Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp được viết với mục đích giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 – 2015.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học không gian là một môn khoa học nghiên cứu về hình dạng, độ lớn và vị trí không gian của vật thể, là một môn học khó đối với nhiều học sinh phổ thông. Rất nhiều em cảm thấy ngán ngại khi học môn học này, có em thuộc định lý, tính chất nhưng không biết vận dụng vào giải bài tập, có em biết vẽ hình nhưng không đọc được hình…! Bài toán tính thể tích khối chóp là một nội dung thường gặp trong các bài kiểm tra cuối học kỳ, bài thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm. Phần lớn các em cảm thấy không thật thoải mái khi gặp nội dung này, vì các em lúng túng khi vẽ hình, không xác định được đường cao của khối chóp nên không lập được công thức tính thể tích khối chóp. Việc học hình học không gian ở lớp 11, các em mới chỉ dừng lại ở bước quan sát hình vẽ được chiếu trên màn hình trong các tiết dạy có ứng dụng công nghệ thông tin, mà ít được hướng dẫn cụ thể từng thao tác để vẽ hình. Do vậy, việc truyền đạt kiến thức liên quan đến hình học không gian nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng đòi hỏi người Thầy cần có sự chọn lọc nhất định khi lồng ghép các ứng dụng công nghệ thông tin vào bài giảng, phải kiên nhẫn, hướng dẫn các thao tác theo một trình tự nhất định, từng bước giúp các em chủ động thực hiện và tìm ra kết quả bài toán. Hoạt động chủ đạo và thường xuyên trong quá trình học toán của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo và khắc sâu kiến thức. Do vậy việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ và chủ động để giải bài tập và củng cố kiến thức. Sách giáo khoa Hình học 12 (chuẩn và nâng cao) có nêu nội dung về “tính thể tích khối đa diện”, phần lý thuyết thì rất đơn giản nhưng phần bài tập thì thật không hề đơn giản đối với học sinh. Do kỹ năng giải toán hình học không gian nói chung và giải bài toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng còn nhiều hạn chế nên các em thường bị mất điểm khi gặp những câu hỏi có liên quan đến nội dung này trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh hàng năm. Cảm thông với những băn khoăn , lo lắng của các em và từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm trong việc thực hiện các bước cụ thể để hướng dẫn các em tính thể tích khối chóp. Nhằm giúp các em chủ động ôn tập và tự tin chuẩn bị bước vào các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 sắp tới, ngay từ đầu năm học 2014 – 2015, tôi chọn viết và thực hiện đề tài: Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp đối với học sinh lớp 12 1
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Cơ sở lý luận Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :  Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán  Bước 2 : Tìm cách giải  Bước 3 : Trình bày lời giải theo trình tự các bước thích hợp  Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt với hình học là hướng dẫn cho học sinh biết phân tích đề bài, thấy được sự liên quan giữa giả thiết và kết luận, biết dựng hình và định hướng được cách giải. Giải toán là một quá trình biến những tri thức tổng quát thành cái cụ thể, thành kinh nghiệm của bản thận, là một chặng đường nhiều thử thách, đòi hỏi sự nỗ lực bền bỉ và đan xen một chút sáng tạo của học sinh. Vì tìm được cách giải một bài toán là một phát minh. Để giải một bài toán tính khoảng cách, ta thực hiện theo các bước sau :  Bước 1 : Đọc đề và phân tích đề  Bước 2 : Dựng hình phù hợp với nội dung của đề bài.  Bước 3 : Liên hệ nội dung cần chứng minh với các định lý, công thức có liên quan để giải bài toán. Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với các bước cụ thể, nhận biết các dạng bài tập, từng bước giúp các em hình thành kỹ năng, kỹ xảo, chủ động giải quyết các tình huống xảy ra trong quá trình giải toán, là cơ sở để các em khắc sâu kiến thức. 2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài a. ư . Trong đề tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2014 vừa qua, đề thi của khối A, A1, D và cao đẳng đều có bài toán tính thể tích khối chóp. Các em đều có chung một cảm nhận là câu này khó, không làm được!. Qua tìm hiểu và trao đổi với các em thì nguyên nhân chính là vẽ hình chưa chuẩn xác, không xác định được đường cao của khối chóp và lúng túng trong tính toán do nhớ sai công thức. 2
