Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 1 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1.607
lượt xem 880
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 1 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 1 - PGS TS Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH PGS. TS M Vinh Quang Ngày 11 tháng 10 năm 2004 M Đ u Trong các kỳ thi tuy n sinh sau đ i h c, Đ i s tuy n tính là môn cơ b n, là môn thi b t bu c đ i v i m i thí sinh thi vào sau đ i h c ngành toán - c th là các chuyên ngành : PPGD, Đ i s , Gi i tích, Hình h c. Các bài vi t này nh m cung c p cho các b n đ c m t cách có h th ng và ch n l c các ki n th c và k năng cơ b n nh t c a môn h c Đ i s tuy n tính v i m c đích giúp nh ng ngư i d thi các kỳ tuy n sinh sau đ i h c ngành toán có đư c s chu n b ch đ ng, tích c c nh t. Vì là các bài ôn t p v i s ti t h n ch nên các ki n th c trình bày s đư c ch n l c và bám sát theo đ cương ôn t p vào sau đ i h c. Tuy nhiên, đ d dàng hơn cho b n đ c th t các v n đ có th thay đ i. Cũng chính b i các lý do trên các bài vi t này không th thay th m t giáo trình Đ i s tuy n tính hoàn ch nh. B n đ c quan tâm có th tham kh o thêm m t s sách vi t v Đ i s tuy n tính, ch ng h n : 1. Nguy n Vi t Đông - Lê Th Thiên Hương ... Toán cao c p T p 2 - Nxb Giáo d c 1998 2. Jean - Marie Monier. Đ i s 1 - Nxb Giáo d c 2000 3. Ngô Thúc Lanh Đ i s tuy n tính - Nxb Đ i h c và Trung h c chuyên nghi p 1970 4. Bùi Tư ng Trí. Đ i s tuy n tính. 5. M Vinh Quang Bài t p đ i s tuy n tính. Bài 1: Đ NH TH C Đ hi u đư c ph n này, ngư i đ c c nph i n m đư c khái ni m v ma tr n và các phép toán trên ma tr n (phép c ng, tr , nhân hai ma tr n). Các khái ni m trên khá đơn gi n, ngư i đ c có th d dàng tìm đ c trong các sách đã d n trên. 1
1 Đ nh nghĩa đ nh th c 1.1 Đ nh th c c p 2, 3 • Cho A là ma tr n vuông c p 2 : a11 a12 A= a21 a22 đ nh th c (c p 2) c a A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|) xác đ nh như sau : a11 a12 det A = = a11 a22 − a12 a21 (1) a21 a22 • Cho A là ma tr n vuông c p 3 :   a11 a12 a13 A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 đ nh th c (c p 3) c a A là m t s ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : det A = a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 (2) a31 a32 a33 Công th c khai tri n ( 2 ) thư ng đu c nh theo quy t c Sarrus như sau : Ví d : −1 2 3 1 −2 1 = [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8 −1 0 4 N u ta ký hi u Sn là t p h p các phép th b c n thì các công th c ( 1 ) và ( 2 ) có th vi t l i như sau : det A = s(f )a1f (1) a2f (2) và det A = s(f )a1f (1) a2f (2) a3f (3) f ∈S2 f ∈S3 T đó g i ý cho ta cách đ nh nghĩa đ nh th c c p n như sau. 2
