zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Phương pháp số trong công nghệ hóa học - Chương 1 - Tuần 5

Chia sẻ: Nguyễn Thành Chung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:46

Báo xấu

105
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp số trong công nghệ hóa học - Chương 1 - Tuần 5

Tuần 5 PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG CÔNG NGHỆ HÓA HỌC Mã học phần: CH3454 TS. Nguyễn Đặng Bình Thành BM:Máy & TBCN Hóa chất Numerical Methods in Chemical Engineering
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Nghiệm thực của phương trình – Ý nghĩa hình học. f(x) = 0; (1) y f – hàm cho trước của đối số x f(x) α - nghiệm thực của ( 1 ) O M f(α) = 0; (2) α x - Vẽ đồ thị y = f(x) y g(x) - hoặc (1) ~ g(x) = h(x) M đồ thị y1 = g(x) và y2 = h(x) h(x) O Hoành độ điểm M nghiệm α. α x
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Sự tồn tại của nghiệm thực Định lý. Nếu có hai số thực a, b y (a < b) sao cho f(a) và f(b) trái B dấu, tức là f(a).f(b) < 0 (3) O a đồng thời f(x) liên tục trên [a, b] b x thì trong khoảng [a, b] ít nhất có A một nghiệm thực của phương trình f(x) = 0.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm) Định nghĩa: Khoảng [a, b] nào y đó gọi là khoảng phân ly nghiệm B của phương trình f(x) = 0 nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm O a của phương trình đó. b x - hàm f(x) đơn điệu trong [a, b] : A f’(x) không đổi dấu Định lý: Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b], đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghi ệm của phương trình f(x) = 0.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của phương trình phi tuyến 1. Phương pháp đồ thị. 2. Phương pháp thử. 3. Phương pháp chia đôi. 4. Phương pháp lặp. 5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson). 6. Phương pháp dây cung.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Cơ sở : khai triển Taylor: - Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại xo và lân cận xo. - Khai triển Taylor bậc n của F(x) tại xo: ( x − xo ) 2 F ( x) = F ( xo ) + ( x − xo ) F ' ( xo ) + F " ( xo ) + ⋅ ⋅ ⋅ + 2! ( x − xo ) n ( n ) ( x − xo ) n +1 ( n +1) + F ( xo ) + F (c); n! (n + 1)! c = xo + θ ( x − xo ); 0 < θ < 1;
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) - Giả sử f(x) =0 : - Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b]; - Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x∈ [a, b]; - Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x ∈ [a, b]; - Chọn xo ∈[a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) t ại x o: 1 f ( x) = f ( xo ) + ( x − xo ) f ' ( xo ) + ( x − xo ) 2 f " (c); 2 Bỏ qua số hạng cuối f ( xo ) + ( x − xo ) f ' ( xo ) = 0; f ( xo ) f ( x1 ) f ( xn ) x1 = xo − ; x2 = x1 − ; . . . xn+1 = xn − ; f ' ( xo ) f ' ( x1 ) f ' ( xn ) lim xn = α ; n→∞
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)),  hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của ph ương trình. Đặt: - xo = a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A; - xo = b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B; Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [xo, f(xo)] : y − f ( xo ) = f ' ( xo )( x − xo ); (a) Giao điểm với trục hoành (x1, y1 = 0) − f ( xo ) = f ' ( xo )( x − xo ); (b)
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( xo ) x1 = xo − ; y f ' ( xo ) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ] A f ( x1 ) x2 = x1 − ; ... f ' ( x1 ) O α b f ( xn ) xo=a x1 x2 x xn+1 = xn − ; B f ' ( xn )
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( xo ) x1 = xo − ; y f ' ( xo ) Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x1, f(x1) ] f ( x1 ) x2 = x1 − ; ... f ' ( x1 ) O A x2 x1 xo=b f ( xn ) a α x xn+1 = xn − ; f ' ( xn ) B
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) * Định lý về sự hội tụ. Giả sử: - [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0; - f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên t ục trên [a, b]; + không đổi dấu trên [a, b]; - xấp xỉ xo chọn f(xo).f”(xo) > 0; - xn α khi n → ∞ * Sai số. Lấy xn nghiệm gần đúng sai số: f ( xn ) α − xn ≤ ; với 0 < m ≤ f ' ( x) ; a ≤ x ≤ b; m Trong thực tế, thường dừng quá trình tính khi: xn – xn-1 < ε (sai số cho phép)
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Sơ đồ tóm tắt các bước giải: 1/ Cho phương trình f(x) = 0; f ( xo ) x1 = xo − ; 2/ Ấn định sai số cho phép ε; f ' ( xo ) 3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm; 4/ Chọn giá trị đầu xo: f(xo).f”(xo) > 0; e = x1 − xo ; 5/ Tính toán sai số e
Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = x3 – x – 1 = 0; Với sai số cho phép ε =10-3 1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm. 1 1 -Hàm số xác định và liên tục − + x 3 3 +∞ tại mọi x −∞ f’(x) + 0 _ 0 + - f’(x) = 3x2 – 1 = 0 tại f(x) M m x = ±1 / 3 - Bảng biến thiên hàm số: 1 1 1 M = f (− )=− + − 1 < 0; 3 3 3 3 đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình [ có một nghiệm thực trong khoảng 1 / 3 , ∞ ] - Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2] f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 0 chứa nghiệm.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) f ( x) Phương trình: x = x− f ′( x) f’(x) = 3x2 – 1 > 0 trong khoảng [1, 2] f”(x) = 6x > 6 trong khoảng [1, 2] f(1) = -1; f(2) = 5; f(2).f”(2) > 0 Chọn đầu tính x = 2.
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Lập bảng tính: f ( x) x f(x)=x -x-1 3 f (x)=3x -1 2 x− f ′( x) 2,0 5,0 11,0 1,5454545 1,5454545 1,145755 6,165288 1,3596148 1,3596148 0,153704 4,545657 1,3258015 1,3258015 0,004625 4,273245 1,3247190 1,3247190 0,0000034 4,264641 1,3247182 1,3247182 0,0000010
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Chương trình: Function F(x:real):real; f(x) = x3 – x – 1 = 0 Begin f’(x) = 3x2 – 1 = 0 F:=x*sqr(x)-x-1; End; f ( x) Function dF(x:real):real; x = x− Begin f ′( x) dF:=3*sqr(x)-1; End;
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; Uses crt; Var n,i,j,k:integer; x,x0,eps,ss:real; Function F(x:real):real; Begin F:=x*sqr(x)-x-1; End; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … Function dF(x:real):real; Begin dF:=3*sqr(x)-1; End; {Chương trình chính} BEGIN clrscr; …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … {Chương trình chính} BEGIN clrscr; write (‘Nhập x0 = ’);readln(x0); write (‘Nhập eps = ’);readln(eps); x:=x0;k:=0; Repeat …
Chương 1. Các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 1.2 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến Phương pháp Newton-Raphson (phương pháp tiếp tuyến) Ví dụ: Program PT1; … BEGIN … x:=x0;k:=0; Repeat x:=x-F(x)/dF(x); ss:=abs(x-x0); x0:=x;k:=k+1; Until ss

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.