Bài toán tính thể tích khối chóp rất đa dạng nên đã tạo ra không ít khó khăn trong quá trình hướng dẫn, truyền đạt của giáo viên và việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Tuy nhiên nếu biết sắp xếp và phân tích cụ thể các yếu tố có liên quan của bài toán, biết gợi mở thì sẽ phát huy được tính tích cực của học sinh, tạo được hứng thú cho học sinh khi giải bài toán tính thể tích khối chóp b. B . hắc phục những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật cụ thể: Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ d đến khó, chú vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan. ài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn học sinh ta cần điều chỉnh một số giả thiết cho ph hợp với khả năng nhận thức của các em. Cần tạo điều kiện cho các em có sự chuẩn bị bị ở nhà theo tổ nhóm, qua mỗi dạng toán cần hướng dẫn các em nhận x t để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm khắc sâu kiến thức và r n luyện kỹ năng giải bài toán tính toán. + Giáo viên cần hướng dẫn các em dựng hình và đọc được các chi tiết trên hình, làm cơ sở định hướng công việc cần làm theo một trình tự nhất định, qua đó nâng cao nhận thức của các em trong nhận định và giải quyết công việc trong cuộc sống sau này. + Qua mỗi bài tập, giáo viên cần hướng dẫn các em nhận xét là cở sở phân tích, suy luận để giải quyết các bài tập khác có liên quan. Các giải pháp tôi nêu ra ở phần sau là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, giải pháp mới này tỉ mỉ hơn, cụ thể và khoa học hơn; giúp các em tiếp thu và vận dụng tốt hơn. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP ồm hai phần: một: ệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp. : Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp Các dạ o ư ng gặp :  Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy  Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy  Khối chóp đều  Một số dạng khác 3
PHẦN MỘT Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp Thông thường, bài toán về hình chóp được chia thành hai dạng như sau: Hình chóp Hình chóp có cạnh bên, mặt bên Hì đều vuông góc với mặ đ y S S S S A C A C A A C D   H N H M O B B C B B SA   ABC   SAB    ABC  Đa giác đáy: Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều - Tam giác vuông, tam giác cân - Tam giác đều, tam giác thường - Hình vuông, hình chữ nhật SH   ABC  SO   ABCD  - Hình thoi, hình bình hành, hình thang HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Tam giác Công thức tính di n tích tam giác: 1 1 1  S ABC  aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 A  S ABC  bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 2 2 b abc c ha  S ABC  là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ) 4R  S ABC  pr r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC ) B C H a abc  S ABC  p( p  a)( p  b)( p  c) với: p  2  Các tam giác đặc biệt: Tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A Hệ thức lượng trong tam giác vuông: A  Định lí Pitago: BC 2  AB 2  AC 2  BA2  BH .BC, CA2  CH .CB  AB.AC  BC.AH 1 1 1  AH  BH .CH 2  2  2  AH AB AC 2 B C H 4
1  Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB. AC 2 Cho tam giác ABC vuông tại A Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông: AC  sin B  cos C  A BC AB  sin C  cos B  BC AC (  tan B  cot C  )) C AB B H AB  tan C  cot B  AC Cho tam giác ABC cân tại A Tam giác cân A Gọi là trung điểm của BC  AH  BC  AH  BH .tan B  CH .tan C 1  Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH .BC ) ( 2 B C H Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Tam giác đều A Gọi là trung điểm của BC  AH  BC a 3  Độ dài đường cao: AH  2 1 a2 3  Diện tích tam giác ABC: S ABC  AH .BC  2 4 B C H 2. Tứ giác A D Hình vuông  Diện tích hình vuông ABCD cạnh bằng a S ABCD  AB 2  a 2 O  Độ dài đường chéo hình vuông ABCD cạnh bằng a B C AC  BD  AB 2  a 2 Hình chữ nhật A D  Diện tích hình chữ nhật ABCD S ABCD  AB.BC O  Độ dài đường chéo hình chữ nhật ABCD B C AC  BD  AB2  BC 2 A Hình thoi  Diện tích hình thoi ABCD 1 B D S ABCD  AC .BD O 2 C 5
