Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 4 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

831
lượt xem 570
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 4 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 4 - PGS TS Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 H ng C a Ma Tr n Cùng v i đ nh th c, ma tr n (đ c bi t là h ng c a ma tr n) là các công c cơ b n đ gi i quy t các bài toán v h phương trình tuy n tính nói riêng và đ i s tuy n tính nói chung. Bài vi t này s gi i thi u đ nh nghĩa, các tính ch t cơ b n c a h ng ma tr n, và hai phương pháp cơ b n đ tính h ng c a ma tr n. 1 Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n Trư c h t, c n nh l i khái ni m đ nh th c con c p k c a m t ma tr n. Cho A là ma tr n c p m × n; k là s t nhiên 1 ≤ k ≤ min{m, n}. Ch n ra k dòng, k c t b t kỳ c a A. Các ph n t thu c giao c a k dòng, k c t này t o thành ma tr n vuông c p k, g i là ma tr n con c p k c a ma tr n A. Đ nh th c c a ma tr n con c p k này g i là m t đ nh th c con c p k c a A. 1.1 Đ nh nghĩa h ng c a ma tr n Cho A là ma tr n c p m × n khác không. H ng c a ma tr n A là s t nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} th a mãn các đi u ki n sau: 1. T n t i ít nh t m t đ nh th c con c p r c a ma tr n A khác 0. 2. M i đ nh th c con c p l n hơn r (n u có) c a ma tr n A đ u b ng 0. Nói cách khác, h ng c a ma tr n A = O chính là c p cao nh t c a các đ nh th c con khác không c a ma tr n A. H ng c a ma tr n A ký hi u là r(A) ho c rank(A). Qui ư c: h ng c a ma tr n không O là 0. 1.2 Các tính ch t cơ b n v h ng c a ma tr n 1.2.1 Tính ch t 1 H ng c a ma tr n không thay đ i qua phép chuy n v , t c là rank At = rank A. 1
1.2.2 Tính ch t 2 N u A là ma tr n vuông c p n thì rank A = n ⇐⇒ det A = 0 rank A < n ⇐⇒ det A = 0 N u x y ra trư ng h p đ u, ta nói A là ma tr n vuông không suy bi n. N u x y ra trư ng h p th hai, ta nói A là ma tr n vuông suy bi n. 1.2.3 Tính ch t 3 N u A, B là các ma tr n cùng c p thì rank(A + B) ≤ rank A + rank B 1.2.4 Tính ch t 4 Cho A, B là các ma tr n sao cho t n t i tích AB. Khi đó 1. rank(AB) ≤ min{rank A, rank B} 2. N u A là ma tr n vuông không suy bi n thì rank(AB) = rank B. 2 Tìm h ng c a ma tr n b ng phương pháp đ nh th c 2.1 T đ nh nghĩa h ng c a ma tr n ta có th suy ra ngay thu t toán sau đây đ tìm h ng c a ma tr n A c p m × n (A = O) Bư c 1 Tìm m t đ nh th c con c p k khác 0 c a A. S k càng l n càng t t. Gi s đ nh th c con c p k khác không là Dk . Bư c 2 Xét t t c các đ nh th c con c p k + 1 c a A ch a đ nh th c Dk . X y ra 3 kh năng sau 1. Không có m t đ nh th c con c p k + 1 nào c a A. Kh năng này x y ra khi và ch khi k = min{m, n}. Khi đó rank A = k = min{m, n}. Thu t toán k t thúc. 2. T t c các đ nh th c con c p k + 1 c a A ch a đ nh th c con Dk đ u b ng 0. Khi đó rank A = k. Thu t toán k t thúc. 3. T n t i m t đ nh th c con c p k + 1 c a A là Dk+1 ch a đ nh th c con Dk khác 0. Khi đó l p l i bư c 2 v i Dk+1 thay cho Dk . Và c ti p t c như v y cho đ n khi x y ra trư ng h p (1) ho c (2) thì thu t toán k t thúc. 2
