Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) - Ts Trần Chương

Chia sẻ: Nguyen Uyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

396
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng giúp sinh viên tìm hiểu về một phương pháp toán kết cấu hiện đại trong ngành xây dựng, hiểu rõ bản chất của việc phân tích kết cấu khi sử dụng các phần mềm tính toán kết cấu được lập trình theo phương pháp phần tử hữu hạn đang sử dụng rộng rãi hiện nay.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) - Ts Trần Chương

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC TOÂN ÑÖÙC THAÉNG KHOA KYÕ THUAÄT COÂNG TRÌNH ----- ----- MOÂN HOÏC PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM) GIAÛNG VIEÂN: TS. TRẦN CHƯƠNG
cương chi ti t môn h c Môn h c : PHƯƠNG PHÁP PH N T H U H N (FEM) 1. THÔNG TIN GI NG VIÊN Giáo viên : ThS. Lê Văn Bình a ch : P.312, s 97 Võ Văn T n, Qu n 3, Tp.HCM i n tho i : 0913.66.34.77 Email : binh.lv@ou.edu.vn 2. THÔNG TIN T NG QUÁT V MÔN H C 2.1. Tên môn h c: Phương pháp ph n t h u h n 2.2. M c tiêu và yêu c u môn h c: a/. M c tiêu: Môn h c này giúp sinh viên tìm hi u v m t phương pháp tính toán k t c u hi n i trong ngành xây d ng, hi u rõ v b n ch t c a vi c phân tích k t c u khi s d ng các ph n m m tính toán k t c u ư c l p trình theo phương pháp ph n t h u h n ang ư c s d ng r ng rãi hi n nay. b/. Yêu c u: Sau khi h c xong môn h c này, sinh viên ph i t ư c: - N m v ng phương pháp ph n t h u h n - Gi i ư c các bài toán k t c u h thanh theo FEM - Gi i ư c các bài toán k t c u t m v ơn gi n theo FEM - L p trình gi i các bài toán k t c u h thanh ph ng b ng ngôn ng Matlab 2.3. S ơn v h c trình: 3 vht 2.4. Phân b th i gian: 30.30.00 (30 Lý thuy t + 15 Bài t p) 2.5. Các ki n th c c n h c trư c: Sinh viên ph i ã ho c ang h c các môn h c sau: - S c b n v t li u 1 & 2 - Cơ h c k t c u 1 & 2 - Cơ h c môi trư ng liên t c (Lý thuy t àn h i) - Phương pháp tính + Matlab 2.6. Hình th c gi ng d y: Gi ng lý thuy t + th o lu n 2.7. Giáo trình, tài li u tham kh o: a/. Tài li u chính: - [1] Lê Văn Bình, Giáo trình Phương pháp ph n t h u h n ng d ng, Khoa KT&CN - i h c M Bán công TpHCM, 2004. b/. Tài li u tham kh o: - [2] Chu Qu c Th ng, Phương pháp ph n t h u h n, NXB KHKT, 1997. - [3] Phan ình Hu n, Bài t p phương pháp PTHH, NXBTPHCM, 2004. - [4] Nguy n Lương Dũng, Giáo trình PPPTHH trong cơ h c, H Bách Khoa TPHCM, 1993. - [5] Rao S.S, The Finite Element Method in Engineering, Pegamon Press, 1989. 2.8. Công c h tr : Overhead, Projector binh.lv@ou.edu.vn 1
3. N I DUNG MÔN H C 3.1. Chương 1: T ng quan v các phương pháp tính trong cơ h c v t r n (5t) Phương pháp S mc N i dung chi ti t M c ích Yêu c u ti t gi ng d y 1.1. Kh o sát bài toán t ra bài toán t ng quát c a Cơ h c 1 Giúp sinh viên n m ư c Hi u ư c tr ng thái Thuy t trình, th o t ng quát c a Cơ h c v t r n bi n d ng, nêu ra các n s cơ i tư ng và nhi m v ng su t t i 1 i m và lu n. S d ng máy v t r n bi n d ng b n c n tìm gi i bài toán này. c a môn h c các thành ph n c a Overhead. vectơ chuy n v , bi n d ng, ng su t. 1.2. Các phương trình 1.2.1. Phương trình vi phân cân b ng. 1 B túc và h th ng l i N m ư c s lư ng Thuy t trình, th o cơ b n c a Cơ h c v t 1.2.2. Phương trình quan h gi a m t cách t ng quát các phương trình gi i lu n. S d ng máy r n bi n d ng phương trình c a Cơ h c quy t bài toán Cơ h c Overhead. chuy n v - bi n d ng (phương trình v t r n. v tr n Cauchy). 1.2.3. Phương trình quan h gi a ng su t - bi n d ng ( nh lu t Hooke). 1.3. Các phương pháp 1.3.1. Nghi m và h th ng phương 1 Trình bày quá trình phát H th ng sơ b ư c Thuy t trình, th o gi i bài toán Cơ h c trình gi i. tri n c a các phương các phương pháp gi i lu n. S d ng máy v t r n. pháp gi i bài toán Cơ v t bài toán Cơ v t r n t Overhead. 1.3.2. Các phương pháp gi i. r n. trư c n nay. Ưu và như c i m c a t ng phương pháp. 1.4. Các ví d minh 1.4.1. Phương pháp tích phân tr c ti p. 2 Tìm hi u cách gi i bài Hi u ư c phương S d ng b ng, h a vi c gi i bài toán 1.4.2. Các phương pháp bi n phân. toán k t c u ơn gi n pháp tích phân tr c ph n. Cơ v t r n theo nhi u theo các phương pháp ti p, bi n phân (pp phương pháp khác khác nhau, so sánh v i ph n dư có tr ng s , nhau. nghi m chính xác. bình phương c c ti u). binh.lv@ou.edu.vn 2
