intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn thi: Hệ phương trình mũ và lôgarit

Chia sẻ: Dinh Trang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
81
lượt xem 20
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp biến đổi tương đương: Đặt điề kiện cho các biểu thức trong có hệ nghĩa. dùng các phép biến đổi để nhận được một phương trình ẩn..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi: Hệ phương trình mũ và lôgarit

  1. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit HÖ ph−¬ng tr×nh mò vµ l«garit A. Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p: B−íc 1: §Æt ®iÒu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa. B−íc 2: Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó nhËn ®−îc mét ph−¬ng tr×nh mét Èn. B−íc 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh mét Èn nhËn ®−îc tõ hÖ. B−íc 4: KÕt luËn. Bµi tËp: Gi¶i c¸c hÖ sau: 1. Bµi 1. x + y = 2   (1) ( y + 1) x + x + 2 = 1 2  Gi¶i. §iÒu kiÖn y > −1. x + y = 2   y + 1 = 1 x + y = 2 x = 2 (1) ⇔  ⇔ ⇔ y +1 > 0 y = 0 y = 0  2  x + x + 2 = 0  2. Bµi 2.  x x + x − 2 = x − 2( x − x − 2 ) (1)  x x+ y = y x− y   ( § K : x , y > 0) ⇔  2  y = x −2 x y = 1   ( 2) x = 1 x = 1 x = 1 (1) ⇔  ⇔ ⇔ −2 −2  x = −1 (lo¹i ) 3  x + x = −2( x − x ) 3 + 3x = 0   Thay x = 1 vµo (2) ta cã cÆp nghiÖm (1,1). 3. Bµi 3. 2 x + 2 y = 3 2 x + 21− x = 3 2 2 x − 3.2 x + 2 = 0    ⇔ ⇔  x + y = 1 y = 1 − x y = 1 − x    1 www.mathvn.com
  2. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit  x = 0 2 x = 1  y =1   x ⇔ 2 = 2 ⇔    x = 1   y =1 − x   y = 0  4. Bµi 4.  2( 4 − 2 x + 4 − 2 y ) = 1   x + y = 1  5. Bµi 5. x 9 x+ y = y 9 x− y  2 (1) x y = 1  §iÒu kiÖn: x, y > 0.  x 9 x + x −2 = x −2(9 x − x −2 ) x 9 x+ y = y 9 x− y   (2) (1) ⇔  ⇔  y = x −2  y = x −2   (3) x = 1 x = 1 ( 2) ⇔  ⇔ . 9 x + x − 2 = −2(9 x − x − 2 ) x = 1/ 3    Thay vµo (3) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1,1); (1/3,9). 6. Bµi 6. log (2 x .3 y ) = log 12 2 x .3 y = 12  x + y log 2 3 = 2 + log 2 3   ⇔ 2 2 ⇔ x y  x. log 2 3 + y = 1 + 2 log 2 3 log 2 (3 x .2 y ) = log 2 18 3 .2 = 18   Gi¶i hÖ trªn b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta cã cÆp nghiªm: (2,1). 7. Bµi 7 (HVNH 99). 2 x + y = 2  2 x ( 2 x − 2) = 2 2 x = 1 + 3 x + y = 1     ⇔ ⇔ ⇔ x 2 − 2 y = 2 2 x − 2 y = 2 2 y = 2 x − 2 2 y = −1 + 3      x = log 2 (1 + 3 )  ⇔  y = log 2 (−1 + 3 )  2 www.mathvn.com
