zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Báo xấu

310
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức bao gồm những nội dung về đặt vấn đề; giải quyết vấn đề; thực trạng vấn đề; giải pháp và tổ chức thực hiện; thực nghiệm sư phạm đối với việc dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức A. ĐẶT VẤN ĐỀ Việc giải toán là công việc thường làm đối với các em học sinh. Phần nhiều các em học sinh chỉ tìm ra lời giải của bài toán, rồi sau đó quên ngay, không suy nghĩ thêm về bài toán mình vừa làm, không để lại ấn tượng sâu sắc gì về bài toán đó. Có một số khá đông các em lại không để ý đến bài tập thầy cô ra về nhà. Chính vì vậy mà kiến thức của các em đơn điệu, rời rạc và thậm chí hổng rất nhiều, không có sự bao quát, thiếu chiều sâu. Bài toán chứng minh bất đẳng thức là bài toán khó, nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi. Khi gặp bài toán thuộc loại này, học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua bài toán. Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài toán về chứng minh bất đẳng thức: Học sinh chưa được trang bị một cách có hệ thống và bài bản về các phương pháp cơ bản dùng để chứng minh bất đẳng thức. Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống. Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu của mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán chứng minh bất đẳng thức, các thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh. Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường phổ thông trung học chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân học sinh, cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá việc hoạt động học tập của học sinh. Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật toán. Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh các hoạt động nói trên, đặc biệt là phát triển năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn. ------------------------------------------------------------------------------------ 1
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm như sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1. Bất đẳng thức vectơ và các hệ quả của nó a) Bất đẳng thức vectơ r r Với a,b là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau r r r r a+ b ﾣ a + b (I.1) r r r r a - b ﾣ a+ b (I.2) r r r r a.b ﾣ a . b (II) r r Dấu “=” trong (I.1) xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng r r ﾣb = 0 ﾣﾣﾣ r r r r (1) ﾣﾣC�s�k ﾣ 0 �� a = kb (b ﾣ 0) r ﾣ xy'- x'y = 0 ﾣ a = (x; y ) x y ﾣﾣ = = k ﾣ 0) ﾣﾣﾣ x Nếu ﾣ r thì (1) ( ﾣ y ﾣﾣ b = (x';y') x' y' ﾣﾣﾣ 0 (hay ﾣ 0) ﾣﾣ x' y' r r ﾣ Dấu “=” trong (I.2) xảy ra khi và chỉ khi a,b ngược hướng r r ﾣb = 0 ﾣﾣﾣ r r r r (2) ﾣﾣC�s�k ﾣ 0 �� a = kb (b ﾣ 0) r ﾣﾣ xy'- x'y = 0 ﾣ a = (x; y ) x y ﾣ = = k ﾣ 0) ﾣﾣﾣ x Nếu ﾣ r thì (2) ( ﾣ y ﾣﾣ b = (x';y') x' y' ﾣﾣﾣ 0 (hay ﾣ 0) ﾣﾣ x' y' r r ﾣ Dấu “=” trong (II) xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng phương r r ﾣb = 0 ﾣﾣﾣ r r r r (3) ﾣﾣC�s�k �� a = kb (b ﾣ 0) r ﾣ a = (x; y ) ﾣ Nếu ﾣ r thì (3) ﾣ � xy'- x'y = 0 ﾣﾣ b = (x';y') ﾣ ------------------------------------------------------------------------------------ 2
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức (Ta quy ước rằng trong hai tỉ số trên, nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0. Trong r r hai tỉ số đó, chắc chắn có một tỉ số có mẫu khác 0 vì b ﾣ 0 ) Chú ý. Hai bất đẳng thức (I.1) và (II.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau r r r r r r a - b ﾣ a+ b ﾣ a + b (I) Các bất đẳng thức (I) và (II) được gọi là bất đẳng thức vectơ. b) Hệ quả r r 1) Với a,b là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau r r r r a- b ﾣ a + b (III.1) r r r r a - b ﾣ a- b (III.2) Hai bất đẳng thức (III.1) và (III.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau r r r r r r a - b ﾣ a- b ﾣ a + b (III) r r Dấu “=” trong (III.1) xảy ra khi và chỉ khi a,b ngược hướng r r Dấu “=” trong (III.2) xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng r r r 2) Với a,b,c là ba vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau r r r r r r a+ b + c ﾣ a + b + c (IV) r r r Dấu “=” trong (IV) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a,b,c cùng hướng r r ﾣc = 0 ﾣﾣ r r r r ۳=ﾣ� C�s�k 0 �� a kc (c 0) (4) ﾣ r r r r ﾣC�s�l ﾣ 0 �� b = lc (c ﾣ 0) ﾣﾣﾣﾣ xy''- x''y = 0 r ﾣﾣﾣ a = (x; y ) ﾣ x y ﾣﾣ x'y''- x''y' = 0 ﾣﾣﾣﾣ = = k ﾣ 0 ﾣﾣ r ﾣ�x'' y'' � ﾣﾣ x y Nếu ﾣ b = (x';y') thì (4) ( ﾣ � ) ﾣ � ﾣ 0 (hay ﾣ 0) ﾣﾣ r � � x' y' � � x'' y'' ﾣﾣ b = (x'';y'') � = =lﾣ 0 � � � ﾣﾣ�x'' y'' � x' y' ﾣﾣﾣ 0 (hay ﾣ 0) ﾣﾣ x'' y'' ------------------------------------------------------------------------------------ 3
