Phương trình & Hệ phương trình

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:383

Thêm vào BST

Báo xấu

428
lượt xem 174
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình là một trong những phân môn quan trọng nhất của Đại số vì có những ứng dụng rất lớn trong các ngành khoa học sớm được biết đến từ thời xa xưa do nhu cầu tính toán con người và ngày càng phát triển theo thời gian, đến nay, chỉ xét trong toán học, lĩnh vực phương trình đã có những cải tiến đáng kể , cả về hình thức...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình & Hệ phương trình

Di n đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH H PHƯƠNG TRÌNH Ch biên: Nguy n Anh Huy 26 - 7 - 2012
M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Các thành viên tham gia chuyên đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H U T 10 Phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Phương trình b c b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Phương trình d ng phân th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Xây d ng phương trình h u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 M t s phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM S 32 Phương pháp s d ng đ o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Phương pháp dùng đ nh lý Lagrange - Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Phương pháp dùng đi u ki n c n và đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Phương pháp ng d ng hình h c gi i tích và hình h c ph ng . . . . . . . . . . . . . 55 Hình h c không gian và vi c kh o sát h phương trình ba n . . . . . . . . . . . . . 76 M t s bài phương trình, h phương trình có tham s trong các kì thi Olympic . . . 81 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 M t s cách đ t n ph cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Đ t n ph đưa v phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Phương pháp đ t n ph không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Phương pháp s d ng h s b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Đ t n ph đưa v h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Phương pháp lư ng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Phương pháp dùng lư ng liên h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Phương pháp dùng b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 M t s bài toán ch n l c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3
4 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuy t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Bài t p t ng h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5 H PHƯƠNG TRÌNH 177 Các lo i h cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 H phương trình hoán v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Phương pháp đ t n ph trong gi i h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Phương pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Phương pháp dùng đơn đi u hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phương pháp h s b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Kĩ thu t đ t n ph t ng - hi u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Phương pháp dùng b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 T ng h p các bài h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 H phương trình h u t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 H phương trình vô t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 6 SÁNG T O PHƯƠNG TRÌNH - H PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây d ng m t s phương trình đư c gi i b ng cách đưa v h phương trình . . . . 