Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

938
lượt xem 679
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang " Trong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, đại số tuyến tính là môn cơ bản là môn bắc buộc đối với các thí sinh thi vào sau đại học vào cách ngành toán, cụ thể là chuyên ngành đại số, hình học, giải tích. Các bài viết nhằm cung cấp cho bạn đọc một cách hệ thống và chọn lọc những kiến thức và kỹ năng cơ bản với mục đích giúp người đọc chủ động và tích cực hơn trong...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi cao hoc đại số tuyến tính bài 3 - PGS TS Vinh Quang

Đ IS TUY N TÍNH Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS. TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 11 năm 2004 Bài 3 : Gi i Bài T p Đ nh Th c 1. Tính α β γ β γ α trong đó α, β, γ là các nghi m c a phương trình :x3 + px + q = 0 γ α β Gi i : Theo đ nh lí Viet ta có α + β + γ = 0 C ng c t (1), c t (2) vào c t (3) ta có: α β γ α β α+β+γ α β 0 β γ α = β γ α+β+γ = β γ 0 =0 γ α β γ α α+β+γ γ α 0 2. Gi i phương trình 1 x x2 x 3 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 Gi i : 1
Khai tri n đ nh th c v trái theo dòng đ u, ta s có v trái là m t đa th c b c 3 c a x, kí hi u là f (x). Ta có f (2) = 0 vì khi đó đ nh th c v trái có 2 dòng đ u b ng nhau. Tương t f (3) = 0, f (4) = 0. Vì f (x) là đa th c b c 3, có 3 nghi m là 2, 3, 4 nên phương trình trên có nghi m là 2, 3, 4. 3. Ch ng minh a1 + b 1 b 1 + c 1 c 1 + a1 a2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 =0 a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3 Gi i : Nhân c t (2) v i (-1), c t (3) v i 1 r i c ng vào c t (1), ta có: 2a1 b1 + c1 c1 + a1 a1 b 1 + c 1 c 1 + a1 VT = 2a2 b2 + c2 c2 + a2 = 2 a2 b 2 + c 2 c 2 + a2 2a3 b3 + c3 c3 + a3 a3 b 3 + c 3 c 3 + a3 a1 b 1 + c 1 c 1 a1 b 1 c1 (1) (2) = 2 a2 b 2 + c 2 c 2 = 2 a2 b 2 c2 a3 b 3 + c 3 c 3 a3 b 3 c3 Gi i thích: (1) : nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (3) (2) : nhân c t (3) v i (-1) c ng vào c t (2) 4. Ch ng minh a2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 =0 c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 Gi i : a2 (a + 1)2 2a + 3 6a + 9 (1) b2 (b + 1)2 2b + 3 6b + 9 (2) VT = =0 c2 (c + 1)2 2c + 3 6c + 9 d2 (d + 1)2 2d + 3 6d + 9 Gi i thích: (1) : Nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (4), nhân c t (2) v i (-1) c ng vào c t (3) (2) : Đ nh th c có 2 c t t l 2
5. Tính đ nh th c 1 + a1 a2 a3 ... an a1 1 + a2 a3 ... an a1 a2 1 + a3 ... an . . . . . . .. . . . . . . . a1 a2 a3 . . . 1 + an Gi i : 1 + a1 + . . . + an a2 a3 ... an 1 + a1 + . . . + an 1 + a2 a3 ... an (1) VT = 1 + a1 + . . . + an a2 1 + a3 ... an . . . . . . .. . . . . . . . 1 + a1 + . . . an a2 a3 . . . 1 + an 1 + a1 + . . . + an a2 a3 . . . an 0 1 0 ... 0 (2) = 0 0 1 . . . 0 = 1 + a1 + . . . + an . . . . .. . . . . . . . .. 0 0 0 ... 1 Gi i thích: (1): C ng các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1) (2): Nhân dòng (1) v i (-1) r i c ng vào các dòng (2), (3), . . . , (n) 6. Tính đ nh th c 0 1 1 ... 1 1 0 x ... x 1 x 0 ... x . . . . . . .. . . . . . . . 1 x x ... 0 Gi i : V ix=0 n−1 0 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 −x 0 . . . 0 x (1) (2) 0 −x 0 . . . 0 V T = 1 0 −x . . . 0 = 0 0 −x . . . 0 . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . 1 0 0 . . . −x 0 0 0 . . . −x 3