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức ur ur ur 3) Với a1,a2 ,...,an là n vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau ur ur ur ur ur ur a1 + a2 + ... + an ﾣ a1 + a2 + ... + an (V) ur ur ur Dấu “=” trong (V) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a1,a2 ,..., an đôi một cùng hướng r r 4) Với a,b là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau r r r r r r r r a.b ﾣ a . b (VI.1) ; - a . b ﾣ a.b (VI.2) ; r r Dấu “=” trong (VI.1) xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng hướng r r Dấu “=” trong (VI.2) xảy ra khi và chỉ khi a,b ngược hướng Chú ý. Việc áp dụng các bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) là tương đương nhau. Cũng như vậy, việc áp dụng các bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) là tương đương nhau. Do đó trong thực hành, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức (I.1) và (I.2) 2. Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳng thức đó tiềm ẩn các dữ kiện của hình học giải tích. Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức vectơ: Các vế của bất đẳng thức có chứa căn bậc hai hoặc các biểu thức trong căn bậc hai là tổng của các bình phương. Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ sẽ giúp ta khử bớt căn hoặc khử bớt ẩn. Các vế của bất đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và tích độ dài của hai vectơ đó. Để dùng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo chọn tọa độ các vectơ để sau khi sử dụng bất đẳng thức vectơ thì các vế của bất đẳng thức cần chứng minh xuất hiện. Cần chú ý đến trường hợp xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức để chọn tọa độ của các vectơ cho phù hợp. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết với bài tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức hầu như không có. Vì thế các em học sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này, dẫn đến việc ------------------------------------------------------------------------------------ 4
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức bỏ qua bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi. Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài toán. Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán nói chung và giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau: Đứng trước những bất đẳng thức nào có thể lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải và nếu dùng được bất đẳng thức vectơ thì chọn tọa độ của các vectơ như thế nào. Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng phương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh. Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khồng phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn. Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài bài toán chứng minh bất đẳng thức giải được bằng phương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về bất đảng thức, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ------------------------------------------------------------------------------------ 5