  3. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 8. Bµi 8 (§HSP II 98). 2 3 x +1 + 2 y −2 = 3.2 y +3 x (1)    3 x 2 + 1 + xy = x + 1 ( 2)  x = 0 x + 1 ≥ 0  x ≥ −1   ( 2) ⇔  2 ⇔ ⇔  x ≥ −1 3x + 1 + xy = x + 1  x(3x + y − 1) = 0  y = 1 − 3 x   8 Víi x = 0 thay vµo (1) ta cã cÆp nghiÖm: (0, log 2 ) 11  x ≥ −1 Víi  , thay vµo (1) ta cã: y = 1 − 3x  2 3 x +1 + 2 −1−3 x = 3.2 (1−3 x )+31 1 Gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: ( [log 2 (3 + 8 ) − 1, 2 − log 2 (3 + 8 )) 3 9. Bµi 9 (§HKTQD 99).  x 5( y − ) x y+4 x = y 3 (1)   x 3 = y −1  ( 2) §iÒu kiÖn: x, y > 0. Tõ (2) ta cã: y = x− 3, thÕ vµo (1) ta ®−îc: x = 1 x −15( x −3 − ) x = 1 x −3 + 4 x 3 ⇔ =x x ⇔ x  x −3 + 4 x = −15( x −3 − ) x = 2  3 Thay vµo (2) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 1) vµ (2, 1/8). 10.Bµi 10 (§HQG 95). 2 x − 2 y = ( x − y )( xy + 2) (1)  2 x + y 2 = 2  ( 2) Th¸y (2) vµo (1) ta ®−îc: 2 x − 2 y = ( x − y )( x 2 + y 2 + xy) ⇔ 2 x − 2 y = x 3 − y 3 ⇔ 2 x − x 3 = 2 y − y 3 Nh©n xÐt: x = y tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh trªn. NÕu x > y cã: 2 x + x 3 > 2 y + y 3 3 www.mathvn.com
  4. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit NÕu x < y cã: 2 x + x 3 < 2 y + y 3 Nh− vËy, tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã x = y. x = y = 1 Thay vµo (2) ta cã   x = y = −1 11.Bµi 11.  x 2 + y 2 = 17  x 2 + y 2 = 17 x 2 + y 2 = 17    ⇔ ⇔  log 2 x + log 2 y = 2 log 2 ( x. y ) = 2 =4  xy    Gi¶i ra ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm (1, 4); (4, 1). 12.Bµi 12. x 2 = y 4   (1) x log 2 = log y x   y §iÒu kiÖn: x > 0, 0 < y ≠ 1. log x 2 = log y 4 log 2 x = 2 log 2 y 2 2  (1) ⇔  log 2 x ⇔  2 log 2 y 2 log 2 y − log 2 y = log y log 2 x − log 2 y =  log 2 y  2   x =1  log 2 x = 2 log 2 y    log 2 x = 2 log 2 y  y =1   ⇔ ⇔ ⇔   y =1   x = 16  log 2 y − 2 log 2 y = 0     y=4  2  y =4  13.Bµi 13. 4 x 2 − y 2 = 2   (1) log 2 (2 x + y ) − log 2 (2 x − y ) = 1  §iÒu kiÖn: 2x+y > 0, 2x − y > 0. log (2 x + y ) + log 2 (2 x − y ) = 1 (1) ⇔  2 log 2 (2 x + y ) − log 2 (2 x − y ) = 1 2. log 2 (2 x + y ) = 2 2 x + y = 2 x = 3 / 4 ⇔ ⇔ ⇔ 2. log 2 (2 x − y ) = 0 2 x − y = 1 y = 1/ 2 4 www.mathvn.com
  5. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 14.Bµi 14 (§HM§C 99). log ( x 2 + y 2 ) − log (2 x) + 1 = log ( x + 3 y ) 4 4 4  (1) x log 4 ( xy + 1) − log 4 (4 y 2 + 2 y − 2 x + 4) = log 4 − 1   y §iÒu kiÖn: x > 0  x + 3 y > 0   xy + 1 > 0 (*) 2 4 y + 2 y − 2 x + 4 > 0 y > 0    4( x 2 + y 2 ) 4( x 2 + y 2 ) = log 4 ( x + 3 y ) = x + 3y log 4    2x 2x (1) ⇔  ⇔ xy + 1 xy + 1 x x log 4  = log 4 =  4 y 2 + 2 y − 2x + 4 4 y 4 y 2 + 2 y − 2x + 4 4y   x = y x = y  x 2 − 3xy + 2 y 2 = 0 ( x − y )( x − 2 y ) = 0    ⇔ ⇔ ⇔  x = 2 y ⇔  x = 2 ( x − y )( x − 2) = 0  x = 2  y = 1  x 2 − 2 xy + 4 y − 4 x = 0    KiÓm tra l¹i ®iÒu kiÖn (*) ta cã nghiÖm: x = y ∈ R   x = 2   y = 1  15.Bµi 15 (§HQG Khèi −D 95).  x+ y yx = 32 4 (1) log ( x − y ) = 1 − log ( x + y ) 3 3 x − y > 0  x + y > 0 §iÒu kiÖn:  xy ≠ 0  5 www.mathvn.com
