Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số

Chia sẻ: Trinhthu Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

571
lượt xem 286
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề luyện tập số 2: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số (Dưới đây là hướng dẫn giải cho các bài toán và đáp số bài toán, lời giải chi ti ết dành cho các em, có thể...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số

Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số 1
MỤC LỤC Bài 1. Giải các phương trình chứa căn thức sau:...............................................................................................3 Bài 2. Giải các bất phương trình vô tỷ sau:.......................................................................................................7 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:..................................................................................................................8 Bài 4. Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá:............................................................................................11 Bài 5. Giải các phương trình mũ sau:...............................................................................................................13 Bài 6. Giải các phương trình logarit sau:..........................................................................................................13 Bài 8. Giải các bất phương trình logarit:......................................................................................................... 16 Bài 9. Giải các hệ phương trình mũ, logarit:................................................................................................... 18 Bài 10. Tìm tham số m để phương trình:......................................................................................................... 20 Bài 11. Tìm tham số m để bất phương trình:...................................................................................................21 Bài 12. Tìm tham số m để hệ phương trình:....................................................................................................21 Bài 13. Chứng minh rằng hệ có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0.........................................23 Bài 14. Xác định m để bpt: nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn ................................................................... 23 Bài 15. Xác định m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:.................................................................................... 24 2
Đề luyện tập số 2: Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số (Dưới đây là hướng dẫn giải cho các bài toán và đáp số bài toán, lời giải chi ti ết dành cho các em, có thể post lên diễn đàn để trao đổi về phương pháp, dạng bài) Bài 1. Giải các phương trình chứa căn thức sau: x − 3 = 5 − 3x + 4 1, - Điều kiện: x 3 x − 3 + 3x + 4 = 5 sau đó bình phương 2 vế, đưa về dạng - Với điều kiến trên ta biến đổi về dạng: cơ bản f ( x) = g ( x) ta giải tiếp. - Đáp số: x = 4 2, x 2 + 5 x + 1 = ( x + 4) x 2 + x + 1 - Đặt t = x 2 + x + 1 > 0 , pt đã cho trở thành: t=x t 2 − ( x + 4) t + 4x = 0 t=4 Với t = x � x 2 + x + 1 = x : vô nghiệm −1 61 Với t = 4 � x 2 + x − 15 = 0 � x = 2 −1 61 - Vậy phương trình có nghiệm: x = 2 3, 4 18 − x = 5 − 4 x − 1 - Ta đặt u = 4 18 − x � v = 4 x − 1 �� u 4 + v 4 = 17 , ta đưa về hệ đối xứng loại I đối với u, v giải hệ 0; 0 này tìm được u, v suy ra x - Đáp số: Hệ vô nghiệm ( ) 4, 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6 ( * ) - Điều kiện: x 2 8 ( x − 3) x=3 - Ta có: ( *) � 2 ( x − 3) = � 3 x−2 + x+6 3 x−2 + x+6 = 4 3
� 108 + 4 254 � - Đáp số: x = � 3; � 25 � � 5, 2 x2 + 8x + 6 + x2 −1 = 2 x + 2 x = −1 2 x2 + 8x + 6 0 ۳ x1 - Điều kiện: x2 −1 0 x −3 - Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình 2 ( x + 3) + x − 1 = 2 x + 1 - Xét với x 1 , thì pt đã cho tương đương với: f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản nghiệm x = 1 −2 ( x + 3) + − ( x − 1) = 2 − ( x + 1) - Xét với x −3 , thì pt đã cho tương đương với: f ( x) = g ( x) ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này là: Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản 25 x=− 7 � 25 � - Đáp số: x = � ; 1� − �7 � 9� ĐS: x = � � 0; x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 6, �8 x+ 4 − 3 x−3 =1 7, 3 - Sử dụng phương pháp hệ quả để giải quyết bài toán, thử lại nghiệm tìm được. - Đáp số: x = { −5; 4} � −2 − 14 � �4 � 8, x + 4 − x = 2 + 3 x 4 − x � t = x + 4 − x � t = � ; 2 � x = � 2; − 2 2 2 � 0; � �3 3 � � 9, x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3 - Đặt t = x 2 − 3 x + 3 > 0 � x 2 − 3x + 3 = t 2 3t - Phương trình thành: t + t + 3 = 3 � t + 3 = 3 − t �� 2 t =1 2 2 t + 3 = ( 3−t) 2 4
