Phương pháp giải toán tiểu học và hướng dẫn thực hành (Tập 1 - Tái bản lần thứ sáu): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 1 cuốn "Phương pháp giải toán tiểu học và hướng dẫn thực hành" trình bày các nội dung: Phương pháp chia tỉ lệ; phương pháp thử chọn; phương pháp khử; phương pháp giả thiết tạm; phương pháp thay thế; phương pháp ứng dụng nguyên lí Đi-rích-lê. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải toán tiểu học và hướng dẫn thực hành (Tập 1 - Tái bản lần thứ sáu): Phần 2

ngày phải làm việc 8 giờ để hoàn th àn h đúng kế hoạch. Trước khi khởi công, đội được điều thêm 30 người về cùng làm và được giao đắp thêm Ikm đường. Hỏi để hoàn th àn h công việc đúng k ế hoạch th ì mỗi ngày phải làm việc mấy giò? Biết rằn g năng su ất làm việc của mọi ngưòi là như nhau. III. PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ 1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ Phương pháp chia tỷ lệ là một phương pháp giải toán, dùng để giải bài toán về tìm hai sô" khi biết tổng và tỷ số hoặc hiệu và tỷ sô' của hai sô' đó. Phương pháp chia tỷ lệ còn dùng để giải các bài toán vể câu tạo sô" tự nhiên, cấu tạo phân sô", câu tạo sô' thập phân, các bài toán có nội dung h ìn h học, các bài toán chuyển động đều ... Đốỉ với các bài toán về tìm ba sô' khi biết tổng và tỷ sô' hoặc hiệu và tỷ số của chúng, ta cũng dùng phương pháp chia tỷ lệ. 2. CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BANG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ Khi giải bài toán bằng phương pháp chia tỷ lệ ta thường tiến h àn h theo bô'n bưóc; Bước 1. Tóm tắ t đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng. Dùng các đoạn th ẳ n g để biểu thị các sô' cần tìm. Sô' phần bằng n h au của các đoạn th ẳn g đó tương ứng vỏi tỷ số của các số cần tìm. 90
Bước 2. Tìm tổng (hoặc hiệu) số p h ần b ằn g nhau. Biỉớc 3. Tìm giá trị của một phần. Bước 4. Xác định mỗi sô' cần tìm Dôi khi ta có thể kết hợp các bước 2,3 và 4. (xem các ví dụ ỏ J)hần sau). 3. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ ĐỂ g i ả i c á c b à i TOÁN VỂ TÌM HAI s ố KHI BIẾT TổNG VÀ TỶ s ố CỦA CHÚNG Vi d ụ 1. Trong phong trào thi đua chào m ừng ngày 20 th án g 11, bạn Tú đ ạt được 24 điểm giỏi (gồm điểm 9 và điểm 10), trong đó số điểm 10 gấp 3 lần số điểm 9. Hỏi bạn Tú đã đ ạt được bao nhiêu điểm mỗi loại? Lời g i ả i Ta có sơ đồ sau: ? điểm Sô điểm 9: I- - - - - - - - > 24 điểm • ? điểm Số điểm 10: So điểm y bạn Tu dạt dược là: 24 : (1 + 3) = 6 (điểm). Số điểm 10 bạn Tú đ ạ t được là: 6 x 3 = 1 8 (điểm). Đ á p số: 18 điểm 10. 6 điểm 9. Vi d ụ 2. Trong buổi sáng chủ n h ật, một cửa h àn g bán điíỢc 84m vải trắn g và vải hoa, trong đó sô" m ét vải trắ n g 91