2.2 Ví d Tìm h ng c a ma tr n   1 2 2 1 4  −1 1 1 1 3  A=  1  3 3 2 2  2 1 1 0 1 Gi i 1 2 Đ u tiên ta th y A có đ nh th c con c p 2, D2 = = 3 = 0 (Đ nh th c này đư c −1 1 t o thành b i 2 dòng đ u, 2 c t đ u c a A) Xét các đ nh th c con c p 3 c a A ch a D2 , ta th y có đ nh th c con c p 3 khác 0. Đó là đ nh th c 1 2 1 D3 = −1 1 1 =1=0 1 3 2 (Đ nh th c này đư c thành b i các dòng 1, 2, 3, các c t 1, 2, 4 c a A) Ti p t c, xét các đ nh th c con c p 4 c a A ch a D3 . Có t t c 2 đ nh th c như v y, đó là 1 2 2 1 −1 1 1 1 D4,1 = 1 3 3 2 2 1 1 0 và 1 2 1 4 −1 1 1 3 D4,2 = 1 3 2 2 2 1 0 1 C 2 đ nh th c này đ u b ng 0. Do đó rank A = 3. Chú ý. Có th nh n xét dòng (4) c a ma tr n A là t h p tuy n tính c a dòng (1) và dòng (2); dòng (4) = dòng (1) - dòng (2), nên d dàng th y đư c D4,1 = 0, D4,2 = 0. Vi c tìm h ng c a ma tr n b ng đ nh th c như trên ph i tính toán khá ph c t p nên trong th c t ngư i ta ít s d ng mà ngư i ta thư ng s d ng phương pháp tìm h ng c a ma tr n b ng các phép bi n đ i sơ c p sau đây. 3 Tìm h ng c a ma tr n b ng phương pháp s d ng các phép bi n đ i sơ c p (phương pháp Gauss) Trư c khi gi i thi u phương pháp này, ta c n nh l i m t s khái ni m sau 3.1 Ma tr n b c thang 3.1.1 Đ nh nghĩa Ma tr n A c p m × n khác không g i là m t ma tr n b c thang n u t n t i s t nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} th a các đi u ki n sau: 3
1. r dòng đ u c a A khác không. Các dòng t th r + 1 tr đi (n u có) đ u b ng 0. 2. Xét dòng th k v i 1 ≤ k ≤ r. N u (A)kik là ph n t đ u tiên bên trái (tính t trái sang ph i) khác 0 c a dòng k thì ta ph i có i1 < i2 < · · · < ir . Các ph n t (A)kik g i là các ph n t đư c đánh d u c a ma tr n A. Các c t ch a các ph n t đư c đánh d u (các c t i1 , i2 , . . . , ir ) g i là c t đánh d u c a ma tr n A. Như v y, đi u ki n (2) có th phát bi u l i như sau: N u đi t dòng trên xu ng dư i thì các ph n t đánh d u ph i lùi d n v phía ph i. Và như v y, ma tr n b c thang có d ng như sau: i1 i2 ir 0 . . . 0 (A)∗ i1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   1 (1)  0 ... 0  0 ... 0 (A)∗ i2 . . . . . . . . . . . .  2  (2)  ······ ······ ······ ··· ······ ···    A=  ······ ······ · · · · · · · · · (A)∗ ir · · ·  r  (r)  0 ... 0 0 ... 0 0 ... . ... 0 ... ...0  (r + 1)    ······ ······ ······ ··· ······ ···  0 ... 