Suy ra x − 3 x + 2 = 0 � x = { 1; 2} 2 - Vậy tập nghiệm của phương trình là x = { 1; 2} 10, x2 + 2x + 4 = 3 x3 + 4x - Điều kiện: x 0 � =v +4 � =v +4 u2 2 u2 2 - Đặt u = x + 4 � v = x �� 2 2 2; 0� � ( u − v ) ( u − 2v ) = 0 u + 2v 2 = 3uv 4 Giải ra ta được x = (thỏa mãn) 3 11, 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 - Điều kiện: x 1 - Khi đó: 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 ( ) 2 � 3x − 2 + x − 1 = 3x − 2 + x − 1 � 3x − 2 + x − 1 = 1 Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm x = 1 2 − x = 1− x −1 12, 3 - Điều kiện: x 1 u = 1− v - Đặt u = 3 2 − x ; v = x − 1 0 dẫn tới hệ: u3 + v2 = 1 Thế u vào phương trình dưới được: v ( v − 1) ( v − 3) = 0 - Đáp số: x = { 1; 2;10} � +1 = 2x y3 � −1 5 � � y = 3 2 x − 1 � �3 �x= y�x=� 1; 13, x + 1 = 2 2x − 1 3 3 � x +1 = 2 y 2� � �9 � ĐS: x = � 1; ;11� − 14, 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 2 = 5 x + 1 �4 15, 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x = 8 5
- Giải hoàn toàn tương tự như ý bài 1.12 - Đáp số: x = { −2} 2 x + 7 − 5 − x = 3x − 2 16, 2 x5 - Điều kiện: 3 - Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình c ơ bản. Sau đó gi ải ti ếp theo như đã học. � 14 � - Đáp số: x = � � 1; �3 17, x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1 - Điều kiện: 1 x 7 - Ta có: x + 2 7 − x = 2 x − 1 + − x 2 + 8 x − 7 + 1 ( )( ) x −1 x −1 − 7 − x = 2 x −1 − 7 − x � x −1 = 2 x=5 � � x=4 x −1 = 7 − x - Đáp số: x = { 4;5} x+3 x+3 � 2 ( x + 1) − 2 = 2 18, 2 x 2 + 4 x = 2 2 2 ( x + 1) = y + 3 2 x+3 - Đặt y + 1 = 2 ( y + 1) = x + 3 2 2 � 3 17 −5 13 � − - Đáp số: x = � ; � �4 4 � 19, −4 x 2 + 13 x − 5 = 3 x + 1 � − ( 2 x − 3 ) + x + 4 = 3 x + 1 2 ( 2 y − 3) = 3 x + 1 2 - Đặt 2 y − 3 = 3 x + 1 − ( 2 x − 3) + x + 4 = 2 y − 3 2 6
� − 97 11 + 73 � 15 - Đáp số: x = � ; � �8 8 � 5 5 − x2 + 1 − x2 + − x2 − 1 − x2 = x + 1 20, 4 4 - Điều kiện: x 1 1 1 - PT đã cho � 1 − x + + 1 − x2 − = x + 1 2 2 2 3 � � - Đáp số: x = � ; −1� 5 � Bài 2. Giải các bất phương trình vô tỷ sau: 13 � � ĐS: x ��−�; ȥ ￺ [ 3; ) − 1, ( x − 3) x 2 − 4 x2 − 9 6� � ĐS: x � 4;5] �[ 6;7 ] [ x+3 2x − 8 + 7 − x 2, 1 − 1 − 4x2 �1 1� 4x ĐS: x �� ; �{ 0} − 4 x − 3 \ 3, � 2 2� x 1+ 1− 4x 2 3 1 1 4, 3 x + < 2x + −7 t = 2x + 2 2x 2x 2x � 8−3 7 � � � �+3 7 � 1 8 ĐS: x ��ȥ 0; � � ;1� �2 ;� � � � �� 2 �4 � � � ĐS: x Υ ( 0; ) x +1 > 3 − x + 4 5, { } ĐS: x Υ�−�−−� ; 3) \ ( 1; ) ( 122 6, 5 x 2 + 10 x + 1 7 − x 2 − 2 x t = x2 + 2x 1 1 �� ĐS: x Υ� ; 7, 8x2 − 6 x + 1 − 4 x + 1 0 �� 2 4 �� 2 x − 1 + 3x − 2 < 4 x − 3 + 5 x − 4 8, 4 - Điều kiện: x > 5 3 ( x − 1) 1− x - ( *) � 3 x − 2 − 4 x − 3 < 5 x − 4 − 2 x − 1 � < 3x − 2 + 4 x − 3 5x − 4 + 2x −1 7
