Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 1 - Trần Mạnh Tường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo "Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ" được biên soạn bởi thầy giáo Trần Mạnh Tường. Phần 1 có nội dung trình bày cách giải phương trình vô tỉ giải bằng phương pháp biến đổi tương đương; giải phương trình vô tỉ thêm bớt thành hằng đẳng thức; phương trình vô tỉ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ; phương trình vô tỉ nhân liên hợp. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ: Phần 1 - Trần Mạnh Tường

Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Contents I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG .......................... 1 II. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC ................................................... 6 III.PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ .................................................. 11 1. ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN .............................................................................................................. 11 2. ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN .............................................................................................. 14 3. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ............................................................................. 14 4. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ ................................................................................................................ 15 IV. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP .......................................................................................... 19 1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CÓ SẴN TRONG PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................................................... 19 2. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ ............................................. 22 3. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT .................... 25 V. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ.......................................................... 26 VI. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG f  u   f  v  ...................................................................... 32 VII. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ ................................................................. 38 VIII. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI ........................................................... 42 IX. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI ................................................................................... 46 X. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ............................................... 50 XI. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG THẲNG .. 65 XII. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA .................................... 70 XI. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CÓ THAM SỐ ................................................................................................ 71 XIV. TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ .......................................................................................... 78 I. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Phƣơng pháp chung B  0  AB . A  B 2 B  0  A B  .  A  B  A  0  B  0  A  B   . B  0    A  B 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 1