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán. Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A3, 12A1 trong hai năm học 20111012, 20122013. Khi được tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng phương pháp vectơ. Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ vận dụng Ví dụ 1. Chứng minh rằng với x là số thực bất kì, ta luôn có x 2 - 4x + 5 + x 2 - 10x + 34 ﾣ 5 (1) Tìm x để dấu “=” xảy ra. Hướng dẫn giải. Ta có x 2 - 4x + 5 + x 2 - 10x + 34 = (x - 2)2 + 12 + (- x + 5)2 + 32 Xét hai vectơ r r u = (x - 2; 1); v = (- x + 5; 3) r r r r Khi đó: u + v = (3; 4); u + v = 5 r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x- 2 1 11 = �x= - x + 5r r 3 4 Chó ý. Ngoµi c¸ch chän hai vect¬ u,v nh trªn, ta cßn cã thÓ chän chóng theo c¸c c¸ch sau r r r u = ( x - 2; - 1) ﾣﾣ u = (- x + 2; 1)ﾣﾣ u = (- x + 2; - 1) ﾣﾣ r � r � r � v = (- x + 5; - 3)ﾣﾣﾣ hoặc v = ( x - 5; 3)ﾣﾣﾣ hoặc v = ( x - 5; - 3)ﾣﾣﾣ r r r r r r � u + v = (3;- 4) � u + v = (- 3; 4) � u + v = (- 3;- 4) Ví dụ 2. Chứng minh rằng với x là số thực bất kì, ta luôn có a) x 2 - 2px + 2p2 + x 2 - 2qx + 2q2 ﾣ (p - q)2 + ( p + q )2 (1) (p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0) Tìm x để đẳng thức xảy ra. b) x 2 - 2ax + a2 + p2 + x 2 - 2bx + b2 + q2 ﾣ (a - b)2 + ( p + q )2 (2) ------------------------------------------------------------------------------------ 6
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức (a và b là các hằng số; p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0) Tìm x để đẳng thức xảy ra. Hướng dẫn giải. a) Ta có 2 2 x 2 - 2px + 2p2 + x 2 - 2qx + 2q2 = (x - p)2 + p + (- x + q)2 + q Xét hai vectơ r r u = ( x - p; p ); v = (- x + q; q ) r r Khi đó: u + v = (- p + q; p + q ) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x- p p p q+ q p = �x= - x+q q p+q b) Ta có 2 2 x 2 - 2ax + a2 + p2 + x 2 - 2bx + b2 + q2 = (x - a)2 + p + (- x + b)2 + q Xét hai vectơ r r u = ( x - a; p ); v = (- x + b; q r r Khi đó: u + v = (- a + b; p + q ) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức (2). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x- a p p b+ q a = �x= - x+b q p+q Ví dụ 3. Cho a và b là hai số thỏa mãn a – 2b + 2 = 0. Chứng minh rằng a2 + b2 - 6a - 10b + 34 + a2 + b2 - 10a - 14b + 74 ﾣ 6 (1) Tìm a và b để đẳng thức xảy ra. Hướng dẫn giải. Từ điều kiện đã cho rút ra a = 2b – 2, thế vào vế trái của (1), ta có 21 2 7 VT(1) = 5(b2 - 6b + 10) + 5b2 - 42b + 98 = 5[(b - 3)2 + 12 ] + 5[(- b + ) + ( )2] 2 5 Xét hai vectơ ------------------------------------------------------------------------------------ 7
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r u = ( b - 3 ; 1) ﾣﾣﾣ r 21 7 � v = (- b + ; )ﾣﾣ 5 5 ﾣﾣ r r 6 12 � u+ v = ( ; ) 5 5 r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức (1). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ﾣﾣ a = 2b - 2 ﾣﾣﾣﾣ a = 5 � b- 3 1ﾣ � � = � 7 � � 21 7 � � b= � - b+ �ﾣ 2 ﾣﾣ 5 5 Nhận xét. Bài toán trên có thể phát biểu cách khác như sau: Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0. Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB. Ta có thể giải bài toán theo cách khác: Dễ kiểm tra được rằng A và B nằm cùng phía đối với (d).Từ đó ta có thể dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục) để giải bài toán như sau Xác định toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1). Xác định toạ độ điểm M0 là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng 7 (5; ) A’B: M0 2 . Với M là điểm bất kì trên (d), ta có MA + MB = MA’ + MB M0A’+M0B = A’B = 6. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M0. 7 (5; ) Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB là 6 khi M 2 . Ví dụ 4. Cho x, y, z là ba số tuỳ ý. Chứng minh rằng x2 + xy + y2 + x2 + xz + z2 y2 + yz + z2 Hướng dẫn giải. Ta có 2 2 2 2 � y� � 3 � 2 � z� � 3 � x + xy + y = �x + �+ � 2 2 �; x + xz + z = � y� 2 x + �+ � �2 z� � 2� � �2 � � 2 � � � � Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ: ------------------------------------------------------------------------------------ 8
