Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

Chia sẻ: Hồ Dũng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:144

Thêm vào BST

Báo xấu

151
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT. Đề tài này được nghiên cứu với các nội dung: Nghiên cứu lý luận về các loại hình tư duy, về mối quan hệ giữa năng lực tìm đoán và các loại hình tư duy; Trực tiếp nghiên cứu dạy học giải phương trình ở trường THPT; Đề xuất phương án dạy một số bài toán giải phương trình nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán; Đánh giá bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện năng lực tìm đoán thông qua dạy học giải bài tập phương trình ở trường phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Hiện nay để đáp ứng nhu cầu của sự phát triển xã hội,việc dạy và học toán không ngừng đổi mới và nâng cao. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định tới chất lượng dạy và học toán. Yêu cầu của việc dạy giải bài tập toán học là: “Cùng với phương pháp có tính thuật toán, thầy giáo phải truyền thụ cho h ọc sinh nh ững phương pháp có tính chất tìm đoán để giải một số kiểu bài toán. Tuy nhiên thầy giáo phải làm cho họ hiểu rằng mục đích hàng đầu không phải chỉ nắm vững cách giải từng kiểu bài tập,thậm trí từng bài tập mà là rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những bài toán mới mẻ không lệ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn.” Ở trường phổ thông hiện nay, học sinh không gặp khó khăn khi giải các bài tập có thuật toán. Nhưng thực tế có nhiều bài tập không có thuật toán nên khi gặp những bài tập này học sinh rất lúng túng. Mặt khác do thời gian trên lớp có hạn, giáo viên chưa chú ý nhiều đến việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập không có thuật toán. Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài: “ Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT ” 1
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực tìm đoán trong dạy học giải phương trình ở trường THPT. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. 1. Nghiên cứu lý luận về các loại hình tư duy, về mối quan hệ giữa năng lực tìm đoán và các loại hình tư duy. 2. Trực tiếp nghiên cứu dạy học giải phương trình ở trường THPT. 3. Đề xuất phương án dạy một số bài toán giải phương trình nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán. 4. Đánh giá bước đầu tính khả thi và tính hiệu quả của việc rèn luyện năng lực tìm đoán thông qua dạy học giải bài tập phương trình ở trường phổ thông. IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. 1. Nghiên cứu lý luận. 1.1. Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước có liên quan đến giáo dục và đào tạo, có liên quan đến mục đích, nội dung, phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy học toán nói riêng. 1.2. Nghiên cứu tài liệu lý luận ( triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học bộ môn toán ) có liên quan đến đề tài của luận văn. 1.3. Nghiên c ứ u t ạ p chí Nghiên c ứ u giáo d ụ c, sách giáo khoa, sách tham kh ả o ... 2. Điều tra, quan sát. 2
2.1. Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm về dạy học chủ đề phương trình ở trường phổ thông. 2.2. Phỏng vấn, điều tra, thu thập các ý kiến của các giáo viên, học sinh về thực trạng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông, quan điểm của giáo viên về năng lực tìm đoán và việc rèn luyện năng lực tư duy thông qua khâu tìm đoán trong dạy học giải bài tập phương trình. 2.3. Tham khảo ý kiến đóng góp, học hỏi kinh nghiệm của những chuyên gia, giáo viên giàu kinh nghiệm trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. 