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE B  0   A  B  A  0 .  A  B2  B  0  A B  . A  B L Đố ớ , ứ ẩ , ệ ớ  B ớ . Đ ề ệ ứ .  B ớ . C ể ế ế ề .  B ớ . B ế ể ử ứ . Bài 1: Gi 2 x  1  x 2  3x  1  0 1 ( Khối D – 2006) Lời giải X là A  B.ng  x 2  3x  1  0 (1)  2 x  1   x  3x  1   2 2 x  1  ( x  3x  1) 2 2  x 2  3x  1  0   x 2  3 x  1  0  x  1  4       x  6 x  11x  8 x  2  0  ( x  1) ( x  4 x  2)  0 x  2  2 3 2 2 2  Kết luậ P ã ệm x  1, x  2  2. Nhận xét: P ng tổng quát: mx  n  ax2  bx  c, (m, a  0) ều gi ợc theo d ng A  B. Nế lũ ừ ợc nghiệm h u tỷ thì sẽ tiế à H ể phân tích thành tích số ( ầ i, nhân tới, cộng chéo). Còn nếu ra nghiệm vô tỷ ta sẽ tiến hành sử dụng chứ l ủa máy tính bỏ ú ể l ợng nhân tử chung bậ , ứ ể ề d ng tích số bậc hai nhân bậc hai mà dễ à ợc nghiệm. Bài 2: Gi trình: x3  x 2  x  5   x  4  x  2  2  Lời giải Đ ều kiệ x ịnh: x  2 . Ta có: x3  x 2  x  5   x  4  x  2   x3  x2  x  5   x  4  x  2  2 2  x 6  2 x 5  x 4  9 x 3  x 2  22 x  7  0 Vậy:  x2  3x  1 x 4  x3  3x 2  x  7   0 Vì x4  x3  3x 2  x  7  x 2  x 2  x  1   2 x 2  x  7   0x  . D (*)  x 2  3 x  1  0 3  13 Với x 2  3x  1  0  x  . 2 3  13 Thử l i nghiệ ợc x  là nghiệm duy nh t thỏa mãn. 2 3  13 Kết luận: P ệm duy nh t x  . 2 Nhận xét: ể phân tích ta dùng máy tính casio Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 2
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Sử dụng máy tính Casio ta thu được: x1  3.302775638, x2  0.3027756377 Tư duy Viet đảo: x1  x2  3, x1 x2  1 Nhân tử thu được: x 2  3 x  1 x 6  2 x5  x 4  9 x3  x 2  22 x  7 Nhập máy tính: Calc 100 x 2  3x  1 Bài 3: Gi 7  x2  x x  5  3  2 x  x2 Lời giải  3  2 x  x  0 2 P ()   7  x  x x  5  3  2 x  x  2 2 3  x  1   x  2 (do x  0 không là nghiệm củ )  x  5   x 3  x  1  x2 3  x  1 2  x  0      0  2  x  0    x  1  x  1.  x  x3  x 2  16 x  16  0   x  4  x ( x  5)  ( x  2) 2 2 2   Kết luậ P ã ệm duy nh t x  1.  A  0 hay B  0 Nhận xét: P n: A  B   , ọn A  B A  0 hay B  0. D à ểm của bài toán, ta nên chọ à n nh t, tức chọn B  3  2x  x2  0 Bài 4: Gi 3 x  1  3 x  2  3 2 x  3. Lời giải P ã ới:    2 x  3  3 3  x  1 x  2   3 3 x 1  3 x  2 3 x 1  3 x  2  0  x  1   3 3  x  1 x  2  2 x  3  0   x  2  3 x   2 3 Thử l i ta th y các giá trị x  1; x  2; x  ều thỏ ã ã . 2  3 - Kết luận. Tập nghiệm củ ã là T  1; 2;  .  2 x3  8 Bài 5. Gi  x  2  x 2 - 2 x  4  2 x  1. 2x 1 Lời giải 1 Đ ều kiện x   . P ã ới: 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 3