3.2. Chương 2: Phương pháp ph n t h u h n (5t) Phương pháp S mc N i dung chi ti t M c ích Yêu c u ti t gi ng d y 2.1. Khái ni m v Trên cơ s phân tích ưu như c i m 1 T o khái ni m m uv N m khái quát v ý Thuy t trình, th o phương pháp ph n c a các phương pháp gi i bài toán Cơ FEM và các ý tư ng tư ng r i r c k t c u lu n. S d ng máy t h u h n (FEM) v t r n Chương 1 s d n ra phương chính c a phương pháp, thành nhi u ph n t c a Overhead. pháp FEM. làm quen v i các khái FEM. ni m ph n t , nút… 2.2. Hàm x p x 2.2.1. Ch n hàm x p x 1 T o tư duy tìm các n Bi t v n d ng cách x p Thuy t trình, th o hàm c a bài toán k t c u x các n hàm c n tìm lu n. S d ng máy 2.2.2. Ch n b c c a a th c x p x b ng cách x p x nó theo thay vì ph i i tích Overhead. m t tiêu chu n nào ó. phân tr c ti p. 2.3. Hàm d ng Trình bày ý tư ng chính c a FEM là 1 Hi u rõ b n ch t c a Có th tìm ư c ma Thuy t trình, th o n i suy các thông s c a hàm x p x FEM là ch tính toán các tr n các hàm d ng c a lu n. S d ng máy qua vectơ chuy n v nút ph n t b ng n hàm ã ư c x p x các ph n t 1 chi u ơn Overhead. ma tr n các hàm d ng. Trình bày 02 thí thông qua vectơ chuy n gi n. d tìm ma tr n các hàm d ng c a ph n v nút ph n t . Thuy t trình, s t ch u kéo (nén) và ch u u n. d ng b ng + ph n 2.4. Các phương trình 2.4.1. Ma tr n c ng ph n t và 1 Xác nh các thành ph n Tìm ư c ma tr n S d ng b ng, cơ b n c a FEM vectơ t i ph n t . cơ b n c a t ng ph n t c ng và vectơ t i ph n ph n, Overhead. k t n i thành m t h t , bi t cách l p ghép 2.4.2. Ma tr n c ng t ng th và k t c u t ng th thông thành ma tr n c ng và vectơ t i t ng th . qua các nguyên lý bi n vectơ t i t ng th b ng 2.4.3. Ghép n i ph n t b ng ma tr n phân. ma tr n ch s . ch s + thí d . 2.5. Phép chuy n tr c Trình bày cách chuy n tr c t a khi 0.5 Xác nh ư c các ma N m v ng công th c Thuy t trình, th o ta các ph n t c a k t c u có h t a tr n c ng và vectơ t i chuy n tr c t a và lu n. S d ng máy riêng không gi ng nhau ph n t trong h t a bi t cách v n d ng. Overhead. t ng th b ng phép chuy n tr c t a . 2.6. Trình t phân tích Trình bày t ng quát trình t th c hi n 0.5 Giúp SV ch ng khi s N m v ng 06 bư c Thuy t trình, th o bài toán k t c u theo 06 bư c gi i bài toán k t c u theo d ng FEM gi i bài th c hành gi i bài lu n. S d ng máy FEM FEM. Bài t p chương 2. toán k t c u. toán k t c u theo FEM Overhead. binh.lv@ou.edu.vn 3
3.3. Chương 3: Tính toán h thanh theo FEM (25t) Phương pháp S mc N i dung chi ti t M c ích Yêu c u ti t gi ng d y 3.1. Tính toán h 3.1.1. Ph n t thanh ch u bi n d ng d c 10 Th c hành áp d ng FEM Tính toán ư c các h Thuy t trình, th o thanh dàn. t r c: gi i bài toán thanh thanh ch u bi n d ng lu n. S d ng b ng ch u bi n d ng d c tr c d c tr c và h thanh + ph n. Ch n hàm x p x , thành l p ma tr n và thanh dàn. dàn theo FEM. c ng ph n t , vectơ t i ph n t , l p ghép ma tr n và vectơ t i t ng th . Thí d + Bài t p. 3.1.2. Ph n t thanh dàn ph ng Thành l p ma tr n c ng ph n t , vectơ t i ph n t , l p ghép ma tr n và vectơ t i t ng th . Thí d + Bài t p. 3.1.3. Ph n t thanh dàn không gian 3.2. Tính toán h 3.2.1. Ph n t thanh ch u u n: 15 Th c hành áp d ng FEM Tính toán ư c các h Thuy t trình, th o khung ph ng. gi i bài toán thanh thanh u n và h khung lu n. S d ng b ng Ch n hàm x p x , thành l p ma tr n ch u u n và h khung ph ng theo FEM. + ph n. c ng ph n t , vectơ t i ph n t , l p ph ng; ghép ma tr n và vectơ t i t ng th . Thí d + Bài t p. 3.2.2. Ph n t khung ph ng Thành l p ma tr n c ng ph n t , vectơ t i ph n t , l p ghép ma tr n và vectơ t i t ng th . Thí d + Bài t p. 3.2.3. Ph n t khung ph ng t ng quát 3.2.4. Ph n t khung không gian Thí d + Bài t p. binh.lv@ou.edu.vn 4