3. Thực nghiệm sư phạm Về các biện pháp đề xuất trong luận văn. V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC. Nếu trong dạy học giải phương trình, xây dựng được một số biện pháp và hệ thống bài tập, giúp học sinh tìm được lời giải phương trình khi chưa biết rõ quy trình thuật toán thì có thể thông qua đó phát triển năng lực tư duy đặc biệt là năng lực tư duy linh hoạt, sáng tạo cho học sinh. VI. BỐ CỤC LUẬN VĂN. Ngoài phần mở đầu,kết luận,danh mục và tài liệu tham khảo,luận văn gồm ba chương. Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương II: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình thông qua hệ thống bài tập chọn lọc và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán trong dạy học giải bài tập phương trình ở trường phổ thông. Chương III: Thực nghiệm sư phạm. 3
CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. MỘT SỐ THAO TÁC TƯ DUY TRONG DẠY VÀ HỌC TOÁN. 1.1.1. Khái quát hoá đặc biệt hoá. 1.1.1.1. Khái quát hoá. Theo G.Pôlya, “ Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu ” ([1];tr.21) Theo ([8];tr.19) những dạng khái quát hoá thường gặp trong môn Toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau: 4
Khái quát hoá Khái quát hoá từ cái Khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng tổng quát đến cái tổng quát quát hơn Khái quát hoá tới cái Khái quát hoá tới cái tổng quát đã biết tổng quát chưa biết Sơ đồ 1 Ví dụ 1: Ở lớp 8, HS đã biết giải một số PT dạng: x 2 − 7 x + 6 = 0, − x 2 + 6 x − 8 = 0 bằng phương pháp phân tích thành nhân tử. Ở lớp 9, HS được học công thức nghiệm của PT bậc 2 một ẩn. Ví dụ 2: Sau khi HS đã giải được PT bậc 2 bằng cách sử dụng công thức nghiệm, ta yêu cầu HS giải PT: ax 2 n +bx n +c = 0 (a 0) . Trong ví dụ 1, khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát. Ở ví dụ 2, khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn. Và trong cả hai ví dụ đều khái quát tới cái tổng quát chưa biết. Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hoá đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn khi giải những bài toán chứng minh toán học trong đó khái quát hoá được thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát trong cái cụ thể. Ví dụ 3 ( Bài tập 1 ): 5
Giải PT: 3 + 3 + x =x (1) Nhận xét: +) Nếu PT có nghiệm x thì x 3+ 3 (2) +) PT có thể đưa về hệ đối xứng nếu đặt u = 3 + x (3) u = x −3 ( x − u )( x + u + 5) = 0 Khi đó PT (1) có dạng: � � (4) x = u −3 u = x2 − 6x + 9 7 + 13 . Giải hệ (4) kết hợp với điều kiện (2),(3) thu được nghiệm x = 2 Trong việc giải PT ở ví dụ 3 đã liên hệ giữa cái cụ thể với cái tổng quát đã biết là hệ PT hai ẩn đối xứng loại 2. Như vậy, khái quát hoá là thao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ. Với ý nghĩa đó, khái quát hoá thuộc về các phép suy luận có lí, nên các kết luận được rút ra từ khái quát hoá thường mang tính chất giả thuyết, dự đoán. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hoá có thể thu được nhờ quy nạp hoàn toàn. Khái quát hoá thường được sử dụng trong việc hình thành khái niệm, chứng minh định lí, phát hiện và đề xuất những kiến thức mới,… Ví dụ 4 ( Bài tập 2 ): Sau khi giải PT: x − 2006 + 2008 − x = 2 (1) chúng ta khái quát hoá có thể giải được các PT : x − 2n + (2n + 2) − x = 2 (2) x − (2n + 1) + (2n + 3) − x = 2 (3) 6
