PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

258
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo và tuyển tập chuyên đề ôn thi và đề thi thử đại học môn toán năm 2011 giúp các bạn ôn thi môn toán tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học năm 2011

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

P H ƯƠ NG T R Ì NH , H Ệ P H ƯƠ NG T R Ì NH M Ũ VÀ L Ô G AR I T Dạ n g 1. P h ư ơn g tr ìn h cơ bả n a ) P h ư ơn g tr ìn h mũ cơ bả n có dạng: a x = m , trong đó a > 0, a ¹ 1 và m là số đã cho. · Nếu m £ 0 , thì phương trình a x = m vô nghiệm. · Nếu m > 0 , thì phương trình a x = m có nghiệm duy nhất x = log m . a b) P h ư ơn g tr ìn h lôga r it cơ bả n có dạng: log a x = m , trong đó m là số đã cho. · Phương trình có điều kiện xác định là x > 0 ( a > 0, a ¹ 1 ). · Với mọ i m Î ¡ , phương trình log a x = m có nghiệm duy nhất x = a m . VD1. Giải các phương trình sau: 1. 5 x+1 + 6.5 x - 3.5 x-1 = 52 2. 3x+1 + 3x+ 2 + 3x+3 = 9.5x + 5 x+1 + 5 + 2 x 3. 3x.2 x+1 = 72 2 2 2 4. 4 x - 3 x+ 2 + 4x + 6 x+ 5 = 4 2 x +3 x + 7 + 1 3 3 ö æ Giải: 1) pt Û 5.5x + 6.5x - .5 x = 52 Û ç 5 + 6 - ÷ 5x = 52 5 5 ø è 52 Û .5 x = 52 Û 5 x = 5 Û x = 1 5 2) pt Û ( 3 + 9 + 27 ) 3 x = ( 9 + 5 + 25 ) 5 x x æ 3 ö Û 39.3x = 39.5 x Û ç ÷ = 1 Û x = 0 è 5 ø 3) pt Û 3 .2 .2 = 72 Û 6 x = 36 Û x = 2 xx ( )( ) = 0 2 2 2 4) pt Û 4 x - 3 x+ 2 - 1 + 4x + 6 x+ 5 - 42 x + 3 x 7 + ( ) ( 4 - 1) = 0 2 2 x2 -3 x + 2 Û 4x - 3 x+ 2 -1 - 4x + 6 x+ 5 Û (4 - 1) (1 - 4 ) = 0 x2 - 3 x+ 2 x2 + 6 x+ 5 é x = 1 ê x = 2 x2 - 3 x 2 é4 + 2 é x - 3x + 2 = 0 -1 = 0 Ûê Ûê Û ê 2 x + 6 x + 5 = 0 ê x = -1 2 x + 6 x 5 + ê1 - 4 = 0 ë ë ê ë x = -5 VD2. Giải các phương trình sau: 1. log 3 x ( x + 2 ) = 1 2. log 2 ( x2 - 3) - log 2 ( 6 x - 10 ) + 1 = 0 3. log ( x + 15) + log ( 2 x - 5 ) = 2 4. log 2 ( 2 x +1 - 5 = x ) é x = 1 Giải: 1) pt Û x ( x + 2 ) = 31 = 3 Û x2 + 2 x - 3 = 0 Û ê ë x = -3 ì x p - 3 Ú x f 3 ì x - 3 f 0 2 ï Û x f 3 2) Điều kiện : í Ûí 5 î6 x - 10 f 0 ï x f î 3 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