Nếu x � �VT 0 VP : BPT vô nghiệm 1 Nếu x > 1 � VT < 0 < VP : BPT luôn đúng - Đáp số: x Υ ( 1; ) Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 13 2x + = yx - đây là hệ đối xứng loại II 1, 13 2y + = xy - Điều kiện: x 0; y 0 � 1 � �= y x 1 2( x − y) = 4� − � - Trừ vế theo vế ta được: � y � � = −2 xy x 2 Với x = y , hệ tương đương với 2 x = � x = �1 x −2 Với xy = −2 � y = , thế vào pt đầu được: x x= 2 y=− 2 x3 3x 3 2x − =� =� 2x 2x x=− 2 y= 2 { )} ( )( - Vậy hệ có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) , 2; − 2 , − 2, 2 ( 3x + 2 y ) ( x 2 + x ) = 12 x (3 x + 2 y )( x + 1) = 12 2, � 2 � ( 3x + 2 y ) + ( x 2 + x ) = 8 x + 2 y + 4x − 8 = 0 � = 12 �=6 �=2 uv u u �� Đặt u = 3 x + 2 y; v = x 2 + x suy ra: � � �+v =8 �= 2 �= 6 u v v � � 3� � 11 � ( x; y ) = �−2;6 ) , � ( �( 2; −2 ) , � 3, � − 1;, Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: � � � 2� � 2� � x2 + y2 = 5 3, x 4 − x 2 y 2 + y 4 = 13 - Đây là hệ đối xứng loại I đối với x 2 và y 2 8
- Đáp số: ( x; y ) = { ( 2; 1) , ( −2; 1) , ( 1; 2 ) , ( −1, 2 ) } 3 x 2 − 2 xy = 16 - Đây là hệ đẳng cấp bậc 2 4, x 2 − 3xy − 2 y 2 = 8 - Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét x 0 , đặt y = tx x 2 ( 3 − 2t ) = 16 Hệ trở thành: x 2 ( 1 − 3t − 2t 2 ) = 8 - Giải hệ này tìm t, x ( x; y ) = { ( 2; −1) , ( −2,1) } - Đáp số: x+5 + y −2 = 7 � x+5 + y −2 = y +5 + x−2 � x = y 5, y +5 + x−2 = 7 ĐS: ( x; y ) = ( 11;11) 3 1 x ( x + y + 1) − 3 = 0 ( x + y ) − = −1 x+ y =2 x+ y = � � � � x 2 �� 6, � � 1 5 �x + y ) − 2 + 1 = 0 �x + y ) 2 − 5 = −1 ( 2 � =1 � =1 1 ( x x 2 x2 x � 3� ( 1;1 � � ĐS: ( x; y ) = � ) ; � − � 2; � � 2� � �x + 2 ) ( 2 y + 3) = 0 ( 2 xy + 3 x + 4 y = −6 7, � 2 �2 x + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3 x + 4 y 2 + 4 x + 12 y = 3 � 1� � 3� � 3 �� 3� � � ĐS: ( x; y ) = �−2; �� 2; − �� − �� 6; − � ;− ;− ; 2; � � � 2� 2� � 2 �� 2� � � x 2 − xy + y 2 = 3( x − y ) � − xy + y = 3( x − y ) x2 2 x 2 − xy + y 2 = 3( x − y ) � �� 2 �� 8, � 2 y x + xy + y 2 = 7( x − y )2 x = 2 y �x = 2 x − 5 xy + 2 y 2 = 0 2 ĐS: ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1; 2 ) ; ( −1; −2 ) } � 1� 1 1 ( x − y ) �+ x− = y− = 1 �0 9, � y x � xy � � � y = x3 + 1 � 2 2 y = x3 + 1 9