1.1.1.2. Đặc biệt hoá. Theo G.Pôlya: “Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho” ([1],tr.22) Những dạng đặc biệt hoá thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau: Đặc biệt hoá Đặc biệt hoá từ Đặc biệt hoá từ cái tổng quát đến cái cái riêng đến cái riêng lẻ riêng hơn Đặc biệt hoá tới cái Đặc biệt hoá tới cái riêng lẻ đã biết riêng lẻ chưa biết Sơ đồ 2 Đặc biệt hoá thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh định lý, giải bài tập… Trong bài toán giải PT, đặc biệt hoá được sử dụng trong mò mẫm, dự đoán nghiệm, trên cơ sở đó định hướng phương pháp giải cho PT. Ví dụ 1 ( Bài tập 3 ): Giải PT: 3x + 4 x = 5 x (1) Thay x với một vài giá trị cụ thể: Với x = 1 , ta có (1) trở thành: 3 + 4 = 5 vô lý. 7
Với x = 2 , ta có (1) trở thành: 32 + 42 = 52 đúng. Với x = 3 , ta có (1) trở thành: 33 + 43 = 53 vô lý. Ta được x = 2 là một nghiệm của PT. Ngoài ra, chưa tìm được nghiệm khác. Một câu hỏi đặt ra là x = 2 có phải là nghiệm duy nhất không. Và đây chính là câu hỏi gợi ý cho hướng giải của PT. Có thể nói đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá. Trong quá trình dạy học không chỉ yêu cầu đi từ cái riêng đến cái chung ( khái quát hoá ) mà còn đòi hỏi họ đi từ cái chung đến cái riêng ( đặc biệt hoá ) và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái đạt được và cái xuất phát. Chẳng hạn ở ví dụ 4 ( mục 1.1.1.1 ), sau khi HS đã khái quát hoá được PT (2), với mục đích kiểm tra việc khái quát hoá đó có thể yêu cầu họ đặc biệt hoá PT (2) sao cho tìm lại được PT (1), thông qua đó nhấn mạnh mối quan hệ chung riêng giữa PT tìm được và PT ban đầu. Sự đặc biệt hoá ở đây với mục đích để sơ bộ kiểm tra tính giải được của PT tổng quát chứ chưa phải là giải PT tổng quát đó. 1.1.2. So sánhtương tự. 1.1.2.1. So sánh. So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức. So sánh liên quan chặt chẽ với phân tích, tổng hợp và đối với các hình thức tư duy đó có thể ở mức độ đơn giản hơn nhưng vẫn có thể nhận thức được những yếu tố bản chất của sự vật, hiện tượng. 1.1.2.2. Tương tự. Theo G. Pôlya: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng”. ([1],tr.23) 8
Tương tự là một dạng so sánh. Trong “Lôgic học”, D.Gorki viết “Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác”. Nếu đối tượng A có các dấu hiệu a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c, thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có dấu hiệu d.Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính chất a, b, c, d B có tính chất a, b, c Kết luân B cũng có tính chất d Người ta thường xét sự tương tự trong toán học trên các khía cạnh sau: Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là giống nhau. Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng của chúng có quan hệ giống nhau. Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính của hai hình tương tự. Ví dụ 1: Phương pháp giải PT ax 6 +bx 3 +c=0(a 0) tương tự như phương pháp giải PT ax 4 +bx 2 +c=0(a 0) Phép tương tự được xem như là tiền thân của khái quát hóa, bởi vì việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của cùng một cái tổng quát đó. Nhiều khi HS đã có một sự hình dung nhất 9
định về cái chung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra những hiện tượng riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung. Vì thế trong những trường hợp nhất định, ta có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện của khái quát hóa. Do đó, trong quá trình dạy học, cần khuyến khích HS thực hiện phép tương tự coi như tiền thân của khái quát hóa, coi như sự biểu hiện khái quát hóa cho đến khi nào HS nhận thức được cái khái quát một cách đầy đủ. Ví dụ 2( Bài tập 2 ): Sau khi HS đã giải PT x − 2006 + 2008 − x = 2 (1) GV có thể yêu cầu HS giải những PT sau: x − 2007 + 2009 − x = 2 (2) 4 x − 2006 + 4 2008 − x = 2 (3) Như vậy ta đã tập luyện cho HS phép tương tự. Tuy nhiên không dừng lại ở đó, mà còn yêu cầu HS phát hiện dạng PT tổng quát, tức là yêu cầu HS từ những phép tương tự tiến lên khái