3.4. Chương 4: Bài toán ph ng c a Lý thuy t àn h i (5t) Phương pháp S mc N i dung chi ti t M c ích Yêu c u ti t gi ng d y 4.1. Bài toán ng su t Gi i thi u bài toán ng su t ph ng và 0.5 B túc l i ki n th c v N m ư c các vectơ Thuy t trình, th o ph ng. nh ng k t c u thu c d ng t m ng su t bài toán ng su t ph ng. chuy n v , ng su t, lu n. S d ng ph ng. bi n d ng c a ph n t Overhead. lo i này. 4.2. Bài toán bi n Gi i thi u bài toán bi n d ng ph ng và 0.5 B túc l i ki n th c v N m ư c các vectơ Thuy t trình, th o d ng ph ng. nh ng k t c u thu c d ng t m bi n bài toán bi n d ng chuy n v , ng su t, lu n. S d ng d ng ph ng.. ph ng. bi n d ng c a ph n t Overhead. lo i này. 4.3. Bài toán ph ng 4.3.1. Các hàm d ng 1 Trình bày cách tính bài N m ư c cách xác Thuy t trình, th o v i ph n t tam giác. toán ph ng theo FEM v i nh ma tr n c ng, lu n. S d ng b ng 4.3.2. Ma tr n c ng ph n t lư i ph n t tam giác. vectơ t i ph n t . Xác + ph n. 4.3.3. Vectơ t i ph n t nh ng su t và bi n 4.3.4. Ma tr n tính ng su t d ng bên trong ph n t . Thí d minh h a Rút ra nh n xét. 4.4. Bài toán ph ng 4.4.1. Các hàm d ng 1 Trình bày cách tính bài N m ư c cách xác Thuy t trình, th o v i ph n t ch nh t. toán ph ng theo FEM v i nh ma tr n c ng, lu n. S d ng b ng 4.4.2. Ma tr n c ng ph n t lư i ph n t ch nh t. vectơ t i ph n t . Xác + ph n. 4.4.3. Vectơ t i ph n t nh ng su t và bi n 4.4.4. Ma tr n tính ng su t d ng bên trong ph n t . Thí d minh h a Rút ra nh n xét. 4.5. Ph n t t m ch u 4.4.1. Các hàm d ng 2 Trình bày cách tính bài N m ư c cách xác Thuy t trình, th o u n – Lý thuy t t m 4.4.2. Ma tr n c ng ph n t toán ph ng theo FEM v i nh ma tr n c ng, lu n. S d ng b ng m ng lư i ph n t ch nh t. vectơ t i ph n t . Xác + ph n. 4.4.3. Vectơ t i ph n t nh ng su t và bi n 4.4.4. Ma tr n tính ng su t d ng bên trong ph n t . Thí d minh h a Rút ra nh n xét. binh.lv@ou.edu.vn 5
3.5. Chương 5: T ng hóa tính toán k t c u theo FEM (5t) Phương pháp S mc N i dung chi ti t M c ích Yêu c u ti t gi ng d y 4.1. T ng hóa tính 4.1.1. Gi i thi u ngôn ng Matlab 6.0 3 Làm quen v i ngôn ng Hi u ư c thu t gi i và Thuy t trình, th o toán h thanh theo 4.1.2. Thu t gi i l p trình Matlab áp t l p trình ư c. lu n. S d ng FEM b ng ngôn ng 4.1.3. Áp d ng d ng t ng hóa tính máy Projector. Matlab toán k t c u. 4.2. T ng hóa tính 4.2.1. Gi i thi u ph n m m SAP2000 2 Làm quen v i ph n m m Ki m tra ư c các k t Thuy t trình, th o toán k t c u b ng ph n 4.2.2. Áp d ng gi i các bài toán ã gi i phân tích k t c u qu tính toán b ng tay lu n. S d ng m m SAP2000. SAP2000 v i Matlab và SAP2000. Projector. chương 3 và các bài t p. binh.lv@ou.edu.vn 6
4. ÁNH GIÁ K T QU H C T P - ki m tra gi a kỳ: 0% - ki m tra cu i kỳ: 100% - Hình th c: thi vi t . binh.lv@ou.edu.vn 7
Chương 1 T ng quan v các phương pháp tính trong cơ h c v t r n 1.1. Bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng Bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng nghiên c u v t th có th tích V, b bi n d ng dư i tác d ng c a các l c kh i {g}, các l c b m t {p} trên biên tĩnh h c S t và các i u ki n liên k t trên biên ng h c S d (hình 1.1). ây là bài toán 3 chi u t ng quát nh t c a Cơ h c v t r n bi n d ng. Các bài toán k t c u d ng h p thanh (bài toán 1 chi u) như trong môn h c S c b n v t Ri li u, Cơ h c k t c u… là m t trư ng h p c bi t c a bài St R1 toán này. {g} V Dư i tác d ng c a các nguyên nhân nêu trên, m i i m trong v t th V s xu t hi n các thành ph n chuy n ∆t v , bi n d ng và ng su t. ng su t và bi n d ng t i các Sd i m khác nhau trong v t th ư c xác nh b i tr ng thái Hình 1.1 ng su t và tr ng thái bi n d ng t i i m ó. Các thành ph n chuy n v , bi n d ng và ng su t t i m t i m hoàn