� � � 1 5 −1 5 � − � � ĐS: ( x; y ) = � ) ; � ( 1;1 � ; � � � �2 2� � � ( x + y ) + x + y − 2 xy = 4 � x + y = 0 �x + y = −1 2 x2 + y2 + x + y = 4 �� 10, � � xy = −2 x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 xy = −2 {( } )( ) ĐS: ( x; y ) = 2; − 2 , − 2, 2 , ( −2,1) , ( 1, −2 ) 2x + y +1 − x + y = 1 11, 3x + 2 y = 4 u = 2x + y + 1 0 u −v =1 � = 2 � = −1 u u � �2 2 �� - Đặt � u + v = 5 � = 1 � = −2 v v v = x+ y 0 - Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1) x2 + 1 ( x + 1) + y ( y + x ) = 4 y � y + ( y + x ) = 4 � + 1 = 1 x2 2 � � �2 �� y 12, � 2 ( x + 1) ( y + x − 2 ) = y x +1 � � ( y + x − 2) = 1 � + x = 3 y y ( x; y ) = { ( 1; 2 ) ; ( −2;5) } ĐS: � 1� x 1x �+ � = 7 + x x+ + =7 xy + x + 1 = 7 y � y� y yy � � �� 13, � 2 2 x y + xy + 1 = 13 y 2 2 � 2 + 1 + x = 13 � 1 � x � x � x + y �− y = 13 � � y2 y � � ( x; y ) = { ( 1; 2 ) ; ( −2;5) } ĐS: 2 xy x+ = x2 + y x − 2x + 9 3 2 14, 2 xy y+ = y2 + x y − 2y + 9 2 3 ( x; y ) = { ( 0;0 ) ; ( 1;1) } ĐS: 10
y ( 36 x 2 + 25 ) = 60 x 2 y = f ( x) 15, � ( 36 y + 25 ) = 60 y � � = f ( y ) 60t 2 với f ( t ) = 2 2 z z 36t 2 + 25 � � x = f ( z) x ( 36 z 2 + 25 ) = 60 z 2 0 nên xét hàm f ( t ) trên miền [ 0; ) , hàm này đồng biến x= y=z x, y , z � � 5 5 5� ( x; y; z ) = �0;0;0 ) ; � ; ( ;� ĐS: � � � 6 6� 6 � 3 ( x2 − 8) x ( x2 − 8) = y ( y 2 + 2 ) � − 8x = y + 2 y 3 3 x y= � �� x 16, � 2 x − 3 = 3 ( y + 1) x2 = 3( y 2 + 2) 2 ( ) � � �2 = 3 y 2 + 2 x � � � 78 78 � 4 78 78 � � 4 ( x; y ) = � � ( 3; 1) ; � ;− �− ;� ; ĐS: � � � � 13 �� 13 � 13 � 13 � � � � � Bài 4. Giải bằng phương pháp hàm số, đánh giá: x = 2 là nghiệm duy nhất 1, 2 x = 10 − 3 x � 2 x + 3 x = 10 x x �+2 6 � �−2 6 � ( ) + ( 5 − 2 6 ) = ( 3) 5 5 x x 3x 2, 5 + 2 6 � 3 3 � � 3 3 �= 1 �+ � �� x x �+2 6 � �−2 6 � 5+2 6 5−2 6 5 5 >1> > 0 nên hàm � � đồng biến trên R, còn hàm � � 3 3 � nghịch biến - Do �3 3 � � 33 33 � � � � trên R. x �+2 6 � 5 Nếu x � � � PT vô nghiệm 0� �1 � �3 3 � x �−2 6 � 5 Nếu x < 0 � � � 3 3 �> 1 � PT vô nghiệm � � � - Vậy PT đã cho vô nghiệm. ( *) 3x 2 + 13 = 4 x − 3 + 3x 2 + 6 3, 3 - Nếu x � � 4 x − 3 � � PT vô nghiệm 0 4 11
3 ( *) � f ( x ) = - Nếu x > 3 x 2 + 13 − 3 x 2 + 6 − 4 x + 3 = 0 , ta có: 4 �1 � 1 3 3 �� Vì f ( x ) = 3x � 2 − � 4 < 0, ∀x > − � ; � mà nên hàm f(x) đồng biến trên khoảng , 4 4 �� 3 x + 13 3x + 6 � 2 f ( 1) = 0 do đó x = 1 là nghiệm duy nhất. - Đáp số: x = 1 x − 1 + 4 17 − x = 2 4, 4 - Điều kiện: 1 x 17 � � 1� 1 1 ( x) = � 0� x=9 - Xét hàm f ( x ) = 4 x − 1 + 4 17 − x có: f − = 4 � ( x − 1) 3 � ( 17 − x ) 3 4 4 � � Lập bảng biến thiên, nhận xét f ( 1) = f ( 17 ) = 2 suy ra PT có 2 nghiệm là x = { 1;17} - Đáp số: x = { 1;17} 5, lg ( x − x − 6 ) + x = lg ( x + 2 ) + 4 2 - Điều kiện: x > 3 - PT đã cho � lg ( x − 3) + x − 4 = 0 x = 4 là nghiệm duy nhất 6, 9 + 2 ( x − 2 ) 3 + 2 x − 5 = 0 � ( 3 + 1) ( 3 + 2 x − 5 ) = 0 � 3 + 2 x − 5 = 0 � x = 1 x x x x x ( ) 7, log 2 1 + x = log 3 x - Điều kiện: x > 0 �= log 3 x t �=3 xt ( ) - Đặt � nên: � t = log 2 1 + x 0 1 + x = 2t t t �� 3� () 1 t 3 = 2 − 1 � � �+ � �= 1 � t = 2 � x = 9 t � � �2 � 2 �� - Đáp số: x = 9 8, 4 x + 7 x = 9 x + 2 . Sử dụng hàm số, tính đạo hàm cấp 2 rồi lập bbt. ĐS: x = { 0;1} 12
Bài 5. Giải các phương trình mũ sau: 2x 2x 2x ( ) ( ) ( ) ĐS: x = 3 1, 2 + 3 . + 2− 3 = 14 t = 2+ 3 3 3 3 x �3� x ĐS: x = 4 x t =� � Chia 2 vế cho 2 2, 2. x x 4.3 − 9.2 = 5.6 �2� x 3x x=4 x−4 −2 = ( 4 − x ) log 2 3 � 4− x = 34− x � = 4.3 x+2 x+2 � 8 2 3, x = −2 − log 3 2 x+2 ĐS: x = { −2; −1;0;1} 2 2 2 + x −1 + x −2 + x−2 4, 9 x − 10.3x t = 3x +1= 0 x=0 ( ) ( )( ) 2x − 2 x + 9 .3x + 9.2 x = 0 � 3x − 2 x 3x − 9 = 0 � 5, 3 x=2 ( ) ( ) x x = 2 x +3 ĐS: x = 0 6, 5 + 21 + 7 5 − 21 9 1 1 1 ĐS: x = − log 5 − − − 7, − 7.36 + 5.16 =0 2.81 x x x 4 2 x =1 3 � 2( x −1) .3x −1 = 1 � log 2 �( x−1) .3x −1 � 0 � 2 2 2 −2 x x .3x = = 8, 2 2 � � x = 1 − log 2 3 2 1 = 33( log9 x−1) � ( log 9 x − 2 ) log 9 x = �( log 9 x − 1) � x = { 3;729} log9 x − 2 � 9, x 3 2� � { } ( )( ) x +1 3 x + 9 x3 � 3x − 9 x 3 − 3 x = 0 � x = 0;2; � 3 10, x .3 + 27 x = x.3 Bài 6. Giải các phương trình logarit sau: 3 2 1, log 3 x + log 3 x =1 x x>0 - Điều kiện: 1 x 3 1− t = 1 � t = { 1; −2;0} - Đặt t = log 3 x , ta biến đổi PT về dạng: t2 + t +1 13
1 � � - Đáp số: x = � ;1;3� 9 � log 5 5 + log 5 25 x = 3 2, x x>0 - Điều kiện: x5 1 + ( t + 2 ) = 3 � t = { 0;2} - Đặt t = log 5 x , ta biến đổi PT về dạng: 1− t - Đáp số: x = { 1;25} 0 < x3 + 2 x 1 0 < 4x2 − 3 1 x2 − 3 = 1 ( ) ( ) x = { 2;3} 2 2 3, log x3 + 2 x x − 3 = log 4 x2 −3 x − 3 �� 2 x −3>0 0 < 4x2 − 3 1 x3 + 2 x = 4 x 2 − 3 4 1 �� 4, ( 2 − log 3 x ) log 9 x 3 − = 1 � t = log 3 x � t = { −1;4} � x = � ;81� 1 − log3 x 3 � 0 < 2 x2 + 5x + 2 1 ( ) x3 + x 2 − 2 = 0 � 0 < 8 x + 10 �� x =3 5, log 2 x2 +5 x + 2 log8 x +10 1 x3 + x 2 − 2 = 8 x + 10 2 3 6, log x x − 14log16 x x + 40log 4 x x =0 2 x>0 �1� 1 - Điều kiện: x � ; ;2 � �4 16 1 ta đặt t = log x 2 - Nhận xét x = 1 là nghiệm của pt đã cho, xét x 14
