Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 14 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

645
lượt xem 467
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 14 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 14 - PGS TS Vinh Quang

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 14. Bài t p v không gian véctơ (ti p theo) PGS TS M Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 13. Cho A, B là các KGVT con c a KGVT V . Ch ng minh r ng A ∪ B là KGVT con c a KGVT V khi và ch khi A ⊂ B ho c B ⊂ A. Gi i. N u A ⊂ B ho c B ⊂ A thì A ∪ B = B ho c A ∪ B = A nên A ∪ B là KGVT con c a V. Ngư c l i, gi s A ∪ B là KGVT con c a V nhưng A ⊂ B và B ⊂ A. Khi đó t n t i x ∈ A, x ∈ B và y ∈ B, y ∈ A. Ta ch ng minh x + y ∈ A ∪ B. Th t v y, n u z = x + y ∈ A ∪ B thì z ∈ A, ho c z ∈ B, do đó y = z − x ∈ A ho c x = z − y ∈ B. Đi u này trái v i cách ch n x, y. V y x + y ∈ A ∪ B. Như v y, t n t i x, y ∈ A ∪ B nhưng x + y ∈ A ∪ B, do đó A ∪ B không là KGVT con c a V (!). Mâu thu n ch ng t A ⊂ B ho c B ⊂ A. 14. Cho V là KGVT, A là KGVT con c a V . Ch ng minh t n t i KGVT con B c a V sao cho A + B = V và A ∩ B = {0} Gi i. Gi s α1 , . . . , αk là m t cơ s trong A, khi đó α1 , . . . , αk là h véctơ đ c l p tuy n tính trong V , do đó ta có th b sung thêm các véctơ, đ đư c h véctơ α1 , . . . , αk , αk+1 , . . . , αn là cơ s c a V . Đ t B = αk+1 , . . . , αn . Khi đó, vì A = α1 , . . . , αk nên A + B = α1 , . . . , αk , αk+1 , . . . , αn = V . M t khác, n u x ∈ A ∩ B, thì t n t i các s ai , bj ∈ R sao cho x = a1 α1 + . . . + ak αk và x = bk+1 αk+1 + . . . + bn αn do đó a1 α1 + . . . + ak αk − bk+1 αk+1 − . . . − bn αn = 0, vì h véctơ {α1 , . . . , αn } ĐLTT nên ai = 0, bj = 0, do đó x = 0. V y, A ∩ B = {0}. 15. Trong R4 cho các véctơ: u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (0, −1, 0, 1), u4 = (1, 2, −1, −2) và E = u1 , u2 , u3 , u4 . a. Tìm cơ s , s chi u c a E. b. Tìm m t đi u ki n c n và đ đ véctơ x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E. c Cho v1 = (1, a3 , a, 1), v2 = (1, b, b3 , 1), v3 = (ab + 1, ab, 0, 1). Tìm a, b đ v1 , v2 , v3 là cơ s c a E. 1
Gi i. a. Đ tìm cơ s , s chi u c a E, ta tìm h con ĐLTT t i đ i c a h sinh u1 , u2 , u3 , u4 c a E. L p và bi n đ i ma tr n:     1 1 0 0 1 1 1 0 0 1  1 1 1 1  2  0 0 1 1   2 A=  0 −1 −→  0 −1 0 1  3 0 1  3 1 2 −1 −2 4 0 1 −1 −2 4     1 1 0 0 1 1 1 0 0 1  0 −1 0 1  2  0 −1 0 1  2 −→   0  −→   0 1 1  3  0 0 1 1  3 0 1 −1 −2 4 0 0 −1 −1 4   1 1 0 0 1  0 −1 0 1  2 −→   0  0 1 1  3 0 0 0 0 4 Ma tr n b c thang sau cùng b c 3, và 3 dòng khác không ng v i các véctơ u1 , u3 , u2 . Do đó, dimE = 3 và cơ s c a E là h {u1 , u2 , u3 } và E = u1 , u2 , u3 . b. x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E khi và ch khi phương trình véctơ x = x1 α1 + x2 α2 + x3 α3 có nghi m. Phương   trình véctơ trên tương đương  i h sau:  v 1 1 0 a1 1 1 0 a1  1 1 −1 a2   −→  0 0 −1 −a1 + a2      0 1 0 a3   0 1 0 a3  0 1 1 a4 0 1 1 a4     1 1 0 a1 1 1 0 a1  0 1 0 a3  −→  0 1 0 a3    −→   0 0 −1 −a1 + a2   0 0 −1 −a1 + a2   0 1 1 a4 0 0 1 −a3 + a4   1 1 0 a1  0 1 0 a3  −→   0 0 −1  −a1 + a2  0 0 0 −a1 + a2 − a3 + a4 Như v y, h có nghi m khi và ch khi −a1 + a2 − a3 + a4 = 0. V y x = (a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ E ⇔ a1 + a3 = a2 + a4 . c. Vì dimE = 3 nên {v1 , v2 , v3 } là cơ s c a E khi và ch khi v1 , v2 , v3 ∈ E và {v1 , v2 , v3 } ĐLTT. Do câu b., v1 ∈ E ⇔ 1 + a = a3 + 1 ⇔ a = 0, 1, −1, v2 ∈ E ⇔ 1 + b3 = 1 + b ⇔ b = 0, 1, −1. Xét các trư ng h p có th x y ra: • a = 0 ho c b = 0, khi đó v1 = v2 ho c v2 = v3 , h {v1 , v2 , v3 } ph thu c tuy n tính nên không là cơ s c a E. • a = b thì v1 = v2 nên h {v1 , v2 , v3 } không là cơ s c a E. • Còn l i 2 kh năng là a = 1, b = −1 ho c a = −1, b = 1, ki m tra tr c ti p ta th y h {v1 , v2 , v3 } ĐLTT, do đó là cơ s c a E. 16. Trong R4 cho các KGVT con U = (2, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1), (0, −2, −1, −1) x1 − x3 − x4 = 0 V = (x1 , x2 , x3 , x4 ) x2 − x3 + x4 = 0 2
a. Tìm cơ s , s chi u c a các KGVT con U, V, U + V . b. Tìm cơ s , s chi u c a KGVT con U ∩ V Gi i. a. • D th y cơ s c a U là các véctơ α1 = (2, 0, 1, 1), α2 = (1, 1, 1, 1) và do đó U = α1 , α2 . x1 − x3 − x4 = 0 Không gian con V chính là không gian nghi m c a h , x2 − x3 + x4 = 0 b i v y cơ s c a V là h nghi m cơ b n c a h trên. H trên có vô s nghi m x1 = x3 + x4 ph thu c 2 tham s x3 , x4 . Nghi m t ng quát là , do đó h x2 = x3 − x4 nghi m cơ b n là: β1 = (1, 1, 1, 0), β2 = (1, −1, 0, 1). V y, cơ s c a V là β1 , β2 và dimV = 2, V = β1 , β2 . • Vì U = α1 , α2 , V = β1 , β2 nên U + V = α1 , α2 , β1 , β2 , do đó h con đ c l p tuy n tính t i đ i c a h {α1 , α2 , β1 , β2 } là cơ s c a U + V . Tính toán tr c ti p ta có k t qu dim(U + V ) = 3 và {α1 , α2 , β1 } là m t cơ s c a U + V . b. Đ tìm cơ s c a U ∩V , ta c n tìm đi u ki n c n và đ đ véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U . Tương t bài t p 15., x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U khi và ch khi phương trình véctơ x = a1 α1 + a2 α2 có nghi m, phương trình này tương đương v i h sau:     2 1 x1 1 1 x4  0 1 x2   −→  0 1 x2      1 1 x3   1 1 x3  1 1 x4 2 1 x1     1 1 x4 1 1 x4  0 1 x2  −→  0 1 x2    −→    0 0 −x4 + x3   0 0 x3 − x4  0 −1 x1 − 2x4 0 0 x1 + x2 − 2x4 x3 − x4 = 0 V y véctơ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U ⇔ .  x1 + x2 − 2x4 = 0   x3 − x4 = 0 x1 + x2 − 2x4 = 0  Do đó, (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ U ∩ V ⇔ (∗)  x1 − x3 − x4 = 0  x2 − x3 + x4 = 0  Như v y U ∩ V chính là không gian nghi m c a h (∗) và do đó cơ s c a U ∩ V chính là h nghi m cơ b n c a h (∗). Vi c gi i và tìm h nghi m cơ b n c a h (∗) xin dành cho b n đ c. K t qu h nghi m cơ b n c a (∗) là véctơ γ = (2, 0, 1, 1), do đó dim(U ∩ V ) = 1. Cơ s c a U ∩ V là véctơ γ. 17. Cho U là không gian véctơ con c a V . Bi t dimU = m < dimV = n. Ch ng minh a. Có cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U . b. Có cơ s c a V ch a đúng k véctơ đ c l p tuy n tính c a U . (0 ≤ k ≤ m). Gi i. a. Đ u tiên ta ch ng minh có cơ s c a V ch a đúng m véctơ c a U . Th t v y, gi s α1 , . . . , αm là cơ s c a U , β1 , . . . , βn là cơ s c a V . Vì α1 , . . . , αm ĐLTT và bi u th tuy n tính đư c qua h β1 , . . . , βn nên theo b đ cơ b n v h véctơ ĐLTT ta có th thay m véctơ α1 , . . . , αm cho m véctơ c a h β1 , . . . , βn đ đư c h m i là 3