1.2 Đ nh th c c p n Cho A là ma tr n vuông c p n :   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A=   . . . . ... . .   . . .  an1 an2 · · · ann đ nh th c ( c p n) c a ma tr n A là m t s , ký hi u det A (ho c |A|), xác đ nh như sau : a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n det A = . . . . .. . . = s(f )a1f (1) a2f (2) ...anf (n) (3) . . . . f ∈Sn an1 an2 · · · ann Ch c ch n là đ i v i m t s b n đ c, (nh t là b n đ c không th o v phép th ) đ nh nghĩa đ nh th c tương đ i khó hình dung. Tuy nhiên, r t may là khi làm vi c v i đ nh th c, (k c khi tính đ nh th c) đ nh nghĩa trên hi m khi đư c s d ng mà ta ch y u s d ng các tính ch t c a đ nh th c. B i v y, b n đ c n u chưa có đ th i gian có th t m b qua đ nh nghĩa trên và c n ph i n m v ng các tính ch t sau c a đ nh th c. 2 Các tính ch t c a đ nh th c 2.1 Tính ch t 1 Đ nh th c không thay đ i qua phép chuy n v , t c là : det At = detA (At : ma tr n chuy n v c a ma tr n A) Ví d : 1 2 3 1 4 7 4 5 6 = 2 5 8 7 8 9 3 6 9 Chú ý : T tính ch t này, m t m nh đ v đ nh th c n u đúng v i dòng thì cũng đúng v i c t và ngư c l i. 2.2 Tính ch t 2 N u ta đ i ch hai dòng b t kỳ (ho c 2 c t b t kỳ) c a đ nh th c thì đ nh th c đ i d u. Ví d : 1 2 3 7 8 9 4 5 6 =− 4 5 6 7 8 9 1 2 3 3
2.3 Tính ch t 3 N u t t c các ph n t c a m t dòng (ho c m t c t) c a đ nh th c đu c nhân v i λ thì đ nh th c m i b ng đ nh th c ban đ u nhân v i λ. Ví d : 1 2 3 1 2 3 4 2 6 =2 2 1 3 6 4 9 6 4 9 Chú ý : T tính ch t này ta có n u A là ma tr n vuông c p n thì det (λA) = λn det A 2.4 Tính ch t 4 Cho A là ma tr n vuông c p n. Gi s dòng th i c a ma tr n A có th bi u di n du i d ng : aij = aij + aij v i j = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có : ... ... ... ... det A = ai1 + ai1 ai2 + ai2 ... ain + ain = ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... = ai1 ai2 ... ain + ai1 ai2 ... ain ... ... ... ... ... ... ... ... Trong đó các dòng còn l i c a 3 đ nh th c 2 v là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn l i c a ma tr n A. T t nhiên ta cũng có k t qu tương t đ i v i c t. Ví d : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 = 6 5 4 + −2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9 Chú ý : Các tính ch t 2, 3, 4 chính là tính đa tuy n tính thay phiên c a đ nh th c. T các tính ch t trên, d dàng suy ra các tính ch t sau c a đ nh th c : 2.5 Tính ch t 5 Đ nh th c s b ng 0 n u : 1. Có hai dòng (hai c t) b ng nhau ho c t l . 2. Có m t dòng (m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác). 2.6 Tính ch t 6 Đ nh th c s không thay đ i n u : 1. Nhân m t dòng (m t c t) v i m t s b t kỳ r i c ng vào dòng khác (c t khác). 2. C ng vào m t dòng (m t c t) m t t h p tuy n tính c a các dòng khác (c t khác) 4
Ví d : 1 1 −1 0 1 1 −1 0 2 1 3 2 0 −1 5 2 = −1 0 1 2 0 1 0 2 −3 1 2 4 0 4 −1 4 (Lý do: nhân dòngm tv i (−2) c ng vào dòng 2, nhân dòng m t v i 1 c ng vào dòng 3, nhân dòngm tv i 3 c ng vào dòng 4). Đ tính đ nh th c, ngoài vi c s d ng các tính ch t trên c a đ nh th c ta còn r t hay s d ng đ nh lý Laplace dư i đây. 3 Đ nh lý Laplace 3.1 Đ nh th c con và ph n bù đ i s Cho A là ma tr n vuông c p n, k là s t nhiên 1 ≤ k ≤ n. Các ph n t n m trên giao c a k dòng b t kỳ, k c t b t kỳ c a A làm thành m t ma tr n vuông c p k c a A. Đ nh th c c a ma tr n này g i là m t đ nh th c con c p k c a ma tr n A. Đ c bi t, cho trư c 1 ≤ i, j ≤ n, n u ta xóa đi dòng i, c t j c a A ta s đư c ma tr n con c p n − 1 c a A, ký hi u là Mij . Khi đó, Aij = (−1)i+j det Mij đư c g i là ph n bù đ i s c a ph n t (A)ij . ((A)ij là ph n t n m hàng i, c t j c a ma tr n A) 3.2 Đ nh lý Laplace Cho A là ma tr n vuông c p n :   a11 a12 ... a1j ... a1n  a21 a22 ... a2j ... a2n   . . . . . . . . . . .  .  . . . . . .   A=  ai1 ai2 ... aij ... ain     . . . . . . . . . . .  .   . . . . . . an1 an2 ... anj ... ann Khi đó ta có : 1. Khai tri n đ nh th c theo dòng i n det A = ai1 .Ai1 + ai2 .Ai2 + ... + ain .Ain = aik .Aik k=1 2. Khai tri n đ nh th c theo c t j n det A = a1j .A1j + a2j .A2j + ... + anj .Anj = akj .Akj k=1 T đ nh lý Laplace, ta có th ch ng minh đư c 2 tính ch t quan tr ng sau c a đ nh th c : 5
3.3 Tính ch t 1 N u A là ma tr n tam giác trên, (ho c tam giác dư i) thì det A b ng tích c a t t c các ph n t trên đư ng chéo chính, t c là : a11 0 0 ... 0 a21 a22 0 ... 0 . . . . . . . . . . = a11 .a22 ...ann . . . . . an1 an2 an3 ... ann 3.4 Tính ch t 2 N u A, B là các ma tr n vuông c p n thì det(AB) = det A det B 4 Các ví d và áp d ng Nh có đ nh lý Laplace, đ tính m t đ nh th c c p cao (c p > 3) ta có th khai tri n đ nh th c theo m t dòng ho c m t c t b t kỳ đ đưa v tính các đ nh th c c p bé hơn. C như v y sau m t s l n s đưa đư c v vi c tính các đ nh th c c p 2, 3. Tuy nhiên, trong th c t n u làm như v y thì s lư ng phép tính khá l n. B i v y ta làm như sau thì s lư ng phép tính s gi m đi nhi u : 1. Ch n dòng (c t) có nhi u s 0 nh t đ khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. 2. S d ng tính ch t 2.6 đ bi n đ i đ nh th c sao cho dòng đã ch n (c t đã ch n) tr thành dòng (c t) ch có m t s khác 0. 3. Khai tri n đ nh th c theo dòng (c t) đó. Khi đó vi c tính m t đ nh th c c p n quy v vi c tính m t đ nh th c c p n − 1. Ti p t c l p l i quá trình trên cho đ nh th c c p n − 1, cu i cùng ta s d n v vi c tính đ nh th c c p 2, 3. Ví d 1 Tính 1 0 1 −1 2 0 1 1 2 −1 1 2 1 0 1 −1 0 1 0 2 −1 1 1 1 1 Ta ch n c t 2 đ khai tri n nhưng trư c khi khai tri n, ta bi n đ i đ nh th c như sau : nhân dòng 2 v i (-2) c ng vào dòng 3. Nhân dòng 2 v i (-1) c ng vào dòng 5. Đ nh th c đã cho s b ng (Tính ch t 2.6 ) 1 0 1 −1 2 1 1 −1 2 0 1 1 2 −1 Khai tri n theo c t 2 1 −1 −4 3 1 0 −1 −4 3 = −1 1 0 2 −1 0 1 0 2 −1 0 −1 2 −1 0 0 −1 2 6
Đ tính đ nh th c c p 4, ta l i ch n dòng 4 đ khai tri n, trư c khi khai tri n ta l i bi n đ i đ nh th c như sau : nhân c t 1 v i (-1) r i c ng vào c t 3, nhân c t 1 v i 2 r i c ng vào c t 4. Đ nh th c đã cho s b ng : 1 1 −2 4 (Khai tri n theo dòng 4) 1 −2 4 1 −1 −5 5 = (−1).(−1)5 −1 −5 5 =1 −1 1 1 0 1 1 0 −1 0 0 0 Ví d 2 Gi i phương trình 1 x x−1 x+2 0 0 x2 − 1 0 =0 x 1 x x−2 0 0 x5 + 1 x100 Gi i : (Khai tri n theo dòng 2 ) 1 x x+2 5 2 VT = (−1) (x − 1) x 1 x − 2 0 0 x100 (Khai tri n theo dòng 3) 1 x = (1 − x2 ).x100 = (1 − x2 )2 .x100 x 1 V y phương trình đã cho tương đương v i (1 − x2 )2 .x100 = 0 ⇐⇒ x = 0, x = ±1 Bài T p 1. Tính α β γ β γ α trong đó α, β, γ, là các nghi m c a phương trình :x3 + px + q = 0 γ α β 2. Gi i phương trình : 1 x x 2 x3 1 2 4 8 =0 1 3 9 27 1 4 16 64 3. Ch ng minh : a1 + b 1 b 1 + c 1 c 1 + a1 a2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 =0 a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 4. Ch ng minh : a2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 =0 c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 7