 ai đường chéo hình thoi ABCD: AC  BD Cho hình thang ABCD có AB / /CD Hình thang  Diện tích hình thang ABCD 1 A B S ABCD  AH  AB  DC  2  AH  DC  Dựng:   A là đường cao của hình D H C  H  DC thang ABCD 3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) d  Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa A đường thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P) Thực hiện: d’ ( M H Bước 1. Tìm hình chiếu d’ của d trên (P) P) Bước 2. hi đó, góc giữa d và (P) là góc giữa d và d’ 00    900 4. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)  Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt năm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm b (Q Thực hiện: Bước 1. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) ) a Bước 2. Tìm trong P) đường thẳng a vuông góc với d và H d (P trong Q) đường thẳng b vuông góc với d Bước 2. hi đó, góc giữa hai mặtt phẳng (P) và (Q) là góc 00    900 giữa hai đường thẳng a và b 5. Thể tích khối chóp S 1 Công thức tính thể tích khối chóp: V  Bh 3 A Trong đó:  B là diện tích đa giác đáy C H  h là chiều cao của hình chóp B 6. Thể tích khối tứ diện đều Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a A  Tất cả các các cạnh đều bằng nhau  Tất cả các mặt đều là tam giác đều  Gọi H là trọng tâm của tam giác BCD  AH   BCD  , khi đó A là đường cao của hình tứ diện đều. B D  Thể tích khối tứ diện đều cạnh a: H M C 6
1 1 a 2 a 2 3 a3 2 (xem bài toán 20) VABCD  AH .SBCD  . .  đvtt) 3 3 3 4 12 PHẦN HAI Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp A. Phương pháp thực hiện. Để giải bài toán tính thể tích khối chóp, cần thực hiện theo các bước sau: + Bước 1. Đọc kỹ nội dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối chóp + Bước 2. Xác định đường cao của khối chóp. + Bước 3. Dựng hình và thể hiện nội dung của giả thiết trên hình vẽ + Bước 4. Lập công thức tính thể tích khối chóp + Bước 5. Tính diện tích đa giác đáy và tính độ dài đường cao của khối chóp B. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.  Yêu cầu đối với giáo viên: + Các tiết bài tập cần chuẩn bị thật chu đáo, thiết kế theo trình tự từ d đến khó, cần chú ý vào các dạng bài tập cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em quen dần với các dạng toán có liên quan. + Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng dẫn giải, giáo viên cần điều chỉnh một số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh.  Yêu cầu đối với học sinh: + Cần nắm vững phần lý thuyết, thuộc công thức và hoạt động tích cực trong các tiết bài tập. + Qua mỗi dạng bài tập cần suy nghĩ để khắc sâu, làm cơ sở để hoàn thành các bài tập theo yêu cầu của giáo viên. C. Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy Bài toán 1. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết AB  a 2, AC  SB  a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ S Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy  SA là đường cao của khối chóp A C  Đáy là tam giác A C vuông tại B B Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC 3 Tam giác ABC vuông tại B: 7
BC  AC 2  AB2  3a 2  2a 2  a  Tính độ dài cạnh góc vuông BC Diện tích tam giác ABC:  Tính diện tích tam giác ABC 1 a2 2 S ABC  AB.BC  2 2  Tính độ dài đường cao SA SA   ABC   SA  AB Tam giác SAB vuông tại A: SA  SB2  AB2  3a 2  2a 2  a  Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 a3 2 VS . ABC  SA.S ABC  đvtt) 3 6 Bài toán 2. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết AC  a 2, SB  a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 2 tương tự bài toán 1, chỉ S khác: đáy là tam giác A C vuông cân tại B Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy A  SA là đường cao của khối chóp C  Đáy là tam giác ABC vuông tại B B Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC 3 Tam giác ABC vuông cân tại B: 2 AB 2  AC 2  2a 2  AB  a  Tính độ dài cạnh góc vuông  AB  BC  1 a2 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB 2   Tính diện tích tam giác ABC 2 2 SA   ABC   SA  AB  Tính độ dài đường cao SA Tam giác SAB vuông tại A: SA  SB2  AB2  3a2  a2  a 2 1 a3 2 VS . ABC  SA.S ABC  đvtt)  Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 6 Bài toán 3. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết SB  a 5 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 3 tương tự bài toán 1, chỉ S khác: đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy A C  SA là đường cao của khối chóp M 8