n−1 = (−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2) x Gi i thích: (1): Nhân dòng (1) v i (-x) c ng vào dòng (2), (3), . . . , (n) 1 (2): Nhân c t (2), (3), . . . , (n) v i r i c ng t t c vào c t (1) x D th y khi x = 0, đáp s trên v n đúng do tính liên t c c a đ nh th c. 7. Tính đ nh th c 5 3 0 0 ... 0 0 2 5 3 0 ... 0 0 0 2 5 3 ... 0 0 Dn = . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . 0 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 0 ... 2 5 Gi i : Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u ta có : 2 3 0 ... 0 0 0 5 3 ... 0 0 0 2 5 ... 0 0 Dn = 5Dn−1 − 3 . . . . . . .. . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 5 3 0 0 0 ... 2 5 Ti p t c khai tri n đ nh th c theo c t (1) ta có công th c truy h i : Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (*) (n ≥ 3) T (*) ta có : Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) Do công th c đúng v i m i n ≥ 3 nên ta có: Dn −2Dn−1 = 3(Dn−1 −2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 −2Dn−3 ) = . . . = 3n−2 (D2 −2D1 ) Tính toán tr c ti p ta có D2 = 19, D1 = 5 nên D2 − 2D1 = 9. B i v y ta có: Dn − 2Dn−1 = 3n (1) M t khác, cũng t công th c (*) ta có: Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 ) 4
Tương t như trên ta có: Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = . . . = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n V y ta có: Dn − 3Dn−1 = 2n (2) Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta có: Dn = 3n+1 − 2n+1 (B n đ c có th so sánh cách gi i bài này v i cách gi i ví d 4) 8. Tính đ nh th c a1 x ... x x a2 ... x D= . . . . ... . . . . . x x . . . an Gi i : Đ nh th c này có th tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c. Trư c h t ta vi t đ nh th c dư i d ng: a1 − x + x 0+x ... 0+x 0+x a2 − x + x . . . 0+x D= . . . . .. . . . . . . 0+x 0+x . . . an − x + x (1) (2) (1) (2) (1) (2) L n lư t tách các c t c a đ nh th c, sau n l n tách ta có đ nh th c D b ng t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t lo i (1) ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u D. Chia 2n đ nh th c này thành 3 d ng như sau: D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t lo i (2) b ng nhau nên t t c các đ nh th c d ng này đ u b ng 0. D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t khác là lo i (1). 5
Gi s c t i là lo i (2). Ta có đ nh th c đó là: a1 − x 0 ... x ... 0 0 a2 − x ... x ... 0 Di = . . . . .. . .. . . . . . . . . . 0 0 . . . x . . . an − x ↑ c ti n x (ak − x) (1) k=1 = x(a1 − x) . . . (ai−1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x) = ai − x ((1) khai tri n đ nh th c theo c t i) Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t c các đ nh th c d ng 2 là: 1 1 x(a1 − x) . . . (an − x) + ... + a1 − x an − x D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t đ u là lo i (1). Và do đó có đúng 1 đ nh th c d ng (3) là: a1 − x 0 ... 0 0 a2 − x ... 0 . . . . .. . . = (a1 − x) . . . (an − x) . . . . 0 0 . . . an − x V y D b ng t ng c a t t c các đ nh th c c a 3 d ng trên và b ng: 1 1 1 x(a1 − x) . . . (an − x) + + ... + x a1 − x an − x 9. Tính a1 + b 1 a1 + b 2 . . . a 1 + bn a2 + b 1 a2 + b 2 . . . a 2 + bn . . . . ... . . =0 . . . an + b 1 an + b 3 . . . an + bn Gi i : 6
Đ nh th c này có th đư c tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng các đ nh th c v i cách gi i tương t như bài 8. Chi ti t c a cách gi i này xin dành cho b n đ c. đây chúng tôi đưa ra m t cách tính n a d a vào phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c. V i n ≥ 2 ta có:      a1 1 0 . . . 0 1 1 ... 1 a1 + b1 a1 + b2 . . . a1 + bn  a2 + b1 a2 + b2 . . . a2 + bn   a2 1 0 . . . 0   b1 b2 . . . bn       a3 1 0 . . . 0   0 0 . . . 0  A= =  . . . . .. . .   . . . .   . . . .. .   . . .. . . . .  . . .  .  . . . .   . . . . . an + b1 an + b3 . . . an + bn an 1 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y, ta có: 0 n u n>2 D = detA = det(BC) = detB.detC = (a1 − a2 )(b2 − a1 ) n u n = 2 10. Tính cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn ) cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn ) . . . . ... . . . . . cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn ) Đ tính đ nh th c này ta dùng phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c. V i n ≥ 2 ta có:   cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn )  cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn )  A=   . . . . .. . .   . . . .  cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn )    cos α1 sin α1 0 . . . 0 cos β1 cos β2 . . . cos βn  cos α2 sin α2 0 . . . 0   sin β1 sin β2 . . . sin βn     =  cos α3 sin α3 0 . . . 0   0 0 ... 0      . . . . . .. .   . . .  . . . .. . .   . . . . . . . . .  cos αn sin αn 0 . . . 0 0 0 ... 0 B C B i v y ta có: 0 n u n>2 D = detA = det(BC) = detB.detC = sin(α2 − α1 ). sin(β2 − α1 ) n u n = 2 7
