Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 18 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

454
lượt xem 329
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 18 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 18 - PGS TS Vinh Quang

Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 18. Không gian vectơ Euclide PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1 Các khái ni m cơ b n 1.1 Tích vô hư ng và không gian vectơ Euclide Đ nh nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. M t tích vô hư ng trên V là m t ánh x , :V ×V →R (α, β) → α, β th a các đi u ki n sau: v i m i α, α1 , α2 ∈ V , β ∈ V v i m i a ∈ R, i) α1 + α2 , β = α1 , β + α2 , β ii) aα, β = a α, β iii) α, β = β, α iv) α, α ≥ 0 α, α = 0 khi và ch khi α = 0. Chú ý r ng, do tính ch t i), ii). Khi c đ nh vectơ β ∈ V , tích vô hư ng là m t ánh x tuy n tính đ i v i bi n th nh t. Do tính ch t đ i x ng (giao hoán) iii), ta d dàng suy ra khi c đ nh α ∈ V , thì tích vô hư ng là m t ánh x tuy n tính đ i v i bi n th 2, t c là: α, β, β1 , β2 ∈ V , a ∈ R ta có: i’) α, β1 + β2 = α, β1 + α, β2 ii’) α, aβ = a α, β Đ nh nghĩa Không gian vectơ trên R, trong đó có thêm m t tích vô hư ng đư c g i là không gian vectơ Euclide. Chú ý T tính ch t tuy n tính c a tích vô hư ng theo t ng bi n (tính ch t i, ii, i’, ii’), ta d dàng có các công th c sau: • 0, α = α, 0 = 0 v i m i α ∈ V . 1
m n • Gi s α = ai αi , β = bj βj thì: i=1 j=1 m n m n α, β = ai αi , bj βj = ai b j αi , βj i=1 j=1 i=1 j=1 1.2 Các ví d 1. Cho V = Rn , ∀α = (x1 , . . . , xn ), β = (y1 , . . . , yn ) ∈ V , ta đ nh nghĩa: n α, β = x1 y1 + · · · + xn yn = xi yi i=1 Đây là m t tích vô hư ng trên Rn và (Rn , , ) là m t không gian vectơ Euclide. 2. Cho V = C[a, b] là không gian vectơ các hàm s th c liên t c trên [a, b]. V i m i f (x), g(x) thu c C[a, b] ta đ nh nghĩa: b f (x), g(x) = f (x)g(x)dx a Đây là m t tích vô hư ng trên C[a, b] và (C[a, b], , ) là m t không gian vectơ Euclide. 1.3 Đ dài và góc 1. Đ nh nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. V i m i vectơ α ∈ E, đ dài c a vectơ α, ký hi u là α , là s th c không âm, xác đ nh như sau: x = x, x 2. Các ví d (a) E = Rn , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn thì x = x2 + · · · + x2 1 n b (b) E = C[a, b], f (x) ∈ C[a, b] thì f (x) = [f (x)]2 dx a 3. M t vài tính ch t cơ b n Trong không gian vectơ Euclide E, ta có: • α = 0 ⇔ α = 0 và a ∈ R, aα = |a|. α • B t đ ng th c Bunhiac pxki ∀α, β ∈ E, | α, β | ≤ α . β D u đ ng th c x y ra khi và ch khi các vectơ α, β ph thu c tuy n tính. Ch ng minh – N u β = 0, b t đ ng th c hi n nhiên đúng. – N u β = 0 thì tam th c b c hai: f (t) = β, β t2 − 2 α, β t + α, α = α − tβ, α − tβ ≥ 0 v i m i t ∈ R. Do đó, ∆f ≤ 0 ⇔ α, β 2 − α, α β, β ≤ 0 ⇔ | α, β | ≤ α . β 2