B  Đáy là tam giác đều ABC cạnh 2a Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC 3  Tính độ dài đường cao tam giác đều Trong tam giác đều ABC cạnh 2a , gọi M là  AM  BC AM  AB 3  trung điểm của BC   2a 3 2  AM  a 3  2  Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC: 1 S ABC  AM .BC  a 2 3  Tính độ dài đường cao SA 2 SA   ABC   SA  AB Tam giác SAB vuông tại A:  Tính thể tích khối chóp S.ABC SA  SB2  AB2  5a 2  4a 2  a 1 a3 3 VS . ABC  SA.S ABC  đvtt) 3 3 Bài toán 4. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, AC  a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 4 tương tự bài toán 2, chỉ S thêm: góc giữa SB và (ABC) bằng 600 Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy A  SA là đường cao của khối chóp C 600 (  Đáy là tam giác A C vuông cân tại B B Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC 3 Tam giác ABC vuông cân tại B: a  Tính độ dài cạnh góc vuông  AB  BC  2 AB 2  AC 2  a 2  AB  2  Tính diện tích tam giác ABC 1 a2 Diện tích tam giác ABC: SABC  AB 2  2 4  Xác định góc giữa SB với (ABC) SA   ABC   AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC) ·  600  góc giữa SB với (ABC) là SBA  Tính độ dài đường cao SA Tam giác SAB vuông tại A: ·  tan 600  SA a 3 tan SBA  SA  AB.tan 600   Tính thể tích khối chóp S.ABC AB 2 9
1 a3 6 VS . ABC  SA.S ABC  đvtt) 3 24 Bài toán 5. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 5 tương tự bài toán 3, chỉ S thêm: góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Xác định đường cao của khối chóp A C  SA vuông góc với mặt đáy 0 60 (  SA là đường cao của khối chóp M B  Đáy là tam giác đều ABC cạnh a Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SA.S ABC 3 Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là  Tính độ dài đường cao tam giác đều  AM  BC  AB 3 trung điểm của BC   a 3 AM   AM  2  2 Diện tích tam giác  Tính diện tích tam giác ABC 1 a2 3 ABC: S ABC  AM .BC  2 4 SA   ABC   SA  BC  BC  SA  Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC)   BC   SAM   BC  SM  BC  AM và (ABC)  SBC    ABC   BC   SM   SBC  , SM  BC  góc giữa hai mặt   AM   ABC  , AM  BC ·  600 phẳng (SBC) và (ABC) là SMA Tam giác SAM vuông tại A:  Tính độ dài đường cao SA · tan SMA SA  tan 600   SA  AM .tan 60 0  3a AM 2 3  Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 VS . ABC  SA.S ABC  a 3 đvtt) 3 8 Bài toán 6. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt bên (SCD) tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 6 có đáy là hình vuông S ABCD cạnh a và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 A 600( 10 D
Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy  SA là đường cao của khối chóp  Đáy là hình vuông A CD cạnh a Bài gi i. Thể tích khối chóp S.ABCD:  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 VS . ABCD  SA.S ABCD  Tính diện tích hình vuông ABCD 3 Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2 SA   ABCD   SA  CD  Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SCD) CD  SA và (ABCD)   CD   SAD   SD  CD CD  AD  SCD    ABCD   CD   SD   SCD  , SD  CD  góc giữa hai mặt   AD   ABCD  , AD  CD ·  600 phẳng (SCD) và (ABCD) là SDA  Tính độ dài đường cao SA Tam giác SAD vuông tại A: SA ·  tan 600  tan SDA  SA  AD.tan 600  a 3  Tính thể tích khối chóp S.ABCD AD 1 a3 3 VS . ABCD  SA.S ABCD  đvtt) 3 3 Bài toán 7. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a với 0  a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ài toán 7 tương tự bài toán 6: có S đáy là hình vuông A CD cạnh 2 a và góc giữa cạnh bên SC và (ABCD) bằng 600 Xác định đường cao của khối chóp  SA vuông góc với mặt đáy A D  SA là đường cao của khối chóp 600 (  Đáy là hình vuông A CD cạnh 2a B C Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD 3  Tính diện tích hình vuông ABCD Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2 AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh  Tính độ dài đường chéo SC của hình bằng 2a  AC  2 2a vuông ABCD cạnh bằng 2a SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)  Xác định góc giữa cạnh SC và (ABCD)  góc giữa SC và (ABCD) là SCA·  600 11
