intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số"

Chia sẻ: Nguyễn Hữu Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
168
lượt xem 54
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: "Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số"

  1. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ. A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài: Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vị trí, vai trò hết sức quan trọng. Là môn học cơ bản, môn học công cụ. Nếu học tốt môn toán thì những tri thức cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết; môn toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo và bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Trong chương trình toán học ở bậc trung học phổ thông, bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm là bài toán quan trọng và thường gặp trong kì thi tuyển sinh vào Đại học,Cao đẳng .Đây là bài toán mà học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn khi làm, nhất là từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào. Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có nghiệm bằng phương pháp đạo hàm.Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm sẽ được giải quyết một cách rất tự GV: Trần Dũng 1 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  2. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- nhiên, thuần túy, ngắn gọn và đơn giản.Đó là lí do để tôi chọn đề tài: “Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số” II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm: Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình có nghiệm. Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số. Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó. Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ. Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình , hệ phương trình có chứa tham số. - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit, hệ phương trình. IV.Phạm vi áp dụng: Áp dụng cho tất cả học sinh bậc THPT trên toàn tỉnh GV: Trần Dũng 2 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  3. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.Cơ sở lý luận của vấn đề: Để sử dụng phương pháp đạo hàm giải bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm. Ta cần nắm vững các mệnh đề sau: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên tập D * Phương trình f(x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m ≤ max f ( x) x∈D x∈D * Bất phương trình f ( x) ≤ m có nghiệm x ∈ D ⇔ min f ( x) ≤ m x∈D * Bất phương trình f ( x) ≥ m có nghiệm x ∈ D ⇔ m ≤ max f ( x) x∈D * Bất phương trình f ( x) ≤ m , nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≥ max f ( x) x∈D * Bất phương trình f ( x) ≥ m , nghiệm đúng với mọi x ∈ D ⇔ m ≤ min f ( x) x∈D * Cho hàm số y = f ( x) đơn điệu trên D. Khi đó: f (u ) = f (v) ⇔ u = v (∀u, v ∈ D) * Cho hai hàm số y = f ( x), y = g ( x) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là : f ( x) = g ( x) (1) Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) II.Thực trạng của vấn đề: a.Thuận lợi: Đưa được bài toán tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương, hệ phương trình có nghiệm vềdạng f ( x) = g (m) hoặc f ( x) ≤ g (m) sau đó ta sử dụng các mệnh đề trên để giải quyết bài toán đơn giản. b.Khó khăn: Không phải mọi bài toán đều đưa được về dạng f ( x) = g (m) hoặc