h α1 , . . . , αm , βm+1 , . . . , βn (∗) tương đương v i h (β). Vì (β) là cơ s c a V nên hê (∗) cũng là cơ s c a V . Cơ s (∗) có đúng m véctơ thu c U là α1 , . . . , αm . Th t v y, n u có βk ∈ U (k = m + 1, . . . , n) thì βk bi u th tuy n tính đư c qua α1 , . . . , αm , do đó h α1 , . . . , αm , βm+1 , . . . , βn PTTT, trái v i h (∗) là cơ s c a V . Ti p t c ta ch ng minh có cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U : Vì h véctơ (∗) ĐLTT nên b ng cách ki m tra tr c ti p, ta có h α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βn , βm+1 , . . . , βn cũng là h ĐLTT, do đó là cơ s c a V . Vì αi ∈ U, βn ∈ U nên αi + βn ∈ U , do đó h véctơ trên chính là cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U . b. Gi s v1 , . . . , vn là cơ s c a V không ch a véctơ nào c a U và gi s u1 , . . . , uk là h véctơ ĐLTT c a U . Vì u1 , . . . , uk bi u th tuy n tính đư c qua v1 , . . . , vn nên theo b đ cơ b n v h véctơ ĐLTT, ta có th thay k véctơ u1 , . . . , uk cho k véctơ c a h v1 , . . . , vn đ đư c h m i u1 , . . . , uk , vk+1 , . . . , vn chính là cơ s c a V ch a đúng k véctơ c a U . 18. Cho A, B là các ma tr n c p m × n. (A, B ∈ Mm×n (R). Ch ng minh rank(A + B) ≤ rankA + rankB     a11 . . . a1n b11 . . . b1n  a21 . . . a2n   b21 . . . b2n  Gi i. Gi s A =  . .  ; B =  . .. . .      . . ... .  . . .  .  . . am1 . . . amn bm1 . . . bmn Ta đ t α1 = (a11 , . . . , a1n ), α2 = (a21 , . . . , a2n ), . . . , αm = (am1 , . . . , amn ) là các véctơ dòng c a A, khi đó rankA = rank{α1 , . . . , αm }. Tương t ta đ t: β1 = (b11 , . . . , b1n ), β2 = (b21 , . . . , b2n ), . . . , βm = (bm1 , . . . , bmn ) là các véctơ dòng c a B, khi đó rankB = rank{β1 , . . . , βm }. Các véctơ dòng c a ma tr n A+B chính là các véctơ α1 +β1 , . . . , αm +βm và rank(A+B) = rank{α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βm }. V y ta c n ch ng minh: rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm } Gi s αi1 , . . . , αik là h con ĐLTT t i đ i c a h α1 , . . . , αm (do đó, rank{α1 , . . . , αm } = k) và βj1 , . . . , βjl là h con ĐLTT t i đ i c a h β1 , . . . , βm (do đó rank{β1 , . . . , βm } = l). Khi đó vì αi bi u th tuy n tính đư c qua h αi1 , . . . , αjk và βj bi u th tuy n tính đư c qua h βj1 , . . . , βjl nên αi + βi bi u th tuy n tính đư c qua h véctơ αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl t c là h véctơ α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αm + βm bi u th tuy n tính đư c qua h véctơ αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl . Do đó, theo bài t p 5, ta có: rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{αi1 , . . . , αik , βj1 , . . . , βjl } ≤ k + l = rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm } V y rank{α1 + β1 , . . . , αm + βm } ≤ rank{α1 , . . . , αm } + rank{β1 , . . . , βm }, t c là rank(A + B) ≤ rankA + rankB 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, Ngày: 15/02/2006 4