toàn xác nh ư c khi bi t các thành ph n tương ng trên 3 m t ph ng vuông góc v i nhau. Trong h ta -các, bi u di n các thành ph n chuy n v , tr ng thái ng su t và tr ng thái bi n d ng, ngư i ta dùng các vectơ chuy n v , vectơ ng su t và vectơ bi n d ng. {u} = {u, v, w} Vectơ chuy n v {σ} = {σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx } Vectơ ng su t {ε} = {ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx } Vectơ bi n d ng N u kh o sát các thành ph n ng su t c a m t phân t hình h p trong trư ng h p t ng quát thì vectơ ng su t có t t c 9 thành ph n: g m 3 thành ph n ng su t pháp ( σ x , σ y , σ z ) và 6 thành ph n ng su t ti p ( τ xy , τ xz , τ yz , τ yx , τ zx , τ zy ). Tuy nhiên, ta s có các c p ng su t ti p b ng nhau t ng ôi m t theo nh lu t i ng ng su t ti p là τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy (s bàn k m c 1.2), do v y vectơ ng su t ch c n xác nh 6 thành ph n. Tương ng, vectơ bi n d ng cũng ch có 6 thành ph n. Các thành ph n c a các vectơ này u là các n hàm chưa bi t. Như v y, gi i ư c bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng trong trư ng h p t ng quát, ta ph i tìm ư c t t c 15 n hàm c a các vectơ trên, ng th i các n hàm này ph i th a mãn i u ki n biên ng h c trên biên S d và i u ki n biên tĩnh h c trên biên S t . Dư i ây, ta s i thi t l p các phương trình quan h gi a các n hàm này nh m m c ích gi i bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng. binh.lv@ou.edu.vn 8
1.2. Các phương trình c a Cơ h c v t r n bi n d ng 1.2.1. Phương trình cân b ng n i (phương trình vi phân cân b ng) Xét m t phân t hình h p có c nh là dx, dy, dz ư c tách ra t v t th V (hình 1.2). i v i phân t này các thành ph n ng su t có th ư c xem như các ngo i l c tác d ng lên phân t (hình v 1.2 ch th hi n các δ τ xy thành ph n ng su t trên m t ph ng vuông dx τ xy + δx góc v i tr c X). T i u ki n cân b ng δ σx τ xz dx σx σx + thông thư ng, dùng các phương trình hình δx chi u lên các phương X, Y, Z và b qua τ xy các vô cùng bé b c cao, ta có ư c h δ τ xz dy dz dx τ xz + Y phương trình cân b ng n i trong toàn v t δx dx th . C th , v i phương trình hình chi u các thành ph n ng su t lên phương X X Hình 1.2 ∑ X = 0 , ta có: Z ∂τ xy ∂σ x ∂τ dy + xz dz + G x = 0 dx + ∂x ∂y ∂z ∂σ x ∂σ y ∂τ xz + g x = 0 , trong ó g x là thành ph n l c kh i theo phương X. ⇒ + + ∂x ∂y ∂z Tương t , ta cũng có các phương trình vi phân cân b ng theo các phương Y và Z. Cu i cùng, h phương trình vi phân cân b ng s g m 3 phương trình sau:  ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + gx = 0 + +   ∂x ∂y ∂z  ∂τ xy ∂σ y ∂τ yz  (1.1) + gy = 0  + +  ∂x ∂y ∂z  ∂τ ∂τ xy ∂σ z  xz + + gz = 0 +  ∂x ∂y ∂z  N u dùng phương trình cân b ng t ng mômen xoay quanh tr c X, Y, Z i v i tâm i m O là tr ng tâm c a phân t hình h p, ta s có nh lu t i ng ng su t ti p. C th , v i phương trình ∑ M / O = 0 quanh tr c Z, ta có: dy  ∂τ yx  dy dx  ∂τ xy  dx +  τ yx + dy  +  τ xy + dx  τ yx = τ xy 2 2 2 2 ∂y ∂x     N u b qua các vô cùng bé b c cao dx 2 và dy 2 , ta có τ xy .dx = τ yx .dy ⇒ τ xy = τ yx . Tương t ta s ư c các phương trình τ yz = τ zy ; τ xz = τ zx ; V i bài toán 2D, h phương trình vi phân cân b ng g m 2 phương trình:  ∂σ x ∂τ xy + gx = 0 +   ∂x ∂y   ∂τ xy + ∂σ y + g = 0  ∂x y ∂y  binh.lv@ou.edu.vn 9
V i bài toán 1D, h phương trình vi phân cân b ng ch còn 1 phương trình: ∂σ x + gx = 0 ∂x 1.2.2. Phương trình quan h gi a chuy n v - bi n d ng (phương trình Cauchy) Dư i tác d ng c a t i tr ng, v t th b bi n d ng, ng th i các i m trong v t th s b d ch chuy n trong không gian. Xét m t phân t b bi n d ng như hình 1.3. T quan h hình h c ta có th rút ra ư c h phương trình quan h gi a bi n d ng và chuy n v . C th , v i thành ph n bi n d ng t i theo phương X, ta có:   ∂u   dx +  u + ∂x dx  − u  − dx O' A' x − OA x ∂u   =  εx = = OA dx ∂x ∂v ∂w Tương t , ta cũng có các thành ph n bi n d ng ε y = ; εz = . ∂y ∂z Góc xoay t i trong m t ph ng xy chính là gi m góc vuông c a phân t lúc ban u. T quan h hình h c, ta có:  ∂u  ∂v   u + dy  − u v + dx  − v  ∂y  ∂x     = α1 + α 2 ≈ tgα1 + tgα 2 = γ xy +   ∂v   ∂u    dx +  u + ∂x dx  − u  dy +  v + dy  − v   ∂y         ∂u ∂v dy dx ∂y ∂x = + (1 + ε x ) dx (1 + ε y ) dy ∂v ∂u Do ε x , ε y