x2 - 3 x - 3 2 1 = 2 1 = - pt Û log 2 = -1 Û 6 x - 10 6 x - 10 2 é x = 1 Û 2 x2 - 6 = 6 x - 10 Û 2 x2 - 6 x + 4 = 0 Û ê ë x = 2 Đối chiếu điều kiện , ta có nghiệm thỏa mãn là x = 2 ( x =1 bị loại ) 3) Tương tự 4) pt Û 2 x+1 - 5 = 2 x Û 2.2 x - 5 = 2 x Û 2 x = 5 Û x = log 2 5 Bà i t ậ p Giải các phương trình sau: 1. 3x+1 - 2.3x- 2 = 25 2. 3.2 x+1 + 2.5 x-2 = 5x + 2 - 2 x 2 3. 4log x+1 - 6log x = 2.3log x + 2 x 3 x -1 æ4ö æ7ö 16 4. ç ÷ ç ÷ - = 0 è 7 ø è 4 ø 49 5. 2.5 x+ 2 - 5x+3 + 375 = 0 6. 3 2 x- 5 - 5 2 x- 7 = 32 1 1 7. 2.5 x+1 - .4 x+ 2 - .5 x+ 2 = 4 x+1 5 4 8. 3 (10 - 6 ) + 4.10 x+1 = 5 (10 x-1 - 6 -1 ) x x+ 2 x ( x - 2 ) log 5 x = 2 log 3 ( x - 2 ) 9. log 3 x - 1 + log 2 ( x - 1) ( x + 4 ) = 2 10. log 2 x + 4 11. log x2 16 - log x 7 = 2 4 12. 2 log 8 ( 2 x) + log 8 ( x2 - 2 x + 1) = 3 Dạ n g 2. P h ư ơn g ph á p đư a về cù n g cơ số Sử dụng công thức: · a a = a b Û a = b . ìb > 0 ( hoÆc c > 0 ) ï · log a b = log c Û í a ïb = c î VD1. Giải các phương trình sau: 1. 52 x+1 + 7 x+1 - 175 x - 35 = 0 1 1 2. 3.4 x + .9 x+ 2 = 6.4 x+1 - .9 x+1 3 2 x -3 + 2 x 3 + 4 - 2 x +1 2 + 2 x -1 3. x .2 + 2 = x .2 2 2 2 4. 4 x + x + 21 - x = 2( x +1 ) + 1 Giải: 1) Û 5.25 x + 7.7 x - 175x - 35 = 0 Û ( 5.25x - 35 ) + ( 7.7 x - 175x ) = 0 Û 5 ( 25 x - 7 ) + 7 x ( 7 - 25x ) = 0 Û ( 25x - 7 ) ( 7 x - 5 ) = 0 1 é 25x - 7 = 0 é x = log 25 7 = log 5 7 ê Û ê x Û 2 ê ë 7 - 5 = 0 ë x = log 7 5 2) VD2. Giải các phương trình sau: h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
1. log x 2. log x 2 = log x 2 16 64 5 2 2. log 5 x + log 5 x = 1 x 3. log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 0 x2 1 4. log 2 (3 x - 1) + = 2 + lo g ( x + 1) 2 lo g 2 ( ) x + 3 1 x - 1 2 5. log 9 ( x2 - 5 x + 6 ) = lo g + log 3 x - 3 3 2 2 ( ) ( ) 6. log 2 x2 + 3 x + 2 + log 2 x2 + 7 x + 12 = 3 + log 2 3 ì1 ¹ x f 0 ï Giải : 1) Điều kiện : í x ¹ 16 ï x ¹ 64 î 1 1 1 1 1 Với điều kiện trên ta có : pt Û . = Û = x x log 2 x ( log 2 x - 4 ) log 2 x - 5 log 2 x log log 2 2 16 64 5 ± 5 5 ± 5 2 Û ( log 2 x) - 5 log 2 x + 5 = 0 Û log 2 x = Û x = 2 2 ( thỏa mãn các điều kiện ) 2 3) Điều kiện : x f 0 lg x lg x lg x lg x Với điều kiện:trên ta có : pt Û + + = Û lg x = 0 Û x = 1 ( thỏa mãn điều kiện ) lg 2 lg 3 lg 4 lg 20 1 4) lo g 2 (3 - 1) + = 2 + lo g ( x + 1) x 2 lo g 2 ( ) x + 3 ì3 x - 1 f 0 ï1 ¹ x + 3 f 0 1 ï Û x f điều kiện: í ï x + 1 f 0 3 ïlog x + 3 2 ¹ 0 î Với điều kiện trên , ta có : pt Û log 2 ( 3 x - 1) + log 2 ( x + 3 ) = log 2 4 + log 2 ( x + 1) Û log 2 ( 3 x - 1) ( x + 3 ) = log 2 4 ( x + 1) Û ( 3 x - 1) ( x + 3 ) = 4 ( x + 1) é x = -1 Û 3x2 + 8 x - 3 = 4 x + 4 Û 3 x2 - 4 x - 7 = 0 Û ê ë x = 7 đối chiếu với điều kiện, ta thấy x = 7 thỏa mãn. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 7 1 x - 1 2 5) log 9 ( x2 - 5 x + 6 ) = log 3 + log 3 x - 3 2 2 Ta thấy logarit hai vế có cơ số đều đưa về được lũy thừa của 3, nên ta đưa về cơ số 3. ì x f 1 ì x2 - 5 x + 6 ¹ 0 ï ï điều kiện: í x - 1 f 0 Û í x ¹ 3 ïx - 3 ¹ 0 ï x ¹ 2 î î 1 12 x - 1 Với điều kiện trên ta có : pt Û .2 log 3 | x2 - 5 x + 6 |= . log 3 + log 3 | x - 3 | 2 21 2 x - 1 Û log 3 x2 - 5 x + 6 = log 3 x - 3 2 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
x - 1 é 2 ê x - 5 x + 6 = ( x - 3 2 ) x - 1 Û x2 - 5 x + 6 = x - 3 Ûê ê x2 - 5 x + 6 = - ( x - 3 x - 1 2 ) ê ë 2 é x = 2 ( loại ) Ûê ë x = 3 Vậy PT đã cho vô nghiệm Nh ậ n xét : Tr on g bà i n à y ch ú ý : * log a f 2 ( x) = 2 log a f ( x) và điều kiện có n gh ĩa là f ( x) ¹ 0 2 2 2 * log 2 x = ( log a x) Þ log 2 x3 = ( log a x3 ) = ( 3. log a x) = 9 log 2 x a a a 1 1 8 ( x + 3) + log 4 ( x - 1) = log 2 ( 4 x ) VD3. Giải phương trình sau: log 2 2 4 Bà i t ậ p Giải các phương trình sau: 2 - 3 x æ 1 ö x = 27 x 3 81x+ 3 1. 9 ç ÷ è 3 ø 2. log 4 log 2 x + log 2 log 4 x = 2 3. 3.13x + 13x+1 - 2 x+ 2 = 5.2 x+1 x - 1 4. log 5 ( x2 + 2 x - 3) = log 5 x + 3 2 5. log 4 ( x2 - 1) - log 4 ( x - 1) = log 4 x - 2 6. log 5 ( 6 - 4 x - x2 ) = 2 log5 ( x + 4 ) 1 log x5 - log x 7. 2 log ( x - 1) = 2 ( ) 8. 2 log2 x = log3 x. log3 2 x + 1 - 1 9 2 3 9. log 4 ( x + 1) + 2 = log 4 - x + log8 ( 4 + x) 2 Dạ n g 3. P h ư ơn g ph á p đặ t ẩ n ph ụ VD1. Giải các phương trình sau: 2 2 1. 4 x+ x - 2 - 5.2 x-1+ x - 2 - 6 = 0 2. 43+ 2 cos x - 7.41+cos x - 2 = 0 x x x ( 26 + 15 3 ) + 2 ( 7 + 4 3 ) ( ) = 1 3. -2 2- 3 x x ( 2 - 3 ) + ( 2 + 3 ) = 14 4. 5. 5.23 x -1 - 3.25- 3 x + 7 = 0 8ö æ 1 ö æ 6. ç 23 x - 3 x ÷ - 6 ç 2 x - x-1 ÷ = 1 2ø è 2 ø è x x x 7. 27 + 12 = 2.8 x2 - 2 2 Giải : 1) 4 x+ - 5.2 x-1+ x - 2 - 6 = 0 é x £ - 2 2 điều kiện: x - 2 ³ 0 Û ê ê x ³ 2 ë h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