f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) , nhất là khi g(m) là một đa thức theo m mà bậc của m không cùng bậc. III.Các phương pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: 1. Phương pháp chung: Để giải bài toán tìm các giá trị tham số m để phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) ta có thể thực hiện thứ tự như sau: * Biến đổi phương trình, bất phương trình, hệ phương trình về dạng f ( x) = g (m) hoặc f ( x) ≤ g (m); f ( x) ≥ g (m) . * Tìm tập xác định D của hàm số f(x) * Tính f ' ( x) * Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) * Xác định max f ( x); min f ( x) . x∈D x∈D * Vận dụng một trong các mệnh đề trên, để đưa ra kết luận cho bài toán. Chú ý: Trường hợp phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau: * Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x) . * Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x, ta tìm điều kiện cho ẩn t. GV: Trần Dũng 3 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  4. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- * Đưa phương trình, bất phương trình ẩn x về phương trình, bất phương trình ẩn t.Ta được h(t ) = g (m) hoặc h(t ) ≤ g (m); h(t ) ≥ g (m) * Lập bảng biến thiên của hàm số f(t) * Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán 2.Các bài toán minh họa: 2.1*Dạng 1: Phương trình. Bài toán 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghiệm phân biệt. Lời giải: ⎧ 1 ⎪ x≥− Ta có: x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 ⇔ ⎨ 2 ⎪mx = 3 x 2 + 4 x − 1 (1) ⎩ Nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Nếu x ∈ ⎡ − ; +∞ ⎞ \ {0} thì (1) ⇔ m = 3x + 4 − (2) 1 1 ⎢ 2 ⎟ ⎣ ⎠ x Phương trình (2) là phương trình hoành độ giao điểm của d : y = m và đồ thị 1 (C ) : f ( x) = 3x + 4 − x Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x ∈ ⎢ − ; +∞ ⎞ \ {0} ⇔ d : y = m cắt ⎡ 1 ⎟ ⎣ 2 ⎠ trên ⎡ − ; +∞ ⎞ \ {0} .Ta có: f ' ( x) = 3 + 2 > 0, ∀x ∈ ⎡ − ; +∞ ⎞ \ {0} 1 1 1 1 (C ) : f ( x) = 3x + 4 − ⎢ 2 ⎟ ⎢ 2 ⎟ x ⎣ ⎠ x ⎣ ⎠ Bảng biến thiên: 1 x − 0 +∞ 2 f’(x) + + +∞ +∞ f(x) 9 -∞ 2 9 Từ bảng biến thiên ta có: m ≥ 2 * Nhận xét : Đưa về bài toán tìm số giao điểm đường thẳng và đồ thị.Nếu giải theo cách đưa về phương trình bậc hai thì tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện x ∈ ⎢ − ; +∞ ⎞ .Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm của ⎡ 1 ⎟ ⎣ 2 ⎠ 1 phương trình bậc hai với − , bài toán trở nên phức tạp. 2 Bài toán 2: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm x + 9 − x = − x 2 + 9 x + m (1) GV: Trần Dũng 4 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  5. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lời giải: Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9 PT (1) ⇔ x + 9 − x + 2 x(9 − x) = − x 2 + 9 x + m ⇔ 9 + 2 − x2 + 9 x = − x2 + 9 x + m (2) Đặt t = − x 2 + 9 x −2 x + 9 9 Ta có: t ' = ; t' = 0 ⇔ x = 2 −x + 9x 2 2 9 x 0 9 2 t' + 0 − 9 t 2 0 0 9 Do đó : 0 ≤ t ≤ 2 Phương trình (2) trở thành 9 + 2t = t 2 + m ⇔ −t 2 + 2t + 9 = m (3) 9 Xét hàm số f (t ) = −t 2 + 2t + 9 , 0 ≤ t ≤ 2 Ta có : f ' (t ) = −2t + 2 ; f ' (t ) = 0 ⇔ t = 1 Bảng biến thiên : 9 t 0 1 2 f ' (t ) + 0 − f (t ) 10 9 9 − 4 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ 0;9] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡0; ⎤ 9 ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ 9 ⇔− ≤ m ≤ 10 4 * Nhận xét : Nếu không đặt ẩn phụ thì