297 S d ng công th c lư ng giác đ sáng tác các phương trình đa th c b c cao . . . . 307 S d ng các hàm lư ng giác hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sáng tác m t s phương trình đ ng c p đ i v i hai bi u th c . . . . . . . . . . . . . 312 Xây d ng phương trình t các đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Xây d ng phương trình t các h đ i x ng lo i II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Xây d ng phương trình vô t d a vào tính đơn đi u c a hàm s . . . . . . . . . 324 Xây d ng phương trình vô t d a vào các phương trình lư ng giác. . . . . . . . 328 S d ng căn b c n c a s ph c đ sáng t o và gi i h phương trình. . . . . . . 331 S d ng b t đ ng th c lư ng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . 338 S d ng hàm ngư c đ sáng tác m t s phương trình, h phương trình. . . . . 345 Sáng tác h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 Kinh nghi m gi i m t s bài h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 7 Ph l c 1: GI I TOÁN B NG PHƯƠNG TRÌNH - H PHƯƠNG TRÌNH 362 8 Ph l c 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN H C N I TI NG 366 L ch s phát tri n c a phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Có m y cách gi i phương trình b c hai? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Cu c thách đ ch n đ ng th gi i toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 Nh ng vinh quang sau khi đã qua đ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5 T u s m t s nhà toán h c n i ti ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 M t cu c đ i trên bia m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Ch vì l sách quá h p! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Hai gương m t tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 S ng hay ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 9 Tài li u tham kh o 381
L i nói đ u Phương trình là m t trong nh ng phân môn quan tr ng nh t c a Đ i s vì có nh ng ng d ng r t l n trong các ngành khoa h c. S m đư c bi t đ n t th i xa xưa do nhu c u tính toán c a con ngư i và ngày càng phát tri n theo th i gian, đ n nay, ch xét riêng trong Toán h c, lĩnh v c phương trình đã có nh ng c i ti n đáng k , c v hình th c (phương trình h u t , phương trình vô t , phương trình mũ - logarit) và đ i tư ng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đ o hàm riêng, . . . ) Còn Vi t Nam, phương trình, t năm l p 8, đã là m t d ng toán quen thu c và đư c yêu thích b i nhi u b n h c sinh. Lên đ n b c THPT, v i s h tr c a các công c gi i tích và hình h c, nh ng bài toán phương trình - h phương trình ngày càng đư c trau chu t, tr thành nét đ p c a Toán h c và m t ph n không th thi u trong các kì thi H c sinh gi i, thi Đ i h c. Đã có r t nhi u bài vi t v phương trình - h phương trình, nhưng chưa th đ c p m t cách toàn di n v nh ng phương pháp gi i và sáng t o phương trình. Nh n th y nhu c u có m t tài li u đ y đ v hình th c và n i dung cho c h chuyên và không chuyên, Di n đàn MathScope đã ti n hành biên so n quy n sách Chuyên đ phương trình - h phương trình mà chúng tôi hân h nh gi i thi u đ n các th y cô giáo và các b n h c sinh. Quy n sách này g m 6 chương, v i các n i dung như sau: Chương I: Đ i cương v phương h u