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 8 3  2 x  1  x2  2 x  4  x  2 2x 1 x3  8   2 x3  8   2 x  1   x 2  2 x  4   2  x  2   x 2  2 x  4    x  2   x3  5 x 2  7 x  3  0 2x 1 x  1  x  3 Thử l i ta th y nghiệm củ ã ỉ có giá trị x  1. x3  1 Bài 6. Tổng các nghiệm củ  x  3  x 2  x  1  x  1 là x3 A. 0 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x  1. P ã ới: 2  x3  1    2   x  3   x2  x  1  x  1  x3    x 1 3   2 x3  1   x  3   x 2  x  1  2  x  1  x 2  x  1   x  1 x3 x3  1   x 2  x  1  x 2  2 x  2  0  x  1  3. x3 - Tập nghiệm củ ã  là T  1  3;1  3 . „  Vậy tổng các nghiệm là: 1  3  1  3  2 Bài 7: C 27 x3  18x 2  9 x   27 x 2  2 x  1 2 x  1  125  0 . Gi sử nghiệm củ a b a trình có d ng x  với a, b, c là các số à tối gi n. Tính c c S  a bc. A. S  46 . B. S  47 . C. S  48 . D. S  49 . Lời giải Đáp án: B Ta có: 27 x3  18x 2  9 x   27 x 2  2 x  1 2 x  1  125  0   3  2 x  1  3x  125  2 x  1  3x  5 16  22 x 9 Suy ra: a  16, b  22, c  9 Vậy S  47 Bài 8: Biết rằ x3  x  4  4 x  x2  2 x  2020  2 1009  3x 2  có một nghiệ b  c d nh t d ng x  a  a , b, d  , c, e là các số nguyên tố. K a bc d e e bằng: Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 4
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE A. 901. B. 902 . C. 903 . D. 904 . Lời giải Đáp án: C x3  x  4  4 x  x 2  2 x  2020  2 1009  3x 2    x  1   x  1  2019  2019 4 2 1 1   x  1   x  1    x  1  2019   x  1  2019  4 2 2 2 4 4 2 2  1  1   x  1      x  1  2019   2 2  2  2 1 1   x  1    x  1  2019  2 2 2 2   x  1   x  1  2018  0 4 2 1  3 897   x  1  2 2  1  3 897  x  1   2   x  1  1  3 897  2 Vậy a  1, b  1, c  3, d  897, e  2  a  b  c  d  e  904. Bài 9: Gi sử 2 x  1  x 2  3x  1  0 có một nghiêm có d ng x  a  b c a, b, c  * . K a  b  c có kết qu là A. 5. B. 1 . C. 0 . D. 4 . Lời giải 1 Đ ều kiện x  . P ã ới: 2   x  3x  1  0 2   x  3x  1  2 x  1   2 2  x  3x  1  2 x  1. 2   x 2  3x  1  0   x  3x  1  0 2  4  2  x  6 x  11x  8 x  2  0  x  2 x  1 x  4 x  2   0 3 2 2  3  5 3 5  x  2 2 x  1   x 1   x  2  2.    x  2  2 Vậy a  2, b  1, c  2  a  b  c  5. Bài 10: C 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 8 x2   x    x2   x  x  4 x 3  5 x 2  5 x  1 (1) 16 2 16 2 16 2 2 16 2018 can Tổ ệm củ ằng Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 5
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 25  8 5 25  8 5 49 A. . B. . C. . D. 3. 16 16 16 Lời giải Chọn B 4 x 3  5 x 2  5 x  1   4 x  1  x 2  x  1  0  x   1 Từ ( ) 4 Ta có 2 1 1 2 1 1 1 1  1 (1)  8 x 2   x    x2   x   4 x3  5 x 2  5 x  1 16 2 16 2 16 2  4 2018 can 1 1 2 1 1 1 1  8 x2   x    x2  x  4 x3  5 x 2  5 x  1 16 2 16 2 2 16 2017 can  1  8  x     4 x  1  x 2  x  1 1 1  8 x2  x   4 x3  5 x 2  5 x  1 2 16  4  1 x   4   4 x  1  x 2  x  1  0    5 1  x  2 25  8 5 D ổ ệm bằng 16 II. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC Bài 1: Gi 4 x 2  14 x  1  4 6 x  10 Lời gi i 4 x 2  14 x  1  4 6 x  10  4 x 2  20 x  25  6 x  10  4 6 x  10  4   2 x  5    2 6 x  10  2 2  2 x  5  6 x  10  2 x7 Bài 2. 3x 2  6 x  3  3 Lời giải x7  3x  6 x  3  t 2 Cách 1: Đ t t   t  0  ta có:  2 . 3  3t  7  x 3 y 2  6  t  Đ t y  x  1 hệ ở thành  2 . 3t  6  y  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 6