  6. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit x y x y  2( y + x ) = 5  2( + ) = 5 ( x − 2 y )(2 y − x) = 0  (1) ⇔  ⇔ y x ⇔ 2 x − y 2 = 3 log ( x 2 − y 2 ) = 1  2  2 x − y = 3 3  x = 2 y   2 3 y = 3 x = 2  ⇔ ⇔ (do (*)) y = 1  y = 2 x  (V« nghiÖm)   − 3 y 2 = 3  16.Bµi 16 (§HBK 94).  x + log 3 y = 3   (1) (2 y 2 − y + 12).3 x = 81y  §iÒu kiÖn: y > 0.  x = − log3 y + 3 x = − log3 y + 3   (1) ⇔  ⇔ (2 y 2 − y + 12).27. y −1 = 81y  y 2 + y − 12 = 0    x = − log 3 y + 3 x = 2  ⇔  y = 3 ⇔ y = 3  y = −4 < 0 (lo¹i )  17.Bµi 17 (§HTL 2000).  3x  x. log 2 3 + log 2 y = y + log 2 2   (1)  x. log 2 + log x = y + log 2 y  3 3 3  3 §iÒu kiÖn: x, y > 0.  x 3x y  y.3 = 2 .2 2 y.3 x = 3x.2 y 2 y.3 x = 3x.2 y    (1) ⇔  ⇔ ⇔ 3 x − y = 2 y − x  x.2 x = 2 y .3 y 2 y.3 y = 3x.2 x     3 6 www.mathvn.com
  7. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit  3  x 3 2 y.3 x = 3x.2 y x = 1 =   ⇔  2  ⇔ 2⇔  y =1 6 x − y = 1   x = y 18.Bµi 18 (§HTCKT 2000).  x log8 y + y log8 x = 4   (1) log 4 x − log 4 y = 1  §iÒu kiÖn: x, y > 0.  x log8 y + y log8 x = 4  x log8 y + y log8 x = 4   (1) ⇔  ⇔ x log 4 = 1 x = 4 y   y 1 x = 2 3  x log8 x = 2  log 2 x = log x 2   ⇔ ⇔ 3 ⇔ x = 4 y  y = 2 3 −2 x = 4 y    ( do x = 1 kh«ng lµ nghiÖm) 19.Bµi 19. x 1 − x x x  1 −1  x 2 = x 9  y= =9 2y x 3 x = 3 y 3    y ⇔  1− x ⇔ ⇔   3 y = 2 x − 5  3 y = 2 x − 5  3 x = 2 (1 − x ) − 5  x+3 y 2x  x = y −4  x 1 − x x    y y x  20.Bµi 20 (§HXD 94). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:  x+2 y=a  2 y=a− x  2 y=a− x  2 y=a− x (1) ⇔ x ⇔ x ⇔ x x a− x a −x  2 + 4 =1  2 + 2 =1  2 + 2 =1  2 + 2 2 =1 ( 2 ) y 2y §Æt t = 2 x , t > 0 thay vµo (2) ta cã: t 2 − t + 2 a = 0 (3) ∆ =1− 4.2 a . NÕu ∆ < 0 ⇔1− 4.2 a < 0 ⇔ a > −2 : Ph−¬ng tr×nh(3) v« nghiªm ⇔ hÖ v« nghiÖm. 7 www.mathvn.com
  8. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit NÕu ∆ = 0 ⇔1− 4.2 a = 0 ⇔ a = −2 : Ph−¬ng tr×nh (3) cã nghiÖm t = 1/2, suy ra x = −1, y= −1/2. NÕu ∆ > 0 ⇔1− 4.2 a > 0 ⇔ a > −2 : Ph−¬ng tr×nh (3) cã 2 nghiÖm:  1 − 1 − 4. 2 a   1− 1− 4.2 1 − 1 − 4. 2 a a t= =  x = log 2 2 x  ⇒ ⇔ 2 2 2    1+ 1− 4.2 1+ 1− 4.2  x = log 1+ 1− 4.2 a a a t= 2 x =    2    2 2 2 Thay vµo (1) ta tÝnh ®−îc y. 21.Bµi 21 (§HM§C 2000). Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:  x + y + a =1  y =1 − a − x   ⇔  a 2 x + y − xy 2 2 ( x +1− a − x − x ( 1− a − x )) 1− a =2 2 =2  2 .4    y = 1− a − x (1)  ⇔  2 ( x +1− a − x − x ( 1− a − x )) = 1− a 2  (2) 22.Bµi 22 (§Ò 135). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: 1  2 log 3 x − log 3 y = 0 2  (1)  x + y − my = 0 3 2  a) Gi¶i hÖ víi m = 2. b) T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm. x ≠ 0 §iÒu kiÖn:  (*) y > 0  log 3 x = log 3 y  x =y (2)   (1) ⇔  3 ⇔  x + y − my = 0  f ( y ) = y + y − m = 0 ( do (*)) ( 3 ) 2 2   a) Víi m = 2, gi¶i ra ta cã c¸c cÆp nghiÖm (1, 1); (−1, 1). b) (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm y > 0. Do (3) cã −b/a= −1 nªn (3) cã nghiÖm d−¬ng khi vµ chØ khi f(0) < 0 ⇔ −m < 0 ⇔ m > 0. 8 www.mathvn.com
  9. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 23.Bµi 23. log x (3x + ky) = 2  (1) log y (3 y + kx) = 2 §iÒu kiÖn:0 0, 3y + kx > 0 (*). 3x + ky = x 2 3x + ky = x 2   (1) ⇔  ⇔ ( x − y )(3 − k − x − y ) = 0 3y + kx = y 2   3x + ky = x 2   3x + ky = x 2 ( 2) x = y   ⇔  x = y ⇔ 3x + ky = x 2   y =3−k − x   y = 3 − k − x (3)   a) Víi k = 2.  x = 5  x 2 − 5x = 0 (2) ⇔  ⇔ y = 5 x = y   x = −1 x 2 − x − 2 = 0   ⇔  x = 2 (lo¹i) (3) ⇔   y =1 − y y =1 − x   b) BiÖn luËn:  x = 0 (lo¹i ) x = 3 + k  x( x − 3 − k ) = 0  ⇔  x = 3 + k ⇔ (2) ⇔   x = y x = y x = y  lµ nghiÖm cña hÖ khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay 0 < 3+k ≠ 1⇔ −3 < k ≠ −2.   x 2 + (k − 3) x + (k − 3)k = 0 ( 4) (3) ⇔  y = 3 − k − x  (5) XÐt ph−¬ng tr×nh (4) f ( x) = x 2 + (k − 3) x + k (k − 3) = 0 cã: ’ = −3(k − 3)(k + 1). ’< 0 ⇔ k > 3 ho¨c k < −1: (4) v« nghiÖm ⇔ (3) v« nghiÖm. + NÕu ’= 0 ⇔ k = 3 ho¨c k = −1: + NÕu + k = 3: (4) cã nghiÖm x = 0 kh«ng tho¶ m·n (*) ⇔ (3) v« nghiÖm. + k = −1: (4) cã nghiÖm x = 2, thay vµo (5) cã y = 2 ⇔ (2,2) lµ nghiÖm cña (3). 9 www.mathvn.com
  10. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit ’> 0 ⇔ −1 < k < 3 (**): (4) cã 2: + NÕu  3 − k + − 3(k − 3)(k + 1)  x = x1 = 2   3 − k − − 3(k − 3)(k + 1)  x = x2 =  2 Víi x = x1, thay vµo (5) ta cã y1 = x2. Víi x = x2, thay vµo (5) ta cã y1 = x1. Do ®ã, (3) cã nghiÖm tho¶ m·n 0 < x, y ≠ 1 khi vµ chØ khi:  x1 x 2 > 0 k (k − 3) > 0 k < 0   x1 + x 2 > 0 ⇔ 3 − k > 0 ⇔  k ≠ 1 − 3  f (1) ≠ 0 1 − 3 + k + k (k − 3) ≠ 0   − 1 < k < 0 KÕt hîp (**) ta cã  k ≠ 1 − 3 KÕt luËn: + Víi k ≤ −3 hoÆc k = −2 hÖ v« nghiÖm. + Víi k ∈ (−3,−1] ∪ {1 − 3} ∪ [0,+∞) \ {−2} hÖ cã nghiÖm x=y=3+k. + Víi k ∈ (−1,0) \ {1 − 3} hÖ cã 3 nghiÖm:  x = 3 + k  x = x1 x = x2 vµ   ;  y = 3 + k  y = x2  y = x1 10 www.mathvn.com