 ∂ 2 ε x ∂ 2 ε y ∂ 2 γ xy ∂  ∂γ xz ∂γ xy ∂γ yz  ∂ 2ε x  =2 ;  2+ = + − ∂x  ∂y  ∂x 2 ∂x∂y ∂z ∂x ∂y∂z  ∂y   ∂ 2ε 2 ∂ 2ε y ∂  ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx  ∂ 2 ε z ∂ γ yz  y  =2 (1.3) ; 2 + = + − ∂y  ∂z ∂y  ∂y 2 ∂y∂z ∂x ∂x∂z  ∂z   2 ∂  ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy  2 2 ∂ 2ε z  ∂ ε z + ∂ ε x = ∂ γ zx  =2 ; + − ∂z  ∂x ∂z   ∂2x ∂z 2 ∂z∂x ∂y ∂x∂y    Trong bài toán 2D, h phương trình Cauchy g m 3 phương trình: ∂u ∂v ∂u  ε x = ∂x ; γ xy = ∂x + ∂y   ε = ∂v ;  y ∂y  Trong bài toán 1D, h phương trình Cauchy g m 1 phương trình: ∂u du εx = = ∂x dx Chú ý : Trong bài toán 1D, các phương trình liên t c c a bi n d ng t ng th a mãn ( v = w = 0 ; γ xz = γ yz = 0 ). 1.2.3. Phương trình quan h gi a ng su t – bi n d ng Quan h gi a bi n d ng àn h i tuy n tính và ng su t ư c th hi n b ng nh lu t Hooke ã ư c bi t trong S c b n v t li u: 1 1 2(1 + ν )  [ ] ε x = E σ x − ν (σ y + σ z ) ; γ xy = τ xy = τ xy G E  1 1 2(1 + ν)  [ ] (1.4) ε y = σ y − ν (σ z + σ x ) ; γ yz = τ yz = τ yz E G E   1 1 2(1 + ν ) [ ] ε z = E σ z − ν (σ x + σ y ) ; γ zx = τ zx = τ zx G E  Trong ó E là mo un àn h i Young c a v t li u, G là mô un àn h i trư t. Quan h gi a E và G ư c th hi n qua công th c: E (1.5) G= 2(1 + ν ) nh lu t Hooke cho v t li u ng hư ng có th ư c bi u di n dư i d ng ma tr n như sau: {ε} = [C]{σ} (1.6) Trong ó [C] là ma tr n các h s àn h i. binh.lv@ou.edu.vn 11
1 − ν − ν 0 0 0  0 1 −ν 0 0   1 0 1 0 0 [C] =  (1.7)  2(1 + ν ) 0 0 E  0 dx 2(1 + ν )   2(1 + ν)    Ngoài ra cũng có th bi u di n ng su t theo bi n d ng như sau: {σ} = [D]{ε} (1.8) 1 − ν 0 0 0  ν ν  0 1− ν 0 0 ν    0 1− ν 0 0   1 − 2ν 0 0 [D] =  (1.9) 2   1 − 2ν  0 dx   2  1 − 2ν     2 1.3. Các phương pháp gi i bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng 1.3.1. Nghi m và h th ng phương trình gi i T các n i dung trình bày trên, ta có th th y vi c gi i bài toán Cơ h c v t r n trong trư ng h p t ng quát là i tìm 15 n hàm g m 3 thành ph n c a vectơ chuy n v , 6 thành ph n c a vectơ ng su t và 6 thành ph n c a vectơ bi n d ng. Ta cũng có 15 phương trình ã bi t g m 3 phương trình cân b ng n i (1.1), 6 phương trình quan h gi a bi n d ng - chuy n v (1.2), 6 phương trình quan h gi a ng su t - bi n d ng (1.4). Ngoài ra các n hàm tìm ư c ph i th a mãn các i u ki n biên trên biên tĩnh h c S t và biên ng h c Sd . Tùy theo t ng bài toán c th là 1 chi u, 2 chi u hay 3 chi u mà s n hàm và h th ng phương trình gi i có th khác nhau, ư c trình bày trong b ng sau: n hàm c n tìm Bài toán 1-D Bài toán 2-D Bài toán 3-D {u} = {u} {u} = {u, v} {u} = {u, v, w} Chuy n v {σ} = {σ x , σ y , τ xy } {σ} = {σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz, τ zx } {σ} = {σ x } ng su t {ε} = {ε x , ε y , γ xy } {ε} = {ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx } {ε} = {ε x } Bi n d ng T ng s 3 8 15 binh.lv@ou.edu.vn 12
Lo i phương trình Bài toán 1-D Bài toán 2-D Bài toán 3-D Cân b ng n i 1 2 3 Bi n d ng - chuy n v 1 3 6 ng su t - bi n d ng 1 3 6 T ng s 3 8 15 1.3.2. Các phương pháp gi i V nguyên t c ta có th tr c ti p tìm ư c 15 n hàm này b ng cách tích phân tr c ti p 15 phương trình ã bi t. Tuy nhiên, vi c gi i h th ng phương trình vi phân này thư ng khó th c hi n do khó khăn v m t toán h c. Vì v y quá trình phát tri n c a môn h c ã tìm ra nhi u phương pháp gi i quy t. Có th th ng kê sơ b các phương pháp gi i bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng theo sơ sau ây: Các phương pháp gi i Phương pháp gi i tích Phương pháp s Các PP Các PP PP tích PP sai PP chính