quát hoá. Tương tự là nguồn gốc của nhiều phát minh. Bên cạnh đó cũng giống như khái quát hóa, tương tự thuộc về những suy luận có lý, những kết luận rút ra từ tương tự thường có tính chất giả thuyết, dự đoán. Do vậy cần lưu ý với HS rằng những kết luận rút ra từ tương tự có thể dẫn đến những kết luận sai. 1.1.3. Phân tích tổng hợp. Phân tích là chia một chỉnh thể ra làm nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Thường thì phân tích đều nhằm một mục đích cụ thể, nghĩa là việc nghiên cứu từng bộ phận phải mang tính hướng đích, không 10
tràn lan. Đối với một bài toán trong đó có giả thuyết và kết luận thì sự phân tích phải hướng vào mục đích tìm cho ra các mắt xích lôgic nối giữa giả thiết và kết luận. ([3],tr.123) Tổng hợp là nhìn bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, cố mô tả được bức tranh toàn cảnh của cả chỉnh thể, các mối quan hệ giữa các bộ phận của chỉnh thể và của chỉnh thể với môi trường xung quanh. Phân tích tạo điều kiện cho tổng hợp, vì nếu không đi sâu vào nghiên cứu tất cả các bộ phận của chỉnh thể thì khó lòng mô tả được chính xác bức tranh toàn cảnh của chỉnh thể. Tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân tích tiếp theo. ([3],tr.125) Trong học tập môn Toán, phân tích tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng để giải quyết vấn đề. Ví dụ 1( Bài tập 4 ): x+3 Giải PT: 2 x 2 − 9 = ( x − 5) (1) x−3 Phân tích : x −3 Vế trái có nghĩa khi và chỉ khi: x − 9 2 0 x 3 x+3 x −3 Vế phải có nghĩa khi và chỉ khi: 0 x −3 x>3 x −3 Tổng hợp lại ta được: PT (1) có nghĩa khi và chỉ khi x>3 +) Qua sự phân tích đặc điểm vế trái có x 2 − 9 = ( x − 3)( x + 3) 11
x+3 vế phải có x−3 +) Ta nhận thấy x = −3 là một nghiệm của PT (1). x < −3 x+3 +) Với ,chia cả hai vế của PT (1) cho ta được: x>3 x−3 2 x − 3 = x − 5 . Tổng hợp lại ta có lời giải của PT. 1.1.4. Cụ thể hoá Trừu tượng hoá. Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tính chất ( về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgíc của thế giới khách quan ) để nghiên cứu riêng tính chất đó. Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát hoá. Nhờ trừu tượng hoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn. Sức mạnh của toán học ở chỗ ngày càng tiến lên những đỉnh cao của sự trừu tượng. Bởi vì càng trừu tượng bao nhiêu thì càng có khả năng ứng dụng vào nhiều sự vật cụ thể bấy nhiêu. Muốn tiến lên đỉnh cao của khoa học không chỉ dừng lại ở chỗ làm sao cho có nhiều cái cụ thể để minh hoạ dễ hiểu cái trừu tượng, mà còn phải tiến công vào cái trừu tượng để cho những cái trừu tượng trở thành quen thuộc, trở thành những hình ảnh trong đầu óc chúng ta để cuối cùng có khả năng sáng tạo những cái trừu tượng đó. Ví dụ 1.( Bài tập 5 ) Xét PT : 1 1 cos x + sin x + + + tan x + cot x = −2 cos x sin x Bằng trừu tượng hoá giải được PT bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = cos x + sin x, t 2 , t 1 12
2t 2 PT trở thành: t + + 2 = −2 � t (t + 1)2 = 0 t −1 t −1 2 3π Giải tiếp tìm được các nghiệm của PT là: x = + kπ , k Z . 4 Ví dụ 2:( Bài tập 6 ) Giải PT: x2 − 4x + 5 − x2 − 10x + 50 = 5 (1) Sử dụng cụ thể hoá biểu diễn được mỗi căn thức theo độ dài một đoạn thẳng và dùng tính chất hình học giải được PT (1). Chọn A(2;1);B(5;5);M( x;0) . Ta có: MA = ( x − 2)2 + 1 = x2 − 4x + 5 MB = ( x − 5)2 + 25 = x2 − 10x + 50 AB = 5 (1) MA-MB =AB Mọi bộ 3 điểm M,A,B, luôn có: MA-MB AB (2) Dấu bằng xảy ra ở (2) M, A, B thẳng hàng và M nằm ngoài AB. �5 � Giải tiếp bài toán tìm được M � ;0 � là điểm cần tìm. �4 � Trong dạy học, đồ dùng dạy học là rất cần thiết tuy nhiên không nên lạm dụng nó. Vì càng học lên cao, càng gặp nhiều vấn đề không thể minh họa bằng đồ dùng giảng dạy. Đối với học sinh, ngay từ ban đầu không nên bằng lòng với những ví dụ cụ thể, những đồ đùng giảng dạy của thầy cô, mà phải tự mình tìm thêm những ví dụ minh hoạ khác. Đồng thời trong quá trình tấn công vào cái trừu tượng phải luôn gắn với nguồn gốc thực tế của nó để làm sáng tỏ nguồn gốc này. 13
