Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 5- PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

795
lượt xem 561
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 5 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 5- PGS TS Vinh Quang

Đ I S TUY N TÍNH GI I BÀI T P H NG C A MA TR N Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 3 tháng 12 năm 2004 13) Tìm h ng c a ma tr n:   4 3 −5 2 3  8 6 −7 4 2  A=   4 3 −8 2 7  8 6 −1 4 −6 Gi i:     4 3 −5 2 3 4 3 −5 2 3 d2→(−2)d1+d2  0 0 3 0 −4  d3→−d2+d3  0 0 3 0 −4  A− − − − → −−−−   −− − −  − − −→  d3→−d1+d3 0 0 −3 0 4  d4→(−3)d2+d4  0 0 0 0 0  d4→(−2)d1+d4 0 0 9 0 −12 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 14) Tìm h ng c a ma tr n:   3 −1 3 2 5  5 −3 2 3 4  A=   1 −3 5 0 7  7 −5 1 4 1 Gi i:     1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 đ i dòng  3 −1 3 2 5  d2→ - 3d1 + d2  0 8 −12 2 −16  A −− −  − −→   −− − − −  − − − −→  5 −3 2 3 4  d3→−5d1+d3  0 12 −23 3 −31  d4→−2d1+d4 7 −5 1 4 1 0 16 −34 4 −48     1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 d3→ −3 d2 + d3  0 8 −12 2 −16  d4→−2d3+d4  0 8 −12 2 −16  − −2 − − →  −− − − −  −−−−  −−−→  d4→−7d1+d4 0 0 −5 0 −7  0 0 −5 0 −7  0 0 −10 0 −16 0 16 0 0 −2 V y rank A = 4 . 1
15) Tìm h ng c a ma tr n:   2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 1 2  A=  3  4 3 4 3 4  5 5 6 7 5 5 Gi i     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d1↔d2  2 1 2 1 2 1  d2→−2d1+d2  0 −3 0 −3 0 −3  A −−→  −−  − − − −  −−−→  3 4 3 4 3 4  d3→−3d1+d3  0 −2 0 −2 0 −2  d4→−5d1+d4 5 5 6 7 5 5 0 −5 1 −3 0 −5     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d2↔− 1 d2  0 1 0 1 0 1  d3→2d2+d3  0 1 0 1 0 1  − −3 →  −−−  − − − → −−−  0 −2 0 −2 0 −2  d4→5d2+d4  0 0 0 0 0 0  0 −5 1 −3 0 −5 0 0 1 2 0 0   1 2 1 2 1 2 d3↔d4  0 1 0 1 0 1  −−→  −−   0 0 1 2 0 0  0 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 16) Tìm h ng c a ma tr n:   2 1 1 1   1 3 1 1    1 1 4 1  A=    1 1 1 5    1 2 3 4  1 1 1 1 Gi i:     1 1 1 1 1 1 1 1   2 1 1 1    d2→−2d1+d2  0 −1 −1 −1   đ i dòng  1 3 1 1  d3→−d1+d4  0 2 0 0  A −− −  − −→  − − − −  −−−→   1 1 4 1  d4→−d1+d4   d5→−d1+d5  0 0 3 0   1 1 1 5  d6→−d1+d6  0 0 0 4  1 2 3 4 0 1 2 3     1 1 1 1 1 1 1 1   0 −1 −1 −1     0 −1 −1 −1   d3→2d2+d3  0 0 −2 −2  d3↔d6  0 0 1 2  − − − → −−−  −−→  −−   d6→d2+d6   0 0 3 0   0 0 3 0   0 0 0 4   0 0 0 4  0 0 1 2 0 0 −2 −2 2
    1 1 1 1 1 1 1 1   0 −1 −1 −1     0 −1 −1 −1   2 d4→−3d3+d4  0 0 1 2  d5→ 3 d4+d5  0 0 1 2  −−−−  − − − →  −− − −  − − −→  d6→2d3+d6  0 0 0 −6  d6→ 1 d4+d6   3  0 0 0 −6    0 0 0 4   0 0 0 0  0 0 0 2 0 0 0 0 V y rank A = 4 . 