  11. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit B. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô I. Ph−¬ng ph¸p: B−íc 1: §Æt ®iÖu kiÖn cho c¸c biÓu thøc trong hÖ cã nghÜa. B−íc 2: Lùa chän Èn phô ®Ó biÕn ®æi hÖ ban ®Çu vÒ hÖ ®¹i sè ®· biÕt (hÖ ®èi xøng, hÖ ®¼ng cÊp, ...). B−íc 3: Gi¶i hÖ. B−íc 4: KÕt luËn. II. Bµi tËp. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: 24.Bµi 24.  3 2 x + 2 + 2 2 y + 2 = 17   (1)  2.3 x +1 + 3.2 y = 8  u = 3 x  , u , v > 0 ( 2 ) ,thay vµo (1) ta cã: §Æt:  v = 2 y   u = 1/ 3  x = −1  9 u 2 + 4 v 2 = 17 ⇒ , gi¶i ra ta ®−îc:   v=2  y =1 6u + 3v = 8  25.Bµi 25.  2 2 x +1 − 3.2 x = y 2 − 2  2 2x 2 y −3 y =2 −2  x §Æt u = 2 , u ≥ 1 , thay vµo hÖ ta cã:  2 u 2 − 3u = y 2 − 2  , gi¶i ra ta ®−îc y = u = 2, suy ra hÖ cã c¸c cÆp  2 y 2 −3 y =u 2 − 2  nghiÖm: (0, 1); (1, 2); (−1, 2). 26.Bµi 26.  4 2 x 2 − 2 − 2 2 x 2 + y + 4 y = 1  4 2 ( x 2 −1 ) − 4.4 x 2 −1 .2 y + 2 2 y = 1   ⇔  (1) 2 x2 +y x 2 −1 y 2 y+2 2  2 − 3.4 − 3.2 = 16 .2 = 4 2y   11 www.mathvn.com
  12. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit  x 2 −1 u = 4 u , v > 0 (*) , thay vµo (1) ta cã: §Æt:  , v = 2 y  2  u 2 − 4 uv + v 2 = 1  ( v − 4 ) − 12 v ( v − 4 ) + 9 v − 9 v = 0 2 2 2 4 2  ⇔ 2 v −4 2  v − 3 uv = 4 u =   3v  2 v − 31 v − 16 = 0  v 2 = 16 4 2 v = 4   ⇔ ⇔ ⇔ v −4 v −4 2 2  u =1 u = u =   3v 3v Thay vµo (*) ta ®−îc c¸c cÆp nghiÖm: (1, 2); (−1, 2). 27.Bµi 27.  9 log 2 ( xy ) − 3 = 2 ( xy ) log 2 3  (1)   ( x + 1 ) 2 + ( y +1 ) 2 = 1  (2) §iÒu kiªn: xy > 0. §Æt: log 2 ( xy ) = t ⇒ xy = 2 t , thay vµo (1) ta cã: 9 − 3 = 2.( 2 ) ⇔3 − 2.3 − 3 = 0 ⇔ 3 = 3 ⇔ t = 1 ⇒ xy = 2 (3) log 2 3 t t 2t t t ( 2 ) ⇔ ( x + y ) + 2 ( x + y ) − 2 xy +1 = 0 ⇔ ( x + y ) + 2 ( x + y ) − 3 = 0 2 2  x + y =1 ⇔ (4)  x + y = −3 KÕt hîp (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm: 1, 2); (2, 1). 28.Bµi 28.  4 log 3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log 3 2  (1) 2  x + y 2 −3 x −3 y = 2  (2) §iÒu kiªn: xy > 0. §Æt: log 3 ( xy ) = t ⇒ xy = 3 , thay vµo (1) ta cã: t 4 = 2+ (3 ) ⇔2 − 2 − 2 = 0 ⇔ 2 = 2 ⇔ t = 1 ⇒ xy = 3 ( 3 ) log 3 2 t t 2t t t ( 2 ) ⇔ ( x + y ) − 3 ( x + y ) − 2 xy −12 = 0 ⇔ ( x + y ) − 3 ( x + y ) −18 = 0 2 2  x+ y =6 ⇔ (4)  x + y = −3 Tõ (3) vµ (4) ta cã c¸c cÆp nghiÖm ( 3 + 6 , 3 − 6 ) , ( 3 − 6 , 3 + 6 ) . 12 www.mathvn.com
  13. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 29.Bµi 29. 3 x − 2 y 2 = 7  x 2 y 2 3 − 2 2 =7 30.Bµi 30.  9 2 cot gx + sin y = 3  9 2 cot gx .9 sin y = 3   ⇔  sin y (1) 9 = 2 9 − 81 −9 =2 cot gx sin y 2 cot gx    u = 9 2 cot gx  , u , v > 0 , thay vµo (1) ta cã: §Æt:   v = 9 sin y  u .v = 3  u ( u + 2 ) = 3  u = 1  cot gx = 0 ⇔ ⇔ ⇒  v −u = 2 v =u + 2  v = 3  sin y = 1/ 2 31.Bµi 21 (§HDL TL 98).  x + 2 lg y = 3  x + 2 lg y = 3  ( 1 ) ®iÒu kiÖn:x ≥ 0, y > 0. ⇔  x − 6 lg y = 1  x − 3 lg y = 1 2   §Æt Èn phô, gi¶i ra ta ®−îc cÆp nghiÖm: ( 4 , 10 ) . 32.Bµi 32 (§HNN I 98).  3 lg x = 4 lg y   (1) ( 4 x) =(3 y ) lg 4 lg y  §iÒu kiÖn: x, y > 0.  lg x .lg 3 − lg y .lg 4 = 0  lg( 3 lg x ) = lg( 4 lg y )  (1) ⇔  ⇔ (2) lg x .lg 4 − lg y .lg 3 = lg 3 − lg 4 2 2  lg( 4 x ) lg 4 = lg( 3 y ) lg 3    u = lg x §Æt:  , thay vµo (2) ta cã:  v = lg y  u .lg 3 − v .lg 4 = 0 .   u .lg 4 − v .lg 3 = lg 3 − lg 4 2 2 Gi¶i ra b»ng ph−¬ng ph¸p ®Þnh thøc ta ®−îc:  u = − lg 4  x = 1/ 4 ⇒   v = − lg 3  y = 1/ 3 13 www.mathvn.com