0 0 ... 0 0 ... . ... 0 ... ...0 (m) Ta có nh n xét quan tr ng sau: N u A là ma tr n b c thang thì s r trong đ nh nghĩa chính là rank A. Th t v y, có th ch ra m t đ nh th c con c p r c a A khác 0 chính là đ nh th c Dr t o b i r dòng đ u và r c t đánh d u i1 , i2 , . . . , ir . (A)1 i1 ··· ··· ··· 0 (A)2 i2 · · · ··· Dr = . . . . ... . . = (A)1 i1 (A)2 i2 . . . (A)r ir = 0 . . . 0 0 · · · (A)r ir Ngoài ra, các đ nh th c con c p r + 1 c a A đ u t o b i r + 1 dòng nào đó nên có ít nh t m t dòng b ng không. Do đó, chúng đ u b ng 0. 3.1.2 Ví d v các ma tr n b c thang 1∗   0 2 0 0 3 4 0  0  0 0 3∗ 4 −1 0 0    0 0 0 0 1∗ 0 0 0  A=   0  0 0 0 0 0 2∗ 3    0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1∗ 0   0 0 0 0 0   0 −1∗ 2 0 0 3 4   B=  0 0 0 0 3∗ 0 0    0 0 0 0 0 4∗ 1  0 0 0 0 0 0 5∗ Các ma tr n A, B đ u là các ma tr n b c thang, và ta có rank A = 4 (b ng s dòng khác không c a A), rank B = 5 (b ng s dòng khác không c a B). 4
3.2 Phép bi n đ i sơ c p trên ma tr n Ba phép bi n đ i sau g i là phép bi n đ i sơ c p trên các dòng c a ma tr n: 1. Đ i ch 2 dòng cho nhau. 2. Nhân m t dòng cho m t s khác 0. 3. Nhân m t dòng cho m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác. Tương t , b ng cách thay dòng thành c t, ta có 3 phép bi n đ i sơ c p trên các c t c a ma tr n. 3.3 Tìm h ng c a ma tr n b ng phương pháp s d ng các phép bi n đ i sơ c p N i dung c a phương pháp này d a trên hai nh n xét khá đơn gi n sau 1. Các phép bi n đ i sơ c p không làm thay đ i h ng c a ma tr n. 2. M t ma tr n khác O b t kỳ đ u có th đưa v d ng b c thang sau m t s h u h n các phép bi n đ i sơ c p trên dòng. Như v y, mu n tìm h ng c a ma tr n A, ta dùng các phép bi n đ i sơ c p đ đưa A v d ng b c thang, do nh n xét (1), h ng c a A b ng h ng c a ma tr n b c thang, và ta đã bi t h ng c a ma tr n b c thang chính b ng s dòng khác không c a nó. C n lưu ý b n đ c r ng: k năng đưa m t ma tr n v d ng b c thang b ng các phép bi n đ i sơ c p là m t k năng cơ b n, nó c n thi t không ch trong vi c tìm h ng c a ma tr n mà còn c n đ gi i nhi u bài toán khác c a Đ i s tuy n tính. Sau đây, chúng tôi xin đưa ra m t thu t toán đ đưa m t ma tr n v d ng b c thang b ng các phép bi n đ i sơ c p: Xét ma tr n   a11 a12 ··· a1n  a21 a22 ··· a2n  A= .   . .. .  . . .  . . . .  am1 am2 · · · amn 3.3.1 Bư c 1 B ng cách đ i ch 2 dòng cho nhau (n u c n), ta luôn có th gi s a11 = 0. a21 Nhân dòng (1) v i − , c ng vào dòng (2), a11 a31 Nhân dòng (1) v i − , c ng vào dòng (3), a11 . . . an1 Nhân dòng (1) v i − , c ng vào dòng (n). a11 Ta nh n đư c ma tr n 5