Tam giác SAC vuông tại A:  Tính độ dài đường cao SA ·  tan 600  tan SCA SA  SA  AC.tan 600  2a 6 AC  Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 8a 3 6 VS . ABCD  SA.S ABCD  đvtt) 3 3 Bài toán 8. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thoi cạnh bằng a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, BAD·  1200 , M là trung điểm của BC và SMA ·  450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề tuyển sinh khối D năm 2013) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S A 0 120 B )600 D A D M 0 120 C ( B M C Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD 3 · ABCD là hình thoi có BAD  120  · 0 ABC  600  Tính diện tích hình thoi ABCD a 3  ABC là tam giác đều cạnh a  AM  2 Diện tích hình thoi ABCD:  Tính độ dài đường cao SA a2 3 S ABCD  2S ABC  AM .BC  2  Tam giác SAM vuông cân tại A ·  450 Tam giác SAM vuông tại A và có SMA a 3  SA  AM  2  Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 a3 VS . ABCD  SA.S ABCD  đvtt) 3 4 Bài toán 9. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thang vuông tại A và D, AD  CD  a, AB  3a với 0  a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S A 3a B a A B 450 D a C ( D C 12
Bài gi i. 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD 3 Diện tích hình thang ABCD:  Tính diện tích hình thang ABCD 1 S ABCD  AD  AB  CD   2a 2 2 ADC vuông tại D  AC  AD2  DC 2  a 2  Tính độ dài đường cao SA SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)  Tam giác SAC vuông cân tại A ·  450  góc giữa SC và (ABCD) là SCA ·  450  SA  AC  a 2 SAC vuông tại A và SCA 1 2a 3 2  Tính thể tích khối chóp S.ABCD VS . ABCD  SA.S ABCD  đvtt) 3 3 Bài toán 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc giữa SD và mặt phẳng (SAB) bằng 30 . 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề tốt nghiệp THPT năm 2013) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  Để tính độ dài đường cao SA của khối chóp cần xác định được góc giữa SD và mặt 300 phẳng (SAB)  Cần xác định hính chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAB) A D  Cần chứng minh: AD   SAB  B C Bài gi i.  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SA.S ABCD  Tính diện tích hình vuông ABCD 3 Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2 SA   ABCD   SA  AD     AD   SAB  AB  AD    Tính độ dài đường cao SA  SA là hình chiếu vuông góc của SD trên (SAB)  góc giữa SD và (SAB) là · ASD  300  Tính thể tích khối chóp S.ABCD SAD vuông tại D, ta có: SA a tan · ASD  tan 300   SA  AD.tan 300  AD 3 13
1 a3 3 VS . ABCD  SA.S ABCD  đvtt) 3 3 2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy Bài toán 11. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2014) Hướng dẫn Hình vẽ Xác định đường cao của khối chóp S  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với A C giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng kia. H B Bài gi i. Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung  SH  BC  Xác định đường cao của khối chóp  điểm của BC   a 3  SH   2 Tính độ dài đường cao SH  SBC    ABC    SBC    ABC   BC  SH   ABC    SH   SBC  , SH  BC 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC 3  AH  BC   Tính diện tích tam giác ABC ABC vuông cân tại A, ta có:  BC a  AH  2  2 1 a2 Diện tích tam giác ABC: SABC  AH .BC  2 4  Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 3 a 3 VS . ABC  SH .S ABC  đvtt) 3 24 Bài toán 12. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại A, · ABC  300 , mặt bên S C là tam giác đều cạnh a với 0  a ¡ và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ( Trích đề tuyển sinh khối A và A1 năm 2013) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  ài toán 9 tương tự bài toán 8  Đáy là tam giác vuông tại A A ( B 14 H