  14. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 33.Bµi 33 (§HQG TPHCM 97).  log 1+ x ( 1 − 2 y + y 2 ) + log 1− y ( 1 + 2 x + x 2 ) = 4  (1)   log 1+ x ( 1 + 2 y ) + log 1− y ( 1 + 2 x ) = 2 (2)  §iÒu kiÖn:x > −1/2, x ≠ 0, −1/2 < y < 1, y ≠ 0. 1 ( 1 ) ⇔ log 1+ x ( 1 − y ) + log 1− y ( 1 + x ) = 2 ⇔ log 1+ x ( 1 − y ) + =2 log 1+ x ( 1 − y ) ⇔ log 1+ x ( 1 − y ) = 1 ⇔ 1 + x = 1 − y ⇔ x = − y . Thay vµo (2) ta cã: −2 2 log 1+ x ( 1 − 4 x 2 ) = 2 ⇔ 1 − 4 x 2 = ( 1 + x ) 2 ⇔ x = ⇒ y= 5 5 34.Bµi 34 (§HTCKT 2000).  x log 8 y + y log 8 x = 4  (1) log 4 x − log 4 y = 1  §iÒu kiÖn:x, y > 0.  1 log 2 y 1 log 2 x + y3 =4 x3  (1) ⇔  (2)  log x − log y = 1  2 2  2  u = log 2 x  x = 2 u  ⇒ §Æt:  , thay vµo (2) ta cã: v = log 2 y  y = 2 v    1 x= −3   8 u =    2   1 1 1 uv   uv = 3  y = 2 v u   v = −2 ⇒   ( 2 ) + ( 2 ) = 4 2 3 =2 u3 v3    ⇔ ⇔ 1 ⇔  u − v = 1 u − v = 2  u = −2   u − v = 1 1 x=       −3    2 2 2 v=     y = 1 2   8 14 www.mathvn.com
  15. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit 35.Bµi 35 (§Ò 56). Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:  log x ( ax + by ) + log y ( ay + bx ) = 4  (1)  log x ( ax + by ).log y ( ay + bx ) = 4 a) Gi¶i hÖ khi a = 3, b = 5. b) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ khi a, b > 0. §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1, ax + by > 0, ay + bx > 0.  u = log x ( ax + by ) §Æt:  , thay vµo (1) ta cã: v = log y ( ay + bx )   u + v = 4  u = 2  log x ( ax + by ) = 2 ⇔ ⇒  (2)  v = 2  log y ( ay + bx ) = 2 u .v = 4 a) Víi a = 3, b = 5: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1. Tõ (2) ta cã:  log x ( 3 x + 5 y ) = 2  3 x + 5 y = x 2 3 x + 5 y = x 2  ⇔ ⇔  log y ( 3 y + 5 x ) = 2  3 y + 5 x = y 2  ( x − y )( x + y + 2 ) = 0   x= y  2  x −8 x =0  x =8 ⇔ ⇔  y =8 y=−x−2 2 ( VN )   x + 8 x + 10 = 0  b) Víi a, b > 0: §iÒu kiÖn: §iÒu kiÖn: 0 < x, y ≠ 1 (*). Tõ (2) ta cã:  log x ( ax + by ) = 2  ax + by = x 2  ax + by = x 2  ⇔ ⇔   log y ( ay + bx ) = 2  ay + bx = y  ( x − y )( x + y − a + b ) = 0 2    ax + by = x 2  ax + by = x  2 (3) x= y   ⇔ x= y  ax + by = x 2  x+ y −a+b=0   (4) x+ y −a+b=0  15 www.mathvn.com