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3x  21 Cách 2: P ã ớ x2  6 x  3  9 49 1  9 x 2  18 x  9  3x  21  9 x 2  21x   3 x  21  3 x  21  4 4 2 2  7  1   3x     3x  21    2  2 4x  9 x3 4 Bài tậ : 1) 7 x 2  7 x  . 2) 2 x 2  4 x  . 3) 27 x 2  18 x  x  . 28 2 3 Bài 3. [phƣơng pháp nhóm thành hằng đẳng thức]  x  y  2  4  z  y 2  5 z  11  G ệ  y  z  2  4  x  z  5 x  11 2   z  x  2  4  y  x  5 y  11 2 Lời giải ĐK 2  x  4 Cách 1: Nhân 2 vế của mỗ ới 2 và cộng với vế theo vé, ta có 2x  2 y  2z  2 x  2  2 y  2  2 z  2  2 4  x  2 4  y  2 4  z  2 x 2  2 y 2  2 z 2  10 x  10 y  10 z  66 [Dạng toán hoặc dạng phƣơng pháp đã ghi chú bằng mực đỏ]  2  x  3  2  y  3  2  z  3         2 2 2 x  2 1  y  2 1  z  2 1  2 2 2       2 2 2  4  x 1  4  y 1  4  z 1  0  x  y  z  3. Cách 2: Đánh giá bằng bất đẳng thức x  2  4  x  y  2  4  y  z  2  4  z  x 2  6 x  11  y 2  6 y  11  z 2  6 z  11*    2 x  2  4  x  4  x  2  4  x  2 2 Ta có: x2  4 x Suy ra VT *  6 , d u "  " x y ra khi x  y  z  3 . M t khác, VP *  6 , d “=” x y ra khi x  y  z  3 . Vậy x  y  z  3 . Bài 4: Biế 8 x 2  8 x  3  8 x 2 x 2  3x  1 có 3 nghiệm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) Tính T  x1  ( 7  1) x2  x3 ? 5 7 3 A. T  . B. T  . C. T  3 . D. T  8 . 4 2 Lời giải Đáp án: C Đ ều kiện : 2 x 2  3x  1  0 Pt  8 x 2  8 x  3  8 x 2 x 2  3 x  1  4( x  2 x 2  3 x  1) 2  (2 x  1) 2 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 7
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  3 3  2 2 x 2  3x  1  1 x  4    2 2 x  3 x  1  4 x  1  2 7 1 x   4 3 3 7 1 3  3 Vậy T  4  7 1 4  4 3 Bài 5: Nghiệm nhỏ nh t của ( x  3)  x 2  8 x  48  x  24 có d ng x  m  n p (với m, n  và p là số nguyên tố). Tính giá trị T  m  n  p . A. T  25 . B. T  27 . C. T  3 . D. T  7 . Lời giải Đáp án: A Đ ều kiện: 12  x  4 . P ã ới 2  x  3  x 2  8 x  48  2  x  24    x2  6 x  9  2  x  3  x2  8x  48    x 2  8x  48  9 2   x  3   x 2  8 x  48   9     x  3   x 2  8 x  48  3 1   x  3   x 2  8 x  48  3  2   x  0 x  0  1   2    x  2  2 7  x  2  2 7 (thỏa mãn). 2 x  8 x  48  0    x  2  2 7  x  6  x  6   2   2    x  5  31  x  5  31 (thỏa mãn). 2 x  20 x  12  0    x  5  31 Nghiệm nhỏ nh t sẽ là x  5  31 . D m  n  p  5  1  31  25 . [Các Bài phân tích hằng đẳng thức]   2 Bài 6. 2 x  3  9 x2  x  4 . HD: PT  x  3  2 x  3  1  9 x 2  x  3  1  9x2 . Bài 7. x 2  9x  20  2 3x  10 . HD: PT  3x  10  2 3x  10  1  x 2  6 x  9  0 . Bài 8. 2 x  1  x 2  3x  1 . HD: PT  4  2 x  1  4 2 x  1  1  4 x 2  4 x  1 . Bài 9. x 2  x  10 1  80 x  10 . HD: PT  4 x 2  4 x  40 1  80 x  40  4 x 2  2.2 x.19  192  1  80 x  40 1  80 x  400   2 x  19     2 1  80 x  20 . 2 4x  9 Bài 10. 7 x2  7 x  . 28 HD: PT  196 x 2  196 x  28. 4 x  9  196 x 2  196 x  2. 28 x  63 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 8
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  196 x  224 x  64  28 x  63  2. 28 x  63  1 2  14 x  8    2 28 x  63  1 . 2 Bài 11. 4  3 10  3x  x  2 .  x  2 HD: PT   . 4  3 10  3 x   x  2  * 2 + *  3 10  3 x  x 2  4 x  12 10  3 x  4 x 2  16 x  4 10  3 x   12 10  3 x  9  4 x 2  28 x  49    2 10  3x  3   2 x  7  . 2 2 Bài 12.  4 x  1 x2  1  2x2  2x  1 . HD: PT  8  4 x  1 x 2  1  16 x 2  16 x  8   4 x  1  8  4 x  1 x2  1  16  x 2  1  16 x 2  24 x  9 2   2  4x 1  4 x2  1   4 x  3 . 