t cung c p m t s cách gi i t ng quát phương trình b c ba và b n, ngoài ra còn đ c p đ n phương trình phân th c và nh ng cách xây d ng phương trình h u t . Chương II: Phương trình, h phương trình có tham s đ c p đ n các phương pháp gi i và bi n lu n bài toán có tham s ,cũng như m t s bài toán thư ng g p trong các kì thi H c sinh gi i. Chương III: Các phương pháp gi i phương trình ch y u t ng h p nh ng phương pháp quen thu c như b t đ ng th c, lư ng liên h p, hàm s đơn đi u, . . . v i nhi u bài toán m r ng nh m giúp b n đ c có cách nhìn t ng quan v phương trình. Chương này không đ c p đ n Phương trình lư ng giác, vì v n đ này đã có trong chuyên đ Lư ng giác c a Di n đàn. Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa ra m t s d ng bài t p ng d ng c a hàm s logarit, v i nhi u phương pháp bi n đ i đa d ng như đ t n ph , dùng đ ng th c, hàm đơn đi u, ... Chương V: H phương trình là ph n tr ng tâm c a chuyên đ . N i dung c a chương
7 bao g m m t s phương pháp gi i h phương trình và t ng h p các bài h phương trình hay trong nh ng kì thi h c sinh gi i trong nư c cũng như qu c t . Chương VI: Sáng t o phương trình - h phương trình đưa ra nh ng cách xây d ng m t bài hay và khó t nh ng phương trình đơn gi n b ng các công c m i như s ph c, hàm hyperbolic, hàm đơn đi u, . . . Ngoài ra còn có hai ph n Ph l c cung c p thông tin ng d ng phương trình, h phương trình trong gi i toán và v l ch s phát tri n c a phương trình. Chúng tôi xin ng l i c m ơn t i nh ng thành viên c a Di n đàn đã chung tay xây d ng chuyên đ . Đ c bi t xin chân thành c m ơn th y Châu Ng c Hùng, th y Nguy n Trư ng Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc L , anh Phan Đ c Minh vì đã h tr và đóng góp nh ng ý ki n quý giá cho chuyên đ , b n Nguy n Trư ng Thành vì đã giúp ban biên t p ki m tra các bài vi t đ có m t tuy n t p hoàn ch nh. Ni m hi v ng duy nh t c a nh ng ngư i làm chuyên đ là b n đ c s tìm th y nhi u đi u b ích và tình yêu toán h c thông qua quy n sách này. Chúng tôi xin đón nh n và hoan nghênh m i ý ki n xây d ng c a b n đ c đ chuyên đ đư c hoàn thi n hơn. M i góp ý xin vui lòng chuy n đ n anhhuy0706@gmail.com Thành ph H Chí Minh, ngày 11 tháng 7 năm 2012 Thay m t nhóm biên so n Nguy n Anh Huy
Các thành viên tham gia chuyên đ Đ hoàn thành đư c các n i dung trên, chính là nh s c g ng n l c c a các thành viên c a di n đàn đã tham gia xây d ng chuyên đ : • Ch biên: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM) • Ph trách chuyên đ : Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM) • Đ i cương v phương trình h u t : Huỳnh Phư c Trư ng (THPT Nguy n Thư ng Hi n – TP HCM), Ph m Ti n Kha (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM) • Phương trình, h phương trình có tham s : th y Nguy n Trư ng Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Tr ng H i (12A6 THPT Thái Phiên - H i Phòng), Đình Võ B o Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Tr n Đ i Nghĩa - TP HCM), Nguy n Hoàng Nam (THPT Phư c Thi n - Đ ng Nai), Ong Th Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Th Vinh - Đ ng Nai) • Phương pháp đ t n ph : th y Mai Ng c Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phư c), th y Nguy n Anh Tu n (THPT Lê Qu ng Chí -Hà Tĩnh), Tr n Trí Qu c (11TL8 THPT Nguy n Hu - Phú Yên), H Đ c Khánh (10CT THPT chuyên Qu ng Bình), Đoàn Th Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đ ng Nai) • Phương pháp dùng lư ng liên h