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r � y 3 �r � z 3 � a=�x + ; � 2 2 �y ; b � � = �− x − ; z� � � � � 2 2 � Khi đó: r r r r �y − z 3( y + z) � r r a + b = x2 + xy + y2 + x2 + xz + z2 ; a + b = � �2 ; � �; a + b = y2 + yz + z2 � 2 � r r r r .Áp dụng bất đẳng thức u + v u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực x , ta có: x2 + x + 1 − x2 − x + 1 < 1 Hướng dẫn giải. Ta có 2 2 2 2 � 1� � 3 � 2 � 1� � 3 � x + x + 1 = �x + �+ � �; x − x + 1 = �x − �+ � � 2 � 2� � �2 � � � 2� � �2 � � Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r � 1 3 �r � 1 3� u= � x + ; � 2 2 � � �; v = � − x + ; − � � � � � 2 2 � r r r r r r Khi đó: u − v = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 ; u + v = (1; 0); u + v =1 r r r r Áp dụng bất đẳng thức u - v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. (Chú ý dấu bằng không xảy ra) Ví dụ 6. Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực bất kì ta có (a + c)2 + b2 + ( a − c)2 + b2 2 a2 + b2 Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r u = (a + c; b); v = (a − c; b) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 7. Cho x, y là các số thực bất kì, chứng minh rằng: A = x2 + 4y2 + 6x + 9 + x2 + 4y2 − 2x − 12y + 10 5 Hướng dẫn giải. Ta có A = ( x + 3)2 + (2y)2 + (1 − x)2 + (3 − 2y)2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ ------------------------------------------------------------------------------------ 9
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r r u = ( x + 3; 2y); v = (1 − x; 3 − 2y) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 8. Cho bốn số thực a, b, c, d tuỳ ý. Chứng minh rằng: (a c)2 + (b d)2 a2 + b2 + c2 + d2 Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r u = ( a; b); v = ( c; d) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 9. Cho bốn số thực a, b, c, d tuỳ ý. Chứng minh rằng: a2 + b2 + (c − b)2 + d2 c2 + (d − a)2 Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r u = (b; − a); v = (c − b; d) r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi giá trị của x và y , ta đều có 4cos2 x cos2 y + sin2 ( x − y) + 4sin2 x sin2 y + sin2 ( x − y) 2 . Tìm x và y để đẳng thức xảy ra ? Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r u = (2cos x cosy; sin( x − y)); v = (2sin x sin y; sin( x − y)) Ta có: r r r r u = 4cos2 x cos2 y + sin2 ( x − y); v = 4sin2 x sin2 y + sin2 ( x − y); u + v = 4cos2 ( x − y) + 4sin2 ( x − y) = r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. π Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x + y = . 2 Ví dụ 11. Cho x, y là các số thực thay đổi. a) Chứng minh rằng: P = ( x − 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y − 2 2 1 + y2 + y − 2 . b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P . Hướng dẫn giải. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ ------------------------------------------------------------------------------------ 10
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r r u = ( − x + 1; y); v = ( x + 1; y) r r r r r r Ta có: u + v = (2; 2y); u = ( x − 1)2 + y2 ; v = ( x + 1)2 + y2 ; u + v = 2 1 + y2 r r r r Áp dụng bất đẳng thức u + v ﾣ u + v , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. r r Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng, tức là − x + 1 = x + 1 � x = 0 . b) Ta có P 2 1 + y2 + y − 2 2 1 + y2 + 2 − y (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có 3 + y 3.1 + 1.y 3 + 1. 1 + y2 = 2 1 + y2 (2) Từ (1) và (2) suy ra P 3 + y + 2 − y = 3 + 2 (3) Dấu “=” trong (3) xảy ra khi dấu “=” trong (1) và trong (2) cùng xảy ra, tức là y − 2 0, 3 + y 0 3 y 1 � y= . = 3 1 3 1 Vậy min P = 3 + 2 khi x = 0, y = . 3 Chú ý. Đối với học sinh lớp 12, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của P đơn giản hơn bằng cách sử dụng đạo hàm như sau: Đặt f ( y) = 2 1 + y2 + y − 2 Với y 2 thì f ( y) = 2 1 + y2 + 2 − y . Lập bảng biến thiên ta suy ra ngay �1 � f ( y) f � �= 2 + 3 . � 3� Với y > 2 thì f ( y) = 2 1 + y2 + y − 2 > 2 1 + y2 > 2 5 > 2 + 3 . Từ hai trường hợp trên ta có giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 + 3 . Cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số f ( y) , với y ﾣ để thu được kết quả như trên. Ví dụ 12. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z 1. a) Chứng minh rằng: 2 1 1 1 �1 1 1 � x + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 2 ( x + y + z) + � + + � (1) . 2 x y z �x y z � ------------------------------------------------------------------------------------ 11