  16. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit x= y x= y x=a+b  (3) ⇔  2 ⇔  x=a+b ⇔  x − ( a + b ) x = 0   x = 0 ( lo¹i )  y = a + b  NghiÖm cña (3) lµ nghiÖm cña (1) khi vµ chØ khi tho¶ m·n (*), hay a + b ≠1  y =a −b − x (4)⇔  2  x + ( b − a ) x − ab + b = 0 ( 5 ) 2 Do 0 < x, y ≠ 1 nªn a − b > x > 0. Khi ®ã nÕu (5) cã: ∆ = ( b − a ) + 4 ( ab − b ) = ( a + 3 b )( a − b ) > 0 , − ab + b < 0 , nªn (5) cã 2 2 2 hai nghiÖm tr¸i dÊu:  a − b + ( a + 3 b )( a − b )  x1 = >0 2  ⇒ y1 = x 2 < 0 .  a − b − ( a + 3 b )( a − b )  x2 = < 0 ( lo ¹ i )  2 VËy hÖ (4) kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n (*). + Víi a + b = 1 hÖ v« nghiÖm. KÕt luËn: + Víi a + b ≠1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt x = y = a + b. 36.Bµi 36. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 x + m .3 y = 3 m   (1)  m .2 + 3 = 2 m + 1 x y  u = 2  u + mv = 3 m x  , u , v > 0 (*) .Thay vµo (1) ta cã:  §Æt:  ( 2) mu + v = 2 m + 1 v =3  y  D = 1 − m , D u = −2 m + 2 m , D v = −3 m + 2 m + 1 2 2 2 + NÕu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 vµ m ≠ −1: HÖ (2) cã nghiÖm duy nhÊt:  −2m + 2m 2  2m u = u=  1− m m +1 2   ⇔   − 3 m + 2 m +1  v = 3 m +1 2 v =  1+ m  1− m 2  V× ®iÒu kiÖn (*) nªn ®Ó u, v lµ nghiÖm cña (2) ta ph¶i cã: 16 www.mathvn.com
  17. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit   m < −1  2m  m +1 > 0 m>0  m < −1   ⇔ ⇔ . Khi ®ã (1) cã nghiÖm:  3 m +1 m>0  m < −1    1 + m > 0   m > −1/ 3    2m x = log 2  m +1    y = log 3 m + 1  2 1+ m   m =1 + NÕu D = 0 ⇔ 1 − m 2 = 0 ⇔   m = −1 + Víi m = 1: Dx ≠ 0 nªn hÖ (2) v« nghiÖm. + Víi m = −1: D = Du = Dv = 0: Mäi cÆp (u, v) tho¶ m·n u + v = 3 lµ nghiÖm cña (2), suy ra mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1). KÕt luËn:  2m x = log 2   m < −1 m +1  ∗ Víi  , hÖ cã nghiªm duy nhÊt:   y = log 3 m + 1 m>0  2 1+ m  ∗ Víi m = −1: mäi cÆp (x, y) tho¶ m·n x + y = 3 lµ nghiÖm cña (1). ∗ Víi −1 < m < 0: hÖ (1) v« nghiÖm. 37.Bµi 37. Cho hÖ ph−¬ng tr×nh:  m .3 x +1 + 2 y = 2 m   (1)  3 x +1 + m .2 y = m + 1  a) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. (−2≤ m < −1) b) T×m m nguyªn ®Ó nghiÖm duy nhÊt cña hÖ lµ nghiÖm nguyªn. (m = −2) 38.Bµi 38. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 2 x + y .2 x +1 = m .2 x + y  2 2 x + 2 y .2 x = m .2 x + y   ⇔ 2 (1)  y + y .2 x +1 = my + 2 x  y 2 + 2 y .2 x = my + 2 x   §Æt: t = 2 , t > 0 (*). Thay vµo (1) ta cã: x 17 www.mathvn.com