p: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Tr n Đ i Nghĩa - TPHCM) , Đinh Võ B o Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Th Hòa (THPT Long Khánh - Đ ng Nai) • Phương pháp dùng b t đ ng th c: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM), Phan Minh Nh t, Lê Hoàng Đ c (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Đ ng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà N i), Nguy n Văn Bình (11A5 THPT Tr n Qu c Tu n - Qu ng Ngãi), • Phương pháp dùng đơn đi u: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT H ng Thái – Hà N i), Đ ng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà N i) • Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguy n Thanh Hoài (Đ i h c KHTN- TP HCM), Nguy n Ng c Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Th Vinh - Đ ng Nai) • Các lo i h cơ b n: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong - TP HCM)
9 • H phương trình hoán v : th y Nguy n Trư ng Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM), Nguy n Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà N i) • Phương pháp bi n đ i đ ng th c: Nguy n Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà N i), Tr n Văn Lâm (THPT Lê H ng Phong - Thái Nguyên), Nguy n Đ c Huỳnh (11 Toán THPT Nguy n Th Minh Khai - TP HCM) • Phương pháp h s b t đ nh: Lê Phúc L (Đ i h c FPT – TP HCM), Nguy n Anh Huy, Phan Minh Nh t (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM) • Phương pháp đ t n ph t ng - hi u: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM) • T ng h p các bài h phương trình: Nguy n Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong TP HCM), Nguy n Thành Thi (THPT chuyên Nguy n Quang Diêu – Đ ng Tháp), Tr n Minh Đ c (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ H u Th ng (11 Toán THPT Nguy n Th Minh Khai – TP HCM) • Sáng t o phương trình: th y Nguy n Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), th y Nguy n T t Thu (THPT Lê H ng Phong - Đ ng Nai), Nguy n Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê H ng Phong – TP HCM) • Gi i toán b ng cách l p phương trình: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM) • L ch s phát tri n c a phương trình: Nguy n An Vĩnh Phúc (TN Ph thông Năng khi u- TP HCM), Nguy n Hoàng Nam (THPT Phư c Thi n - Đ ng Nai)
C I: Đ I CƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH H UT PHƯƠNG TRÌNH B C BA M t s phương pháp gi i phương trình b c ba Phương pháp phân tích nhân t : N u phương trình b c ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghi m x = r thì có nhân t (x − r) do đó có th phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] T đó ta đưa v gi i m t phương trình b c hai, có nghi m là √ −b − ra ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp Cardano: Xét phương trình b c ba x3 + ax2 + bx + c = 0 (1). a B ng cách đ t x = y − , phương trình (1) luôn bi n đ i đư c v d ng chính t c: 3 y 3 + py + q = 0(2) a2 2a3 − 9ab Trong đó: p = b − ,q = c + 3 27 Ta ch xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa v trư ng h p đơn gi n. Đ t y = u + v thay vào (2), ta đư c: (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 ⇔ u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0 (3) Ch n u, v sao cho 3uv + p = 0 (4). Như v y, đ tìm u và v, t (3) và (4) ta có h phương trình:  u3 + v 3 = −q 3 u3 v 3 = − p 27 Theo đ nh lí Viete, u3 và v 3 là hai nghi m c a phương trình: p3 X 2 + qX − = 0(5) 27 q 2 p3 Đ t ∆= + 4 27 10