2 Bài 13. Giải phƣơng trình x x 2  x  1  2 3x  1  x 2  x  3 1 . Lời giải 1  2 x x 2  x  1  4 3x  1  2 x 2  2 x  6   x 2  2 x x 2  x  1  x 2  x  1  3x  1  2 3x  1  1  0      2 2  x  x2  x  1  3x  1  1  0  x  x 2  x  1  0 1  x  0 x  1    .  3x  1  1  0 3x  1  1  x  0 Vậy ã ệm. Hệ thống bài tập tƣơng tự: 1. 2 2 x  1  x 2  2 x . 2. x  1  x2  4x  5 . 3. x 2  2  x  2 . 4. x 2  x  12 x  1  36 . 5. 2 x 2  2 x  1  4 x  1 . 6. 3x  2  4 x 2  21x  22 . 7. x 4  x 2  3  3 . 8. 1  x  1  x 2 . Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 9
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 9. x 2  5 x  4  2 x  1 . x3 10. 8 x 2  4 x  . 2 11. x 2  1  2 x x 2  2 x . 12.  x  3  4  x 12  x   28  x . 13. x 2  3x  1   x  3 x 2  1 . 14.  x  1 x 2  3x  3  x 2  2 x  3 . 15.  x  2  x 2  2 x  2  x 2  x  1 . 16.  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1 . 17. 2 1  x  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1 . 18. x  4 x  3  2 3  2 x  11 . 19. 2 x2  x  9  2 x2  x  1  x  4 . 20. 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16 . 21. 4 x 2  3x  3  4 x x  3  2 2 x  1 . 22. 1  x  2 x 2  4 4 x 2  1  2 x  1 . 27 2 x  x2  1   x  1 x  1 2 Bài 14: G 8 Lời giải Ý tƣởng: Sử dụng phương pháp phân tích hằng đẳng thức + đặt ẩn phụ. Đ ều kiện: x  1. 27 x 1 2  x  1 x  1  x  1   x  1 x  1 2 Nhân 2 vế với 2, ợc 4   27  x  1 x  1 2  x  1  x 1  2 4 27  x 1  x 1   x  1 x  1 (1) 2 4 x 1 27 x 1 ,  1   x  1 (2). 2 Chia c hai vế cho ợc x 1 4  x  1  1 2 x 1 2 Đ t  t t  0  t 2  1   . x 1 x 1  t 2  1 2 4 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 10
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 27   2   t  1  2 2   t  2  t 4  3t 3  4t 2  6t  13  0   t 1  5 t 2 x . 3 5  Vậy S    . 3 III.PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Phƣơng pháp chung a. Đƣa phƣơng trình vô tỷ về dạng phƣơng trình một ẩn at 2  bt  c  0  a  0  . b. Đƣa phƣơng trình vô tỷ về phƣơng trình nhiều ẩn phụ. Dạng 1. a. f x b. n f x c 0 Dạng 2. a. f x b. g x 2ab. f x . g x h x Dạng 3. n a f x m b f x c Dạng 4. a n A2 b n A.B c n B2 0 Dạng 5. a. f x b. g x c. f x .g x Dạng 6. a. f x b. g x c. d . f 2 x e. g 2 x n Dạng 7. f x b x a x n a x f x b x n Dạng 8. ax b p. n cx d q.x r Dạng 9. x 2a x b a2 b x 2a x b a2 b cx d Dạng 10. Đ t ẩn phụ không hoàn toàn 1. ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN Bài 1: Gi i : x2  4 x  2  2 x2  4 x  5 .  S  22 2  x2  3  53 3  85  Bài 2: Gi i :  x  5 x  2   4  x  5 3  0. S  ;  x5  2 2  Bài 3: Gi i : 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14x . Đ t t  7x  7  7x  6 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 11
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Bài 4. Gi i b x  1  2 2 x  3  2 x  2  1 ĐK x  1 Đ t t  x  1  x  t 2  1 t  0   t  0 2t  t  0 2   1 T ợc b 2 2t  1  2t  t   4 2 2   t   4t  4t  7t  4  0  2 3 2 4t 4  4t 3  7t 2  4  0  2  +Với t  0 . Kết hợ ều kiện thì t  0 không thỏa mãn (2)   +Với t  thì (2)   t  2  4t 3  4t 2  t  2  0  t  2  x  1  2  x  3 TMDK  1 2 Tập nghiệm của b là S  3;     1 2 Bài 5: Gi i b 3 7x  8  1  2x  1  1 1 ĐK x  2 t2  1 Đ t t  2x  1  x  2 t  0  7t 2  9  1   t  1 2 K ( ) ở thành 3 2 7t 2  9   3  3  t 2  2t  7t 2  9  2 t 2  2t 2     t  1 t  3 2t 4  4t 3  2t 2  4t  3  0  4t  3  2  t  t   4t  3  0, t  0 . 