• B t đ ng th c tam giác ∀α, β ∈ E, α − β ≤ α + β ≤ α + β Ch ng minh. Áp d ng b t đ ng th c Bunhiac pxki, ta có: 2 α+β = α + β, α + β = α, α + 2 α, β + β, β ≤ α 2 + α β + β 2 = ( α + β )2 Do đó, α + β ≤ α + β Do ch ng minh trên, ta có: α = (α + β) + (−β) ≤ α + β + − β = α + β + β Do đó, α − β ≤ α + β 4. Góc gi a hai vectơ • Cho E là không gian vectơ Euclide. Ta g i góc gi a hai vectơ khác không α, β ∈ E là s th c ϕ ∈ [0, π] xác đ nh b i: α, β cos ϕ = α . β α, β C n chú ý r ng do b t đ ng th c Bunhiac pxki, ≤ 1 nên góc gi a hai α . β vetơ khác không α, β ∈ E xác đ nh và duy nh t. • Hai vectơ α, β ∈ E g i là tr c giao, ký hi u α ⊥ β n u α, β = 0. π N u α, β = 0 thì α ⊥ β ⇔ góc gi a chúng là ϕ = 2 • Công th c Pitago 2 2 2 ∀α, β ∈ E, α ⊥ β ⇔ α + β = α + β Th t v y, ∀α, β ∈ E, ta có: 2 α+β = α + β, α + β = α, α + 2 α, β + β, β = α 2 + β 2 + 2 α, β 2 2 2 Do đó, α + β = α + β ⇔ α, β = 0 ⇔ α ⊥ β 2 H tr c giao, h tr c chu n, cơ s tr c giao, cơ s tr c chu n 2.1 Các khái ni m cơ b n Ta nh c l i r ng hai vectơ α, β c a không gian vectơ Euclide E g i là tr c giao, ký hi u α ⊥ β n u α, β = 0. 3
• H vectơ α1 , . . . , αm ∈ E g i là h tr c giao n u chúng đôi m t tr c giao, nghĩa là αi ⊥ αj ∀i = j. M t cơ s c a E mà là h tr c giao, g i là cơ s tr c giao c a E. • Vectơ α ∈ E g i là tr c giao v i t p con A ⊂ E n u α tr c giao v i m i vectơ c a A. Khi đó ta ký hi u α ⊥ A. • H vectơ α1 , . . . , αm ∈ E g i là h tr c chu n n u chúng là h tr c giao và m i vectơ αi là vectơ đơn v (nghĩa là đ dài c a αi , αi = 1). Như v y, h vectơ α1 , . . . , αm ∈ Elà h tr c chu n khi và ch khi 0n ui=j αi , αj = δij = 1n ui=j M t cơ s c a E mà là h tr c chu n, g i là cơ s tr c chu n c a E. • N u α1 , . . . , αm là m t h tr c giao, không ch a vectơ không c a E thì h : α1 α2 αm u1 = , u2 = , ..., um = α1 α2 αm là m t h tr c chu n c a E. Phép bi n đ i trên ta g i là phép tr c chu n hóa m t h vectơ tr c giao. N u α1 , . . . , αm là cơ s tr c giao c a E thì tr c chu n hóa cơ s đó, ta s đư c m t cơ s tr c chu n c a E. Chú ý r ng, m t h vectơ tr c giao không ch a vectơ không thì đ c l p tuy n tính. Ch ng minh đi u này khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. 2.2 Tr c giao hóa m t h vectơ đ c l p tuy n tính (phương pháp Gram-Schmidt • Tr c giao hóa Trong không gian Euclide E cho h vectơ đ c l p tuy n tính α1 , α2 , . . . , αm . Khi đó, h vectơ: β1 = α1 α2 , β1 β2 = α2 − β1 β1 , β1 . . . m−1 αm , βi βm = αm − βi i=1 βi , βi là h vectơ tr c giao, đ c l p tuy n tính trong E, và α1 , . . . , αm = β1 , . . . , βm Phép chuy n t h vectơ α1 , . . . , αm sang h vectơ tr c giao β1 , . . . , βm như trên g i là phép tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm . • Chú ý 4