bằng 1/6 sô" m ét vải hoa. Hỏi cửa hàng đã bán được bao nhiêu m ét vải mỗi loại? Lờỉ g i ả i Ta có sơ đồ sau: :m Sô" m ét vải hoa: > 84m !m Sô" m ét vải trắng: Sô' mét vải trắn g của cửa hàng đã bán được là: 84 : (6 + 1) = 12 (m). Số mét vải hoa cửa h àn g đã bán được là: 84 - 6 = 72 (m). Đ á p số: 12 m ét vải trắng. 72 m ét vải hoa. Vi d ụ 3. Lớp lA có 35 học sinh, trong đó số học sinh nữ bằng — sô”hoc sinh nam. Tính số hoc sinh nam, hoc sinh nữ của lớp đó. 4 • L ờ i g iả i Nếu chia số học sinh nam th à n h 4 phần bằng n h au thì số học sinh nữ sẽ chiếm 3 phần như thế. Vậy ta có sơ đồ: ?H S Sô' học sinh nam: ?H S Sô' học sinh nữ: 92
Số hnc sinh nam là; 35 : (4 + 3) X 4 = 20 (học sinh). Sô' học sinh nữ là: 35 - 20 = 15 (học sinh). Đ á p số: 20 học sinh nam . 15 học sinh nữ. Ví d ụ 4. Tuổi chị và tuổi em hiện nay bằng 32. Khi tuổi chị bằng tuổi em hiện nay thì tuổi chị gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi của mỗi người hiện nay. Lời g i ả i Vì hiệu số tuổi của h ai chị em không th ay đổi theo thòi gian nên ta có sơ đồ sau: Tuổi em trước đây: Tuổi chị trước đây: ? tuổi Tuổi em hiện nay: ? tuổi > 32 tuổi - Tuổi chị hiện nay: Tuổi em hiện nay là: 32 : (3 + 5) X 3 = 12 (tuổi). Tuổi chị hiện nay là: 32 - 12 = 20 (tuổi). Đ á p số: Em 12 tuổi. Chị 20 tuổi. 93
C h ú ý: V í dụ sau đây cho thấy có trường hỢp tỷ sô còn được cho bởi sô'không nguyên. Vi d ụ 5. Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng 109. Tìm tuổi mỗi người hiện nay. Lời g i ả i Vì tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi, nên nếu ta biểu thị tuổi con là một phần th ì tuổi cha sẽ là 7 phần như th ế cộng với một đoạn ứng vối 3 tuổi. Đồng thời hiệu sô' tuổi của cha và con không thay đổi theo thòi gian. Vậy ta có sơ đồ sau: Tuổi con ? tuổi hiện nay: 3 tuổi Tuổi cha hiện nay: ? tuổi 3 tuổi Tuổi con sau này: 3 tuổi 3 tuổi ( tuổi Tuổi cha sau này: -M . Tuổi con hiện nay là: (109 - 3 X 3) : (7 + 7 + 6) = 5 (tuổi) Tuổi cha hiện nay là; 94
5 X 7 + 3 = 38 (tuổi). Đ á p sô. Con 5 tuổi. Cha 38 tuổi. Ví d ụ 6. N ăm nay tổng sô’ tuổi của hai mẹ con bằng 45. Tìm tuổi của mỗi người, biết rằn g hai lần tuổi mẹ bằng bảy lần tuổi con. Lời g i ả i Ta n h ận xét; 2 lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con suy ra tỷ số giữa tuổi mẹ và tuổi con bằng 7/2. Ta có sơ đồ sau: ? tuổi Mẹ; 45 tuổi ? tuổi Con: Tuổi mẹ hiện nay là: 45 : (7 + 2) X 7 = 35 (tuổi). Tuổi con hiện nay là: 45 - 35 = 10 (tuổi). Đ á p số: Mẹ 35 tuổi. Con 10 tuổi. Vi d ụ 7. H ai đội vận tải vận chuyển đưỢc 680 tấn hàng. Hỏi mỗi đội đã vận chuyển được bao nhiêu tấn? Biết rằn g 2/5 sô’ hàng của đội 1 bằng 4/7 sô" h àn g của đội 2. Lờỉ g i ả i Tỷ sô’ h àn g của đội 1 và đội 2 vận chuyên được là: 4/7 : 2/5 = 10/7. 95