2 Ta có 2t 4  4t 2  2t 2 2 Từ ( )   t  1 t  3  0  1  t  3  1  2x  1  3  1  x  5 . Bài 6: 7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  181  14 x (1) 6 Đ ều kiện: x  , 7 (1)  14 x  181  7 x  7  7 x  6  2 49 x 2  7 x  42  0  7 x  7  7 x  6  2  7 x  7  7 x  6   7 x  7  7 x  6  182  0   2  7x  7  7x  6  7 x  7  7 x  6  182  0 . Đ t 7x  7  7x  6  t  0 , t 2  t  182  0  14  t  13  0  t  13 . Suy ra 7 x  7  7 x  6  13  0 vì hàm số vế ồng biến nên ta có 7 x  7  7 x  6  13  0  x  6 . Bài 7: x  1  x 2  4 x  1  3 x (1) . 0  x  2  3 Đ ều kiện:  .  x  2  3 Nhận xét: x  0 là một nghiệm. Với x  0 , chia hai vế cho x , ợc Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 12
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1 1 1 1 x  x4 3 x   x   4  3 (2) . x x x x 1 1 Đ t x  t (t  2)  x   t 2  2 . x x 5 Từ (2), ta có t 2  6  3  t  t  . 2  1  1 1 5  x x Suy ra x    2x  5 x  2  0  2 4. x 2    x  2 x  4  1 Vậy b ã ập nghiệm là 0;    4;    .  4 x x Bài 8:  1 (1) .  1 2 x  x 12  Đ ều kiện: x  0 . Nhận xét:  2 x2  x  1    x  1 2    x2  1  1  1  2 x2  x  1  0 . D , ( )  x  x  1  2  x 2  x  1  2  x  x  1  1  x  2 x (2). Ta có x  0 không ph i là nghiệm của b . Với x  0 , chia hai vế cho x ợc  1  1  2 x    2    x  1 (3)  x  x  1 1 Đ t  x  t  x   t2  2 . K ( ) ở thành x x 1 3 5 2t 2  2  t  1  t  1   x 1 x  x 2 Bài 9: G 2 x 4  6 x3  10 x 2  6 x  8  x3  x  x 2  1  x  2  1 Lời giải  2 x  6 x  10 x  6 x  8  0 4 3 2  x 2  1 2 x 2  6 x  8   0  Đ ều kiện:  3   x0.   x  x  0   x  0 K ( )  x 2  1. 2 x 2  6 x  8  x 2  1 x  x 2  1  x  2   0  2x2  6x  8  x  x  2  0  2 Nhận xét x  0 không ph i là nghiệm nên chia cho x , ta có:  4  2  2  x    6 1  x  0  3  x  x 2 4 Đ t x  t  x   t2  4 x x t  1 2 Ta có 2t 2  2  t  1   2  t 1  x   1  x  4. t  2t  1  0 x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 13
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 2. ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN Bài 1: Gi i : 2012 x 2  4 x  3  2011x 4 x  3 . x  t Đ t t  4 x  3  2012 x  2011xt  t  0   2 2  x  t  2012 Bài 2: Gi i :  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1 . Đ t t  x 2  2 x  3   x  1 t  x 2  1  x 2  2 x  3   x  1 t  2  x  1  0 t  2 t 2   x  1 t  2  x  1  0   t  x  2 3. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH    2 Bài 1: [Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình tích] G x  2010  x 1  1  x . Đ ều kiện: x  0 . Đ t t  1  x  0  t  1  x  1  t 2  x  1  t 2  . 2 T à ầ ợc 1  t    2011  t  1  t  2 2 2 2  2 1  t   t 2  t  1005   0 2  1  t   0 (Vì 0  t  1 nên t 2  t  1005  0 ) 2 Bài 2: [Phƣơng trình tích] G 2  x 2  2   5 x3  1 Đ t u  x  1; v  x 2  x  1  2  u 2  v 2   5uv   u  2v  2u  v   0 . Bài 3: [Phƣơng trình tích] G 3 7 x  1  3 x 2  x  8  3 x 2  8x  1  2 . Đ a  3 7 x  1; b   3 x 2  x  8; c  3 x 2  8 x  1  a  b  c  2  a  b  c  8 3 Và a 3  b3  c 3  8   a  b  c   a 3  b3  c 3  0 3 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 14