11 Khi ∆ > 0, (5) có nghi m: q √ q √ u3 = − + ∆, v 3 = − − ∆ 2 2 Như v y, phương trình (2) s có nghi m th c duy nh t: q √ q √ y= 3 − + ∆+ 3 − − ∆ 2 2 q Khi ∆ = 0, (5) có nghi m kép: u = v = − 3 2 Khi đó, phương trình (2) có hai nghi m th c, trong đó m t nghi m kép. q q y1 = 2 3 − , y2 = y3 = 3 2 2 Khi ∆ < 0, (5) có nghi m ph c. p G i u3 là m t nghi m ph c c a (5), v0 là giá tr tương ng sao cho u0 v0 = − . 0 3 3 Khi đó, phương trình (2) có ba nghi m phân bi t. y1 = u0 + v0 √ 1 3 y2 = − (u0 + v0 ) + i (u0 − v0 ) 2 2 √ 1 3 y3 = − (u0 + v0 ) − i (u0 − v0 ) 2 2 Phương pháp lư ng giác hoá - hàm hyperbolic: M t phương trình b c ba, n u có 3 nghi m th c, khi bi u di n dư i d ng căn th c s liên quan đ n s ph c. Vì v y ta thư ng dùng phương pháp lư ng giác hoá đ tìm m t cách bi u di n khác đơn gi n hơn, d a trên hai hàm s cos và arccos C th , t phương trình t3 + pt + q = 0 (∗) ta đ t t = u cos α và tìm u đ có th đưa (∗) v d ng 4 cos3 α − 3 cos α − cos 3α = 0 −p u3 Mu n v y, ta ch n u = 2 và chia 2 v c a (∗) cho đ đư c 3 4 3q −3 3q −3 4 cos3 α − 3 cos α − . = 0 ⇔ cos 3α = . 2p p 2p p V y 3 nghi m th c là −p 1 3q −3 2iπ ti = 2 . cos arccos . − v i i = 0, 1, 2. 3 3 2p p 3 Lưu ý r ng n u phương trình có 3 nghi m th c thì p < 0 (đi u ngư c l i không đúng) nên công th c trên không có s ph c. Khi phương trình ch có 1 nghi m th c và p = 0 ta cũng có th bi u di n nghi m đó b ng công th c hàm arcosh và arsinh: −2|q| −p 1 −3|q| −3 t= . cosh .arcosh . n u p < 0 và 4p3 + 27q 2 > 0. q 3 3 2p p
12 p 1 3q 3 t = −2 . sinh .arsinh . n up>0 3 3 2p p M i phương pháp trên đ u có th gi i quy t phương trình b c ba t ng quát. Nhưng m c đích c a chúng ta trong m i bài toán luôn là tìm l i gi i ng n nh t, đ p nh t. Hãy cùng xem qua m t s ví d : Bài t p ví d 1 Bài 1: Gi i phương trình x3 + x2 + x = − 3 Gi i Phương trình không có nghi m h u t nên không th phân tích nhân t . Trư c khi nghĩ t i công th c Cardano, ta th quy đ ng phương trình: 3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0 Đ i lư ng 3x2 +3x+1 g i ta đ n m t h ng đ ng th c r t quen thu c x3 +3x2 +3x+1 = (x+1)3 . Do đó phương trình tương đương: (x + 1)3 = −2x3 hay √ x + 1 = − 3 2x −1 T đó suy ra nghi m duy nh t x = √ . 1+ 32 Nh n xét: Ví d trên là m t phương trình b c ba có nghi m vô t , và đư c gi i nh khéo léo bi n đ i đ ng th c. Nhưng nh ng bài đơn gi n như th này không có nhi u. Sau đây ta s đi sâu vào công th c Cardano: Bài 2: Gi i phuơng trình x3 − 3x2 + 4x + 11 = 0 Gi i Đ t x = y + 1 . Th vào phương trình đ u bài, ta đư c phương trình: y 3 + 1.y + 13 = 0 4 3 4567 Tính ∆ = 132 + .1 = 0 27 27 Áp d ng công th c Cardano suy ra: 4567 4567 3 −13 + 27 3 −13 − 27 y= + 2 2 4567 4567 3 −13 + 27 3 −13 − 27 Suy ra x = + + 1. 2 2 Nh n xét: Ví d trên là m t ng d ng cơ b n c a công th c Cardano. Tuy nhiên công th c này không h d nh và ch đư c dùng trong các kì thi H c sinh gi i. Vì th , có l chúng ta s c g ng tìm m t con đư ng “h p th c hóa” các l i gi i trên. Đó là phương pháp lư ng giác hoá. Đ u tiên xét phương trình d ng x3 + px + q = 0 v i p < 0 và có 1 nghi m th c:
13 Bài 3: Gi i phương trình x3 + 3x2 + 2x − 1 = 0 Gi i Đ u tiên đ t x = y − 1 ta đưa v phương trình y 3 − y − 1 = 0 (1). Đ n đây ta dùng lư ng giác như sau: √ √ 2 3 3 N u |y| < √ suy ra y < 1. Do đó t n t i α ∈ [0, π] sao cho y = cos α. 3 2 2 Phương trình tương đương: 8 2 √ cos3 α − √ cos α − 1 = 0 3 3 3 hay √ 3 3 cos 3α = (vô nghi m) 2 2 1 1 Do đó |y| √ . Như v y luôn t n t i t tho y = √ (t + ) (∗). Th vào (1) ta đư c phương 3 3 t trình t3 1 √ + √ −1=0 3 3 3 3t3 Vi c gi i phương trình này không khó, xin dành cho b n đ c. Ta tìm đư c nghi m:   1  1 √ √ 1 −1 2  x= √ 3 3 3 − 23 + 3 2 3 1 √ √  3 3 − 23 2 Nh n xét: Câu h i đ t ra là: “S d ng phương pháp trên như th nào?”. Mu n tr l i, ta c n làm sáng t 2 v n đ : 1) Có luôn t n t i t tho mãn cách đ t trên? 2 Đáp án là không. Coi (∗) là phương trình b c hai theo t ta s tìm đư c đi u ki n |y| √ . 3 Th t ra có th tìm nhanh b ng cách dùng AM-GM: 1 1 1 1 2 |y| = √ t+ =√ |t| + √ 3 t 3 |t| 3 2 V y trư c h t ta ph i ch ng minh (1) không có nghi m |y| < √ . 3 2 2) Vì sao có s √ ? 3 Ý tư ng c a ta là t phương trình x3 + px + q = 0 đưa v m t phương trình trùng phương theo 1 −p t3 qua cách đ t x = k t + . Khai tri n và đ ng nh t h s ta đư c k = t 3 3 Sau đây là phương trình d ng x + px + q = 0 v i p < 0 và có 3 nghi m th c: Bài 4: Gi i phương trình x3 − x2 − 2x + 1 = 0 Gi i 1 Đ t y = x − . Phương trình tương đương: 3 7 7 y3 − y + = 0(∗) 3 27
14 √ √ 2 7 3y 3y 2 7 cos α V i |y| < thì √ < 1. Do đó t n t i α ∈ [0, π] sao cho cos α = √ hay y = . 3 2 7 2 7 3 Th vào (∗), ta đư c: √ 7 cos 3α = − 14 Đây là phương trình lư ng giác cơ b n. D dàng tìm đư c ba nghi m c a phương trình ban đ u:  √  7 √  arccos − 14  2 7   1 x1 = cos  + 3   3  3   √  7 √  ± arccos − 14  2 7  2π  1 x2,3 = cos  + + 3   3 3 3  Do phương trình b c ba có t i đa ba nghi m phân bi t nên ta không c n xét trư ng h p √ 2 7 |y| . Bài toán đư c gi i quy t. 3 √ 2 7 Nh n xét: Ta cũng có th ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| b ng cách đ t √ 3 7 1 y= (t + ) gi ng như bài 3, t đó d n t i m t phương trình trùng phương vô nghi m. 3 t −p 1 T ng k t l i, ta dùng phép đ t n ph y = t+ (∗) như sau: 3 t −p N u phương trình có 1 nghi m th c, ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| < 2 , 3 trư ng h p còn l i dùng (∗) đ đưa v phương trình trùng phương theo t. −p N u phương trình có 3 nghi m th c, ch ng minh phương trình vô nghi m khi |y| 2 3 −p b ng phép đ t (∗) (đưa v phương trình trùng phương vô nghi m theo t). Khi |y| 2 thì 3 |y| đ t = cos α, t đó tìm α, suy ra 3 nghi m y. −p 2 3 Còn khi p > 0 không khó ch ng minh phương trình có nghi m duy nh t: Bài 5: Gi i phương trình x3 + 6x + 4 = 0 Gi i 1 Ý tư ng: Ta s dùng phép đ t x = k t − đ đưa v phương trình trùng phương. Đ ý t phép đ t này không c n đi u ki n c a x, vì nó tương đương k(t2 − 1) − xt = 0. Phương trình trên luôn có nghi m theo t. Như v y t phương trình đ u ta đư c 1 1 1 k 3 t3 − − 3k 3 t − + 6k t − +4=0 t3 t t
15 √ C n ch n k tho 3k 3 = 6k ⇒ k = 2 V y ta có l i gi i bài toán như sau: L i gi i: √ 1 Đ t x= 2 t− ta có phương trình t √ √ 1 √ −1 ± 3 2 2 t3 − 3 6 3 3 +4=0⇔t −1+ 2t = 0 ⇔ t1,2 = √ t 2 Lưu ý r ng t1 .t2 = −1 theo đ nh lý Viete nên ta ch nh n đư c m t giá tr c a x là √ √ √ 3 −1 + 3 3 −1 − 3 x = t1 + t2 = 2 √ + √ .2 2 2 Bài 6: Gi i phương trình 4x3 − 3x = m v i |m| > 1 Gi i Nh n xét r ng khi |x| 1 thì |V T | 1 < |m| (sai) nên |x| 1. Vì v y ta có th đ t 1 1 x= t+ . 2 t Ta có phương trình tương đương: 1 1 t3 + =m 2 t3 T đó: 3 √ 1 3 √ 3 √ t= m± m2 − 1 ⇒ x = m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 Ta ch ng minh đây là nghi m duy nh t. Gi s phương trình có nghi m x0 thì x0 ∈ [−1, 1] vì |x0 | > 1. Khi đó: 4x3 − 3x = 4x3 − 3x0 0 hay (x − x0 )(4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3) = 0 0 Xét phương trình: 4x2 + 4xx0 + 4x2 − 3 = 0 0 có ∆ = 12 − 12x2 < 0 nên phương trình b c hai này vô nghi m. 0 V y phương trình đ u bài có nghi m duy nh t là 1 3 √ 3 √ x= m+ m2 − 1 + m− m2 − 1 . 2 Bài t p t luy n Bài 1: Gi i các phương trình sau: a) x3 + 2x2 + 3x + 1 = 0 b) 2x3 + 5x2 + 4x + 2 = 0 c) x3 − 5x2 + 4x + 1 = 0