xác g n úng phân ph n phân s (tích phân (PP h uh n t tr c ti p) bi n phân) h uh n 1.4. Các Thí d gi i bài toán Cơ h c v t r n 1.4.1. Phương pháp chính xác (tích phân tr c ti p) Ta xem chuy n v là n cơ b n c n tìm. Sau khi tìm ư c các n hàm chuy n v , ta s tính ư c các n hàm ng su t và bi n d ng nh h phương trình Cauchy và nh lu t Hooke. Thí d : Xét bài toán d m ơn gi n, ngàm 2 u, ch u t i tr ng phân b u. Ta s gi i bài toán này theo phương pháp tích phân tr c ti p. Như trong SBVL, ta ã bi t phương trình vi phân ch o c a bài toán này theo chuy n v trong m t ph ng u n v(x): q d4v (1.10) EJ 4 = q dx i u ki n biên c a bài toán: l  v ( 0) = v ( 0) = 0 ,  (1.11)  v(l) = v , (l) = 0  binh.lv@ou.edu.vn 13
d4v q T (1.10) ta có: = 4 EJ dx Tích phân phương trình này 4 l n, ta s ư c hàm võng v(x): q x  4 v (x ) =   24 + C1 x + C 2 x + C 3 x + C 4  3 2 (1.12)  EJ   Các h ng s tích phân ư c xác nh t i u ki n biên (1.11): 2 l l C1 = − ; C2 = ; C3 = C 4 = 0 12 24 Cu i cùng ta ư c phương trình hàm võng v(x): q ( ) v (x ) = x 4 − 2lx 3 + l 2 x 2 (1.13) 24EJ D a vào quan h vi phân gi a mômen và v(x), ta tìm ư c bi u th c M: d2v q ( ) 6 x 2 − 6lx + l 2 (1.14) M = −EJ =− 2 12 dx D th y r ng, mômen u n và võng gi a nh p (x = l/2) s là: 2 ql 4  l  ql l ; v = v  = M = M  =  2  24 2 384EJ 1.4.2. Các phương pháp bi n phân Trong các bài toán cơ và k thu t, phương trình vi phân ch o có th bi u di n d ng t ng quát như sau (Bài toán tr biên – Boundary Value Problem): L( u ) + g = 0 Trong V (1.15)  C( u ) = p Tren bien S Trong ó L và C là các toán t vi phân. u = u ( x , y) là các hàm c l p c a các bi n x, y và là n s c n tìm. g = g ( x , y) và p = p( x , y) là các hàm cho trư c tương ng trong mi n V và biên S. Các phương pháp bi n phân là các phương pháp g n úng mà t c tiêu là tìm t i m t nghi m x p x d a trên m t tiêu chu n nào ó. i v i bài toán k t c u, tiêu chu n là các nguyên lý v th năng. Phương pháp Ritz: Phương pháp Ritz tìm x p x d ng g n úng c a n hàm c n tìm d ng t h p tuy n tính các hàm x p x (approximation function): N u ( x , y) ≈ u N = ϕ 0 ( x , y) + ∑ C i ϕ i ( x , y ) (1.16) i =1 Trong nhi u bài toán tr biên, ngư i ta ch ng minh ư c s t n t i c a m t phi m hàm I có d ng: I = ∫ F( x , y, u , u ' x , u ' ' xx , u ' y , u ' ' yy ,...)dxdy (1.17) V T i u ki n d ng c a phi m hàm này s cho phương trình vi phân ch o (ho c o hàm riêng) c a bài toán. binh.lv@ou.edu.vn 14
Hàm ϕ 0 ( x , y) là hàm ư c ch n th a mãn i u ki n biên không thu n nh t. Trư ng h p các i u ki n biên là thu n nh t, ch n ϕ 0 ( x , y) = 0 . Hàm ϕ i ( x , y) ư c ch n ph i th a mãn 3 i u ki n sau nh m mb os h it c a nghi m Ritz n nghi m chính xác: + ϕ i ph i kh vi như phi m hàm I òi h i. + ph i th a các i u ki n biên c n thi t d ng thu n nh t. + v i N nào ó thì t p h p {ϕ i }iN 1 là c l p tuy n tính và y . = C i là các tham s ư c xác nh t i u ki n d ng c a phi m hàm I, c th : I = I(C1 , C 2 ,..., C n )  ∂I  ∂C = 0 1  ∂I =0  (1.18) δI = 0 ⇔  ∂C 2 M   ∂I  ∂C = 0 n Phương trình (1.18) cho ta m t h phương trình i s v i các n s C i , gi i h này ta ư c các h s C i , và cu i cùng tìm ư c nghi m x p x : N u ( x , y) ≈ u N = ϕ 0 + ∑ C i ϕ i i =1 Phương pháp phương pháp ph n dư có tr ng (Weighted Residual Method): Trong nhi u bài toán tr biên không t n t i phi m hàm I c a phương trình vi phân ch o (1.15). Do v y, ngư i ta ưa ra phương pháp sau: G i R (u ) = L(u ) + g là hàm ph n dư (residual function). (1.19) Cũng như phương pháp Ritz, ch n nghi m x p x d ng: N u ( x , y) ≈ u N = ϕ 0 + ∑ C i ϕ i (1.20) i =1 Do nghi m là g n úng nên ta có: R ( u N ) = L(u N ) + g ≠ 0 Các tham s C i ư c ch n sao cho tích phân ph n dư có tr ng s trên toàn mi n ph i b ng 0, t c là: ∫ ψ R (u (1.21) )dxdy = 0 i N V Trong ó ψ i = ψ i ( x, y) g i là hàm tr ng s . Thay u N t (1.19) vào (1.21), ta có: N  ψ i R (u N )dxdy = 0 = ∫ ψ i [L(u N ) + g]dxdy = ∫ ∑ C j ψ i L(ϕ i ) + ψ i (L(ϕ 0 ) + g ) dxdy ∫ V  j=1  V V binh.lv@ou.edu.vn 15