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  3  a  b  b  c  c  a   0   Bài 4: Giải bất phƣơng trình 2 2 x 2  1  1  x 2  1  x 4  3x 2  1 1 Lời giải Đ ều kiện 1  x  1 . Đ t x 2  1  a  0, 1  x 2  b  0 Suy ra 3 x 2  1  2a 2  b 2 ; 1  x 4  ab . Ta có: 2  2a  b   ab  2a 2  b2   2a  b  a  b  2   0 . Vì a  b  0  2a  b  0 . D a b2  0 Suy ra 1  x 2  1  x 2  2  x  0 . x4  x2  1 x2  x  1 x2  1 Bài 5: Giải bất phƣơng trình   2  1 x  x 2  1 x2  1 x Lời giải Đ ều kiện x  0 x2  x  1 x2  x  1 x2  x  1 x2  1 Ta có 1  .  2 2  2 x2  1 x x2  1 x x2  x  1 x2  x  1 Đ t  a  0,  b  0, x2  1 x2  1 x2  1 K  b2  1 x2  2  ab  a  1  b2   b  1 a  b  1  0  b  1 x2  x  1   1   x  1  0 ( ú ) 2 x Vậy nghiệm của b là  0;   . 4. ĐẶT ẨN PHỤ ĐƢA VỀ HỆ Bài 1. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ bậc nhất hai ẩn   x  2 y  13   2 x  y  5 3  1  Gi i hệ  x  2 y 1  2 2x  y 1 .   9 x  2 y  21  5 x  11 Lời giải  a 2  2b 2  11  x  2 y  1  a  0  x  2 y  1  a 2  x  Đ t    5 1 2 x  y  1  b  0 2 x  y  1  b  y  2a  b  3 2 2 2   5 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 15
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  5 x  11  a 2  2b 2 ; 9 x  2 y  21  a 2  4b 2 . a3  4b3  1 a 3  4b3  1  K ệ ã ở thành  a  2b   2   a 2  2b 2  a 2  4b 2  a  2b   a 2  4b 2  a 2  2b 2  a  0 b  0   a  2b   a 3  4b3    a 2  4b 2  a 2  2b 2   ab  a  b  a  2b   0   . a  b   a  2b  1  113 2 2 x  2 y  1  0 x  1   63 2 TH1: a  0  b  3   1  . 4 2 x  y  5  2 3 2  y  8 2 1 3   63 2  5  x 2 x  2 y  1  1  3. TH2: b  0  a  1    2 x  y  5  0 y  5   3  1  3  113 5  2x  2 y 1  3  x 1  5  63 5 . TH3: a  b  3    5 2 x  y  5  1 y  4   3 5  3  2  4  113 12  2 x  2 y  1  x  2 3 12  6 3 12 TH4: a  2b  3   . 12 2 x  y  5  1  1  4 3 12  3 12  y  3 Bài 2. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ bậc nhất hai ẩn  x  y  x 2  7  y 2 y 2  1  xy  2 y 2  G ệ  2 x x 2  7   x  y  2 y 2  1  3xy  x 2 Lời giải  x 2  7  u Đ t  .  2 y  1  v 2 K ệ ã ở thành  x2  7  4 y 2  x2  9  x  y  u  yv  xy  2 y 2     u  2 y  x2  7  2 y 2 y 2  1  x 2  y2  4  x  3         .   2 xu   x  y  v  3 xy  x 2  v   x   2 y2 1  x x  0 x  0 y  2 y  0   y  0 Bài 19. [Đặt hai ẩn] G 3 24  x  12  x  6 . Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 16
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE u  v  6 Đ u  3 24  x ; v  12  x   2 2 . u  v  36 Đ ố S  88; 24;3 . Bài 20. [Đƣa về hệ đối xứng loại 2] G x3  1  2 3 2 x  1 .  x3  1  2t  Đ t  3 2x 1   3 . t  1  2 x    1  5   Đ ố S  1; .   2   Bài 21. [Đƣa về hệ đối xứng loại 2] G x2  2  2 2x 1 .  x 2  2 x  2  y  1 Đ y 1  2x 1   2 .  y  2 y  2  x  1 Đ  ố S  2 2 .  Bài 22. Bài tập tự luyện 1)  x  1 x  4   5 x 2  5 x  28 . 2) 4  4  x  2  x   x 2  2 x  12 . 5 1 3). 5 x  2x  4 2 x 2x 4). 3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5x  2 . x 1 5).  x  3 x  1  4  x  3 x 3 3 0. 6).   x2  3  x2  2 x  1 2 x2  2 . 7). x 2  x  12 x  1  36 . 8). 2 1  x  x 2  2 x  1  x 2  2 x  1 . 9). x  5  x 1  0 . 3 9 10). x2  x   . 2 4 11). x  x  5  3 3 x 2  5 x  2  4 . 4 12). x  x2 1  x  x2 1  2 . 13). 4 x 2  5x  1  2 x 2  x  1  9 x  3 . Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 17