T a có sơ đồ sau: ? tấn Đội 1: > 680 tấn - ?tấn Đội 2; Số hàng đội 1 vận chuyển được là: 680 : (10 + 7) X 10 = 400 (tấn). Số hàng đội 2 vận chuyển được là: 680 - 400 = 280 (tan). Đ á p số: Đội 1: 400 tấn. Đội 2: 280 tấn. 4. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ ĐỂ GIẢI c á c b à i TOÁN VỀ TÌM HAI s ố KHI BIẾT HIỆU VÀ TỶ s ố CỦA CHỦNG V í d ụ 8. Số cây đào trong vườn nhà Lan gấp 4 lần sô cây m ận và số cây đào nhiều hơn sô' cây m ận 12 cây. Hỏi vưòn nhà Lan có bao nhiêu cây mỗi loại? Lời g i ả i Ta có sơ đồ sau: ? cây Sô" cây mận: ? cây Sô' cây đào: Ị' 12 cây Sô" cây m ận là: 12 : (4 - 1) = 4 (cây). Số cây đào là; 4 x 4 = 1 6 (cây). Đ á p số: 4 cây mận; 16 cây đào. 96
Vi d ụ 9. Hai đội vận tải được huy động chuyển xi m ăng phục vụ cho công trìn h th u ỷ lợi. Đội thứ nhâ't chở n hiều hơn đội thứ hai 124 tấn và số xi m ăng đội th ứ n h ấ t chở được bằng 9/5 sô xi m ăng của đội thứ hai đã chở. Hỏi mỗi đội đã chở đưực bao nhiêu tấn xi măng? Lời g i ả i Ta có sơ đồ sau: ? tấn Đội 1: ■k: ? tấn 124 tấn Đội 2: Sô' xi m ăng đội m ột đã chở là: 124 : ( 9 - 5 ) X 9 = 279 (tấn). Sô' xi m ăng đội hai đã chỏ là; 279 - 124 = 155 (tấn). Đ á p số: Đội 1 chở được 279 tấn. Đôi 2 chở được 155 tấn. Ví d ụ 10. Mẹ sinh con năm 32 tuổi. Hỏi n ăm con bao nhiêu tuổi th ì ba lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con? Lời g i ả i Ba lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con có ng h ĩa là tỷ số của tuổi con và tuổi mẹ bằng 3/7. M ặt khác hiệu giữa tuổi mẹ và tuổi con là không đổi. Vậy ta có sơ đồ: 97
? tuổi Tuổi con; 32 tuổi Tuổi mẹ: Tuổi con khi ba lần tuổi mẹ bằng lần tuổi con là: 32 : (7 - 3) X 3 = 24 (tuổi). Đ á p sọ: Con 24 tuổi. Vi d ụ 11. Năm năm trưốc con lên 8 tuổi và kém cha 32 tuổi. Hỏi sau mấy năm nữa thì tuổi cha hơn 3 lần tuổi con là 2 tuổi ? Lời g i ả i Ta nhận xét: Vì hiệu sô' tuổi giữa hai người không thay đổi theo thời gian nên ta có sơ đồ sau biểu thị sô' tuổi của hai cha con khi tuổi cha hơn 3 lần tuổi con là 2 tuổi: Tuổi con: 2 tuổi Tuổi cha: 32 tuổi Tuổi con lúc đó là: (32 - 2) : (3 - 1) = 15 (tuổi). Tuổi con hiện nay là: 8 + 5 = 13 (tuổi). Thời gian từ nay cho đến khi đó là: 1 5 - 13 = 2 (năm). Đ áp số: 2 năm. 98