– N u α1 , . . . , αm là cơ s c a không gian vectơ con U c a không gian vectơ Euclide E, (U = α1 , . . . , αm ), tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm ta đư c h vectơ tr c giao β1 , . . . , βm và U = α1 , . . . , αm = β1 , . . . , βm . Do đó, β1 , . . . , βm chính là cơ s tr c giao c a U . – T chú ý trên, m t không gian Euclide E luôn có cơ s tr c chu n. Th t v y, đ tìm cơ s tr c chu n c a E, đ u tiên ta tìm m t cơ s α1 , . . . , αm b t kỳ c a E, sau đó tr c giao hóa cơ s trên ta đư c cơ s tr c giao β1 , . . . , βm c a E. Cu i cùng, tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , . . . , βm , ta s đư c cơ s tr c chu n u1 , . . . , um c a E. Cũng lưu ý b n đ c r ng, trong quá trình tr c giao hóa h vectơ α1 , . . . , αm , đ đơn gi n cho quá trình tính toán, ta có th thay vectơ βi b i m t vectơ t l v i βi . Sau đây là m t ví d : • Ví d Trong không gian vetơ Euclide R4 , cho không gian vectơ con U sinh b i các vectơ: α1 = (0, 1, 0, 1) α2 = (0, 1, 1, 0) α3 = (1, 1, 1, 1) α4 = (1, 2, 1, 2) (U = α1 , α2 , α3 , α4 ) Tìm m t cơ s tr c chu n c a U . Gi i Đ tìm cơ s tr c chu n c a U , đ u tiên ta tìm m t cơ s c a U . H con đ c l p tuy n tính t i đ i c a α1 , α2 , α3 , α4 là m t cơ s c a U . T đó ta có α1 , α2 , α3 là m t cơ s c a U. Ti p theo, tr c giao hóa h vectơ α1 , α2 , α3 đ đư c m t cơ s tr c giao c a U . Ta có: β1 = α1 = (0, 1, 0, 1) α2 , β1 1 1 1 β2 = α2 − β1 = (0, 1, 1, 0) − (0, 1, 0, 1) = 0, , 1, − β1 , β1 2 2 2 Đ phép tính ti p theo đơn gi n hơn, ta có th ch n β2 = (0, 1, 2, −1). α3 , β1 α3 , β2 2 2 1 1 1 β3 = α3 − β1 β2 = (1, 1, 1, 1)− (0, 1, 0, 1)− (0, 1, 2, −1) = 1, − , , β1 , β1 β2 , β2 2 6 3 3 3 Đ đơn gi n, ta có th ch n β3 = (3, −1, 1, 1). V y cơ s tr c giao c a U là: β1 = (0, 1, 0, 1) β2 = (0, 1, 2, −1) β3 = (3, −1, 1, 1) Tr c chu n hóa cơ s tr c giao β1 , β2 , β3 , ta đư c cơ s tr c chu n c a U là: 5
1 1 e1 = 0, √ , 0, √ 2 2 1 2 −1 e2 = 0, √ , √ , √ 6 6 6 3 −1 1 1 e3 = √ , √ , √ , √ 2 3 2 3 2 3 2 3 3 Hình chi u tr c giao và đư ng tr c giao 3.1 Đ nh lý - Đ nh nghĩa Cho E là không gian vectơ Euclide, và U là không gian vectơ con c a E. Khi đó m i vectơ α ∈ E đ u vi t đư c duy nh t dư i d ng: α=α +β trong đó α ∈ U và β ⊥ U . Vectơ α g i là hình chi u tr c giao c a vectơ α lên U , còn β = α − α là đư ng tr c giao h t α xu ng U . Ch ng minh Gi s e1 , . . . , ek là m t cơ s tr c chu n c a U . Vì α ∈ U nên α có d ng: α = x1 e1 + · · · + xk ek Ta c n tìm x1 , . . . , xk đ β = α − α ⊥ U . β = α − α ⊥ U ⇔ α − α ⊥ ej , ∀j = 1, 2, . . . , k ⇔ α − α , ej = 0 ⇔ α, ej − α , ej = 0 k ⇔ α, ej − xi ei , ej = 0 i=1 ⇔ α, ej − xj = 0 ⇔ xj = α, ej V y vectơ α xác đ nh duy nh t b i k α = α, ej .ej j=1 trong đó e1 , . . . , ek là m t cơ s tr c chu n c a U , còn vectơ β xác đ nh b i β = α − α . 3.2 Cách tìm hình chi u tr c giao Cho không gian vectơ Euclide E, và U là không gian vectơ con c a E. Cho vectơ α ∈ E. Đ tìm hình chi u tr c giao c a vectơ α lên U , ta có th tìm b ng hai cách sau: 6