     N = ∑ C j  ∫ ψ i L(ϕ i )dxdy  +  ∫ ψ i L(ϕ 0 ) + g dxdy  = 0      V  V    j=1 Nu t: L ij = ∫ ψ i L(ϕ i )dxdy và g i = ∫ ψ i [L(ϕ 0 ) + g ]dxdy V V Ta nh n ư c m t h phương trình is : N ∑L C (1.22) + gi = 0 ij j j=1 Gi i h này ta ư c các h s C i , và cu i cùng tìm ư c nghi m x p x : N u ( x , y) ≈ u N = ϕ 0 + ∑ C i ϕ i i =1 Ghi chú: + Phương pháp Galerkin là phương pháp ph n dư có tr ng s khi ta l y hàm tr ng s ψ i = ϕi . ∂R + Phương pháp bình phương t i thi u ta ch n hàm tr ng s ψ i = . ∂C i Thí d : V i bài toán d m ch u u n trên, dùng phương pháp Galerkin Ta ã có phương trình vi phân ch o c a bài toán: d4v EJ =q dx 4 i u ki n biên c a bài toán:  v ( 0) = v , ( 0) = 0   v(l) = v , (l) = 0  N d ng: v N ( x ) = v o + ∑ C i v i Chúng ta tìm nghi m x p x i =1 Trong ó ch n trư c: v 0 ( x ) = 0 2πi  v i αi =  2πix l v i ( x ) = 1 − cos l = 1 − cos α i x  Ta nh n th y các hàm vi th a mãn i u ki n biên. d4 q Các toán t vi phân có d ng: L = và g = − dx EJ d 4vi q N Hàm ph n dư: R ( v N ) = ∑ C i ≠0 − dx 4 EJ i =1 i u ki n: ∫ v i R ( v N )dx = 0 Các tham s Ci ư c xác nh t l Ta xác nh ư c: binh.lv@ou.edu.vn 16
d4v j l l l L ij = ∫ v i L( v j )dx = ∫ v i = − ∫ (1 − cos α i x ) α 4 cos α j x dx i = 1,2, ..., N j dx 4 0 0 0 Sau khi th c hi n và tính toán tích phân ta th y: 0 i≠ j  L ij =  lα i4 i= j  2 l l q ql g i = ∫ v i [L( v 0 ) + g ]dx = − ∫ (1 − cos α i x )dx = − EJ 0 EJ 0 Thay vào h phương trình, ta có: lα i4 1 ql 4 ql 2q = 0 ⇒ Ci = 4 = 4 4 Ci − 2 EJ α i EJ 8i π EJ V y hàm võng tìm ư c là: ql 4 1 N 1 2πi  ∑i v( x ) ≈ v N ( x ) = 1 − cos x 4 EJ 8π 4 l  i =1 N u ch l y s h ng u tiên c a chu i ng v i N = 1, ta có: ql 4 1  2π  v( x ) = 1 − cos x 4 EJ 8π  l Giá tr võng gi a nh p (x = l/2): ql 4 1 ql 4 l v max = v  = = 4  2  4EJπ 389,6 EJ Ta th y k t qu sai l ch r t ít so v i k t qu chính xác (1,4%). Ta có th tăng chính xác c a k t qu b ng cách l y thêm m t s các s h ng c a chu i v(x). N u N = ∞ thì ta có k t qu chính xác. 1.5. Các nguyên lý bi n phân 1.5.1. Nguyên lý th năng toàn ph n d ng (nguyên lý bi n phân v chuy n v ) Th năng toàn ph n Π c a m t h àn h i bao g m th năng bi n d ng àn h i U tích lũy trong quá trình bi n d ng và công A c a ngo i l c sinh ra trên các chuy n d i c a ngo i l c do v t th b bi n d ng. V m t bi u th c ta có : Π = U – A N i dung nguyên lý ư c phát bi u như sau: Trong t t c các trư ng chuy n v kh dĩ ng (t c là th a mãn các i u ki n tương thích và i u ki n biên ng h c), trư ng chuy n v th c s làm th năng toàn ph n c a h t giá tr d ng. N u th năng toàn ph n Π ư c bi u di n theo trư ng chuy n v {u} thì nguyên lý th năng toàn ph n d ng có th vi t như sau: δΠ ({u}) = 0 ⇒ δU({u}) − δA({u}) = 0 . N u áp d ng nguyên lý th năng toàn ph n d ng gi i bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng, ngư i ta x p x trư ng chuy n v c a t ng ph n t trong v t th , sau ó bi u di n d ng th năng toàn ph n Π theo trư ng chuy n v x p x này. T i u ki n d ng c a binh.lv@ou.edu.vn 17
phi m hàm Π s cho ra các phương trình cân b ng trong khi các i u ki n liên t c ã ư c th a mãn. (Hay nói cách khác, nguyên lý này cho các phương trình cân b ng). 1.5.2. Nguyên lý c c ti u năng lư ng bù toàn ph n (nguyên lý bi n phân c a ng su t) Năng lư ng bù toàn ph n Π* c a v t th àn h i bao g m công bù c a bi n d ng U* và công bù c a ngo i l c A*. V m t bi u th c ta có: Π* = U * − A * N i dung nguyên lý ư c phát bi u như sau: Trong t t c các trư ng ng su t kh dĩ tĩnh (t c là th a mãn các i u ki n cân b ng và i u ki n biên tĩnh h c), trư ng ng su t th c s làm năng lư ng bù toàn ph n c a h t giá tr d ng. N u năng lư ng bù toàn ph n Π* ư c bi u di n theo trư ng ng su t {σ} thì nguyên lý c c ti u năng lư ng bù toàn ph n có th vi t như sau: δΠ * ({σ}) = 0 ⇒ δU * ({σ}) − δA * ({σ}) = 0 . N u áp d ng nguyên lý c c ti u năng lư ng bù