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức �1 1 1 � b) Áp dụng bất đẳng thức ( x + y + z) � + + � 9 , hãy chứng minh �x y z � 1 1 1 P = x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 82 x y z Dấu “=” xảy ra khi nào ? Hướng dẫn giải. a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r 1 r 1 r 1 a = ( x; ); b = ( y; ), c = ( z; ) x y z r r r � 1 1 1 �r 1 r 1 r 1 Khi đó: a + b + c = �x + y + z; + + � ; a = x2 + 2 , b = y2 + 2 , c = z2 + 2 ; � x y z� x y z 2 r r r �1 1 1 � a + b + c = ( x + y + z) + � + + � 2 �x y z � r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức a + b + c ﾣ a + b + c , ta có bất đẳng thức (1). Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 1 r r r x x x x a, b, c cùng hướng, hay: = 1 ; = 1 > 0 � x = y = z > 0 y z y z b) Ta có 2 2 �1 1 1 � �1 1 1 � ( x + y + z) + � + + �= 81( x + y + z)2 + � + + �− 80( x + y + z)2 (2) 2 �x y z � �x y z � Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2 �1 1 1 � �1 1 1 � 81( x + y + z) + � + + � 2.9( x + y + z) � + + � 18.9 = 162 (3) 2 �x y z � �x y z � 1 1 1 9( x + y + z) = + + 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z � x = y = z= 3 x=y=z Từ giả thiết 0 < x + y + z 1 suy ra: 80( x + y + z)2 �� 80 −80( x + y + z)2 �−80 (4) . Dấu “=” trong (4) xảy ra khi và chỉ khi x + y + z = 1. Từ (1), (3), (4), ta có: P 82 . ------------------------------------------------------------------------------------ 12
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 3 2 �1 1 1 � Nhận xét: Ta có cách khác để chứng minh: S = ( x + y + z) + � + + � 82 2 �x y z � như sau 1 1 1 9 Ta có + + x y z x+ y+ z 81 81 S+ (=x y z)2 + + +2 t , với t = ( x + y + z)2 ( x + y + z) t Theo giả thiết thì 0 < t 1. 81 Lập bảng biến thiên của hàm số f (t ) = t + , với 0 < t 1, ta suy ra f (t ) 82 , t với mọi 0 < t 1. f (t ) = 82 � t = 1 . Vậy S 82 , hay P 82 . Cũng có thể chứng minh S 82 theo cách sau: 1 Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: t + 2. t 1 Từ 0 < t 1, suy ra 1 t 81 � 1 � 80 Từ đó f (t ) = t + = � t+ + 2 + 80 = 82 . t � t� � t 2 2 � 1 � �1 1 1 � ( ) 9 2 Hoặc: Ta có S = ( x + y + z)2 + � + + � 3. 3 xyz + � 3. 3 �= 9u + , �x y z � � xyz � u � � ( ) 2 với u = 3 xyz . 2 �x + y + z � 1 Ta có: 0 < u � � 9. � 3 � 9 Đến đây, ta có thể chứng minh g(u) = 9u + 82 tương tự như việc chứng u minh f (t ) 82 . Ví dụ 13. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng x2 + xy + y2 + y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 3( x + y + z) ------------------------------------------------------------------------------------ 13
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn giải. Ta có 2 2 2 2 2 2 � y� � 3 � 2 � z� � 3 � 2 � x� �3 � x + xy + y = �x + �+ � 2 2 �; y + yz + z = � y� 2 y + �+ � z� �; z + zx + x = � 2 z + �+ � x � � 2� � �2 � � 2� � �2 � � 2� � �2 � � Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r � y 3 �r � z 3 �r � x 3 � a=� �x + 2 ; 2 y �� ; b=��y + 2 ; 2 z��;c=� �z + 2 ; 2 x � � � � � � � � r r r �3 3 �r r r Khi đó a + b + c = � �2 ( x + y + z); 2 ( x + y + z) � , a + b + c = 3( x + y + z) . � � � r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức a + b + c a + b + c , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 14. Cho các số thực x, y, z thoả mãn 2x + 3y + z = 40 . Tìm gia strị nhỏ nhất của biểu thức S = 2 x2 + 1 + 3 y2 + 16 + z2 + 36 . Hướng dẫn giải. Ta có S = (2x)2 + 22 + (3y)2 + 122 + z2 + 62 r r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ: a = (2x; 2), b = (3y; 12), c = (4z; 6) , th× r r r a = (2x)2 + 22 , b = (3y)2 + 122 , c = z2 + 62 r r r r r r � S = a + b + c ; a + b + c = (2x + 3y + z; 2 + 12 + 6) = (40;20) r r r � a + b + c = 20 5 r r r r r r Áp dụng bất đẳng thức a + b + c a + b + c , ta được S 20 5 r r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a, b, c cùng hướng, tức là 2x 3y z 2x 3y z 2x + 3y + z 40 = = � = = = = = 2 � x = 2, y = 8, z = 12 . 2 12 6 2 12 6 2 + 12 + 6 20 Với x = 2, y = 8, z = 12 thì S= 20 5 . Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 20 5 khi x = 2, y = 8, z = 12 . 4 Ví dụ 15. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn ab + bc + ca . Tìm giá 3 1 1 1 trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 + + b2 + + c2 + . (b + 1)2 (c + 1)2 ( a + 1)2 Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ ------------------------------------------------------------------------------------ 14