ta được pt : 9 + 2 − x 2 + 9 x + x 2 − 9 x = m Khi đó xét hàm số f ( x) = 9 + 2 − x 2 + 9 x + x 2 − 9 x thì việc tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Tuy nhiên khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện của t. Khi đó đưa về phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng song song với trục Ox và đồ thị (C ). Bài toán 3: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 (1) Lời giải : Điều kiện : x ≥ 1 GV: Trần Dũng 5 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  6. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 ⎛ x −1 ⎞ x −1 PT (1) ⇔ 3 ⎜ 4 ⎜ x + 1 ⎟ + m = 2 x + 1 (2) ⎟ 4 ⎝ ⎠ x −1 x −1 4 2 Đặt t = 4 , Do 0 ≤ 4 = 1−
  7. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng biến thiên t 5 +∞ ' f (t ) f (t ) 3 1 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [32; +∞ ) ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ [5; +∞ ) ⇔ 1 < m2 ≤ 3 Kết hợp với điều kiện m ≥ 0 , ta có : 1 < m ≤ 3 . * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t ≥ 5 . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 5 :Cho phương trình 41+ x + 41− x = (m + 1)(22+ x − 22− x ) + 2m (1) Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 0;1] Lời giải : PT (1) ⇔ 4(4 x + 4− x ) = (m + 1)4(2 x − 2− x ) + 2m (2) Đặt t = 2 x − 2− x ⇒ 4 x + 4− x = t 2 + 2 Ta có : t ' = 2 x ln 2 + 2− x ln 2 > 0 , ∀t ∈ [ 0;1] x 0 1 t ' + 3 t 2 0 3 Do đó : 0 ≤ t ≤ 2 2t 2 − 2t + 4 PT (2) trở thành : 2(t 2 + 2) = 2(m + 1)t + m ⇔ = m (3) 2t + 1 2t 2 − 2t + 4 ⎡ 3⎤ Xét hàm số f (t ) = , t ∈ ⎢0; ⎥ 2t + 1 ⎣ 2⎦ ⎡ −1 + 11 4t + 4t − 10 ' 2 ⎢t = 2 Ta có : f ' (t ) = ; f (t ) = 0 ⇔ ⎢ ( 2t + 1) 2 ⎢ −1 − 11 ⎢t = ⎣ 2 Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng 7 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  8. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 t 0 2 f ' (t ) − f (t ) 4 11 8 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ [0;1] ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ∈ ⎡0; ⎤ 3 ⎢ 2⎥ ⎣ ⎦ 11 ⇔ ≤m≤4 8 * Nhận xét : Nếu ta đưa về phương trình bậc hai theo t thì khi phương trình (3) có nghiệm t phải kiểm tra nghiệm đó thỏa t ∈ [ 0;1] . Trong khi đó ta giải theo cách trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 6 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 91+ 1− x 2 − ( m + 3) 31+ 1− x 2 + 2m + 1 = 0 Lời giải: 1− x 2 Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 1 . Đặt t = 31+ . Ta có: 0 ≤ 1 − x 2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 − x 2 + 1 ≤ 2 2 Nên 3 ≤ 3 1− x +1 ≤ 32 ⇔ 3 ≤ t ≤ 9 Khi đó, phương trình đã cho trở thành t 2 − 3t + 1 t − ( m + 3) t + 2m + 1 = 0 ⇔ 2 =m t −2 t 2 − 3t + 1 Xét hàm số f ( t ) = trên [3;9] . t−2 t 2 − 4t + 5 Ta có f (t ) = ' > 0, ∀t ∈ [3;9] . (t − 2) 2 Suy ra: f (t ) là hàm số đồng biến trên [3;9] Do đó phương trình đã có nghiệm khi và chỉ khi 55 min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ f ( 3) ≤ m ≤ f ( 9 ) ⇔ 1 ≤ m ≤ [3;9] [3;9] 7 Bài toán 7 : Cho phương trình 3 tan x + 1 ( sin x + 2 cos x ) = m ( sin x + 3cos x ) (1) π Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất x ∈ ⎛ 0; ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ Lời giải : π Xét x ∈ ⎛ 0; ⎞ , khi đó sin x > 0, cos x > 0, tan x > 0 ,sin x + 3cos x > 0 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ GV: Trần Dũng 8 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  9. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- sin x + 2 cos x PT (1) ⇔ 3 tan x + 1 =m sin x + 3cos x tan x + 2 ⇔ 3 tan x + 1 = m (2) tan x + 3 Đặt t = tan x , t > 0 t+2 PT (2) trở thành 3 1 + t . = m , t >0 t +3 t+2 Xét hàm số f (t ) = 3 1 + t . ,t>0 t +3 3 t+2 t +1 Ta có : f ' (t ) = . +3 > 0 ,t > 0 2 t +1 t + 3 ( t + 3) 2 Bảng biến thiên t 0 +∞ ' f (t ) + f (t ) +∞ 2 π Ứng mỗi t > 0 thỏa mãn PT (3), ta được đúng một nghiệm x ∈ ⎛ 0; ⎞ của PT (1) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ π Do đó PT (1) có nghiệm duy nhất thỏa x ∈ ⎛ 0; ⎞ khi và chỉ khi PT (3) có duy ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ nhất nghiệm t > 0 . Từ bảng biến thiên ta có : m > 2 * Nhận xét : Đây là bài toán tương đối khó, sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn được một phương trình chứa căn phức tạp.Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 8 : Cho phương trình 6 − x + x + 3 = mx (1) .Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải : Điều kiện : −3 ≤ x ≤ 6 Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên (1) tương đương với 6− x 3+ x + =m x x 6− x 3+ x Xét hàm số f ( x) = + , x ∈ [ −3; 6] x x x − 12 x+6 Ta có : f ' ( x) = 2 − 2 2x 6 − x 2x x + 3 Với mọi x ∈ [ −3; 6] ⇒ x − 12 < 0, x + 6 > 0 nên f ' ( x) < 0 , ∀x ∈ ( −3;6 ) Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng 9 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  10. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x −3 0 6 f’(x) − − -1 +∞ f(x) 1 -∞ 2 ⎡ m ≤ −1 Từ bảng biến thiên ta có : Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ⎢ ⎢m≥ 1 ⎣ 2 * Nhận xét : Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất −1 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 = m (1) trên ⎡ ;1⎤ ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦ Lời giải: −1 Xét hàm số f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 trên ⎡ ;1⎤ . ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ −3 x 3x + 4 x 2 ⎛ 3 3x + 4 ⎞ Ta có f ' ( x) = − = −x⎜ + ⎟ 1 − x2 x3 + 2 x 2 + 1 ⎝ 1 − x2 x3 + 2 x 2 + 1 ⎠ −1 Xét hàm số g ( x ) = x3 + 2 x 2 + 1 trên ⎡ ;1⎤ . ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦ Ta có g ′ ( x ) = 3x + 4 x = 0 ⇔ x = 0 2 Ta có bảng biến thiên 1 x − 0 1 2 g ' ( x) + 0 − g ( x) 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x) ≥ 1, ∀x ∈ ⎡ − ;1⎤ 1 ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 5 và ∀x ∈ ⎡ − ;1⎤ ta có 3(− ) + 4 ≤ 3 x + 4 ≤ 3.1 + 4 ⇔ ≤ 3 x + 4 ≤ 7 . 1 ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 3 3x + 4 ⎡ 1 ⎤ Suy ra + > 0, ∀x ∈ ⎢ − ;1⎥ 1 − x2 x3 + 2 x 2 + 1 ⎣ 2 ⎦ Do đó f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 GV: Trần Dũng 10 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  11. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng biến thiên: 1 x − 0 1 2 f ' ( x) − 0 + f ( x) 1 3 3 − 22 −4 2 PT (1) là phương trình hoành độ giao điểm của d : y = m và (C ) : f ( x ) = 3 1 − x 2 − 2 x3 + 2 x 2 + 1 3 3 − 22 Phương trình có nghiệm duy nhất khi −4 ≤ m < hoặc m = 1 . 