  a11 a12 · · · · · · a1n   0 b22 · · · · · · b2n   A1 =   0 b32 · · · · · · b3n    . . . . .. .. . .   . . . . .  0 bm2 · · · · · · bmn Chú ý. N u toàn b c t 1 b ng 0 (a11 = 0, a21 = 0, . . . , an1 = 0 thì ta có th b qua c t 1 mà th c hi n bư c 1 v i c t k ti p. 3.3.2 Bư c 2 Xét ma tr n   b22 ··· ··· b2n  b32 ··· ··· b3n  B=   . . . . .. . .   . . . .  bm2 · · · · · · bmn N u B = O ho c B có d ng b c thang thì A1 là ma tr n b c thang, thu t toán k t thúc. Trong trư ng h p ngư c l i, ti p t c l p l i bư c 1 cho ma tr n B. C n chú ý r ng ma tr n B có ít hơn ma tr n A 1 dòng và 1 c t. Do đó, sau m t s h u h n bư c l p, B s là ma tr n không ho c ma tr n b c thang. Khi đó, thu n toán s k t thúc. 3.4 Ví d 3.4.1 Ví d 1 Tìm h ng c a ma tr n   0 1 3 4 6  1 −3 4 5 2  A=  −3  5 −2 −3 −4  −2 3 5 6 4 Gi i     1 −3 4 5 2 1 −3 4 5 2 d1 ↔d  0 1 3 4 6  d3 →3d1 +d3  0 1 3 4 6  A −→2   −3  −→   5 −2 −3 −4  d4 →2d1 +d4  0 −4 10 12 2  −2 3 5 6 4 0 −3 13 16 8     1 −3 4 5 2 1 −3 4 5 2 d3 ↔4d2 +d3  0 1 3 4 6   0 d4 →−d1 +d4  1 3 4 6  −→   −→   d4 →3d 2+d4  0 0 22 28 26  0 0 22 28 26  0 0 22 28 26 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 6
3.4.2 Ví d 2 Tìm h ng c a ma tr n vuông c p n   a 1 ··· 1 1  1 1 ··· 1  a B=   . . . . .. .  . . .   . . . . . 1 1 1 ··· a Gi i   a+n−1 1 ··· 1 1 c1 →c1 +c2 +···+cn  a+n−1 1 ··· 1  a B −→    . . . . . .. .  . .   . . . . . a + n − 1 1 a ··· a   a+n−1 1 1 ··· 1 d2 =d2 −d1 d3 =d3 −d1  0 a−1 0 ··· 0  −→ =C    . . . . . .. . . . ······  . . . . .  dn =dn −d1 0 0 0 ··· a − 1 X y ra 3 trư ng h p sau: 1. a = 1 − n, a = 1, khi đó ma tr n C là ma tr n b c thang và rank B = rank C = n 2. a = 1, khi đó ma tr n C là ma tr n b c thang và rank B = rank C = 1 3. a = 1 − n, khi đó   0 1 1 ··· 1  0 −n 0 · · · 0  C=   . . . . .. . . . .   . . . . .  0 0 0 · · · −n Do đó, C không là ma tr n b c thang nhưng có đ nh th c con c p n − 1 khác không, đó là đ nh th c con t o b i n − 1 dòng cu i, n − 1 c t cu i −n 0 ··· 0 0 −n · · · 0 Dn−1 = . . . . . .. . . = (−n)n−1 = 0 . . . . . . 0 0 · · · −n và det C = 0 Do đó, rank C = n − 1 B i v y, rank B = n − 1. 7
BÀI T P Tìm h ng c a các ma tr n sau   4 3 −5 2 3  8 6 −7 4 2  13.   4 3 −8 2  7  8 6 −1 4 −6   3 −1 3 2 5  5 −3 2 3 4  14.   1 −3 5 0 7   7 −5 1 4 1   2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 1 2  15.   3 4 3 4 3 4   5 5 6 7 5 5   2 1 1 1  1 3 1 1     1 1 4 1  16.   1 1 1 5      1 2 3 4  1 1 1 1   3 1 1 4  a 4 10 1  17.   1 7 17 3   2 2 4 3   −1 2 1 −1 1  a −1 1 −1 −1  18.   1  a 0 1 1  1 2 2 −1 1 Tìm h ng c a các ma tr n vuông c p n   1+a a ··· a  a 1 + a ··· a  19.    . . . .. .   . . . a  a a ··· 1 + a   0 1 1 ··· 1  1 0 x ··· x     1 x 0 ··· x  20.    . . . .. . . . .  .   . . . . . 1 x x ··· 0 8
  a b ··· b  b a ··· b  21.    . . .. . . .  .   . . . . b b ··· a 9