù trò nguyeân 0,1,…, 5 vôùi caùc xaùc suaát ñöôïc tính theo theo Coâng thöùc Bernoulli: P ( X = k ) = C n p k q n−k = C 5 (0,6) k (0,4) 5−k . k k Töø ñaây ta tính ñöôïc P(X = 0) = 0,01024; P(X = 1) = 0,0768; P(X = 2) = 0,2304; 20