 Cần khai thác giả thiết: Đáy là tam giác ABC vuông tại A và · ABC  300 , BC  a 300  ABC là nửa tam giác đều cạnh BC  a Bài gi i. Trong tam giác đều SBC cạnh a , gọi H là trung  SH  BC  Xác định đường cao của khối chóp  điểm của BC   a 3  SH   2 Tính độ dài đường cao SH  SBC    ABC    SBC    ABC   BC  SH   ABC    SH   SBC  , SH  BC 1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC 3  Tính diện tích tam giác ABC Tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB a B  sin · ABC  sin 300   AB  BC.s in300  Tam giác ABC là nửa tam BC 2 a 3 a AC a 3 2 giác đều cạnh BC  a  cos ·ABC  cos 300   AC  BC.cos 300  BC 2 A C 2 1 a 3 Diện tích tam giác ABC: S ABC  AB. AC  2 8 3 1 a  Tính thể tích khối chóp S.ABC VS . ABC  SH .S ABC  đvtt) 3 16 Bài toán 13. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, BA  3a, BC  4a, SB  2a 3 với 0  a ¡ , mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy và SBC ·  300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ( Trích đề tuyển sinh khối D năm 2011) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  Đáy là tam giác vuông, biết độ dài hai cạnh góc vuông, d dàng tính được diện tích đáy.   SBC    ABC  , do đó chỉ cần tìm một 0 ) 30 đường thẳng nằm trong (SBC) và vuông góc B C H với giao tuyến BC  đường cao của khối chóp A Bài gi i.  Xác định đường cao của khối chóp Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC  SH  BC  SBC    ABC    SBC    ABC   BC  SH   ABC    SH   SBC  , SH  BC 15
 Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC 3 · Tam giác SBH vuông tại H và SBC  300 Tính độ dài đường cao SH ·  sin 300  SH  SH  SB.s in300  a 3 sin SBC SB 1 Diện tích tam giác ABC: S ABC  BA.BC  6a 2  Tính diện tích tam giác ABC 2 1 VS . ABC  SH .S ABC  2a 3 3 đvtt)  Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 Bài toán 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC  2a, BD  4a với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: A S a B D 2a O C A D  Cần nắm vững tính chất của hình thoi để H O tính diện tích đáy B C Bài gi i. Trong tam giác đều SAB , gọi là trung điểm của  Xác định đường cao của khối chóp  SH  AB  AB   AB 3  SH   2  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB  SH   ABCD    SH   SAB  , SH  AB  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SH .S ABCD 3  Tính diện tích hình thoi ABCD 1 Diện tích hình thoi ABCD: S ABCD  AC.BD  4a 2 2 Gọi O  AC  BD , tam giác AOB vuông tại O AB  OA2  OB2  a 5 a 15 Tính độ dài đường cao SH Độ dài đường cao khối chóp: SH  2 1 2a 3 15  Tính thể tích khối chóp S.ABCD VS . ABCD  SH .S ABCD  đvtt) 3 3 Bài toán 15. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng 2a với 0  a ¡ . Biết SA  SB , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (Trích đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai) Hướng dẫn Hình vẽ  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau và S 16 A C
cắt nhau theo một giao tuyến, đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì nó vuông góc với mặt phẳng kia. Bài gi i.  Xác định đường cao của khối chóp Trong tam giác cân SAB , gọi là trung điểm của AB  SH  AB  SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH   ABC    SH   SAB  , SH  AB  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC 3 CH  AB Tính độ dài đường cao SH Trong tam giác đều ABC cạnh 2a có:  CH  a 3  1  Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC: SABC  CH . AB  a 2 3 2 1  Tính thể tích khối chóp S.ABC VS . ABC  SH .S ABC  2a 3 3 đvtt) 3 Bài toán 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a với 0  a ¡ , mặt bên SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a ( Trích đề tuyển sinh khối B năm 2013) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  Mặt bên SA là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). ( d dàng xác định đường cao của khối chóp) A D H B C Bài gi i.  Xác định đường cao của khối chóp Trong tam giác đều SAB cạnh a , gọi H là trung  SH  AB  điểm của AB   a 3 Tính độ dài đường cao SH  SH   2  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB  SH   ABCD    SH   SAB  , SH  AB  Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SH .S ABCD 3  Tính diện tích hình vuông ABCD Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  a 2 17
 Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 a3 3 VS . ABCD  SH .S ABCD  đvtt) 3 6 3. Khối chóp đều Bài toán 17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a với 0  a ¡ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: ình chóp tam giác đểu là hình S chóp đều có đáy là tam giác đều, tâm H của đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên đáy  AB  BC  CA  a 3 A  C  SA  SB  SC  2a H M B Bài gi i.  Xác định đường cao của khối chóp Trong tam giác đều ABC cạnh a 3 , gọi M là  AM  BC  trung điểm của BC   3 3a  AM  a 3.   2 2 Gọi H là trọng tâm của ABC  SH   ABC   Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABC: VS . ABC  SH .S ABC 3  H  AM   2 2 3a  AH  AM  .  a  3 3 2 1 3a 2 3  Tính diện tích tam giác ABC Diện tích tam giác ABC: S ABC  AM .BC  2 4 Tam giác SHA vuông tại H. Tính độ dài đường cao SH SH  SA2  AH 2  4a 2  a 2  a 3  Tính thể tích khối chóp S.ABC 1 a3 3 VS . ABC  SH .S ABC  đvtt) 3 4 Bài toán 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng a 3 với 0  a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: Hình chóp tứ giác đểu là hình S chóp đều có đáy là hình vuông, tâm O của đáy là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên đáy A D  AB  BC  CD  DA  2a  O 18
 SA  SB  SC  SD  a 3 B C Bài gi i.  Xác định đường cao của khối chóp Gọi O  AC  BD  SO   ABCD  1  Lập công thức tính thể tích khối chóp Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SO.S ABCD 3  Tính diện tích hình vuông ABCD Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2 AC là đường chéo hình vuông cạnh 2a AC  AC  2a 2 . Dó đó: OA  a 2 2 Tam giác SOA vuông tại O. Tính độ dài đường cao SO SO  SA2  OA2  3a2  2a2  a 1 4a 3 VS . ABCD  SO.S ABCD  đvtt)  Tính thể tích khối chóp S.ABCD 3 3 Bài toán 19. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a với 0  a ¡ , cạnh bên tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  ài toán 19 tương tự bài toán 18  AB  BC  CD  DA  2a  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 450 A D  ) 450 O B C  Xác định đường cao của khối chóp Bài gi i. Gọi O  AC  BD  SO   ABCD   Lập công thức tính thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp S.ABCD: VS . ABCD  SO.S ABCD  Tính diện tích hình vuông ABCD 3 Diện tích hình vuông ABCD: S ABCD  4a 2  Xác định góc giữa một cạnh bên với đáy SO   ABCD   BO là hình chiếu vuông góc của cạnh bên SB trên (ABCD) Tính độ dài đường cao SO · là góc giữa SB và (ABCD); SBO  SBO ·  450 Tam giác SOB vuông tại O. ·  tan 450  SO tan SBO  SO  OB  a 2  Tính thể tích khối chóp S.ABCD OB 1 4a 3 2 VS . ABCD  SO.S ABCD  đvtt) 3 3 Bài toán 20. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a với 0  a ¡ 19
Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: A  Cách giải tương tự bài 17  Hình tứ diện đều là hình chóp đều  Các mặt đều là tam giác đều B  D H M  VABCD  VA.BCD C Bài gi i.  Xác định đường cao của khối tứ diện Trong tam giác đều BCD cạnh a , gọi M là trung  BM  CD  Lập công thức tính thể tích khối tứ diện  điểm của CD   a 3  BM   2 Gọi H là trọng tâm của BCD  AH   BCD  Thể tích khối tứ diện ABCD: 1 VABCD  VA.BCD  AH .S BCD 3  Tính diện tích tam giác BCD  H  BM   2 2 a 3 a 3  BH  BM  .   3 3 2 3 Tính độ dài đường cao AH 1 a2 3 Diện tích tam giác BCD: SBCD  BM .CD  2 4  Tính thể tích khối tứ diện ABCD Tam giác AHB vuông tại H. a2 a 2 AH  AB 2  BH 2  a 2   3 3 1 a3 2 VABCD  VA. BCD  AH .S BCD  đvtt) 3 12 4. Một số dạng khác Bài toán 21. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 2a , với 0  a ¡ . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là trung điểm H của cạnh AB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (Trích đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015 của Tỉnh Đồng Nai) Hướng dẫn Hình vẽ Nhận xét: S  Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng A CD) là trung điểm H của cạnh AB  SH   ABCD  (d dàng xác định A D 600 ( H M B 20