2 * Nhận xét :Đây là bài toán mà ta không đặt được ẩn phụ, nếu dùng phép biến đổi mất căn thì dẫn đến một phương trình phức tạp. Cách giải trên đưa về dùng bảng biến thiên rất đơn giản. Đó là ưu điểm của cách giải trên. Bài toán 10 : Chứng minh rằng ∀m > 0 , phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + 2 x − 8 = m( x − 2) Giải Do m > 0 nên x ≥ 2 (1) ⇔ ( x − 2)( x + 4) = m( x − 2) ⇔ [ ( x − 2)( x + 4)] = m( x − 2) 2 ⎡x = 2 ⎡ ⎤ ⇔ ( x − 2) ⎣( x − 2)( x + 4) 2 − m ⎦ = 0 ⇔ ⎢ 3 ⎣ x + 6 x − 32 − m = 0(*) 2 Yêu cầu bài toán quy về chứng minh phương trình (*) có một nghiệm trong (2; +∞) Biến đổi (*) ⇔ m = x3 + 6 x 2 − 32 . Xét hàm số f ( x) = x 3 + 6 x 2 − 32 với x > 2 . Ta có f ' ( x) = 3 x 2 + 12 x ≥ 0, ∀x > 2 và lim f ( x) = +∞ x →+∞ Bảng biến thiên: x 2 +∞ ' f ( x) + f ( x) +∞ 0 Từ bảng biến thiên suy ra ∀m > 0 phương trình (*) có đúng một nghiệm x > 2 . Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt ∀m > 0 . * Nhận xét: Sau khi tìm được điều kiện x ≥ 2 việc khảo sát hàm số f ( x) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f ( x) . GV: Trần Dũng 11 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  12. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2* Dạng 2: Bất phương trình. Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình 4 x − 2 + 2 4 − x < m có nghiệm. Lời giải: 1 Điều kiện: ≤ x≤4. 2 Khi đó, bất phương trình 4 x − 2 + 2 4 − x < m có nghiệm x ∈ ⎡ ; 4 ⎤ 1 ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ ⇔ m > min ⎡ 4 x − 2 + 2 4 − x ⎤ ⎣ ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ 2 ;4⎥ ⎣ ⎦ Xét hàm số f ( x ) = 4 x − 2 + 2 4 − x trên ⎡ ; 4 ⎤ . 1 ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ 2 1 2 4 − x − 4x − 2 Ta có f ′ ( x ) = − = 4x − 2 4− x ( 4 x − 2 )( 4 − x ) 9 f ′( x) = 0 ⇔ 2 4 − x − 4x − 2 ⇔ x = 4 Tính f ⎛ ⎞ = 14; f ⎛ ⎞ = 2 7; f ( 4 ) = 14 . Suy ra min ⎡ f ( x ) ⎤ = 14 . 1 9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡1 ⎤ ⎣ ⎦ ⎝2⎠ ⎝4⎠ ⎢ 2 ;4 ⎥ ⎣ ⎦ Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m > 14 . Bài toán 2: Tìm tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) Giải Điều kiện: x ≥ 3 . Đặt t = x − 3 , t ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 3 t +1 BPT (1) trở thành m(t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m ≤ (2) t2 + 2 t +1 Xét hàm số f (t ) = , t≥0 t2 + 2 −t 2 − 2t + 2 ⎡ t = −1 + 3 Ta có: f ' (t ) = , f ' (t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ ⎢ (t ) 2 2 +2 ⎢ t = −1 − 3 ⎣ Bảng biến thiên t 0 3 −1 +∞ ' f (t ) + 0 − 1+ 3 f (t ) 4 1 0 2 1+ 3 Suy ra max ⎡ f ( t ) ⎤ = [0;+∞ ) ⎣ ⎦ 4 Bất phương trình (1) có nghiệm x ≥ 3 ⇔ bất phương trình (2) có nghiệm t ≥ 0 ⇔ m ≤ max f (t ) [0;+∞ ) 3 +1 ⇔m≤ 4 GV: Trần Dũng 12 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  13. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- * Nhận xét: 1+ x − 3 Nếu đưa về bất phương trình mx − x − 3 ≤ m + 1 ⇔ ≥m. Khi đó hàm số x −1 1+ x − 3 f ( x) = dẫn đến việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu x −1 đạo hàm gặp khó khăn. Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình ( 4 + x )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −4;6] Lời giải: Đặt t = − x 2 + 2 x + 24 ⇒ x 2 − 2 x = 24 − t 2 −2 x + 2 t' = ,t' = 0 ⇔ x = 1 2 − x + 2 x + 24 2 x −4 1 6 t ' − 0 + t 5 0 0 Do đó 0 ≤ t ≤ 5 Bất phương trình (1) trở thành t ≤ 24 − t 2 + m ⇔ m ≥ t 2 + t − 24 (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −4;6] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;5] ⇔ m ≥ max f (t ) [0;5] 1 Ta có f (t ) = t 2 + t − 24 , f ' (t ) = 2t + 1 , f ' (t ) = 0 ⇔ t = − (l ) 2 Tính f(0) = -24, f(5) = 6. Do đó max f (t ) = 6 [0;5] Vậy m ≥ 6 . Bài toán 4: Tìm m để bất phương trình m 2 x 2 + 9 < x + m có nghiệm với mọi x . Lời giải x Ta có m 2 x 2 + 9 < x + m ⇔ m < , vì 2 x 2 + 9 − 1 > 0, ∀x 2x + 9 −1 2 ⎡ x ⎤ Khi đó, phương trình có nghiệm với mọi x ⇔ m < min ⎢ ⎥ ⎣ 2 x + 9 − 1⎦ 2 x Xét hàm số f ( x ) = trên . 