Vi d ụ 12. Một cửa hàng đồ s,ắt có h ai loại đinh: 5 p h ân và 10 phân. Sô đinh 5 phân nhiều hơn đinh 10 p h ân 36kg. Hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu kilôgam đinh mỗi loại? Biết rằn g 3/H số đinh 5 phân bằng 6/7 số đinh 10 phân. Lời g i ả i Tỷ sô' giữa số đinh 5 phân và đinh 10 p h ân là: 6/7 : 3/8 =16/7. Ta có sơ đồ sau; 16 p h â n Đinh 5 phân: 36kg 7 phần Đinh 10 phân: ?kg Số đinh 5 phân là: 36 : ( 1 6 - 7 ) X 16 = 64 (kg). Số đinh 10 phân là: 64 - 36 = 28 (kg). Đ á p số: 64 kg đin h 5 phân. 28 kg đin h 10 phân. 5, ỨNG DỰNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ ĐỂ g i ả i t o á n VẾ CẤU TẠO SỐ T ự NHIÊN Vi d ụ 13. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằn g khi viết thêm chữ số 8 vào bên trái sô' đó ta được một sô" gấp 26 lần sô cần tìm. 99
Lời giải Cách 1. _ Gọi sô cán tìm là a b . Khi viết thêm chữ sô" 8 vào bên trái ta được số 8 a ^ Theo đề tạ_có: 8ab = 800 + ab và 8ab = ab X 26 (1) Ta có sơ đồ sau: 9 ab 800 8 ab 26 phần Số cần tìm là: 800 : (26 - 1) = 32. Cách 2. Từ (]^ ta suy ra: _ ab X 26 = 800 + a b . ^ X 26 - ab = 800 (tìm sô' h ạn g trong phép cộng), ab X ( 2 6 - 1) = 800 (nhân m ột số với một hiệu). _ 25 ^ = 800 ; 25 (tìm thừ a sô), ab = 32. T h ử lạ ù 832 ; 32 = 26 (chọn). T rả lời: Số cần tìm là 32. Vi d ụ 14. Khi viết thêm chữ số 8 vào bên phải một sô" có ba chữ số thì số đó tăn g thêm 4895 đơn vỊ. Tìm số đó. 100
Lời giải Cách 1. __ Gọi sô' phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ sô' 8 vào bên p h ải ta dưọc sò' abc8 . Theo dể bài ta có: abc8 = abc + 4895 và abc8 = abc X 10 + 8 (1) Ta có sơ đồ sau: abc h abc8 I -------I --------------------- 1 - ------- 1 ------ 1------ 1 - -------1 „L.-h-"---! — 4895' Số cần tìm là: ( 4 8 9 5 - 8 ) : ( 1 0 - 1) = 543. Cách 2. Từ (1) ta có. abc X 10 + ^ abc + 4895 abc X 10 = abc +/4895 - 8)^. 4887 (Tìm sô' hạng trong phép cộng). abc X 10 - abc = 4887. (Tìm số hạng trong phép cộng). abc X (10 - 1) = 4887. (N hân số với hiệu). __ 9 abc = 4887 : 9 (Tìm thừ a sô' trong phép nhân), abc = 543. T h ử lại: 5438 - 543 = 4894 (chọn). T rả lời: số cần tìm là 543. 101
Cách 3. Từ (1) ta viết lại phép tính theo cột dọc: 4895 + abc abc8 Xét phép cộng h à n g đơn vị 5 + e có tậ n cùng là 8 suy ra c = 3. Thay c = 3 vào phép cộng h àn g chục 9 + b có tận cùng là 3 suy ra b = 4. Thay b = 4 vào phép tính trên rồi lại xét phép cộng hàng trăm 8 + a + 1 có tậ n cùng là 4. Suy ra a = 5. Ta được abc = 543. T h ử lại: 5438 - 543 = 4895 (chọn). Vậy sô’ cần tìm là 543. Vi d ụ 15. Khi viết thêm sô 43 vào bên phải một sô tự nhiên có hai chữ sô" thì sô’ đó tăng thêm 6478 đớn vỊ. Tìm sô"đó. Lờỉ g i ả i Cách 1. _ Gọi số cần tìm là a b . Khi viết thêm số 43 vào bên phải ta dược số ab43 ■Theo đề bài ta có: _ ab43 = ab + 6478 và = ãb X 100 + 43 (1) Ta có sơ đồ sau; __ 7 ab h— I 6478 ab43 I - - - ' K — " h -------- 1 --------- 100 phần Sỏ' cần tìm là: (6478 - 43 ) : (100 - 1) = 65. r02*