1.2. MỘT SỐ LOẠI HÌNH TƯ DUY. 1.2.1. Tư duy hàm. 1.2.1.1. Khái niệm hàm. Định nghĩa hàm theo chương trình toán phổ thông( Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao ). Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R. Một hàm số f xác định trên tập D là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x D một và chỉ một số thực y. 1.2.1.2. Khái niệm tư duy hàm. Tư duy hàm là một loại hình tư duy có đồng thời cả bốn hoạt động với những thao tác trí tuệ như sau: Hoạt động 1: Nhận biết những quy tắc tương ứng có phải là một hàm số không. Hoạt động 2: + Phát hiện ra sự tương ứng đơn trị giữa hai đại lượng biến thiên trong một hoàn cảnh có nhiều đại lượng biến thiên. + Thiết lập được quy tắc tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên vừa phát hiện ra ( là một hàm hay một hàm số ). Hoạt động 3: Nghiên cứu những hàm, hàm số vừa thiết lập được. Hoạt động 4: Lợi dụng những kết quả nghiên cứu về hàm, hàm số nói trên để giải quyết được vấn đề đặt ra. Trong các hoạt động trên thì hoạt động 1 là ngầm ẩn, hoạt động 2, hoạt 14
động 3, hoạt động 4 diễn ra theo một mạch liên tục và tường minh trong tư duy hàm, đó là các hoạt động: Phát hiện, thiết lập Nghiên cứu Lợi dụng. Ví dụ 1 ( Bài tập 7 ): Giải PT: 2006 x + 2008 x = 2.2007 x (1) Hướng dẫn. Định lý Lagrange: Cho hàm số f ( x) liên tục trên [a;b] và f / ( x) tồn tại f (b) − f (a ) trên (a;b) thì luôn tồn tại c (a; b) sao cho f / (c) = b−a +Phát hiện,thiết lập sự tương ứng: (1) � 2008 x − 2007 x = 2007 x − 2006 x (2) Và như vậy vế trái và vế phải của (2) đều là giá trị của hàm số f (t ) = (t + 1)α − t α , t > 0 +Nghiên cứu sự tương ứng: Ta có f (2006) = f (2007) Theo định lý Lagrange tồn tại c (2006;2007) ,sao cho: f / (c) = 0 mà f / (c) = α [(c+1)α 1 − cα −1 ] . Do đó f / (c) = 0 � α [(c + 1)α −1 − cα −1 ]=0 α =0 α =0 � � (c+1)α 1 = cα −1 α =1 +Lợi dụng sự tương ứng: Từ đó ta có: Phương trình (1) chỉ có hai nghiệm x = 0; x = 1 . 1.2.1.3. Những tư tưởng chủ đạo về phát triển tư duy hàm. 15
Những tư tưởng chủ đạo về phương diện phát triển tư duy hàm như sau: Thứ nhất: Tập luyện cho HS phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học. Thứ hai: Thực hiện gợi động cơ, đặc biệt là gợi động cơ kết thúc đối với những hoạt động tư duy hàm, sao cho các hoạt động này trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học. Thứ ba: Hình thành ở HS những biểu tượng tiến tới những tri thức về sự tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp về tư duy hàm. Thứ tư: Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực quan của đối tượng, theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động của người học. ([5],tr.16tr.23) 1.2.2. Tư duy thuật giải. 1.2.2.1. Khái niệm thuật giải. Theo ([5], tr.51) thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn”. Mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau: * Tính đơn trị * Tính dừng * Tính đúng đắn * Tính phổ dụng * Tính hiệu quả 16
Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình và các ngôn ngữ lập trình. Ví dụ 1 : Quy tắc giải PT bậc hai có thể dùng ngôn ngữ tự nhiên và toán học để liệt kê, mô tả các bước thực hiện như sau: B1. Xác định các hệ số a,b,c. B2. Tính ∆ = b 2 − 4ac . B3. Xét ∆ 1. Nếu ∆ < 0 : PT vô nghiệm. b 2. Nếu ∆ = 0 : PT có nghiệm kép x = − 2a 3. Nếu ∆ > 0 : PT có hai nghiệm phân biệt x1 = −b − ∆ −b + ∆ ; x2 = 2a 2a 1.2.2.2. Quy tắc tựa thuật giải. Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên trong quá trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải toán. *Khái niệm quy tắc tựa thuật giải Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến 17
đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó”. ([4], tr.379) Ví dụ 1: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f( x ). +Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là x . Tính số gia của hàm số: ∆y = f (∆x + x) − f ( x) +Bước 2: y Lập tỉ số . x ∆y +Bước 3: Tính giới hạn: lim . ∆x 0 ∆x Giới hạn( nếu có ) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f( x ) tại điểm x . Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các bước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x . Tuy nhiên có những chỉ dẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước ∆y 3 về việc tìm lim . Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự ∆x 0 ∆x trên nhưng vẫn không tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn này tồn tại. *Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau: + Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định. + Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị. + Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán. 18
Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động và giải toán. 1.2.2.3. Khái niệm tư duy thuật giải. *Khái niệm tư duy thuật giải. Tương thích với khái niệm thuật giải có những hoạt động đáng chú ý sau đây: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải. Phân tích một quá trình hình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định. Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng. Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động. Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc. Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành năm hoat động trên gọi là tư duy thuật giải. *Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán cho học sinh. Trong dạy học môn toán, tiến hành phát triển tư duy thuật toán của HS có những tác dụng sau đây: Tư duy thuật toán tạo điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng toán học. Khi các hoạt động được tách bạch các bước, được thực hiện qua quy tắc có cấu trúc điều khiển thuật toán, HS sẽ thấy rõ hơn tri thức cần học, ghi nhớ tốt hơn, thực hiện vận dụng cũng thuận lợi và có kết quả hơn. Tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán có thể dẫn đến hình thành thói quen, tri thức phương pháp để giải quyết mọi vấn đề, góp phần hình 19
thành năng lực giải quyết vấn đề ở HS trong học tập cũng như trong cuộc sống. 1.2.3. Tư duy biện chứng. 1.2.3.1. Cơ sở triết học của tư duy biện chứng. Triết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy con người. Nó là cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học, trong đó có phương pháp dạy học môn Toán. Nó cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn: “Xem xét những hiện tượng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những biến đổi về số lượng dẫn đến những biến đổi về chất lượng v. v…”. ([3],tr. 22) *Các quy luật của triết học duy vật biện chứng. Quy luật mâu thuẫn là động lực của sự phát triển. Quy luật phủ định của phủ định. Quy luật lượng đổi, chất đổi. *Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng. 1.Lí luận và thực tiễn. 2.Cái chung và cái riêng. 3.Cụ thể và trừu tượng. 4.Chủ quan và khách quan. 5.Nội dung và hình thức. 6.Bản chất và hiện tượng. 7.Ngẫu nhiên và tất nhiên. 8.Vận động và đứng yên. 9.Suy diễn và quy nạp. 10.Phân tích và tổng hợp. 20