2x + 9 −1 2 9 − 2 x2 + 9 ⎡ x = −6 Ta có f ′ ( x ) = = 0 ⇔ 9 − 2x2 + 9 = 0 ⇔ ⎢ ( ) ⎣x = 6 2 2x2 + 9 2 x2 + 9 − 1 GV: Trần Dũng 13 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  14. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng biến thiên: x −∞ -6 6 +∞ f ′( x) - 0 + 0 - 1 3 − 2 4 3 1 f ( x) − 4 2 3 Suy ra min ⎡ f ( x ) ⎤ = − . ⎣ ⎦ 4 3 Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi m < − . 4 Bài toán 5: Tìm m để bất phương trình m.16 − 2m.4 + 2m − 2 ≥ 0 nghiệm đúng t anx t anx π với mọi x ∈ ⎡0; ⎤ . ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ Lời giải π Đặt t = 4t anx . Với x ∈ ⎡0; ⎤ ⇒ t ∈ [1; 4] . ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ Khi đó bất phương trình đã cho trở thành mt 2 − 2mt + 2m − 2 ≥ 0 . π Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ ⎡0; ⎤ khi và chỉ khi ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ 2 ⎡ 2 ⎤ mt 2 − 2mt + 2m − 2 ≥ 0, ∀t ∈ [1; 4] ⇔ m ≥ , ∀t ∈ [1; 4] ⇔ m ≥ max ⎢ 2 ⎥. t − 2t + 2 2 [1;4] ⎣ t − 2t + 2 ⎦ 2 4 (1 − t ) Xét hàm số f ( t ) = 2 trên [1; 4] . Ta có f ′ ( t ) = ≤ 0, ∀t ∈ [1; 4] t − 2t + 2 ( t 2 − 2t + 2 ) 2 Bảng biến thiên t 1 4 ' f (t ) − f (t ) 2 1 5 Dựa vào bảng biến thiên suy ra max f (t ) = 2 . Do đó giá trị cần tìm là: m ≥ 2 . [1;4] Bài toán 6: Tìm m để bất phương trình 1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) nghiệm đúng với mọi x . Lời giải: Ta có 1 + log 5 ( x 2 + 1) ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) ⇔ log 5 ⎡5 ( x 2 + 1)⎤ ≥ log 5 ( mx 2 + 4 x + m ) ⎣ ⎦ ⎧ −4 x ⎧mx 2 + 4 x + m > 0 ⎪ ⎪m > x 2 + 1 ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ (*) ⎪5 ( x + 1) ≥ mx + 4 x + m 2 2 ⎩ ⎪m ≤ 5 − 4 x ⎪ ⎩ x2 + 1 GV: Trần Dũng 14 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  15. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ⎧ ⎡ −4 x ⎤ ⎪m > max ⎢ x 2 + 1 ⎥ Hệ bất phương trình (*) thỏa với mọi x ⇔ ⎪ ⎨ ⎣ ⎦ ⎪m ≤ 5 + min ⎡ −4 x ⎤ ⎪ ⎢ x2 + 1⎥ ⎣ ⎦ ⎩ −4 x Xét hàm số f ( x ) = 2 trên . Ta có f ′ ( x ) = ( 4 x2 −1 ) = 0 ⇔ ⎡ x = −1 ⎢x = 1 x +1 (x ) 2 2 +1 ⎣ Bảng biến thiên: x −∞ -1 1 +∞ f ′( x) + 0 - 0 + 2 0 f ( x) 0 -2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra min ⎣ f ( x ) ⎦ = −2; m ax ⎣ f ( x )⎦ = 2 . ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Vậy giá trị cần tìm là: 2 < m ≤ 5 − 2 ⇔ 2 < m ≤ 3 . 1 1 Bài toán 7: Tìm m để hàm số y = mx3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + đồng biến trên 3 3 [ 2; +∞ ) . Lời giải: Ta có y′ = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) . Hàm số đồng biến trên [ 2; +∞ ) ⇔ y′ = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 2; +∞ ) 6 − 2x ⎡ 6 − 2x ⎤ ⇔m≥ , ∀x ∈ [ 2; +∞ ) ⇔ m ≥ max ⎢ 2 ⎥ x − 2x + 3 2 [ 2;+∞ ) ⎣ x − 2 x + 3 ⎦ 6 − 2x Xét hàm số f ( x ) = trên [ 2; +∞ ) . x − 2x + 3 2 2 x 2 − 12 x + 6 Ta có f ' ( x ) = = 0 ⇔ x = 3± 6 ( ) 2 x2 − 2x + 3 Bảng biến thiên: x 2 3+ 6 +∞ ' f ( x) − 0 + 2 f ( x) 0 3 2 2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra max ⎡ f ( x )⎤ = . Do đó giá trị cần tìm là: m ≥ . [ 2;+∞ ) ⎣ ⎦ 3 3 Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x cos4x - 5cos3x - 36sin2x - 15cosx + 36 + 24m - 12m2 ≥ 0 (1) GV: Trần Dũng 15 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  16. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lời giải: TXĐ: D = IR Trên D bpt (5) ⇔ 3cos4x - 20cos3x + 36cos2x + 24m - 12m2 ≥ 0 (2) Đặt t = cosx với t ∈ [ − 1;1 ] Bất phương trình (2) trở thành 3t4 - 20t3 + 36t2 + 24m - 12m2 ≥ 0 ⇔ 3t4 - 20t3 + 36t2 ≥ 12m2 - 24m (3) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ IR ⇔ bất phương trình (3) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ −1;1] Xét hàm số : f(t) = 3t4 - 20t3 + 36t2 víi t ∈ [ − 1;1 ] Ta có: f’(t) = 12t3 - 60t2 + 72t = 12t(t2 - 5t + 6) ⎡t = 0 f’(t) = 0 ⇔ 12t(t - 5t + 6) = 0 ⇔ ⎢ t = 2 2 ⎢ ⎢t = 3 ⎣ Bảng biến thiên t -1 0 1 f ' (t ) − 0 + f (t ) 59 19 0 Từ bảng biến thiên ta có f(t) ≥ 12m2 - 24m , ∀ t ∈ [ − 1;1 ] ⇔ 12m2 - 24m ≤ min f ( t ) [-1;1] 2 ⇔ 12m - 24m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2 Vậy: 0 ≤ m ≤ 2 2.3* Dạng 3: Hệ phương trình ⎧ x + y + x2 + y 2 = 8 ⎪ Bài toán 1: Tìm m để hệ phương trình ⎨ (1) có nghiệm ⎪ xy ( x + 1)( y + 1) = m ⎩ Lời giải: 1 1 Đặt u = x 2 + x , v = y 2 + y .Điều kiện u ≥ − , v ≥ − 4 4 ⎧u + v = 8 ⎧ v = 8−u Hệ phương trình (1) trở thành ⎨ ⇔⎨ 2 ⎩ uv = m ⎩−u + 8u = m ( 2 ) GV: Trần Dũng 16 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  17. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 33 1 33 Vì v ≥ − ⇒ 8 − u ≥ − ⇔ u ≤ . Do đó: − ≤ u ≤ 4 4 4 4 4 Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm u ∈ ⎡ − ; ⎤ 1 33 ⎢ 4 4⎥ ⎣ ⎦ Xét hàm số f (u ) = −u 2 + 8u , u ∈ ⎡ − ; ⎤ 1 33 ⎢ 4 4⎥ ⎣ ⎦ 1 Ta có f ' (u ) = −2u + 1 , f ' (u ) = 0 ⇔ u = 2 Bảng biến thiên 1 1 33 u − 4 2 4 f ' (u ) + 0 − f (u ) 16 33 33 − − 16 16 33 Từ bảng biến thiên ta có − ≤ m ≤ 16 16 *Nhận xét Ta có thể giải cách khác là: Hệ phương trình có nghiệm ⇔ phương trình (2) có 1 hai nghiệm u, v lớn hơn hoặc bằng − . Khi đó dẫn đến so sánh hai nghiệm với 4 1 − và học sinh sẽ gặp khó khăn vì so sánh hai nghiệm với số thực không có 4 trong bài định lí về dấu tam thức bậc hai ở lớp 10. ⎧ x + 1− y = m +1 Bài toán 2: Tìm m để hệ phương trình ⎪ ⎨ (1) có nghiệm duy nhất ⎪ y + 1− x = m +1 ⎩ Lời giải: ⎧0 ≤ x ≤ 1 Điều kiện: ⎨ ⎩0 ≤ y ≤ 1 Từ hệ ⇒ x + 1 − y = 1 − x + x ⇔ x − 1− x = y − 1− y ⇔ f ( x) = f ( y ) Xét hàm số f (t ) = t − 1 − t , t ∈ [0;1] 1 1 f ' (t ) = > 0 , ∀t ∈ ( 0;1) ⇒ hàm số y = f (t ) đồng biến trên [ 0;1] + 2 t 2 1− t Khi đó : f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào hệ ta được : x − 1 − x = m + 1 , x ∈ [ 0;1] (2) Xét hàm số f ( x) = x + 1 − x , x ∈ [ 0;1] GV: Trần Dũng 17 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  18. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 1− x − x Ta có : f ' ( x) = − = 2 x 2 1 − x 2 x(1 − x) 1 f ' ( x) = 0 ⇔ 1 − x = x ⇔ x = 2 Bảng biến thiên : 1 x 0 1 2 f ' ( x) + 0 − f ( x) 2 1 1 Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Từ bảng biến thiên ta có : m + 1 = 2 ⇔ m = 2 − 1 * Nhận xét : Ta có thể giải hệ trên dùng điều kiện cần và đủ. Giả sử ( xo ; yo ) là một nghiệm của hệ thì (1 − xo ;1 − yo ) cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ có nghiệm duy nhất 1 cần xo = yo = .Từ đó tìm m và thử lại.Cách giải này hay gặp sai lầm là không 2 thử lại. ⎧ 2 x 3 − ( y + 2) x 2 + xy = m Bài toán 3 : Tìm m để hệ phương trình ⎨ (1) có nghiệm ⎩ x 2 + x − y = 1 − 2m Lời giải : ⎧ ( x2 − x ) ( 2x − y ) = m Hệ phương trình (1) ⇔ ⎪ 2 ⎨ ⎪( x − x ) + ( 2 x − y ) = 1 − 2m ⎩ 1 Đặt u = x 2 − x, u ≥ − ; v = 2 x − y 4 ⎧ uv = m ⎧u 2 + (2m − 1)u + m = 0 (2) Hệ đã cho trở thành ⎨ ⇔⎨ ⎩u + v = 1 − 2 m ⎩ v = 1 − 2m − u 1 Hệ đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn u ≥ − 4 1 −u 2 + u Với u ≥ − , ta có : (2) ⇔ m(2u + 1) = −u 2 + u ⇔ m = 4 2u + 1 −u 2 + u 1 Xét hàm số f (u ) = , với u ≥ − 2u + 1 4 2u + 2u − 1 2 3 −1 Ta có : f ' (u ) = − , f ' (u ) = 0 ⇔ u = ( 2u + 1) 2 2 Bảng biến thiên : GV: Trần Dũng 18 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  19. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 3 −1 u − +∞ 4 2 f ' (u ) + 0 − 2− 3 f (u ) 2 5 − −∞ 8 2− 3 Từ bảng biến thiên ta có : m ≤ . 2 * Nhận xét : Đây là một câu trong đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2011. Nếu học sinh không trang bị đầy đủ kiến thức về dạng toán trên thì gặp khó khăn khi giải bài này. ⎧ 32 x + y + 3x +3 y = m ⎪ Bài toán 4: Tìm m để hệ phương trình ⎨ y ⎛ 1 ⎞3 x +3 y m− 2 x (1) có nghiệm ⎪3 + ⎜ ⎟ =3 ⎩ ⎝3⎠ Lời giải : ⎧ 32 x + y + 3x +3 y = m Hệ đã cho ⇔ ⎪ 2 x + y −( x +3 y ) m ⎨ ⎪3 ⎩ +3 =3 ⎧ u+v =3 ⎧ u = 3− v ⎧u = 32 x + y ⎪ ⎪ Đặt ⎨ (u > 0,v > 0) .Ta được : ⎨ 1 ⇔⎨ 1 ⎪u + v = 3 ⎪3 − v + v = 3 ( 2 ) x +3 y ⎩v = 3 m m ⎩ ⎩ Vì u > 0 ⇒ 3 − v > 0 ⇒ v < 3 .Do đó : 0 < v < 3 . Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm thỏa 0 < v < 3 1 Xét hàm số f (v) = 3 − v + , v ∈ ( 0;3) v 1 Ta có : f ' (v) = −1 − 2 < 0 , ∀v ∈ ( 0;3) v Bảng biến thiên : v 0 3 ' f (v ) − f (v) +∞ 1 3 1 Từ bảng biến thiên ta có: 3m > ⇔ m > −1 3 GV: Trần Dũng 19 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
  20. Sử dụng đạo hàm để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứa tham số ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán 5: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ⎧ x3 − 12 x − y 3 + 6 y 2 − 16 = 0 ⎪ (1) ⎨ 2 ⎪4 x + 2 4 − x − 5 4 y − y + m = 0 (2) 2 2 ⎩ Lời giải: ⎧ −2 ≤ x ≤ 2 Điều kiện: ⎨ ⎩ 0≤ y≤4 Ta có (1) ⇔ x3 − 12 x = ( y − 2 ) − 12 ( y − 2 ) 3 Xét hàm số f (t ) = t 3 − 12t , t ∈ [ −2; 2] ⇒ f ' (t ) = 3t 2 − 12t = 3 ( t 2 − 4 ) < 0 , ∀t ∈ ( −2; 2 ) Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên [ −2; 2] (3) Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn [ −2; 2] và f ( x) = f ( y − 2) ⇒ x = y − 2 Thay vào (2) ta được phương trình 3 4 − x 2 − 4 x 2 = m (4) Hệ phương trình đã cho có nghiệm ⇔ phương trình (4) có nghiệm x thuộc [ −2; 2] Xét hàm số g ( x) = 3 4 − x 2 − 4 x 2 , x ∈ [ −2; 2] −3 x ⎛ 3 ⎞ g ' ( x) = − 8x = − x ⎜ + 8⎟ 4 − x2 ⎝ 4− x 2 ⎠ g ( x) = 0 ⇔ x = 0 ' Bảng biến thiên x −2 0 2 ' g ( x) + 0 − g ( x) 6 −16 −16 Từ bảng biến thiên ta có : −16 ≤ m ≤ 6 Bài toán 6 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm ⎧7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2005 x ≤ 2005 (1) ⎪ ⎨ ⎪ x − (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0 (2) 2 ⎩ Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Ta có (7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2005 x ≤ 2005 ⇔ 7 x +1 ( 7 2 x − 7 ) ≤ 2005 (1 − x ) (3) Nếu x = 1thỏa bất phương trình (3).Do đó bất phương trình (3) có nghiệm x = 1 Nếu x > 1 thì VT > 0 còn VP < 0 nên bất phương trình (3) vô nghiệm Nếu −1 ≤ x < 1 thì VT < VP nên bất phương trình (3) có nghiệm là −1 ≤ x < 1 Do đó:Bất phương trình (3) có tập nghiệm là T = [ −1;1] Để hệ bất phương trình có nghiệm thì bất phương trình (2) có nghiệm x ∈ [ −1;1] GV: Trần Dũng 20 Trường THPT Nguyễn Chí Thanh
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2