2 42 20 1 1 − + = 0 � t = ; t = −2 � x = 4; x = . 1 − t 4t + 1 2t + 1 2 2 �1 � - Đáp số: x = � ;2;4 � �2 8 ( *) 7, log x 2 + 2log 2 x 4 = log 2x x>0 1 - Điều kiện: �� x � ;1� 2 � 1 4 6 - Đặt: t = log 2 x , biến đổi được pt: + = � 2t = t + 1 � t = 1 t t +1 t +1 - Đáp số: x = 2 8, log 2 x + ( x − 4 ) log 2 x − x + 3 = 0 � ( log 2 x − 1) ( log 2 x + x − 3) = 0 � x = 2 2 x + 1 − log 1 ( 3 − x ) − log 8 ( x − 1) = 0 ( *) 3 9, log 2 2 - Điều kiện: 1 < x < 3 - Ta có: ( *) � log 2 ( x + 1) + log 2 ( 3 − x ) − log 2 ( x − 1) = 0 1 17 � ( x + 1) ( 3 − x ) = ( x − 1) � x 2 − x − 4 = 0 � x = 2 1 + 17 - Đáp số: x = 2 ) ) ( ( x 2 − 2 + 3log 2 x + x 2 − 2 = 5 10, log 2 x − ) ( u = log 2 x − x 2 − 2 � + v =1 � = −1 u u �� - Đặt � ) ( � + 3v = 5 � = 2 u v v = log 2 x + x 2 − 2 7 - Đáp số: x = 4 15
� 28 � x +1 x − 3) = 6 � t = log 3 (3x − 1) � x = � 3 ;log 3 10 � 11, log 3 (3 − 1)log 3 (3 log � 27 Bài 7. Giải các bất phương trình mũ: 2 x− x2 1 1, 9 x −2 x − 2 � � 2 2 −2 x t = 3x >0 Đ/S: 1 − 2 x 1+ 2 3 �� 3 �� 2x x 3 3 �� x log 3 2 2 x +1 2 x +1 x −2 − 5.6 �� 3. � � − 5.� �− 2 � 2, 3 0 0 Đ/S: 2 2 �� 2 ( )) 2x ( ( 1; ) x t = 2x − 1 > 0 3, 2 + >4 Đ/S: x �−ȥ 0;log 2 4 22 2x − 1 Đ/S: x = { −1;0;1} 4, 23 x +1 − 7.22 x + 7.2 x − 2 = 0 t = 2x > 0 x > −1 (I ) 2 2 −4 x−2 − 16.22 x− x −1 22 x −2 0 2 x2 −4 x−2 2 x − x 2 −1 − 16.2 −2 2 0 5, x +1 x < −1 ( II ) 2 2 −4 x−2 − 16.22 x− x −1 22 x −2 0 ( ) Giải từng hệ bất phương trình (I), (II) ta có đáp số: x � −� −1) � 1 − 3;1 − 3 (; 6, Điều kiện: x 1 (2 )( ) x 2 + x −1−1 2 2 x −1 −1 x −1 x −1 +2� x +2 � 2x −2 − 2 −2 � Ta có: 2 2 0 ) )( ( 2 2 x−1 −1 �−−�� 2 2 x 1 0 1x2 Đáp số: 1 x2 Bài 8. Giải các bất phương trình logarit: � +1>1 � < x +1 2 �� 2 x > ( x + 1) � < −2 x < ( x + 1) 2 2 − 0 � −2 + 3 < x < 0 16
2, (log x 8 + log 4 x 2 )log 2 2 x 0 - Điều kiện: 0 < x 1 ( 3log x 2 + log x 2 ) ( 1 + log x 2 ) � - Ta có: (log x 8 + log 4 x ) log 2 2 x �� 2 0 0 x >1 log x 2 0 � �1 log x 2 −1 x 1 � < x − 2 1 �x < 2 ( ) 1 1 1 log 2 ( x − 1) � 2 2 - Ta có: PT � − log 2 2 x − 3 x + 1 + 2 2 2 ( x − 1) 2 x −1 1 1 x< ۳ log 2 1۳ 2 2x −1 2 x 2 − 3x + 1 3 2 1 1 x< - Đáp số: 3 2 ( ) ( ) 2 2 5, Ta có: log 3 log 1 x − 3 < 1 � 0 < log 1 x − 3 < 3 2 2 1 23 46 < x2 − 3 < 1 � < x2 < 4 � < x