16 √ d) 8x3 + 24x2 + 6x − 10 − 3 6 = 0 Bài 2: Gi i và bi n lu n phương trình: 4x3 + 3x = m v i m ∈ R Bài 3: Gi i và bi n lu n phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 PHƯƠNG TRÌNH B C B N [1] Phương trình d ng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak 2 = 0 (1) Ta có (1) ⇔ a(x4 + 2x2 .k + k 2 ) + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 ⇔ a(x2 + k)2 + bx(x2 + k) + (c − 2ak)x2 = 0 Đ n đây có hai hư ng đ gi i quy t: Cách 1: Đưa phương trình v d ng A2 = B 2 : Thêm b t, bi n đ i v trái thành d ng h ng đ ng th c d ng bình phương c a m t t ng, chuy n các h ng t ch a x2 sang bên ph i. Cách 2: Đ t y = x2 + k ⇒ y k Phương trình (1) tr thành ay 2 + bxy + (c − 2ak)x2 = 0 Tính x theo y ho c y theo x đ đưa v phương trình b c hai theo n x. Ví d : Gi i phương trình: x4 − 8x3 + 21x2 − 24x + 9 = 0 (1.1) Cách 1: (1.1) ⇔ (x4 + 9 + 6x2 ) − 8(x2 + 3) + 16x2 = 16x2 − 21x2 + 6x2 ⇔ (x2 − 4x + 3)2 = x2 √ 5 − 13  x2 − 4x + 3 = x x2 − 5x + 3 = 0  x= 2 √ ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 4x + 3 = −x x2 − 3x + 3 = 0 5 + 13 x= 2 Cách 2: (1.1) ⇔ (x4 + 6x2 + 9) − 8x(x2 + 3) + 15x2 = 0 ⇔ (x2 + 3)2 − 8x(x2 + 3) + 15x2 = 0 y = 3x Đ t y = x2 + 3. (1.1) tr thành: y 2 − 8xy + 15x2 = 0 ⇔ (y − 3x)(y − 5x) = 0 ⇔ y = 5x 2 V i y = 3x: Ta có x + 3 = 3x: Phương trình vô nghi  m √ 5 − 13  x= 2 √ V i y = 5x: Ta có x2 + 3 = 5x ⇔ x2 − 5x + 3 = 0 ⇔  5 + 13 x= √ √ 2 5 + 13 5 − 13 V y phương trình (1.1) có t p nghi m: S = ; 2 2 Nh n xét: M i phương pháp gi i có l i th riêng. V i cách gi i 1, ta s tính đư c tr c ti p mà
17 không ph i thông qua n ph . V i cách gi i 2, ta s có nh ng tính toán đơn gi n hơn và ít b nh m l n. Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1) x4 − 13x3 + 46x2 − 39x + 9 = 0 2) 2x4 + 3x3 − 27x2 + 6x + 8 = 0 3) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + 1 = 0 4) 6x4 + 7x3 − 36x2 − 7x + 6 = 0 5) x4 − 3x3 − 9x2 − 27x + 81 = 0 [2] Phương trình d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = ex2 (2) v i ad = bc = m Cách 1: Đưa v d ng A2 = B 2 (2) ⇔ (x + px + m)(x2 + nx + m) = ex2 (ad = bc = m, p = a + d, n = b + c) p+n n−p p+n n−p ⇔ x2 + x+m− x x2 + x+m+ x = ex2 2 2 2 2 2 2 p+n n−p 2 ⇔ x + x+m = + e x2 2 2 Cách 2: Xét xem x = 0 có ph i là nghi m c a phương trình không. Trư ng h p x = 0: m m (2) ⇔ x+ +p x+ +n =e x x m Đ t u=x+ . Đi u ki n: |u| 2 |m| x (2) tr thành (u + p)(u + n) = e. Đ n đây gi i phương trình b c hai theo u đ tìm x. Ví d : Gi i phương trình: (x + 4)(x + 6)(x − 2)(x − 12) = 25x2 (2.1) Cách 1: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 ⇔ (x2 − 2x + 24 + 12x)(x2 − 2x + 24 − 12x) = 25x2 x2 − 2x + 24 = 13x ⇔ (x2 − 2x + 24)2 = 169x2 ⇔ x2 − 2x + 24 = −13x  x = −8 2 x − 15x + 24 = 0  x = −3 ⇔ ⇔ √ x2 + 11x + 24 = 0  15 ± 129 x= 2 Cách 2: (2.1) ⇔ (x2 + 10x + 24)(x2 − 14x + 24) = 25x2 Nh n th y x = 0 không ph i là nghi m c a phương trình.