( ) - 5 .2 x+ 2 2 x + x - 2 2 x - 2 Với điều kiện:trên ta có : pt Û 2 - 6 = 0 2 2 f 0 Đặt : t = 2 x+ x - 2 ét = 4 5 Ta có pt ẩn t : t - t - 6 = 0 Û 2t - 5t - 12 = 0 Û ê 2 2 3 êt = - ( loa i ) 2 ë 2 ì 2 - x ³ 0 3 2 Với t = 4 : ta có 2 x+ x - 2 = 4 Û x + x2 - 2 = 2 Û x2 - 2 = 2 - x Û í 2 Û x = 2 2 î x - 2 = 4 - 4 x + x ( Thỏa mãn điều kiện) x x x ( ) ( ) ( ) = 1 3) 26 + 15 3 +2 7+4 3 -2 2- 3 2 3 -1 Chú ý rằng : 7 + 4 3 = ( 2 + 3 ) , 26 + 15 3 = ( 2 + 3 ) , 2 - 3 = ( 2 + 3 ) 3x 2 x -x Vậy pt đã cho tương đương với pt : ( 2 + 3 ) + 2. ( 2 + 3 ) - 2 ( 2 + 3 ) = 1 x đặt t = ( 2 + 3 ) f 0 2 ( ) Ta có pt mới : t 3 - 2t 2 - = 1 Û t 4 - 2t 3 - t - 2 = 0 Û ( t - 2 ) t - 1 = 0 3 t ét = 2 Û ê 3 ë = 1 t x ( ) = 2 Û x = log 2 Với t = 2 ta có : 2 + 3 2 + 3 3 x ( 3 ) = 1 Û 3x = 0 Û x = 0 Với t 3 = 1 , ta có : 2 + Vậy pt có hai nghiệm x = 0; x = log 2 + 3 2 7) 27 x + 12 x = 2.8 x x x 3 x x æ 27 ö æ 12 ö æ3ö æ 3 ö x Ta chia hai vế pt cho 8 được PT tương đương : ç ÷ + ç ÷ = 2 Û ç ÷ + ç ÷ = 2 è8ø è8ø è2ø è 2 ø x æ 3 ö ( ) Đặt t = ç ÷ f 0 , ta có pt mới : t 3 + t - 2 = 0 Û ( t - 1) t 2 + t + 2 = 0 Û t = 1 è 2 ø Với t =1 , ta có x = 0 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0 x x æaö æ b ö x x x Ch ú ý : P T dạ n g ma + nb = pc Û m ç ÷ + n ç ÷ = p ècø è c ø Kh i đó ta có th ể đặ t ẩ n ph ụ , h oặ c xét sự biến th iên h à m số vế tr á i. 8ö æ 1 ö æ 6) ç 23 x - 3 x ÷ - 6 ç 2 x - x-1 ÷ = 1 2ø è 2 ø è 1 2 8 2æ 2 ö Hướng dẫn : đặt t = 2 x - x-1 = 2 x - x Þ t 3 = 23 x - 3 x - 3.2 x. x ç 2 x - x ÷ 2 2 2 2è 2 ø 8 Từ đó suy ra : 23 x - 3 x = t 3 + 6t 2 Do đó pt đã cho trở thành : t 3 - 6t + 6t = 1 Û t = 1 x x ( ) + ( 2 + 3 ) = 14 4) 2 - 3 x x x Nhận xét : ( 2 - 3 ) ( 2 + 3 ) ( )( ) = é 2 - 3 2 + 3 ù = 1x = 1 ë û h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
1 x x ( ) ( ) f 0 Þ 2 + 3 = Do đó nếu đặt t = 2 - 3 t nx mx Tổng quát dạng này là : a + b = c , trong đó a b = 1 VD2. Giải các phương trình sau: 1. log 2 ( x + 1) = log x +1 16 ( ) 2. log 6.5 x + 25.20 x = x + log 25 3. log 2 x. log x (4 x2 ) = 12 2 log 2 x log8 4 x 4. = log 4 2 x log16 8 x 5. log 2 ( 4 x+1 + 4 ) . log 2 ( 4 x + 1) = 3 6. log 4 ( log 2 x) + log 2 ( log 4 x) = 2 7. log x (125 x) . log 2 x = 1 25 1 8. log x 3 + log 3 x = log x 3 + log x + 3 2 4 ( 2 - log 3 x ) log 9 x 3 - 9. = 1 1 - log x 3 ( ) 10. log 2 x = log 3 x + 7 Giải : 1) log 2 ( x + 1) = log x +1 16 ì x + 1 f 0 Û 0 ¹ x f -1 điều kiện: í î x + 1 ¹ 1 Ta biến đổ i về pt chỉ chứa 1 hàm số logarit: 1 1 pt Û log 2 ( x + 1) = Û log 2 ( x + 1 = ) 1 log16 ( x + 1 ) log 2 ( x + 1 ) 4 éx +1 = 4 é x = 3 ê 1Ûê Û log 2 ( x + 1) = ±2 Û 3 ( thỏa mãn các điều kiện) ê x + 1 = êx = - ë 4 ë 4 5) log 2 ( 4 + 4 ) . log 2 ( 4 + 1) = 3 x+1 x điều kiện: Với mọ i x thuộc R ( ) Ta có : pt Û log 2 4 ( 4 x + 1) . log 2 ( 4 x + 1) = 3 Û 2 + log 2 ( 4 x + 1) log 2 ( 4 x + 1) = 3 ét = 1 đặt t = log 2 ( 4 x + 1) , ta có pt mới : ( 2 + t ) t = 3 Û t 2 + 2t - 3 = 0 Û ê ë = -3 t Với t =1 , ta có: log 2 ( 4 x + 1) = 1 Û 4 x + 1 = 2 Û x = 0 1 8 Với t = 3 , ta có: log 2 ( 4 x + 1) = -3 Û 4 x + 1 = x Û 4 = - ( vô nghiệm ) 9 9 ( ) 10) log 2 x = log 3 x + 7 điều kiện: x f 0 Nhận xét: Bài này tuy đơn giản nhưng hai cơ số không đưa về được lũy thừa của một cơ số,ta có cách giải khác : h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
đặt log 2 x = t Þ x = 2t f 0 ( ) t 2t + 7 Û 2 + 7 = 3t ( dạng số cùng số mũ ) Ta có PT: t = log 3 t t æ 2ö æ 1 ö t Chia hai vế cho 3 , ta có : ç ç 3 ÷ + 7 ç 3 ÷ = 1 ÷ èø è ø Vế trái là tổng các hàm số mũ có cơ số nhỏ hơn 1 , nên vế trái là hàm số nghịch biến . Do đó pt có nghiệm duy nhất là t = 2 Þ x = 4 Bà i t ậ p Giải các phương trình sau: 1. 9 x - 10.3x + 9 = 0 2 2 2. 4 x - 6.2 x + 8 = 0 2 2 2 3. 15.25x - 34.15 x + 15.9 x = 0 2 2 4. 9sin x + 9cos x = 10 x x ( 2 + 3 ) + ( 2 - 3 ) = 4 5. 5 6. log 3 x + log x 3 = 2 -3 log8 x log x 7. 2 x + 2x - 5 = 0 2 x-1 x - 2 8. 5 + 5.0, 2 = 26 9. 25x - 12.2 x - 6, 25.0,16 x = 0 1 3 3 + 10. 64 x - 2 x + 12 = 0 11. 25log x = 5 + 4. log 5 x x x +1 = 3.2 + x x 12. 4 - 4 2 2 13. 2sin x + 5.2cos x = 7 2 14. 4cos 2 x + 4cos x = 3 x x )( ) = 8 ( 15. 4 - 15 + 4 + 15 cos x cos x 5 7+4 3) +( 7 - 4 3 ) = 16. ( 2 x x ( ) + (7 - 3 5 ) = 14.2 x 17. 7 + 3 5 2 ( 5 x ) -1 18. 7log - xlog 7 = 0 2 5 5 19. log x 3x . log 3 x + 1 = 0 log 2 x log8 4 x 20. = log 4 2 x log16 8 x 21. 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 ) 22. 5log2 x + 2.xlog 2 5 = 15 23. log ( log x) + log ( log x3 - 2 ) = 0 24. log 3 ( 3x - 1) . log ( 3x+1 - 3) = 6 25. 9 x - 8.3x + 7 = 0 1 26. .42 x-1 + 21 = 13.4 -1 x 2 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
1 1 1 27. 6.9 x - 13.6 x + 6.4 x = 0 28. 3 25 x - 3 9 x + 3 15 x = 0 29. log 2 ( 9 - 2 x ) = 3 - x x x ) +( ) = 2 ( x 30. 2+ 3 2- 3 Dạ n g 4. P h ư ơn g ph á p lôga r it VD. Giải các phương trình 4 x 1 + æ 2 ö = 23 x+ 2 . 1. ç ÷ è 5 ø 2 2. 5 x.3x = 1 x 3. 