1 - Điều kiện: 2 x − 1 > 0 � x > 2 - Khi đó BPT � log 3 ( x − 1) + log ( 2 x − 1) − 2 � 2 0 3 � log3 x − 1 + log 3 ( 2 x − 1) �1 � x − 1 ( 2 x − 1) � ,(*) 3 + Xét với x 1 , thì ( *) �−−�۳ 3 x 2 2x 20 x2 1 < x < 1 , thì ( *) � 2 x 2 − 3x + 4 � : Vô nghiệm 0 + Xét với 2 - Đáp số: x 2 Bài 9. Giải các hệ phương trình mũ, logarit: ln(1 + x) − x = ln(1 + y ) − y ln(1 + x) − ln(1 + y ) = x − y 1, � 2 � ( x − 2 y ) ( x − 10 y ) = 0 x − 12 xy + 20 y 2 = 0 x= y � x= y=0 � x = 2 y �x = 10 y x 2 + y 2 = 10 x 2 + y 2 = 10 2, � x + log y + 1 = 0 � � > 0, y > 0 � ( x; y ) = { ( 3;1) ; ( 1;3) } x log �1 1 � =3 xy 3 3 � 2 ( 3 .2 ) = log 2 2 .3 � .2 = 972 3x y log x y 25 3, � � log 3 ( x − y ) = 2 x− y =3 y + x log 2 3 = 2 + 5log 2 3 x=5 �� y=2 x− y =3 22 x + 4 2 y = 1 4, 2x + 4 y + 2 x+ 2 y = 1 u 2 + v2 = 1 - Đặt u = 2 > 0; v = 4 > 0 hệ trở thành: x y - hệ đối xứng loại 1 đối với u, v u + v + uv = 1 - Giải hệ dẫn tới vô nghiệm. Vậy hệ vô nghiệm 18
x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 5, y + y 2 − 2 y + 2 = 3x −1 + 1 - Từ hệ suy ra: x − 1 + x 2 − 2 x + 2 + 3x −1 = y − 1 + y 2 − 2 y + 2 + 3 y −1 � f ( x − 1) = f ( y − 1) Trong đó f ( t ) = t + t 2 + 1 + 3t đồng biến trên R nên suy ra x − 1 = y − 1 � x = y - Thế vào phương trình đầu ta được: x − 1 + x 2 − 2 x + 2 = 3x −1 , phương trình này có nghiệm duy nhất x = 1 (sd pp hàm số) - Vậy ( x; y ) = ( 1;1) 6, Điều kiện: x + y > 0; x − y > 0 13 � ( x + y ) − 1 = lg13 lg 2 2 � +y = x2 2 10 Ta có: � � � ( x + y ) = lg ( x − y ) + 3lg 2 lg � + y = 8( x − y) x 8 �9 � 13 x+ y = �= x �x + y ) + ( x − y ) ( 2 2 � = � � 10 5 �� 5 �� 1 �= 7 � + y = 8( x − y) �− y = x x y � � 10 5 27 ( x + y ) .3 y − x = 5 � ( x + y ) .3 = 5 y−x 27 � 7, � � x− y 3log 5 ( x + y ) = x − y ( x + y) = 5 3 x− y x− y �5 � 5 3 � 27 � = 27 27.5 .3 y − x = 5 �− y =3 �=4 x x 3 � � �� + y = 5 � =1 x− y x y �x + y ) = 5 3 � ( x− y ( x + y) = 5 3 x +1 = y − y +1 +1 2 8, x +2 x +1 y + 1 = 22 −2 +1 ( 1) v = u2 − u x +1 - Đặt u = y + 1 0; v = 2 2 , hệ trở thành: u = v2 − v + 1 ( 2) Thế (1) vào (2) được: u − 2u + 1 = 0 � ( u − 1) ( u + 1) = 0 � u = 1 2 4 3 2 19
Suy ra v = 0 (không thỏa mãn) - Vậy hệ vô nghiệm Bài 10. Tìm tham số m để phương trình: x 2 + 1 − x = m có nghiệm 1, 4 - Điều kiện x 0 0 , pt đã cho thành: f ( t ) = t + 1 − t = m 4 4 - Đặt t = x 2 PT đã cho có nghiệm � f ( t ) = m có nghiệm t 0 �0 10 3, log 2 ( x + 4mx ) + log 1 ( 2 x − 2m + 1) = 0 có nghiệm 2 2 - Ta có: log 2 ( x + 4mx ) + log 1 ( 2 x − 2m + 1) = 0 � log 2 ( x + 4mx ) = log 2 ( 2 x − 2m + 1) 2 2 2 1 x > m− 2 x − 2m + 1 > 0 � �2 �� 2 x + 4mx = 2 x − 2m + 1 f ( x ) = x 2 + 2 ( 2m − 1) x + 2m − 1 = 0 1 f ( x ) có nghiệm x > m − - PT đã cho có nghiệm 2 20