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r � 1 �r � 1 �ur � 1 � u=� a; ; v=� � b; ;w=� � c; � � b + 1 � � c + 1 � � a + 1� r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức u + v + w u + v + w , ta có 2 �1 1 1 � 81 P (a + b + c) + � 2 + + � (a + b + c)2 + �b + 1 c + 1 a + 1 � (a + b + c + 3)2 Đặt t = a + b + c , suy ra t 3(ab + bc + ca) 2 . 81 Xét hàm số f (t ) = t + 2 , t 2. (t + 3)2 162 2[ g(t ) + 169] Ta có: f '(t ) = 2t − = , trong đó (t + 3)3 (t + 3)3 g(t ) �(∀ + +t +−11 t 2)( =t 49t 125) g(t ) 0, t 2 181 Từ đó f '(t ) �0,∀ =t �2∀< f (t ) f (2) , t 2 . 25 181 4 Suy ra P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = . 5 9 181 Vậy min P = . 5 Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn a + b + c = abc . Chứng minh rằng b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + 3 ab bc ca Dấu “=” xảy ra khi nào ? 1 1 1 Hướng dẫn giải. Hệ thức trong giả thiết tương đương với: + + = 1 (chia a b c hai vế cho abc) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 1 2 1 2 + + + + + 3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r �1 2 �r �1 2 �ur �1 2 � u= � �a ; b � �; v=��b ; c �;w=� � �c ; a �� ------------------------------------------------------------------------------------ 15
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức u + v + w u + v + w , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 3 . Ví dụ 17. Chứng minh rằng với mọi giá trị của α và β , ta đều có cos4 α + cos4 β + sin2 α + sin2 β 2 Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r ur u = (cos2 α ; cos2 β ); v = (sin2 α ;0); w = (0;sin2 β ) Khi đó: r r ur r r ur r r ur u + v + w = (1;1), u + v + w = 2; u + v + w = cos4 α + cos4 β + sin2 α + sin2 β r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức u + v + w u + v + w , ta được bất đẳng thức phải chứng minh. Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số a và b , ta đều có 1 (a + b)(1 − ab) 1 − . 2 (1 + a2 )(1 + b2 ) 2 Dấu “=” xảy ra khi nào ? Hướng dẫn giải. Cách 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r � 2a 1 − a2 � r �1 − b2 2b � u= � 2 ; �; v=� 2; � � 1 + a 1 + a2 � � 1 + b 1 + b2 � rr r r Áp dụng bất đẳng thức .v u . v , ta có bất đẳng thức phải chứng minh. u Cách 2. Trong không gian với hệ tọa tọa độ Oxyz, xét các vectơ r r u = (1; a;0), v = (1; − b;0) rr 1 − ab rr a+ b Khi đó: cos(u, v) = ; sin(u, v) = . 1+ a . 1+ b 2 2 1+ a . 1+ b 2 2 Ta có: rr rr rr ( a + b)(1 − ab) 1 ( a + b)(1 − ab) 1 sin2(u, v) = 2sin(u, v)cos(u, v) = ��1 − �� (1 + a2 )(1 + b2 ) 2 (1 + a2 )(1 + b2 ) 2 x2 + xy + y2 = 3 Ví dụ 19. Giả sử hệ có nghiệm. Chứng minh rằng y2 + yz + z2 = 16 xy + yz + zx 8 . ------------------------------------------------------------------------------------ 16
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r � x 3 �r � 3 z� a=� y + ; � 2 2 � �2 x �; b = � z; y + � � � � � 2 � r r rr 3 Ta có: a = x2 + xy + y2 = 3; b = y2 + yz + z2 = 4; a.b = ( xy + yz + zx) rr r r 2 Từ bất đẳng thức .b a . b , suy ra: xy + yz + zx 8 (ĐPCM). a Ví dụ 20. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a > c, b > c . Chứng minh rằng c(a − c) + c(b − c) ab Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét các vectơ r r u = ( a − c; c ); v = ( c; b − c ) rr r r Khi đó: u. v = c(a − c) + c(b − c); u = a; v = b . rr r r Từ bất đẳng thức u.v u . v , suy ra: c(a − c) + c(b − c) ab (ĐPCM). r r Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: u, v cùng hướng, tức là r r a−c = k c a− c c 1 1 u = kv (k > 0) �� = � (a − c)(b − c) = c2 � ab = c(a + b) � + c = k b−c c b− c a b (Chú ý rằng c > 0, a − c > 0, b − c > 0 ) Bài tập vận dụng 1. Chứng minh rằng với mọi x ﾣ , ta luôn có: x2 − 2x + 5 + x2 − 12x + 136 13 2. Chứng minh rằng với mọi x �ﾣ , y �ﾣ , ta luôn có: 4x2 + y2 + 12x + 9 + 4x2 + y2 − 4x − 6y + 10 5 3. Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = 4 (a, b, c 0) . Chứng minh rằng: 9a2 + a2 x2 + 9b2 + b2 y2 + 9c2 + c2z2 5 4. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng: a2 − ab 2 + b2 + b2 − bc 3 + c2 a2 − ac 2 − 3 + c2 5. Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 1 . Chứng minh rằng: 5x2 + 2xy − 5y2 6 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ------------------------------------------------------------------------------------ 17