11. Tính đ nh th c c p 2n a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b (1) 0 a ... 0 0 0 0 ... b 0 (2) . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ... a 0 0 b ... 0 0 (n − 1) 0 0 ... 0 a b 0 ... 0 0 (n) D2n = 0 0 ... 0 b a 0 ... 0 0 (n + 1) 0 0 ... b 0 0 a ... 0 0 (n + 2) . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 0 b ... 0 0 0 0 ... a 0 (2n − 1) b 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a (2n) 2n×2n Gi i : Xét khi a = 0 b - Nhân dòng (1) v i − c ng vào dòng (2n) a b - Nhân dòng (2) v i − c ng vào dòng (2n-1) a ..................................................................... b - Nhân dòng (n) v i − c ng vào dòng (n+1) a Ta có : a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b 0 a ... 0 0 0 0 ... b 0 . . . .. . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . 0 0 ... a 0 0 b ... 0 0 0 0 ... 0 a b 0 ... 0 0 a − b2 2 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 D2n = a 2 2 = (a2 −b2 )n a −b 0 0 ... b 0 0 ... 0 0 a . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a − b2 2 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a a − b2 2 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a Khi a = 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên v n đúng. V y ta có: D2n = (a2 − b2 )n 8
Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng (1), sau đó khai tri n các đ nh th c c p (2n − 1) v a nh n đư c theo dòng (2n − 1). Ta s có công th c truy h i: D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) Do công th c trên đúng v i m i n ≥ 2 nên : D2n = (a2 −b2 )D2(n−1) = (a2 −b2 )2 D2(n−2) = . . . = (a2 −b2 )n−1 D2 = (a2 −b2 )n (Chi ti t c a cách làm này xin dành cho b n đ c). 12. Tính đ nh th c c p 2n . . (1) a1 0 ... 0 . b1 0 ... 0 . (2) 0 a2 . . . 0 . . 0 b2 ... 0 . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . (n) 0 0 . . . an 0 0 . . . . bn D2n = ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . d1 0 c1 0 . . . 0 . ... 0 (n + 1) . . (n + 2) 0 c2 . . . 0 . 0 d2 ... 0 . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . 0 0 . . . cn . . 0 0 . . . dn (2n) Xét khi a1 , a2 , . . . , an đ u khác 0 : c1 - Nhân dòng (1) v i − r i c ng vào dòng (n + 1) a1 c2 - Nhân dòng (2) v i − r i c ng vào dòng (n + 2) a2 ............................................................................. cn - Nhân dòng (n) v i − r i c ng vào dòng (2n) an 9
Ta có : . . a1 0 ... 0 . b1 0 ... 0 . . 0 a2 . . . 0 . 0 b2 ... 0 . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . an 0 . 0 ... bn ... ... ... ... ... ... ... ... ... D2n = . a1 d1 − b1 c1 0 0 ... 0 . . 0 ... 0 a1 . . a2 d2 − b2 c2 0 0 ... 0 . 0 ... 0 a2 . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . an dn − bn cn 0 0 ... 0 . 0 0 ... an n = (a1 d1 − b1 c1 ) . . . (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci ) i=1 Khi các a1 , a2 , . . . , an b ng 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên v n đúng. V y ta có : n D2n = (ai di − bi ci ) i=1 Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng th n, sau đó khai tri n các đ nh th c c p 2n − 1 v a nh n đư c theo dòng (2n − 1) ta s có công th c truy h i: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ 2 Do đó, ta có: D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2) = . . . = (an dn − bn cn ) . . . (a2 d2 − b2 c2 )D1 n = (ai di − bi ci ) i=1 (Chi ti t c a cách này xin dành cho b n đ c) 1 1 Ngư i đánh máy : Nguy n Ng c Quyên 10