3x .8 x+ 2 = 6 Giải : 2) logarit hai vế với cơ số 10 ta có : ( ) 2 2 5 x.3 x = 15 Û lg 5 x.3x = lg 15 Û x lg 5 + x2 lg 3 - lg 15 = 0 Û ( lg 3 ) x2 + ( lg 5 ) x - lg 15 = 0 é x = 1 Ûê ê x = - lg 15 = - log3 15 = log15 3 lg 3 ê ë Mẹo : Dù n g má y tín h cầ m ta y , bấ m giả i pt bậ c 2 bìn h th ư ờn g, th ấ y 1 n gh iệm đẹp là x = m c c Ngh iệm lẻ kia dự a th eo viet để tín h x1. 2 = x Þ x = 2 a a x1 x 2) 3x .8 x+ 2 = 6 x æ x x + 2 ö x pt Û lg ç 3 .8 ÷ = 6 Û x lg 3 + lg 8 = 6 x + 2 è ø Û ( lg 3 ) x2 + ( lg 8 + 2 lg 3 - 6 ) x - 12 = 0 é x = 1 Ûê ê x = - 12 lg 3 ê ë 4 x 1 + æ 2 ö = 23 x+ 2 . 1) ç ÷ è 5 ø 2 2 2 æ ö Lây loagrit cơ số 10 hai vế ta có : ( 4 x + 1) lg = ( 3x + 1) lg 2 Û ç 4 lg - 3 lg 2 ÷ x = lg 2 - lg = lg 5 5 5 5 è ø lg 5 Û x= 2 4 lg - 3 lg 2 5 2 ( chú ý rằng 4 lg - 3 lg 2 ¹ 0 ) 5 Bà i t ậ p Giải các phương trình sau: 1. 4.9 x-1 = 3 2 x+1 2 2 2. 2 x - 2 x.3 x = 1, 5 2 x 1 - 3. 5 x .2 x+1 = 50 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
3 x 4. 3x .2 x+ 2 = 6 x x 5. 23 = 32 Dạ n g 5. P h ư ơn g ph á p sử dụ n g tín h đồn g biến và n gh ịch biến củ a h à m số P P : dạ n g a ) Biến đổi pt về dạ n g f ( x) = 0 có tậ p xá c địn h là kh oả n g ( a ; b ) Ch ứ n g min h đư ợc h à m số đơn điệu tr ên kh oả n g ( a ; b và n h ẩ m đư ợc 1 n gh iệm. Ta kết lu ậ n pt ch ỉ có 1 ) n gh iệm du y n h ấ t. dạ n g b) Biến đổi pt về dạ n g f ( u ) = f ( v) Nếu f ( x đơn điệu tr ên 1 kh oả n g xá c địn h th ì ta có f ( u ) = f ( v) Û u = v ) VD1. Giải các phương trình: x x 1. 2 = 1 + 3 2 2. 2 3- x = - x2 + 8 x - 14 2 2 2 3. 4.2 x + x = x - ( x + 1) 2 Giải : 1) Chia hai vế pt cho 2 , ta được pt tương đương : x x x x x æ1ö æ 3ö æ 1 ö æ 3 ö 1= ç ÷ +ç Û ç ÷ +ç ÷ - 1 = 0 ÷ è 2ø ç 2 ÷ è 2 ø ç 2 ÷ è ø è ø x x æ 1 ö æ 3 ö Xét hàm số f ( x) = ç ÷ + ç ÷ - 1 , hàm này có tập xác định là R è 2 ø ç 2 ÷ è ø x x 1 æ 3ö æ1ö 3 p 0 Và có đạo hàm f ' ( x) = ç ÷ ln + ç ÷ ln 2 ç2÷ è2ø 2 è ø 1 3 ( Dùng mày t ính thấy ln p 0; ln p 0 , hoặc lg a p 0 Û a p 1, lg a f 0 Û a f 1 ) 2 2 Vậy hàm số nghịch biến trên R, mặt khác x = 2 là nghiệm pt Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 2) 2 3- x = - x2 + 8 x - 14 điều kiện: x £ 3 Xét hàm số : f ( x) = - x2 + 8 x - 14 - 2 3 - x trên nửa khoảng ( -¥; 3] 1 f 0 ( vì x £ 3 Þ 8 - 2 x ³ 8 - 2.3 = 2 f 0 ) 3 x - Ta có đạo hàm f ' ( x) = -2 x + 8 + 2 2 3 - x Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng ( -¥; 3] .Mặt khác x = 3 l à một