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức x2 x2 16x 32 x2 x2 4x 8 y= +2+ − + + − 4x + 10 + − + 2 2 5 5 2 2 5 5 7. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − a)2 + y2 + ( x + a)2 + y2 + y − b a trong đó a 0, b là các hằng số. 3 8. Cho a > 0, b > 0, c > 0 . Chøng minh r»ng 1 1 1 a2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 3 2 a b c 9. Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a − b + c + 1 = 0 . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2a − 6b + 4c + 14 + a2 + b2 + c2 + 18a − 8b − 18c + 178 3 26 10. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ: x2 − xy + y2 + y2 − yz + z2 = 2 . x + y + z 11 IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích thực nghiệm Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc sử dụng phương pháp bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến hành dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức. Sau quá trình dạy học, tôi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A3. Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc. Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút) Bài 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a và b , ta đều có 4sin2 a cos2 b + cos2 ( a + b) + 4cos2 asin2 b + cos2 (a + b) 2 Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 4x 2 − 4x + 10 + 4x 2 + 12x + 10 Bài 3. Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − 2)2 + y2 + ( x + 2)2 + y2 + y − 3 ------------------------------------------------------------------------------------ 18
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng vận dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Kết quả thực nghiệm Trong lớp mà tôi tiến hành dạy thực nghiệm không có học sinh giỏi, có khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, còn lại là mức trung bình. Bởi vậy, phần lớn các em cho rằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là tương đối khó. Về bài kiểm tra, tôi chấm kĩ và thu được kết quả như sau Điểm 8 7 6 5
SKKN: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoạt, nhạy bén, chủ động tìm hướng giải quyết bài toán theo nhiều cách và lựa chọn được cách giải có lợi nhất. C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1. Kết luận Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức” đã thu được một số kết quả sau Sáng kiến kinh nghiệm đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận của việc rèn luyện năng lực giải bài tập toán. Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ thống các bài toán minh hoạ cho việc áp dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức ở nhiều tình huống khác nhau. Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo, nhạy bén trong giải quyết các vấn đề mới. Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp quan trọng trong hoạt động giải các bài tập toán. Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo, linh hoạt của người học. Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên của học sinh. Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành. Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy học toán và mong được quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý. 2. Đề xuất Qua quá trình thực hiện, tôi có kiến nghị như sau: Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán. Các thầy cô giáo nên dành một số buổi hoạt động ngoại khoá về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán để học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, từ đó các em có sự nhạy bén trong việc giải các bài toán bằng phương pháp này. Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề bất đẳng thức. ------------------------------------------------------------------------------------ 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.