toàn ph n gi i bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng, ngư i ta x p x trư ng ng su t c a t ng ph n t trong v t th , sau ó bi u di n năng lư ng bù toàn ph n Π* theo trư ng ng su t x p x này. T i u ki n d ng c a phi m hàm Π* s cho ra các phương trình chính là các i u ki n tương thích trong khi các i u ki n cân b ng ã ư c th a mãn. ---oOo--- ☺ NH NG CÂU H I THƯ NG G P H i: H c chương này làm gì? Chương này có c n thi t khi nghiên c u phương pháp PTHH hay không? Có th không c chương này ư c không? áp: Chương này nh m m c ích b túc và h th ng l i các phương trình cơ b n c a bài toán Cơ h c v t r n bi n d ng ã ư c trình bày trong môn h c Cơ h c môi trư ng liên t c (hay Lý thuy t àn h i), ng th i trình bày m t s phương pháp tính ã ư c áp d ng gi i quy t bài toán này. Qua ó, các b n sinh viên làm quen v i cách gi i g n úng theo ki u x p x nghi m c n tìm thay vì ph i tìm nghi m chính xác. Phương pháp PTHH cũng s gi i quy t theo ki u x p x nghi m như v y. N u không c qua chương này, b n s lúng túng khi xây d ng các phương trình c a PP PTHH. H i: Tôi th y khó hi u vì các phép tính o hàm th t r c r i và khó hình dung? T o sao các phương trình cân b ng không th hi n gi ng như các phương trình cân b ng l c ã ư c h c trong Cơ h c k t c u và S c b n v t li u? áp: Th c ra cách xây d ng các phương trình cân b ng u d a trên i u ki n cân b ng l c và mômen như b n thư ng dùng khi xét cân b ng c a m t ph n h . ây trình bày d ng vi phân do ch xét cân b ng m t phân t r t nh c a h . i u này là c n thi t vì khi kh o sát tr ng thái ng su t - bi n d ng bên trong v t th nào ó thì ph i kh o sát m t phân t r t nh m i tìm ra ư c nh ng quy lu t chung cho toàn v t th . H i: Tôi th y h c môn PP PTHH ch ng có ích l i gì? N u mu n gi i quy t bài toán k t c u, ch c n nh p d li u vào các chương trình tính toán k t c u là xong? áp: N u quan ni m dùng chương trình máy tính có s n gi i bài toán k t c u thì b n cũng ch ng c n ph i h c các môn h c thu c lĩnh v c cơ h c v t r n bi n d ng như S c binh.lv@ou.edu.vn 18
b n v t li u, Cơ h c k t c u, lý thuy t àn h i… Tuy nhiên ây là chương trình ào t o k sư xây d ng, do v y b n ph i bi t phân tích k t c u (ch không ph i là m t “ngư i th ” tính k t c u). Hơn n a, PP PTHH r t m nh v kh năng t ng hóa. Do v y, sau khi h c xong môn h c này, n u có kh năng v l p trình, b n có th t xây d ng cho mình m t chương trình tính toán k t c u hoàn ch nh (s bàn k chương 5). Chúc b n thành công và yêu thích môn h c này! Chương 2 Phương pháp ph n t h u h n 2.1. Thí d m u ti p c n phương pháp ph n t h u h n (finite element method – FEM), ta kh o sát m t thí d ơn gi n ã ư c bi t trong môn h c S c b n v t li u như sau: Xét bài toán thanh ch u kéo úng tâm có chi u dài 2L, c ng kéo nén là EF, ch u các t i tr ng t p trung (hình 2.1a). Ta tìm ư c bi u l c d c tr c b ng phương pháp m t c t ơn gi n (hình 2.1b). ây là bài toán 1 chi u, do v y ta ch có 3 n hàm c n tìm, c th :  N ( x ) = 3P = const  {σ} = σ x = N( x ) = 3P = const  F F  Khi 0 ≤ x 0 ≤ L , ta có : {ε} = ε = 1 σ = 3P = const  x x E EF  x0 {u} = u = N( x ) dx = 3P x ∫ EF  0 EF  0  N ( x ) = P = const  {σ} = σ x = N( x ) = P = const  F F  1 P Khi L ≤ x 0 ≤ 2L , ta có : {ε} = ε = σ = = const  x x E EF  x0 {u} = u = N( x ) dx = 3P L + P ( x − L) ∫ EF  0 EF EF  0 D dàng nh n th y ng su t và bi n d ng là h ng s trong t ng o n thanh, và chuy n v là hàm tuy n tính theo t a x0. Như v y, t i m i i m trên k t c u ta u xác nh ư c toàn b các thành ph n ng su t, bi n d ng và chuy n v , hay nói cách khác là ta ã gi i ư c bài toán này. Cách gi i như trên có th khái quát theo trình t sau: Ni ng Bi n SBVL Chuy n nh lu t Tích phân lc su t d ng v Hooke Pt Cauchy Ta s kh o sát cách gi i bài toán này theo d ng ngư c l i, có nghĩa là i t chuy n v tính ra bi n d ng, ng su t và n i l c. làm ư c i u này, ta chia thanh làm 2 o n binh.lv@ou.edu.vn 19