nghiệm của pt , vậy pt c ó nghiệm duy nhất x = 3 2 2 2 3) 4.2 x + x = x - ( x + 1) 2 2 2 Ta biến đô ỉ pt đã cho : 2 x + x+ 2 = 21- x - ( x + 1) ìu = x2 + x + 2 2 Þ u - v = x2 + 2 x + 1 = ( x + 1) đặt í î = 1 - x v Vậy pt đã cho trở thành : 2u + u = 2v + v Û f ( u ) = f ( v ) Xét hàm số f ( t ) = 2t + t , rõ ràng hàm này đồng biến trên R, vậy từ pt f ( u ) = f ( v ) Û u = v Û x2 + x + 2 = 1 - x Û x = -1 h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
Vậy pt đã cho có nghiệm x = 1 VD2. Giải các phương trình: 1. log 2 x = 3 - x 2. l og 2 x + ( x - 1) log 2 x = 6 - 2 x 2 æ 25 ö 3. log 2 ( x + 1) . log3 ( 2 x + 7 ) = log ç ÷ 5 è x ø Hướng dẫn : 1) Xét hàm số f ( x) = log 2 ( x ) + x - 3 trên ( 0; +¥ ) 1 + 1 f 0"x Î ( 0; +¥ ) f ' ( x) = x ln 2 2) đặt t = log x , ta có pt : t 2 + ( x - 1) t + 2 x - 6 = 0 2 Giải pt này theo ẩn t ( coi x là tham số ) ta có biệt số Delta dạng “chính phương” 2 2 D = ( x - 1) - 4 ( 2 x - 6 ) = x2 - 10 x + 25 = ( x - 5 ) é 1 - x - ( x - 5 ) êt = = - x - 2 2 Do đó ta có : ê ê 1 - x + ( x - 5 ) êt = = - 2 ë 2 Từ đó ta cần giải hai pt : log 2 x + x + 2 = 0 và log 2 x = -2 æ 25 ö 3) log 2 ( x + 1) . log3 ( 2 x + 7 ) = log ç ÷ 5 è x ø điều kiện: x f 0 æ 25 ö xét hàm số : f ( x) = log 2 ( x + 1) . log 3 ( 2 x + 7 ) - log ç ÷ , với x > 0 5 è x ø 1 2 1 25 1 f 0 Ta có đạo hàm : f ' ( x) = . log 3 ( 2 x + 7 ) + log 2 ( x + 1) + .. ( x + 1) ln 2 ( 2 x + 7 ) ln 3 25 x 2 x ln 5 x Vì với x f 0 Þ log 2 ( x + 1) f log 2 1 = 0; log 3 ( 2 x + 7 ) f 0, Và ln 2 f 0; ln 3 f 0; ln 5 f 0 VD3. Giải các phương trình: 1. 25 x - 2 ( 3 - x) 5 x + 2 x - 7 = 0 2. 8 - x.2 x + 23 - x - x = 0 VD4. Giải phương trình: x2 .3x + 3x (12 - 7 x) = - x3 + 8 x2 - 19 x + 12 ( ) VD5. Giải phương trình: log 2 1 + x = log 3 x 8 VD6. Giải phương trình: 22 x+1 + 23- 2 x = ( ) 2 log3 4 x - 4 x + 4 Bà i t ậ p Giải các phương trình sau: 2 1. ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log 3 ( x + 1) - 16 = 0 2. 4 x + 9 x = 25 x 3. 3.25x- 2 + ( 3 x - 10 ) 5x - 2 + 3 - x = 0 4. 9 x + 2 ( x - 2 ) .3x + 2 x - 5 = 0 ( ) 5. x + log x2 - x - 6 = 4 + log ( x + 2 ) h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m
( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2 6. h t t p : //t oa n ca p b a .com , h ọc t oá n và ôn t h i m iễn p h í, Võ T r ọn g T r í toancapba@gmail.co m