18 24 24 x = 0 : (2.1) ⇔ x+ + 10 x+ − 14 = 25 x x 24 √ Đ t y =x+ ⇒ |y| 4 6. (2.1) tr thành: x y = −11 (y + 10)(y − 14) = 25 ⇔ (y + 11)(y − 15) = 0 ⇔ y = 15 V i y = −11: Ta có phương trình: 24 x = −3 x+ = −11 ⇔ x2 + 11x + 24 = 0 ⇔ x x = −8 V i y = 15: Ta có phương trình: √ 24 2 15 ± 129 x+ = 15 ⇔ x − 15x + 24 = 0 ⇔ x = x 2 √ √ 15 − 129 15 + 129 Phương trình (2.1) có t p nghi m S = −3; −8; ; 2 2 Nh n xét: Trong cách gi i 2, có th ta không c n xét x = 0 r i chia mà có th đ t n ph y = x2 + m đ thu đư c phương trình b c hai n x, tham s y ho c ngư c l i. Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 2) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = 168x2 3) (x + 3)(x + 2)(x + 4)(x + 6) = 14x2 4) (x + 6)(x + 8)(x + 9)(x + 12) = 2x2 19 5) 18(x + 1)(x + 2)(x + 5)(2x + 5) = x2 4 [3] Phương trình d ng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3) v i a + b = c + d = p Ta có (3) ⇔ (x2 + px + ab)(x2 + px + cd) = m Cách 1: ab + cd ab − cd ab + cd ab − cd (3) ⇔ x2 + px + + x2 + px + − =m 2 2 2 2 2 2 2 ab + cd ab − cd ⇔ x + px + =m+ 2 2 Bài toán quy v gi i hai phương trình b c hai theo x. Cách 2: 2 p2 Đ t y = x + px Đi u ki n: y − . (3) tr thành:(y + ab)(y + cd) = m 4 Gi i phương trình b c 2 n y đ tìm x. Ví d : Gi i phương trình: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8 (3.1) Cách 1:
19 Ta có (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8 ⇔ (x2 + 3x + 1 − 1)(x2 + 3x + 1 + 1) = 8 x2 + 3x + 1 = 3 ⇔ (x2 + 3x + 1)2 = 9 ⇔ x2 + 3x + 1 = −3 √ x2 + 3x − 2 = 0 −3 ± 17 ⇔ ⇔x= x2 + 3x + 4 = 0 2 Cách 2: (3.1) ⇔ (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 8 9 Đ t y = x2 + 3x ⇒ y − 4 (3.1) tr thành: y=2 y(y + 2) = 8 ⇔ y 2 + 2y − 8 = 0 ⇔ ⇔y=2 y = −4(lo i) V i y = 2: Ta có phương trình: √ −3 ± 17 x2 + 3x − 2 = 0 ⇔ x = 2 √ √ −3 + 17 −3 − 17 Phương trình (3.1) có t p nghi m: S = ; 2 2 Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1. (x + 2)(x + 3)(x − 7)(x − 8) = 144 2. (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = 40 1 3 1 4 39879 3. x + x+ x+ x+ = 4 5 20 5 40000 4. (6x + 5)2 (3x + 2)(x + 1) = 35 5. (4x + 3)2 (x + 1)(2x + 1) = 810 Nh n xét: Như d ng (2), ngoài cách đ t n ph trên, ta có th đăt m t trong các d ng n ph sau: Đ t y = x2 + px + ab Đ t y = x2 + px + cd p 2 Đ t y = x+ 2 2 ab + cd Đ t y = x + px + 2 [4] Phương trình d ng (x + a)4 + (x + b)4 = c (c > 0) (4) a+b Đ tx=y− . (4) tr thành: 2 4 4 a−b a−b y+ + y− =c 2 2
20 S d ng khai tri n nh th c b c 4, ta thu đư c phương trình: 4 4 2 2 a−b 2y + 3(a − b) y + 2 =c 2 Gi i phương trình trùng phương n y đ tìm x. Ví d : Gi i phương trình: (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82 (4.1) Đ t y = x + 3. Phương trình (4.1) tr thành: (y + 1)4 + (y − 1)4 = 82 ⇔ (y 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 1) + (y 4 − 4y 3 + 6y 2 − 4y + 1) = 82 ⇔ 2y 4 + 12y 2 − 80 = 0 ⇔ (y 2 − 4)(y 2 + 10) = 0 ⇔ y 2 = 4 ⇔ y = ±2 V i y = 2, ta đư c x = −1 V i y = −2, ta đư c x = −5 V y phương trình có t p nghi m: S = {−1; −5} Bài t p t luy n Gi i các phương trình sau: 1. (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 √ √ 2. (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 3. (x + 10)4 + (x − 4)4 = 28562 4. (x + 1)4 + (x − 3)4 = 90 [5] Phương trình d ng x4 = ax2 + bx + c (5) Đưa (5) v d ng A2 = B 2 : (5) ⇔ (x2 + m)2 = (2m + a)x2 + bx + c + m2 Trong đó, m là m t s c n tìm. Tìm m đ f (x) = (2m + a)x2 + bx + c + m2 có ∆ = 0. Khi đó, f (x) có d ng bình phương c a m t bi u th c.  x 2 + m = 0 • N u 2m + a < 0 : (5) ⇔ (x2 + m)2 + g 2 (x) = 0 (v i f (x) = −g 2 (x))⇔ g(x) = 0 x2 + m = g(x) • N u2m + a > 0 : (5) ⇔ (x2 + m)2 = g 2 (x) (v i f (x) = g 2 (x)) ⇔ x2 + m = −g(x)