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 14).   2 x 2  3x  2  3 x 3  8 . 15). x2  3 x2 1  x4  x2  1 . 16). 5 x 2  14 x  9  x 2  x  20  5 x  1 . 17). 3 3x  1  3 5  x  3 2 x  9  3 4 x  3  0 . 18). 2  x. 3  x  3  x. 5  x  5  x. 2  x . 3 19). 3 x 2  x  2011  3 3 x 2  7 x  2012  3 6 x  2013  3 2012 . 20).  x. 3 25  x x  3 25  x 3  30 .  21). 4 57  x  4 x  40  5 . 22). x  2011  x  1  2012 . 1 1 23). 3 x  x  1. 2 2 24). x2  x  5  5 . 25). x  2011  2011  x . 26). 2x2  6x 1  4x  5 . 27). x 3  2  3 3 3x  2 . 4x  9 28). 7x 2  7x  . 8 x7 Bài 14. 3x 2  6 x  3  3 Lời giải x7  3x  6 x  3  t 2 Cách 1: Đ t t   t  0  ta có:  2 . 3 3t  7  x   3 y  6  t 2 Đ t y  x  1 hệ ở thành  2 .  3t  6  y 3x  21 Cách 2: P ã ớ x2  6 x  3  9 49 1  9 x 2  18 x  9  3x  21  9 x 2  21x   3 x  21  3 x  21  4 4 2 2  7  1   3x     3x  21    2  2 4x  9 x3 4 Bài tậ : 1) 7 x 2  7 x  . 2) 2 x 2  4 x  . 3) 27 x 2  18 x  x  . 28 2 3 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 18
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE IV. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP 1. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CÓ SẴN TRONG PHƢƠNG TRÌNH Bài 1. Gi 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2 Hƣớng dẫn giải 2 x  1  0 2 T ều kiệ x ịnh:  2 .  x  3x  2  0 K 2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2   2 x2 1  2 x2  2 x  3     x 2  3x  2  x 2  x  2  0 2 x  4 2 x  4   0 2x2 1  2x2  2x  3 x 2  3x  2  x 2  x  2  1 1    2 x  4    0  2x 1  2x  2x  3 x 2  3x  2  x 2  x  2  2 2  2 x  4  0  x  2. Kết hợp vớ ều kiện và thử l ợc nghiệm củ là x  2 . Bài 2. Gi 2 x 2  16 x  18  x 2  1  2 x  4 Hƣớng dẫn giải 2 x  16 x  18  0 2 T ều kiệ x ịnh:  2  x  1  0 K 2 x 2  16 x  18  x 2  1  2 x  4 x 2  1  2 x  4  2 x 2  16 x  18 1 2  x 2  1  x 1  2 2 x  4  2 x 2  16 x  18  x2 1  0  2   2 x 2  1  2 x  4  2 x 2  16 x  18  3  Gi i (2): x 2  1  0  x  1 . 4 x  8  0  Cộng (1) vớ ( ) ợc 3 x 2  1  4 x  8   9  x  1   4 x  8  2 2   x  2    32  3 57  x  2  x  32  3 57  2  7 x . 7 x  64 x  73  0  7    x  32  3 57   7 32  3 57 Kết hợp vớ ều kiện và thử à ợc các nghiệm là x  1 và x  . 7 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 19
Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Bài 3. Gi  3x  1  x  2   3x 2  7 x  2  4  4 x  2 Hƣớng dẫn giải 1 T ều kiệ x ịnh: x   3  3x  1  x  2  3x 2  7 x  2  4  4 x  2    2 x  1  3x 2  7 x  2  4   4 x  2   3x  1  x  2    2 x  1  3 x 2  7 x  2  4  2   3x  1  x  2   0   K  1  x  2    2 x  1  3x  1  2   x  2  2  0  x  1 x  2   1 Vậ ệm x  , x  1 và x  2 . 2 1 1 x 1 Bài 4. Gi 4  4 4 2x 1 x2 x Hƣớng dẫn giải T ều kiệ x ịnh: x  0 . K ới: 4 x  2  4 2x 1 x 1  4  2 x  1 x  2  4 x 1 x x 1   4   2 x  1 x  2  4  x  2  3  4  x  2   2 x  1  4  x  2  2 x  1  4  2 x  1 2 2 3  4 x    1 1   1  x    4 0  4  2 x  1 x  2    4  x  2 3  4  x  2   2 x  1  4  x  2  2 x  1  4  2 x  1 2 2 3  x   x  1. Vậy ệm x  1 . Bài 5: Gi 3 3 2x 2 5x 14 3x 16 x 2 Đ ều kiện x 2 H ớng dẫn nhân chia liên hợp vế trái xu t hiện nhân tử chung 3x 16 16 Gi i ra nghiệm x 3 1 1 1 x Bài 6: Gi x 2 2x 1 2 x2 x x 0 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 20