  18. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit  t 2 + 2 yt = mt + y  t 2 + 2 yt = mt + y  ⇔ 2  y + 2 yt = my + t  ( t − y )( t + y − m + 1 ) = 0    t 2 + 2 yt = mt + y  t + 2 yt = mt + y   2 (2) t=y   ⇔ t = y ⇔   t + 2 yt = mt + y 2    y = − t + m −1  (3)   y = − t + m −1  t = y  t = 0 ( lo¹i ) t = y  ⇔  (2)⇔  2   3 t − ( m + 1) t = 0   t = m + 1   3 m +1 m +1 > 0 ⇔ m > −1 , khi ®ã x = log 2 Do t > 0 nªn: 3 3  y = − t + m −1 (3) ⇔  2  t − ( m − 1) t + m − 1 = 0 ( 4 ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh (4): ∆ = ( m − 1 ) − 4 ( m − 1 ) = m − 6 m + 5 = ( m − 1 )( m − 5 ) 2 2 m>5 + NÕu ∆ > 0 ⇔ ( m − 1 )( m − 5 ) > 0 ⇔  , ph−¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiªm  m 0, t2 < 0. Do ®ã hÖ (3) cã nghiÖm duy nhÊt:  m −1+ m 2 − 6 m + 5  m −1 + m − 6 m + 5 2 t =  x = log 2   2 2 ⇒   m −1 − m 2 − 6 m + 5  m −1− m 2 − 6 m + 5 y= y=   2 2 Víi m > 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm t1, t2 tho¶ m·n: 18 www.mathvn.com
  19. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit  t1 + t 2 = m −1> 0  t1 > 0 ⇒ , nªn hÖ (3) cã c¸c cÆp nghiÖm:   t1 .t 2 = m −1> 0 t 2 > 0 t = t1 t = t 2 vµ    y =t2  y = t1 m=5 + NÕu ∆ = 0 ⇔ ( m − 1 )( m − 5 ) = 0 ⇔   m =1 Víi m = 5, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 4 ⇒ y = 4 ⇒ hÖ (3) cã nghiªm duy nhÊt x = log 2 4 = 2 , y = 4 . Víi m = 1, ph−¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm duy nhÊt t = 0 (kh«ng tho¶ m·n (*)) ⇒ hÖ (3) v« nghiÖm. + NÕu ∆ < 0 ⇔ ( m − 1 )( m − 5 ) < 0 ⇔ 1 < m < 5 , ph−¬ng tr×nh (4) v« nghiÖm ⇒ hÖ (3) v« nghiÖm. KÕt luËn:  m −1+ m 2 − 6 m + 5  x = log 2  2 NÕu m ≤ −1, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:   m −1 − m − 6 m + 5 2 y=  2 NÕu −1 < m < 1 hÖ cã 2 nghiÖm: m +1  m −1 + m − 6 m + 5 2  x = log 2  x = log 2    3 2 vµ    y = m +1  m −1− m 2 − 6 m + 5 y=    3  2 m +1  x = log 2   3 NÕu 1 < m < 5, hÖ cã nghiÖm duy nhÊt:   y = m +1   3  x =1 x=2 NÕu m = 5, hÖ cã hai nghiÖm:  vµ   y=2  y=4 19 www.mathvn.com
  20. www.MATHVN.com H phương trình mũ và logarit m +1  x = log 2   3 NÕu m > 5, hÖ ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm:   y = m +1   3   m −1+ m 2 − 6 m + 5 m −1 − m 2 − 6 m + 5  x = log 2  x = log 2   2 2 vµ     m −1 − m − 6 m + 5 m −1+ m − 6 m + 5 2 2 y= y=     2 2 39.Bµi 39. Gi¶i vµ biªn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:  x− y x− y m 2 −m 4 =m 2 −m   x+ y (1) x+ y 3 n −n 6 =n −n 2  XÐt víi m, n > 0. x− y  u = m 4  §Æt:  (*). Thay vµo (1) ta cã: x+ y  v = n 6  u 2 − u = m 2 − m  2 (2) v − v = n 2 − n  XÐt hµm sè: f ( x ) = x 2 − x lµ hµm ®ång biÕn trªn (0, +∞), nªn víi x≠y th× f ( x ) ≠ f ( y ) . Do ®ã u = m (2)⇔  . Thay vµo (*) ta cã: v = n x− y  4 =1  x− y  m =1 x− y x− y  m 4 =m  x + y =1 =1     ⇔ = 1 hoÆc  4 hoÆc  n = 1 hoÆc  6  x− y 6 6  m ≠ 1, n = 1  m = 1, n ≠ 1  x , y ∈R    n =n  m ≠ 1, n ≠ 1    20 www.mathvn.com
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
11=>2