Cách 2. Tương tự ví dụ 14. Cach 3. Từ (1) ta viết lại phép tính cộng dọc: 6478 ’ + ab (4) ab43 Xét phép cộng ở hàng chục có 2 khả năng: + Nếu phép c^ng có nhộuhì 64 + 1 = ab suy ra ab = 65. T h ủ lại: 6Õ43 - 65 = 6478 (chọn) + Nếu phép cộng không nhớ thì: 64 = a b . T h ử lại: 6443 - 64 = 6379 (loại) Vậy sô’ cần tìm là 65. Cach 4. Từ (4) xét phép cộng h àn g đơn vị 8 + b có tậ n cùng là 3. Suv ra b = 5. Thay b = 5 rồi xét phép cộng_hàng chục 7 + a + 1 có tận cùng là 6 suy ra a = 6. Vậy ab = 65. Thử lại: 6540 - bb = 647» (chọn). Vậy sô’ cần tìm là 65. 6. ỨNG DỰNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ ĐỂ GlẢl CÁC BÀI TOÁN VỂ CẤU TẠO PHÂN s ố Klii giải các bài toán phần này, ta thường dùng các tính châ't sau của p h â n sô’: 103
T ính chất 1. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một sô’ tự nhiên thì hiệu giữa tử và m ẫu của phân sô' đó không thay đổi. Tính chất 2. Khi bớt đi ở cả tử và m ẫu của một phân số cùng một sô tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân sô dó không th ay đổi. Tính chất 3. N ếu ta cộng thêm vào tử số đồng thòi bớt đi ở m ẫu sô" của phân sô" với cùng m ột sô" tự nhiên thì tổng của tử và m ẫu của phân số đó không th ay đổi. Tính chất 4. Nếu ta bốt đi ở tử và thêm vào mẫu của phân sô" với cùng một sô' tự nhiên thì tổng của tử và mẫu của phân sô’ đó không thay đổi. Dưới đây ta xét các ví dụ về vận dụng 4 tín h chất trên. Vi d ụ 16. Khi cộng thêm vào cả tử và m ẫu của phân sô" với cùng một sô" tự nhiên ta được một p h ân sô mới bằng 29 1999 . Tìm số tự nhiên đó. 2002 Lời g i ả i Hiệu của m ẫu và tử sô' của p h ân số đã cho là: 2 9 - 11 = 18 (đơn vỊ). 1999 Phân sô mới n h ận được băng có nghĩa là nếu ta chia m ẫu sô" th à n h 2002 phần bằng nhau thì tử sô' của nó chiếm 1999 phần như thế. Mặt khác, theo tính châ't 1 ta có sơ đồ: Tử sô”của phân sô" mới: 104
1999 phẫn M ẫu sô của phân số mới: 18 đơn vị 2002 phần Tử số của phân số mối là: 18 : (2002 - 1999) X 1999 = 11994 (đơn vỊ). Sô" tự nhiên cần tìm là; 11994 - 11 = 11983. C hú ý K hi sô' p h ầ n bằng n h a u là những sô' lớn, ta không th ể biểu diễn mỗi p h ầ n bằng nhau ứng với m ột đoạn thẳng. Vỉ vậy ta p h ả i g h i sô'phần bằng nhau ứng với m ỗi đoạn thẳng trên sơ đồ. Vi d ụ 17. Khi bớt đi ở cả tử và m ẫu của p h ân sô" vối 151 cùng một số tự nhiên ta n h ận được một p h ân sô' bằng —. Tìm sô’ tự nhiên đó. Lời g i ả i Hiệu giữa tử và mẫu của p h ân số đã cho là: 271 - 151 = 120 (đơn T a có sơ đồ; 105