17) Tìm h ng c a ma tr n :   3 1 1 4  a 4 10 1  A=  1  7 17 3  2 2 4 3 Gi i:     1 1 4 3 1 1 4 3 đ i c t  4 10 1 a  d2→−4d1+d2  0 6 0 a − 12  A −−→  −−  − − − −  −−−→  7 17 3 1  d3→−7d1+d3  0 10 −25 −20  d4→−2d1+d4 2 4 3 2 0 2 −5 −4     1 1 4 3 1 1 4 3 đ i dòng  0 2 −5 −4  d3→−3d2+d3  0 2 −5 −4  −− −  − −→  − − − −  −−−→  0 6 0 a − 12  d4→−5d2+d4  0 0 15 a  0 10 −15 −20 0 0 0 0 V y rank A = 3. V i m i a. 18) Tìm h ng c a ma tr n:   −1 2 1 −1 1  a −1 1 −1 −1  A=  1  a 0 1 1  1 2 2 −1 1 Gi i:     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d2→d1+d2 đ i c t  −1 −1 1 a −1  d3→−d1+d3  0 −2 2 a − 1 1  A −−→  −−  −− − −  − − −→  1 1 0 1 a  d4→−d1+d4  0 2 −1 2 a−2  1 −1 2 1 2 0 0 1 2 0     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d3→d2+d3  0 −2 2 a − 1 1  d4→−d3+d4  0 −2 2 a − 1 1  −− −→  −−−   −− − −  − − −→   0 0 1 a+1 a−1  0 0 1 a+1 a−1  0 0 1 2 0 0 0 0 a−1 1−a V y : n u a = 1 thì rank A = 4 . 3
. n u a = 1 thì rank A = 3 . 19) Tìm h ng c a ma tr n:   1+a a ... a  a 1+a ... a  A=  ...  ... ... ...  a a ... 1 + a Gi i:     1 + na a ... a 1 + na a ... a c1→c1+c2+...+cn  1 + na 1 + a ... a   d2→−d1+d2  0 1 ... 0  A −− − − −→  −−−−−  −− − −  − − −→  ... ... . . . . . .  .....................  . . . dn→−d1+dn ... ... ...  1 + na a ... 1 + a 0 0 ... 1 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n . n 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n − 1 vì có đ nh th c con c p n − 1 g m n − 1 n dòng cu i, c t cu i . 1 0 ... 0 1 1 ... 0 Dn−1 =1=0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 Còn đ nh th c c p n b ng 0 . 20) Tìm h ng c a ma tr n (n ≥ 2 )   0 1 1 ... 1  1 0 x ... x    A= 1 x 0  ... x    ... ... ... ... ...  1 x x ... 0 Gi i: N ux=0:     0 x x ... x (n − 1)x x x ... x  x 0 x ... x   (n − 1)x 0 x ... x  c1→xc1  c1→c1+c2+...+cn   A−−→ −−  x x 0 ... x  −− − − −→   −−−−−  (n − 1)x x 0 ... x  d1→xd1   ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ...  x x x ... 0 (n − 1)x x x ... 0   (n − 1)x x x ... x  0 −x 0 . . . 0  d2→−d1+d2   −− − −  − − −→ 0 0 −x . . . 0  d3→−d1+d3  .....................  dn→−d1+dn ... ... ... ... ...  0 0 0 . . . −x V y rank A = n 4
N ux=0     0 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1   1 0 0 ... 0   d3→−d2+d3   1 0 0 ... 0   A= 1 0 0 ... 0 −− − −  − − −→ 0 0 0 ... 0    ...................    ... ... ... ... ...  dn→−d2+dn  ... ... ... ... ...  1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 rankA = 2. Vy rankA = n n u x = 0 rankA = 2 n u x = 0 21) Tìm h ng c a ma tr n vuông c p n:   a b b ... b  b a b ... b    A= b  b a ... b    ... ... ... ... ...  b b b ... a Gi i:     a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b d2→−d1+d2 c1→c1+c2+...+cn  a + (n − 1)b a b . . . b  d3→−d1+d3  0 a−b 0 ... 0  A −− − − −→  −−−−−  −− − −  − − −→  ... ... ... . . . . . .  .....................  dn→−d1+dn ... ... ... ... ...  a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... 0 1. N u a = (1 − n)b, a = b thì rankA = n 2. a = b = 0 thì rankA = 1 a = b = 0 thì rankA = 0 3. a = (n − 1)b = 0 thì rankA = n − 1 Vì có đ nh th c con c p n − 1 (b dòng đ u, c t đ u) a−b 0 ... 0 0 a−b ... 0 = (a − b)n−1 = 0 ... ... ... ... 0 0 ... a − b Còn đ nh th c c p n b ng 0. 5