1. Cách 1. Tìm m t cơ s tr c chu n e1 , e2 , . . . , ek c a U . Khi đó hình chi u tr c giao α c a vectơ α xác đ nh b i công th c: α = α, e1 .e1 + α, e2 .e2 + + · · · + α, ek .ek 2. Gi s u1 , . . . , uk là cơ s b t kỳ c a U . Vì α ∈ U nên α = x1 u1 + · · · + xk uk . Ta c n tìm x1 , . . . , xk đ vectơ α − α ⊥ U . α−α ⊥U ⇔ α − α ⊥ uj v i j = 1, 2, . . . , k ⇔ α , uj = α, uj ⇔ x1 u1 , uj + x2 u2 , uj + · · · + xk uk , uj = α, uj L n lư t cho j = 1, 2, . . . , k, ta có x1 , . . . , xk là nghi m c a h phương trình sau:   u1 , u1 x1 + u2 , u1 x2 + · · · +  uk , u1 xk = α, u1  u1 , u2 x1 + u2 , u2 x2 + · · · +  uk , u2 xk = α, u2 . . (∗)    .  u ,u x + u ,u x + ··· + uk , uk xk = α, uk 1 1 k 2 k 2 Như v y, đ tìm hình chi u α c a α lên U , ta c n tìm m t cơ s u1 , . . . , uk c a U , sau đó l p h phương trình (∗). Gi i h (∗) ta s có nghi m duy nh t (x1 , . . . , xk ). Khi đó: α = x 1 u1 + · · · + x k u k . Ví d Trong không gian Euclide R4 cho không gian vectơ con U sinh b i các vectơ: α1 = (0, 1, 0, 1) α2 = (0, 1, 1, 0) α3 = (1, 1, 1, 1) α4 = (1, 2, 1, 2) (U = α1 , α2 , α3 , α4 ) Tìm hình chi u tr c giao c a vectơ x = (1, 1, 0, 0) lên U . Gi i Cách 1 : Đ u tiên ta tìm m t cơ s tr c chu n c a U . ví d trư c ta đã tìm đư c m t cơ s tr c chu n c a U là: 1 1 e1 = 0, √ , 0, √ 2 2 1 2 −1 e2 = 0, √ , √ , √ 6 6 6 3 −1 1 1 e3 = √ , √ , √ , √ 2 3 2 3 2 3 2 3 Do đó, hình chi u tr c giao c a x là: x = x, e1 e1 + x, e2 e2 + x, e3 e3 1 1 1 = √ e1 + √ e2 + √ e3 2 6 3 7
1 1 1 1 = , , , 2 2 2 2 Cách 2 : Đ u tiên tìm m t cơ s c a U . D th y α1 , α2 , α3 là m t cơ s c a U . Sau đó l p h phương trình d ng (∗). Ta có: α1 , α1 = 2 α2 , α1 = 1 α3 , α1 = 2 x, α1 = 1 α2 , α2 = 2 α3 , α2 = 2 x, α2 = 1 α3 , α3 = 4 x, α3 = 2 Do đó, h phương trình (∗) trong trư ng h p này có d ng:   2x1 + x2 + 2x3 = 1 x1 + 2x2 + 2x3 = 1 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2  1 Đây là h Cramer, gi i h này ta có x1 = 0, x2 = 0, x3 = . Do đó, hình chi u tr c giao 2 c a vectơ x là: 1 1 1 1 1 x = 0α1 + 0α2 + α3 = , , , 2 2 2 2 2 3.3 Đ nh nghĩa Cho U là không gian vectơ con c a không gian Euclide E và α là vectơ thu c E. Khi đó góc gi a hai vectơ α và hình chi u tr c giao α cũng đư c g i là góc gi a vectơ α và không gian con U . Đ dài c a đư ng th ng tr c giao β = α − α t α đ n U g i là kho ng cách t vectơ α đ n U. 4 Phép bi n đ i tr c giao và phép bi n đ i đ i x ng 4.1 Hai không gian Euclide đ ng c u Cho hai không gian vectơ Euclide E1 v i tích vô hư ng , 1 và E2 v i tích vô hư ng , 2 . Ta nói E1 đ ng c u v i E2 , ký hi u E1 ∼ E2 n u t n t i đ ng c u gi a hai không gian vectơ = f : E1 → E2 th a: ∀α, β ∈ E1 , α, β 1 = f (α), f (β) 2 Quan h đ ng c u là m t quan h tương đương và ta có k t qu sau: Đ nh lý. Hai không gian Euclide đ ng c u khi và ch khi chúng có cùng s chi u. 8
Ch ng minh N u E1 ∼ E2 thì theo đ nh nghĩa E1 , E2 là các không gian vectơ đ ng c u nên = dim E1 = dim E2 . Ngư c l i, gi s dim E1 = dim E2 = n và α1 , . . . , αn (α), β1 , . . . , βn (β) l n lư t là cơ s tr c chu n c a E1 và E2 . Khi đó t n t i ánh x tuy n tính f : E1 → E2 , f (αi ) = βi , i = 1, 2, . . . , n. Vì f bi n cơ s thành cơ s nên f là đ ng c u không gian vectơ. Ta ch ng minh x, y 1 = f (x), f (y) 2 . Th t v y, ∀x, y ∈ E1 , ta có: n x= xi αi i=1 n y= yi αj j=1 Khi đó: x, y 1 = xi αi , yj αj 1 = xi yj αi , αj 1 i,j n = xi yi i=1 f (x), f (y) 2 = f( xi , αi ), f ( yj αj ) 2 = xi f (αi ), yj f (αj ) 2 = xi βi ), yj βj 2 = xi yj βi , βj 2 n = xi yi i=1 V y x, y 1 = f (x), f (y) 2 và E1 ∼ E2 . = 4.2 Phép bi n đ i tr c giao 4.2.1 Ma tr n tr c giao Ma tr n vuông A g i là ma tr n tr c giao n u A−1 = At (At : ma tr n chuy n v c a A). 