Tử số mới: M ẫu sô' mới: 120 M ẫu số của phân số mới là: 120 : (7 - 3) X 3 = 90 (đơn vỊ). Sô" tự nhiên cần tìm là: 1 5 1 - 9 0 = 61. Ví d ụ 18. Tìm một phân số, biết rằng tổng của tử sô’ và mẫu sô' của nó bằng 210 và sau khi rú t gọn phân sô’ đó bằng —. Lời g i ả i Ta có sơ đồ sau; Tử số: I------1 h ---- 210 đơ vị n M ẫu số'. I ----- 1 - -----Ị- H— h Tử sô' của phân số cần tìm là: 210 : ( 5 + 9) X 5 = 75 (đơn vị). P hán sô'cần tìm lá: 2 1 0 - 7 5 = 135 (đơn vị). 75 P hân sô" cần tìm là: 135 106
Vi d ụ 19. Khi cộng thêm và tử số và bớt đi ổ m ẫu sỗ của phân số — với cùng môt sô" tư nhiên, ta n h ân đươc môt phân 67 sô bàng —. Tìm sô tự nhiên đó. Lời g i ả i Tổng số của tử và m ẫu của phân sô" đã cho là: 43 + 67 = 110 (đơn vị). Ta có sơ đồ: 7 Tử số mới : 110 đơn vị Mau số mới: Tử sỗ của phân số mới là: 110 : (6 + 5) X 6 = 60 (đơn vị) Sô tự nhiên cần tìm là: 6 0 - 43 = 17. Ví d ụ 20. Khi bớt đi ở tử đồng thời cộng thêm vào m ẫu của phân sô' ^-^vói cùng một sô" tự nhiên ta được một phân 49 13 số bằng — . Tìm sô’ tự nhiên đó. Lời g i ả i Tổng của tử sô' và m ẫu số của phân số đã cho là: 151 + 49 = 200 (đơn vị). 107
T a có sơ đồ; Tử số mới: 13 phần 200 đơ vị n M ẫu sô”mới: 7 phần M ẫu sô" của phân số mới là: 200 : (13 + 7) X 7 = 70 (đơn vỊ) Sô tự nhiên cần tìm là: 7 0 - 4 9 = 21. 7. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA TỶ LỆ ĐỂ GIẢI TOÁN VỂ CẤU TẠO SỐ THẬP PHÀN Khi giải các bài toán phần này, ta thường sử dụng các tính chất dưới đây của số thập phân. Tính chất 1. Khi dòi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trá i một, hai hoặc ba hàng thì số đó giảm đi 10, 100 hoặc 1000 lần. T ính chất 2. Khi dời dấu phẩy của một sô thập phân từ trái qua phải một, hai hoặc ba hàng thì sô" đó tăng lên gấp 10, 100 hoặc 1000 lần. Ví d ụ 21. Khi dời dấu phẩy của một sô' thập phán sang bên trá i một hàng thì sô" đó giảm đi 319,14 đơn vỊ. Tìm sô" đó. 108
Lời giải Khi lùi dâ'u phẩy sang bên trái một h àn g th ì số ảó giảm đi 10 lần. Ta có sơ đồ sau; Sô’ cần tìm : 319,14 Số mới; Số thập p h ân cần tìm là: 319,14 : ( 1 0 - 1) X 10 = 354,6. Ví d ụ 22 . Tìm một số thập phân có h ai chữ số ở phần thập phân, biết rằng khi bỏ quên dâ'u phẩy của sô' đó thì nó tăng thêm 1221,66 đơn vị. Lời g i ả i Vì sô" th ậ p phân cần tìm có hai chữ sô" ở p h ần th ập phân, nón khi bỏ quên dấu phẩy thì sô' đó tăn g gấp 100 lần. Ta có sơ đồ biểu thị môi quan hệ giữa sô' th ậ p p h ân cần tìm và sô' múi n h ận đưẹK; khi bù quên dấu phẩy; Sô" cần tìm : 1221,66 đcm vỊ Sô’ mới: 100 phần 109