4.2.2 Đ nh nghĩa Cho E là không gian vectơ Euclide. M t phép bi n đ i tuy n tính f c a E g i là phép bi n đ i tr c giao c a E n u f b o toàn tích vô hư ng, t c là: ∀α, β ∈ E, α, β = f (α), f (β) D th y, phép bi n đ i tr c giao là m t song ánh vì: f (α) = 0 ⇔ f (α), f (α) = 0 ⇔ α, α = 0 ⇔ α = 0 Tính ch t cơ b n nh t c a phép bi n đ i tr c giao đư c cho trong đ nh lý sau. 9
4.2.3 Đ nh lý Cho f là phép bi n đ i tuy n tính c a không gian vectơ Euclide E. Khi đó các kh ng đ nh sau tương đương: 1. f là phép bi n đ i tr c giao. 2. f bi n cơ s tr c chu n c a E thành cơ s tr c chu n c a E. 3. Ma tr n c a f trong m t cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao. Ch ng minh 1) ⇒ 2) Gi s e1 , . . . , en là cơ s tr c chu n c a E. Khi đó: 1n ui=j ei , ej = δij = 0n ui=j Vì f là phép bi n đ i tr c giao, nên: 1n ui=j f (ei ), f (ej ) = ei , ej = δij = 0n ui=j Do đó, f (e1 ), . . . , f (en ) là cơ s tr c chu n. 2) ⇒ 3) Ma tr n c a f trong cơ s tr c chu n e1 , . . . , en theo đ nh nghĩa chính là ma tr n đ i cơ s t e1 , . . . , en sang cơ s tr c chu n f (e1 ), . . . , f (en ). Vì ma tr n đ i cơ s gi a hai cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao (xem bài t p 10) nên ma tr n c a f trong cơ s tr c chu n là ma tr n tr c giao. 3) ⇒ 1) Gi s e1 , . . . , en (e) là cơ s tr c chu n c a E và A = Af /(e) là ma tr n tr c giao (At = A−1 ). V i α, β ∈ E, α = a1 e1 + · · · + an en , β = b1 e1 + · · · + bn en Khi đó, α, β = [α]t (e) [β]/(e) / = [α]t (e) I[β]/(e) / = [α]t (e) A−1 A[β]/(e) / = [α]t (e) At A[β]/(e) / = (A[α]/(e) )t (A[β]/(e) ) = [f (α)]t (e) .[f (β)]/(e) / = f (α), f (β) 4.3 Phép bi n đ i đ i x ng 4.3.1 Đ nh nghĩa Cho E là không gian vectơ Euclide. Phép bi n đ i tuy n tính f c a E g i là phép bi n đ i đ i x ng n u ∀α, β ∈ E : f (α), β = α, f (β) . 10
4.3.2 Đ nh lý M t phép bi n đ i tuy n tính c a E là phép bi n đ i đ i x ng khi và ch khi ma tr n c a f trong m t cơ s tr c chu n là ma tr n đ i x ng. Ch ng minh Gi s f : E → E là phép bi n đ i tuy n tính, ma tr n c a f trong cơ s tr c chu n e1 , . . . , en là A = [aij ]. Khi đó: n f (ei ) = aki ek k=1 V i m i i, j ta có: n n f (ei ), ej = aki ek , ej = aki ek , ej = aji k=1 k=1 n n ei , f (ej ) = ei , akj ek = akj ei , ek = aij k=1 k=1 • N u f là phép bi n đ i đ i x ng, thì f (ei ), ej = ei , f (ej ) . Do đó, aji = aij . V y ma tr n A là ma tr n đ i x ng. • N u ma tr n A đ i x ng, t c là aji = aij thì f (ei ), ej = ei , f (ej ) ∀i, j. n n N uα= xi ei , β = yj ej c a E thì: i=1 j=1 f (α), β = xi f (ei ), yj ej = xi yj f (ei ), ej = xi yj ei , f (ej ) i,j i,j = xi ei , yj f (ej ) = α, f (β) V y f là phép bi n đ i đ i x ng. 11